CC BY
31
моделювати icнyючi та запропоновано новий алгоритм для управлшня чергою.
Site on the Internet, consisting of a transmitter of TCP and borderrouter is considered as an object of automatic control theory. A review and analysis of
existing algorithms Technology AQM.Isolated input and output variables router built its block dia-gram.Synthesized by the block diagrams and equations of the modelarea network. Simulated current and proposed a new algorithmfor queue management
УДК 681.5.037
ГОСТЕВ В.И., д.т.н., професор, (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий );
КУНАХ Н.И., д т.н., доцент (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий);
НЕВДАЧИНА О.В., астрантка (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий );
КУЧЕР С.В., асистент (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий ).
Определение областей устойчивости AQM систем с PID-, PI- и RED-
алгоритмами
Для телекоммуникационных систем с коммутацией пакетов характерно явление перегрузки, для борьбы с которым используют методы активного управления очередью - Active Queue Management (AQM). Системы AQM маркируют/отбрасывают определённую часть пакетов, которые попадают в маршрутизатор, до момента переполнения соответствующей канальной очереди. В работах [1-7] описаны линеа-ризованные AQM системы с RED, PI и PID алгоритмами как системы автоматического управления. В данной работе получены области устой-
чивости AQM систем с RED, PI и PID алгоритмами в плоскости "нагрузка трафика - время следования туда и обратно".
На рис.1 приведена блок-схема систем управления с обратной связью AQM с RED, PI и PID регуляторами. Подробное описание этих систем дано в [47]. Динамика объекта описывается передаточной функцией, которая представляет собой отношение по Лапласу переменной "длина очереди" к переменной "вероятность отбрасывания /маркировки пакета" и определена в [4-7]:
С2
Ъ (s) = = P(s)e -R = öp(s)
2N
e - sRo
(R0C)3 e-sR0
(2N )2
, 2N 1 . R 2С
(s + R^IC>(s + R° Ф + 1)(RoS + 1)
(1)
С - емкость связи (пакеты/сек), N - коэффициент нагрузки (число ТСР сессий) Ro = q / C + Tp - время следования туда и
обратно - round trip time RTT (в сек), Tp -
задержка распространения (в сек).
R0C2 2N2 s) N
2 N s+ 2 ЩС 1 S +-
ф{8)
AQM
закон управления
Рис. 1. - Система AQM с RED, PI или PID законом управления
На рисунке: q - длина очереди (в пакетах), p - вероятность маркировки/ отбрасывания пакетов, Sq = q - q0, p = p0 +Sp, q0 p0 - значения длины очереди и вероятности маркиров-
ки/отбрасывания пакетов в рабочей точке. Передаточные функции RED, PI и PID регуляторов (AQM законы управления) определены в работах [4-7] как
Wred (s) = -Lrre^, red s / К +1
WPI (s) = KS / Z +1
s
К (
К
WpiD (s) =
-ds2 + Ks + 1) К Кi )
s
(2)
Передаточные функции скорректированных систем в разомкнутом состоянии определяется как ¿(я) = Ж(я)00 (я), где Ж (я) - передаточная функция AQM регулятора (формулы (2)). Передаточную функцию звена запаздывания обычно аппроксимируют при помощи функции Па-де. Для приближения Паде второго порядка можно записать (т = Я0 / 2):
e
2 3 3
s --s + —^r
-sR0 _ т т2
2 3 3
s + - s + —
т т2
т2 2 ,
— s2 -т + 1
_3_
т2 2 ,
— s + + 1 3
exp(-2т),
(3)
Передаточная функция системы с PI-регулятором в разомкнутом состоянии
К
(R0C)3 ,1
т2 2
L(s) = WPI (s)P(s)e-sR0 =
(2N)
2
(- s +1)(— s 2-is + 1)
R 2C
s(—0— s +1)( R0 s +1)(— s 2 + т +1) 2N 3
^т2 2
(4)
Передаточная функция системы с PID -регулятором в разомкнутом состоянии
Ki Щ (2 + ^ + 1)4 s 2— т +1)
R (2N)2 Ki Ki 3
L(s) = WpID (s)P(s)e—sR° =-^-i-i--- . (5)
R 2C 7"2 о
s( r2nS +1)( R°s + 1)(T s 2 + ** +1)
Передаточная функция системы с RED-регулятором в разомкнутом состоянии
