Определение областей устойчивости поперечного движения ленты Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.867.2

© Ю.А. Яхонтов, 2012

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПОПЕРЕЧНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕНТЫ

Решено и исследовано уравнение поперечного движения ленты конвейера. Введено понятие и получено выражение критической жесткости системы. Критерии критической жесткости системы и угла бифуркации поперечного движения ленты позволяют определять области устойчивого поперечного движения ленты.

Ключевые слова: уравнение поперечного движения ленты, асимптотическая устойчивость, критическая жесткость системы, коэффициент устойчивости поперечного движения ленты.

На конвейере с подвесными роликоопорами могут возникать условия, когда суммарная поперечная сила, действующая на ленту при её боковом сходе, становится децентрирующей. При этом для полной оценки движения ленты, кроме поперечных сил, необходимо учитывать и другие факторы, например, жесткость ленты в поперечном направлении, моменты инерции груза и ленты, натяжение и продольную скорость движения ленты, силы диссипации. Поэтому поперечное движение ленты необходимо исследовать с позиции устойчивости движения с определением и анализом областей устойчивой работы конвейера. Исследование поперечного движения ленты Уравнение движения ленты в поперечном направлении получено Дмитриевым В.Г.

Учитывая дополнительные диссипативные силы

( Т д50 пЕЗ д5оЛ

цКЗ —4--1---5 , возникающие при поперечном колебании

ч дх дt V дх )

ленты с грузом и поперечные силы, возникающие при боковом сходе ленты на ставе с подвесными роликоопорами (6Е5), получено следующее уточненное дифференциальное уравнение поперечного движения ленты пятого порядка [2]:

I5* Р Т Я5Х Р Т Я4Х ( К Ь ГТ-Г Я2Х я2.

ПЕЗ

д50 цЕЗ д о ЕЗ д45 I 50 ^х

дх дt V дх рЕ дх ^ рЕ рЕ

--V2

д2й д25

—Г + 2v--

дх дxдt

5 5 c1 - к1 g 55

dt2

pF dx ^ pFv

w

Л

Í5=o,

dt pF

(j)

где 5 — поперечное смещение ленты; Е — модуль упругости ленты; J — момент инерции ленты относительно оси 02 (оси перпендикулярной к плоскости ленты на среднем ролике); р — усредненная плотность ленты и груза; р = рл + к2рг; р л и рг —

¥

соответственно плотность ленты и груза; к2 = — ; ¥ , ¥ — соот-

¥л

ветственно площадь поперечного сечения груза и ленты (¥ = ¥л) ; 50 — натяжение ленты в начале грузовой ветви; к =(Чгр + Ял + Ч'р ) (— общий коэффициент сопротивления движению ленты); V — продольная скорость движения лен-

п' I

ты); п =-, П коэффициент диссипации по Фохту.

Р¥

Решение уравнения (1) найдено в виде [1]

да

5(х, г) = Хтк (г)хк (х),

(2)

k=j

где Тк (t) — изменение функции во времени; Xk (x) = sin

. кпх

l

формы поперечных колебаний ленты при к = 1,2,...

Путем подстановки ряда (2) в уравнение (1) и преобразований получена следующая система уравнений:

d %

dt2

EJ к4 п

4 4 f

S0 + kj gx 2 ^ к V b,

pF pF

£

pF

T,

í + WWg + nEJk4 п4 ^

pFv v l4

dT

f

C к,

I

¡к

4n4nEJ

I

¡к5

-T

8v

l V i= 2,4... ¡ к l i= 2,4... ¡ к

I

pF )¡=2,4...¡ -к

¡к dT:

% +

= 0, к = 1,3,... (3)

dt2

ЕЗ к4 п

4 4 (

+ k1 ^ рЕ рЕ

^ k 2п2

- V

Е

^Е

Т

c1 пЕЗ п

4 4 Л

рЕ^

/4

dTk

(

/

4п4 цЕЗ

^ 1к5 /^ А../2 - к2

Т- + 8У Е

С1 - к1 £ , рЕ

1к dTi

Е

1к

Т

/ ,=1д.. -2 - к2

12 - к2 = 0, к = 2,4,...

