CC BY
4
УДК 539.3
Н. С. Бондаренко
Донецкий национальный университет
Определение обобщённых перемещений в ортотропной пластине при действии сосредоточенной силы на базе
{1,0}-аппроксимации
Рассматривается задача статики для ортотропной пластины на базе обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимацин. В рамках данного подхода искомые и заданные функции представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра от толгцпн-ной координаты. Фундаментальное решение задачи для случая плоского напряжённого состояния получено с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье. Проведены численные исследования влияния упругих постоянных ортотропного материала на обобщённые перемещения.
Ключевые слова: ортотропная пластина, сосредоточенная сила, плоское напряжённое состояние, полиномы Лежандра, преобразование Фурье.
N. S.Bondarenko Donetsk National University
Determination of generalized displacements in an orthotropic plate under the action of concentrated force based on the {l,0}-approximation
We consider the problem of statics for an orthotropic plate based on the generalized theory in the version {l,0}-approximation. Within the framework of this approach, the sought and specified functions are presented as Fourier series in Legendre polynomials in the thickness coordinate. The fundamental solution of the problem for the case of a plane stress state is obtained using the twodimensional integral Fourier transform. Numerical studies of the effect of elastic constants of an orthotropic material on generalized displacements are carried out.
Key words: orthotropic plate, concentrated force, plane stress state, Legendre polynomials, Fourier transform.
1. Введение
Тонкостенные элементы конструкций, изготовленные из современных композиционных материалов, широко применяются в объектах различного назначения, в том числе повышенного уровня ответственности при сложном нагружении. Об актуальности решения задач статики для пластин и оболочек свидетельствуют публикации последних лет [1, 2]. Использование композиционных материалов, обладающих резкой анизотропией упругих свойств, обуславливает актуальность построения уточнённых теорий пластин и оболочек, учитывающих явления, связанные с поперечными сдвигами и обжатием.
В настоящей работе для сведения трёхмерной задачи статики ортотропной пластины к двумерной используется обобщённая теория в варианте {1,0}-аппроксимации. Выбранный
© Бондаренко Н. С., 2021
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021
подход является наиболее приемлемым для решения поставленной задачи, поскольку он не основан на каких-либо гипотезах, а использует метод И. Н. Векуа разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра от толщинной координаты [3]. Преимуществом данного подхода является возможность рассматривать не только тонкие пластины, но пластины средней и большой толщины. При этом решение задачи может быть получено с произвольной, наперёд заданной точностью в зависимости от числа удерживаемых слагаемых в разложениях заданных и искомых функций. Из публикаций последних лет, использующих обобщённую теорию пластин и оболочек, в рамках которой искомые и заданные функции раскладываются в ряды Фурье по полиномам Лежандра, следует отметить статьи [4, 5].
В работе построено фундаментальное решение уравнений статики {1,0}-аппроксимации для случая безмоментного напряжённого состояния ортотропной пластины. Необходимость решения такой задачи обусловлена важной ролью, которую играют фундаментальные решения при исследовании различных граничных задач механики тонкостенных элементов конструкций, в том числе и находящихся под действием сосредоточенных силовых воздействий.