-(Z- s 2 — zs +1) sR° _ (2N)2 3
Lred (R°C) Z 2
L(s) = Wred (s)P(s)e—sR° = —-^---. (6)
R 2C 1 t2
{R^s +1)( R°s +1)(- s +1)(^ s 2 + zs +1)
При анализе систем управления с обратной связью первоочередное значение имеет их устойчивость. Устойчивую систему определяют как систему, которая имеет ограниченную реакцию при воздействии ограниченного входного сигнала или сигнала возбуждения. Если замкнутая система устойчива, необходимо определить ее относительную устойчивость, которая характеризуется запасом устойчивости по модулю, запасом устойчивости по фазе и частотной полосой пропускания [5]. Необходимость указанных запасов устойчивости обусловлена тем, что уравнения элементов системы, как правило, идеализированы, параметры элементов определяются с погрешностью и имеют технологический разброс, при эксплуатации параметры некоторых элементов изменяются вследствии старения. Относительную устойчивость, наравне с другими показателями, например, показателями точности и быстродействия, относят к основным показателям качества системы.
Для анализа устойчивости целесообразно использовать частотные характеристики системы, которые можно получить экспериментально путем подачи на вход системи синусоидального воздействия и вариации его частотой. Это позволяет исследовать устойчивость системы даже тогда, когда значения параметров системы неизвестны. Частотный критерий устойчивости также может подсказать, как из-
менить параметры системи, чтобы увеличить ее относительную устойчивость.
Согласно частотного критерия Най-квиста для определения устойчивости замкнутой системы нужно исследовать ее характеристическое уравнение:
F(s) = 1 + L(s), где G(s) - передаточная функция разомкнутой системы. Критери-ий Найквиста имеет то преимущество, что позволяет очень просто учесть влияние запаздывания, которое характеризуется передаточной функцией e~T , на устойчивочть системы, поскольку множе-
тель e~jaT приводит к дополнительному сдвигу фазовой характеристики на угол (P1« = —ют.
В работах [1-7] рассмотрены вопросы определения запасов устойчивости по модулю и по фазе AQM систем с PID-, PI- и RED-алгоритмами при использовании пакета прикладних программ Control System Toolbox 5.0 системи MATLAB[8]. При использовании логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАХ) запас по модулю определяется как величина, обратная модулю функции L(jrn) на частоте (оп, при которой фазовый сдвиг равен -1800 (или +1800 для неминимально фазових систем), и показывает во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на границе устойчивости. Запас по фазе - величина, которая определяется на частоте <юс, при которой
|L«)| = 1, и показывает, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе, прежде чем она окажется на границе устойчивости. Полоса пропускания определяется частотой, на которой коэфициент усиления принимает значение -3 дБ.
Для линейных систем всегда выполняется следующие условия: если <c < <ая - линейная система устойчива и имеет запас устойчивости по амплитуде |L(< )| и
запас устойчивости по фазе (p(«c); если <<п <<c - система является неустойчивой и если (oc =юя - система находится на границе устойчивости.
В работах [1-3] рассчитаны ЛЧХ (диаграммы Bode) систем:
1. скорректированной PI-регулятором, при параметрах регулятора
K = 9,6426-10—6 и 1/z =0,53, и параметрах нагрузки - числе сессий N соответственно 30, 60 и 120;
2. скорректированной PID-регулятором, при параметрах регулятора Ki=3,12*10A(-5); Kd=5,1*10A(-5); Kp=6,2*10A(-5) и числе сессий N, равных 60, 120 и 240;
3. скорректированной RED регулятором, при параметрах регулятора
Lred = 1,86-10—4, K = 0,005, С=3750,
R° = 0,246 и числе сессий N, равных 30,
60 и 120.