На основании экспериментальных замеров поперечного движения ленты установлено, что происходит быстрое исчезновение высших частот, и это дало основание при теоретическом исследовании рассматривать одночастотный режим колебаний.

С учетом первых членов ряда характеристическое уравнение записано в виде

А В

С В

= 0,

(4)

. .2 ЕЗп где А = Х +— -г-

^0 , к1 ёх, - У2 п

рЕ I УрЕ рЕ

/2

Е

рЕ

31

\

С1 -рЕ

/

8п4цЕЗ 3/\ '

(

В=

С м'д цЕЗп4 16у

V

рЕу V

/4

3/

X;

С =

рЕ^

1 м'д 16п4пЕЗ 16v

_+ + : 37"

V

/4

X; В = Х2 ■ ЕЗ 16П

/

¿0 к дх 2 ^ 4п2

ре ре

/2

рЕ 3/ У рЕ

С - кц

рЕ /4 \28п4цЕЗ

(5)

Из уравнения (4) определена в первом приближении частота поперечных колебаний:

ЕЗ

и

¿0 , к1 & - ^

^п2

рЕ / урЕ рЕ

/2 рЕ 3/ у рЕ

С - к1 д ] 8п4цЕЗ

3/ 'V

. (6)

©0 =

С учетом полученного выше, уравнение поперечного движения ленты записано в виде

й 25

йг2

(

w'g пЕЛ п4 16v

Г &

р¥v , к gx

14

31

й 5

Е£ я4 р¥ 14

р¥ р¥

- V

п

7Г

Ъе + 8 (С - к1 g ) + 8п4пЕ/

р¥

31р¥

315v

5 = 0. (7)

В соответствии с первой теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению и теоремой Гурвица условие асимптотической устойчивости записано в виде

3vlEJ п4

- ( ^ + к gx - v 2р¥ ) 3vl Зп2 + 8vl4 (с1 - к1 g ) -

+8р¥п4nEJ > -3vl5Ъе .

(8)

Из выражения (8) следует, что при определенной величине отрицательной жесткости системы (Ъе < 0) движение становится неустойчивым.

Введем понятие критической жесткости системы, при которой движение из устойчивого переходит в неустойчивое, и для неё получено следующее выражение [2]

Ъе кр = -^Шп4 +( ^ + к gx - v2рF) 3vl 3п2 + +8vl4 ( - к1 g) + 8р¥п4пЕЛ](3vl5 )-1.

(9)

Ранее автором было введено понятие коэффициента устойчивости поперечного движения ленты д = Р1 / Р0, где Р1 и Р0 — возмущающие поперечные силы, вызывающие боковой сход ленты соответственно на исследуемой и базовой (жесткоустановлен-ные роликоопоры) конструкциях линейных секций при одинаковой величине допустимого бокового схода ленты. Данный коэффициент позволяет оценивать большую или меньшую степень устойчивости поперечного движения ленты.

Чем больше критическая жесткость системы, тем выше коэффициент устойчивости д . При определенном угле наклона конвейера, поперечное движение ленты из устойчивого переходит в

неустойчивое. Угол наклона конвейера, при котором жесткость системы равна критической, является углом бифуркации поперечного движения ленты (Рб ) . Практические расчеты для конвейера с лентой шириной 1000 мм показали, что при длине конвейера менее 200—300 м, критическая жесткость резко возрастает и соответственно увеличивается коэффициент устойчивости д . При длине конвейера свыше 300 м, критическая жесткость уменьшается, и не превышает величины ЪЕкр =-3,5 Н/м2. То есть, достаточно возникновению, при боковом сходе ленты небольшой, распределенной по длине, суммарной децентрирующей силы, чтобы движение стало неустойчивым. При увеличении длины конвейера, например до 1000 м, ЪЕкр =-1,19 Н/м2, приближаясь в дальнейшем к нулю.

Для чистых контактируемых поверхностей ленты и роликов угол бифуркации для бремсбергового конвейера с подвесными роликоопорами составляет Рб « -9° (при провесе канатов в центре пролёта у = 0,021сп1 ). При увеличении заполнения поперечного сечения ленты грузом до теоретической производительности (т.е. по приёмной способности) угол бифуркации при том же натяжении канатов составляет Рб = -6°20 '.