2. Постановка задачи
Рассмотрим ортотропную пластину толщиной 2Н в прямоугольной декартовой системе координат х, у, г. В качестве исходной взята система уравнений {1,0}-аппроксимации. В рамках данного приближения компоненты напряжённо-деформированного состояния представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра Рк от толщинной коорди-
• компоненты вектора перемещений:
их = иРо + к^хР1, иу = уРо + Н^уРх, и* = —оРо, где и, V, шо, 7х, 7у — обобщённые перемещения пластины, из которых и, V, —о являются аналогами перемещений точек срединной поверхности, а 7х, 7у — аналогами углов поворота нормали;
• компоненты тензора напряжений:
^х ^ ЗМхг , \ Зху3Нх
2Н21
Яхо ,
" = +(х ^ А т-у = ЖР» +
2Н~(Р° -р2)(х ^ У)'17* =0,
где коэффициенты разложений в ряды по полиномам Лежандра являются обобщёнными усилиями и моментами, из которых Их, Иу, Бху являются аналогами мембранных усилий; Мх, Му, Нху — изгибающих и крутящего моментов; Яхо, Яуо — перерезывающих сил;
• компоненты вектора объёмной силы:
*=!Р»+шР1 (х
В безразмерной системе координат Х1 = х/к, х2 = у/к, х3 = х/Н, определённой с точностью до полутолщины пластины к, система уравнений статики на базе обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимации для ортотропных пластин имеет вид [3]:
• соотношения крутости в перемещениях
„ / ди ду \ „т „ / ду ди\ „ „ / ди ду \
М1 =В1\7^ + ихут— = В2( — + иух— ,512 = В12( — + — , 1
\дх1 дх2) \дх2 дх1) \дх2 дх1)
где
= 1 = Ё ^ = §Н-Е,
Г, Ех 2 „ Еу 2 2Сху
В1 = \ Е\-у V , В2 = V Е 1-й и ' В12 = ~Ё~,
у Еу 1 ^ху^ух V Ех 1 ^ху^ух Е
Ех , Еу — модули Юнга для направлений х, у соответственно; Сху — модуль сдвига, характеризующий изменение угла между главными направлениями х и у; иху, иух — коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечные изменения (первый индекс указывает направление изменения, второй — направление действия силы, вызывающей это изменение);
уравнения равновесия
on dsl2 ON dsl2
+ ^ = -qi'dX2 + &X7 = (2)
где qi = qx/E, ^ = qy/Е.
Пусть на пластину действует сосредоточенная сила. Математической моделью сосредоточенных воздействий в механике является дельта-функция Дирака. Она стоит на месте функций нагрузки в правых частях разрешающих уравнений. Фундаментальные решения системы (1), (2) имеют определённый механический смысл — это решения задач о действии сосредоточенных сил на пластину [6]. Поэтому компоненты вектора объёмной силы берём в виде
qj(Ж1,Ж2) = q*5(хьх2) (j = 1, 2), (3)
где 5(х\, х2) — двумерная дельта-функция Дирака, q* = const.
3. Определение обобщённых перемещений
Подставляя соотношения упругости в перемещениях (1) в уравнения равновесия (2), получим уравнения равновесия в перемещениях, которые с учётом правых частей (3) имеют вид
/ д2 д2 \ д2у
{^дХХ2 + В2дХХ2) и + ^ + В2) дх^дХХ^ = -1 26(Х1>Х2)>
д2ц /и г)2 д2 \
(^ + В-> дХ1дХ2 + (5В1 дХ| + В"Щ) " = (х-х2>- (4)
Применим к системе (4) двумерное интегральное преобразование Фурье [7]:
(В^2 + В12Й) и + (ихуВ 1 + В12) = ,
(ихуВ1 + В12) Ы2й +(^-В^2 + В^) Й = тг•
Решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, найдём трансформанты обобщённых перемещений:
и = * ( ^В^Ф 1(6,6) + В12<?*Фо(£ 1,6) - (^ХуВ1 + В12) q*2Ъ2(Ц 1,6)) , 1ЖВ1В12 У Мух )
{В1Фо(е 1,6) + Вт**Ф 1(6, 6) - ("хуВ1 + В12) <?2*ф2(6, 6)} , (5)
где
2 2 фо(е 1,6) =,.2, . фi(e 1,6) = ? 2
(е2 + «тж2+*№)' (t2 + )(е2+a^2)'
ф 2(а' 6) = (е 2+*&2)d r+^fil)'_ (6)
^2,2 = 21— (ExJGxy — 2vyx) ^ \Jv2y (Ex/Gxy — 2vyx) — 4Vxyfy^ .
Методику обращения покажем на примере первой из функций (6). Заметим, что
Фо(£ 1,6) = ~2-2 {^Фi(c 1,6;^2) -^фi(C 1,6; a)} ,
a2 — a2 l J
( ^ ^ ) a2
a2 - a2 2
1
Фi(6;afc) = 2g2 (k = 1, 2).