Для всех трех регуляторов объект управления имеет параметры: С=3750, R° = 0,246.
Используя Программы расчета логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛЧХ) в системе MATLAB, приведенные в работах [2-3 и 8], исследуем области устойчивости линейных моделей AQM систем с PI-, PID- и RED- алгоритмами на плоскости "нагрузка трафика N- время следования туда и обратно RTT", задавшись только одним параметром - емкостью связи линии С=3750 паке-
тов в сек. Рассчитанные области показаны на рис.2-4.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.3 1
Рис.2. - Области устойчивости и неустойчивости AQM системы с PI-регулятором
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 О.Э 1
Рис.3. - Области устойчивости и неустойчивости AQM системы с PID-регулятором
AN
Рис.4. - Области устойчивости и неустойчивости AQM системы с RED-регулятором
Вывод
Полученные результаты позволяют оценить устойчивое (нормальное) функционирование AQM систем при различных значениях числа сессий N и временах следования туда и обратно - round trip time RTT , что важно для практики.
Литература
1. Гостев В.И., Невдачина О.В., Кучер С.В. Робастность AQM систем с RED, PI и PID алгоритмами при изменении нагрузки трафика // Матерiали XVIII мiж-народно'1 конференцп з автоматичного управлшня (Автоматика-2011), м. Львiв, 28-30 вересня 2011 року.- Львiв: Видав-ництво " Львiвська полгтехшка".. - 2011. -С.93-94.
2. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Невда-чина О.В., Кучер С.В.Сравнительная оценка PID-, PI- и RED-алгоритмов для AQM систем при переменных параметрах TCP/IP сети // Сучасна спещальна техшка. . - 2011, №2(25). - С.34-42.
3. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Невдачина О.В. Устойчивость и робастность AQM системы с PID - алгоритмом при изменении нагрузки трафика // Вюник Державного ушверситету шформацшно-комушкацшних технологш. - 2011.- Т.9, №3. - С.237-242.
4.V. Misra, W. Gong, and D. Towsley "Fluid-based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED," in Proceedings of ACM/SIGCOMM, 2000, Stockholm, Sweden, August 2000, рр. 151-160.
5. C. Hollot, V. Misra, D. Towsley and W. Gong, "A Control Theoretic Analysis of RED," in Proceedings of IEEE/INFOCOM, April 2001.
6. C. Hollot, V. Misra, D. Towsley and W. Gong "On Designing Improved Controllers for Routers Supporting TCP Flows", in Proceedings of IEEE INFOCOM'2001, April 2001.
7. C.Hollot, V. Misra, D. Towsley and W. Gong. "Analysis and design of controllers for AQM routers supporting TCP flows". IEEE/ACM Transactions on Automatic Control, vol. 47, no.6, pp 945-959, June 2002.
8. Дорф P., Бишоп P. Современные системы управления / Пер. с англ. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.
Аннотации:
Ключевые слова. - активное управления очередью -AQM, RED, PI и PID алгоритмы, устойчивость
В работе исследованы области устойчивости линейных моделей AQM систем с RED-, PI- и PID- алгоритмами на плоскости "нагрузка трафика - время следования туда и обратно RTT " .
Keywords . - Active Queue Management (AQM). -AQM, RED, PI and PID algoritms, stability
In work areas of stability of linear models AQM systems with RED - PI - and PID - algorithms on a plane "traffic loading - round trip time RTT " are investigated.
Ключовi слова - активне управлшня чергою -AQM, RED, PI та PID алгоритми, стшшсть
В робот дослвджеш обласп спйкосп лтй-них моделей AQM систем з RED-, PI- та PID- алгоритмами на площиш "навантаження трафшу -час руху туди та назад RTT " . "