Таким образом, введенные критерии критической жесткости системы (ЪЕкр) и угла бифуркации поперечного движения ленты

(Рб) позволяют определять области устойчивого поперечного движения ленты.

Выводы: 1. Разработана математическая модель поперечного движения ленты по подвесным роликоопорам, определена критическая жесткость системы, при которой происходит переход движения из устойчивого в неустойчивое (угол бифуркации поперечного движения ленты) и обоснованы, с учетом фазовой плоскости, области и вид устойчивого движения ленты.

2. Полученное решение уравнения поперечного движения ленты и введённые критерии позволяют проводить подробный анализ влияния конструктивных параметров конвейера и угла его установки на устойчивость поперечного движения ленты. В каче-

стве критериев оценки устойчивости движения введены понятия критической жесткости системы и угла бифуркации поперечного движения ленты.

3. Установлено, что на бремсберговом конвейере с подвесными роликоопорами при определенных углах наклона конвейера и его конструктивных параметрах могут возникнуть условия, когда поперечное движение ленты будет неустойчивым.

При чистых контактируемых поверхностях ленты и роликов критический угол или угол бифуркации может соответствовать углу наклона конвейера Р « -9° при у = 0,02 1т . Однако и при провесе у = 0,01 1т восстанавливающая поперечная сила, действующая на ленту при её боковом сходе, при больших углах наклона конвейера становится настолько мала, что достаточно небольшого распределенного по длине возмущающего усилия (>25 — 30 Н/м), чтобы лента сместилась в боковом направлении на величину больше допустимого предела.

4. При увеличении заполнения поперечного сечения ленты, например, с максимальной часовой эксплуатационной производительности до теоретической производительности (по приемной способности), при неизменном натяжении канатов става, поперечное движение ленты может становиться неустойчивым при чистых контактируемых поверхностях ленты и роликов уже при углах установки бремсбергового конвейера Р « -3° (при провесе канатов става у = 0,03 1т ) и р « -6°20 ' при у = 0,02 1т .

5. При длинах конвейеров менее 200—300 м, критическая жесткость (которой соответствует угол бифуркации поперечного движения, ленты) резко увеличивается, то есть коэффициент устойчивости поперечного движения повышается. На конвейерах длиной свыше 300 м критическая жесткость становится достаточно малой, при которой даже небольшая погонная децентрирующая сила может сместить ленту в боковом направлении дальше допустимого предела. При дальнейшем увеличении длины конвейера, критическая жесткость приближается к нулю (например, для конвейера с лентой шириной 1000 мм это происходит при длине свыше 2000 м). То есть достаточно, чтобы суммарная поперечная сила, действующая на ленту при её боковом сходе, при свободном колебательном

движении (без внешней силы) стала равной нулю, чтобы движение ленты в поперечном направлении стало практически неустойчивым.

6. Изменение натяжения ленты на устойчивость поперечного движения существенного значения не оказывает, поскольку величина критической жесткости в обоих случаях достаточно мала. Однако, значительное влияние оказывает провес канатов става (т.е. их натяжение). Угол бифуркации вб « -4°50 ' при у = 0,03 /т и рб «-9° при у = 0,02 /т.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Панкратов С.А. Динамика машин для открытых горных и земляных работ. — М.: Машиностроение, 1967. — 447 с.

2. Яхонтов Ю.А. Исследование устойчивости поперечного движения ленты конвейера с подвесными роликоопорами. Изв. вузов. Геология и разведка, 2004. — № 1. — С. 56—60.

УДК 621.867.2 © Ю.А. Яхонтов, 2012

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ И ВИДА УСТОЙЧИВОГО ПОПЕРЕЧНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕНТЫ

Исследованы области и вид устойчивого поперечного движения ленты. Построены интегральные кривые. Представлена модель движения ленты на бремсберговом конвейере и установлены углы наклона его при котором поперечное движение ленты может стать неустойчивым. Ключевые слова: области и вид устойчивого поперечного движения ленты, устойчивый фокус и узел, колебательное и неколебательное движение, боковой сход ленты.

Для исследования областей и вида устойчивого поперечного движения ленты построены фазовые портреты этого движения на фазовой плоскости. Дифференциальное уравнение интегральной кривой на фазовой плоскости с учетом полученного в предыдущей статье уравнения (7) имеет вид