Для нахождения оригинала функции Ф1 применим к ней формулу обращения для двумерного интегрального преобразования Фурье [7]:
оо оо
т / \ ^ Í Í еХР { — (£^1 + Í2X2)}
Ъ1(х1,х2-,як ) = — - ¡i, 2,2--díldb- (7)
J J ¿¡1 + О кZ, 2
—те —оо
В двойных интегралах (7) выполним такие замены переменных в пространствах оригиналов и трансформант:
6 = V1, 6 = —, Х1 = У1, Х2 = ОкУ2- (8)
Ок
Выделим в интегралах (7) чётные и нечётные части и перейдём в полярные системы координат по формулам
у1 = г cos у, у2 = г sin у, r¡1 = pcos в, r¡2 = psin в, (9)
тогда
ж/2 те
2 Г Г 1
Ф1 =- dd -cos(rp cosy cosd)cos(rp siny sin0)dp. (10)
к°к J J P 0 0
Применяя разложение Якоби-Ангера [8]:
те
cos (х cos у cos в) cos (х sin у sin0) = J0(x) + 2 ^ (—1)raJ2ra(x) cos 2ny cos 2nd
n=1
и учитывая значения интегралов от тригонометрических функций
ж/2
cos 2n Odd = L*/2>n = 0 0, n = 1, 2, ..
0
преобразуем функцию (10) к виду
те
1 [ Jo(rp)
ф1 = — —\-LLdp. Ок J Р 0
Чтобы вычислить данный интеграл, используем понятие конечной части (£.р.) от расходящегося интеграла [9]:
те те
1 f.p. í Jo(~^dp = — í \npJ1(rp)dp = — —In (И)
Ф1 = — J .р. 1 -ар = — I ш р^1(7 р)ир =--1п -—
7к 3 Р 7к ] 7к 2
оо где С = 1п7 = 0,5772... — константа Эйлера.
х1 х2
выражение для функции Ф1 примет такой вид:
1 7^7кх1 + х2 „ Л
Ф1 = — 1п —^-(к = 1, 2),
7к 27к
а оригиналом первой из функций (6) является
1 Л , 7\/71х\ + х2 ,
Фо = О2 \n /v ^Г1 ' 2 - О1 \n /v 2 . (12)
О22 - О12 2О2
г2х1 + А \
2О1 )
Аналогично определяются оригиналы других функций (6):
Ф1 = 1 (_1 \n W^! + х2 - _1 \n Wо2х'2 + х2
о\ — О'2 \ О1 2О1 О2 2О2
Ф2 = —2-1—i (arctan a2Xl — arctan О1хМ . (13)
О22 - О12 х2 х2
Таким образом, оригиналы обобщённых перемещений на основании (5) имеют вид 1 ( их
^ W- J- — h, ,
ухуВ
U = OP В \ -^хуВ^1*Ф1(х1,х2) + В^*Фо(х1,х2) — (VхуВ1 +В12) q¡ Ф'(х1,х2)
2КВ1В12 I Т/ух
V = J р {B1Q¡Фо(х1,х') + В12д*Ф1(х1,х') — (1УхуВ1 + В12)д%Ф'(х1,х2)} , (14) 2ЖВ1В12
где функции Фо — Ф2 определяются по формулам (12), (13).
4. Анализ результатов численных исследований
Численные исследования проведены для реальных ортотропных материалов: стеклопластиков типа С1-19-55 и С1-10-65 [10]. Данные для указанных материалов приведены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Данные для ортотропных материалов
Стеклопластик Vху Vух Ех, М Н/м 2 Сху,М Н/м 2
С1-19-55 0,128 0,161 2,5 ■ 104 4,3 ■ 103
С1-10-65 0,122 0,17 3,25 ■ 104 6,1 ■ 103
Для исследования влияния упругих констант на обобщенные перемещения в ортотроп-ной пластине (14) при сосредоточенных силовых воздействиях положим д* = д* = 1. Результаты расчетов представлены на рис. 1, 2 в виде графиков изменения обобщенных перемещений и, V вдоль оси абсцисс (х2 = 0). Сплошные линии соответствуют стеклопластику С1-10-65, а пунктирные С1-19-55.
0 2 4 6 8 х
Из данных графиков (рис. 1, 2) можно заметить, что с увеличением модуля сдвига С,
и
5. Выводы
На основании проведённых исследований можно сделать такие выводы:
1. Впервые построено фундаментальное решение уравнений статики для случая безмо-ментного напряжённого состояния ортотропных пластин на базе обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимации при действии сосредоточенной силы.
2. Проведены численные исследования, демонстрирующие влияние упругих постоянных ортотропного материала на обобщённые перемещения, возникающие при безмомент-ном напряжённом состоянии ортотропных пластин.
Литература
1. Коренева Е.Б. Метод компенсирующих нагрузок для решения задач об анизотропных средах // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2018. 14 (1). P. 71-77.
2. Савгм С.Ю., Ивлев И.А. Анализ устойчивости ортотропных прямоугольных пластин с использованием коэффициента формы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12, вып. 12 (111). С. 1333-1341.
3. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев : Наукова думка, 1982.
4. Зеленський А.Г. Фундаментальш розв'язки визначальноТ системи диференщальних р!внянь математичн01 теорй пластин // Вкник Запор1зького нацюнального ушверси-тету. Ф1зико-математичш науки. 2018. № 1. С. 13-29.
5. Tuchapskyy R.I. Equations of thin anisotropic elastic shells of revolution in the {m,n}-approximation method // Journal of Mathematical Sciences. 2017. 226, N 1. P. 52-68.
6. Механика композитов. Т. 7. Концентрация напряжений / под ред. А.Н. Гузя, A.C. Космодамианского, В.П. Шевченко. Киев : A.C.K., 1998.
7. Снеддон И. Преобразования Фурье. Москва : Издательство иностранной литературы, 1955.
8. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек. Донецк : ДонГУ, 1980.
9. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. Москва : Мир, 1982.
10. Максимук О.В., Махнщький P.M., Щербина Н.М. Математичне моделювання та методи розрахунку тонкостшних композитних конструкцш. Льв1в : Нащональна академ1я наук Укра'ши. Ihcthtvt прикладних проблем мехашки i математики ¿м. Я.С. Шдстригача HAH Укра'ши, 2005.
References
1. Koreneva E.B. Method of compensating loads for solving of anisotropic medium problems. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2018. 14 (1). P. 71-77. (in Russian).
2. Savin S.Y., Ivlev I.A. Stability analysis of orthotropic rectangular plates using the form factor. Vestnik MGSU. 2017. V. 12, N 12 (111). P. 1333-1341. (in Russian).
3. Pelekh B.L., Lazko V.A. Laminated anisotropic plates and shells with stress concentrators. Kiev : Scientific thought, 1982. (in Russian).
4. Zelenskiy A.G. Fundamental solutions of the defining system of differential equations of the mathematical theory of plates. Visnvk of Zaporizhzhva National University. Physical and Mathematical Sciences. 2018. N 1. P. 13-29. (in Ukrainian).
5. Tuchapskyy R.I. Equations of thin anisotropic elastic shells of revolution in the {m,n}-approximation method. Journal of Mathematical Sciences. 2017. 226, N 1. P. 52-68.
6. Mechanics of composites. V. 7. Stress Concentration. Ed. by A.N. Guz, A.S. Kosmodamianskv, V.P. Shevchenko. Kiev : A.S.K., 1998. (in Russian).
7. Sneddon I. Fourier transform. Moscow : Foreign literature publishing house, 1955. (in Russian).
8. Khizhnyak V.K., Shevchenko V.P. Mixed problem in the theory of plates and shells: a tutorial. Donetsk : DonGU, 1980. (in Russian).
9. Lukasevich S. Local loads in plates and shells. Moscow : Mir, 1982. (in Russian).
10. Maksimuk O. V., Makhnitsky R.M., Shcherbina N.M. Mathematical modeling and methods of construction of thin composite structures. Lviv : National Academy of Sciences of Ukraine. Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics them. Ya.S. Pidstrigacha of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005. (in Ukrainian).
Поступим в редакцию 24-12.2020
