CC BY
59
74
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1
УДК 004.522:004.424.23
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА КОНТРОЛЬНОЙ ВЫБОРКИ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПО ПРИНЦИПУ ГАРАНТИРОВАННОГО РЕЗУЛЬТАТА
В. В. САВЧЕНКО
Нижегородский
государственный
лингвистический
университет
Предложен новый подход к расчету объема выборки в условиях априорной неопределенности - по принципу гарантированного результата в отношении точности и надежности статистической оценки вероятности случайного события. Рассмотрены примеры его применения. Показано, что благодаря предложенному подходу в ряде актуальных случаев на практике объем выборки сокращается в несколько раз по сравнению с известными оценками.
e-mail: svv@lunn.ru
Ключевые слова: теоретическая информатика, статистическая оценка, статистическая выборка, объем выборки, проблема малых выборок, проблема априорной неопределенности.
В связи с повсеместным распространением информационных технологий математические методы синтеза и анализа сложных систем все шире проникают в различные сферы человеческой деятельности. В наибольшей мере это относится к методам теории вероятностей и математической статистики, распространение которых особенно сильно возросло в последние годы как в области технического, так и гуманитарного знания. И в этой связи даже в теории явно обозначился определенный разрыв между потребностями исследователей в эффективном математическом аппарате, с одной стороны, и их ограниченными, часто интуитивными представлениями о его обоснованности и методике применения. Сказанное в полной мере относится к проблеме определения объема контрольной выборки наблюдений, которая на практике решается, как правило, путем заведомо (и многократно) завышенных оценок. И этим сильно ограничиваются возможности статистических методов в условиях малых выборок и априорной неопределенности, характерных, например, для большинства задач в области речевых технологий [1, 2]. Исследованию путей ее решения и посвящена настоящая статья.
Доминирующий подход к определению требуемого (по минимуму) объема выборки в математической статистике основан на расчете длины доверительного интервала значений ^; # J контролируемого параметра распределения f (x,9) при заданном
уровне значимости а = 1 -p = 0,025...0,1, или заданной доверительной вероятности p = 0,9...0,975[з]. Тем самым «по умолчанию» задачу сводят к статистической (интервальной) оценке в (Хх, Х2,... Хп) некоторого параметра в анализируемой (наблюдаемой) случайной величины X по выборке Хи Х2, ... Хп фиксированного объема п>1. Например, это может быть неизвестное, в общем случае, математическое ожидание случайной величины M(X). Его состоятельная точечная оценка вычисляется по формуле средней арифметической величины (САВ) X = n-12n_ уХ. .
На практике [2] объем выборки п жестко ограничен сверху требованиями к условиям наблюдений. Немаловажную роль при этом играют и причины экономического характера. В результате потенциальный максимум п обычно не превышает значения в несколько сотен и даже десятков единиц. Но и в таких, не самых благоприятных для статистического анализа условиях, со ссылкой на центральную предельную теорему исследователями повсеместно используется нормальная или гауссовская аппроксимация статистической оценки математического ожидания M( X) и, вслед за ней, классическое выражение для половины длины ее доверительного интервала
А = z 1tN n Р 1
(1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1
75
в роли количественной характеристики точности оценки по конечной выборке наблюдений. Здесь а — СКО (среднеквадратичное отклонение) случайной величины X по результатам ее повторных наблюдений, z - коэффициент надежности или «доверия», опреде-
ляемый корнем уравнения
левой части. Переписав выражение
zр J = p с интегралом вероятности нормального закона [3] в (1) относительно величины n, получим общеизвестное
n > n
*
Г л2 ' z ' p
А
V У
а
(2)
для определения минимального объема выборки n* в зависимости от заданных (допустимых) уровней погрешности А и значимости а оценки математического ожидания по формуле САВ.
Например, при а = 1, а = 0,05 (соответствующая доверительная вероятность равна р=0,95) и допустимой погрешности А = 0,05, или 5% относительно СКО, по таблицам
нормального распределения находим Zq^ *1,96. И, следовательно, получаем n * 1537,
или, после округления, 1600 единиц - это стандартный объем выборки при социологических исследованиях.
Проблема состоит в том, что требование n > 1600далеко не всегда осуществимо на практике. Для ее ослабления исследователи упрощают первоначальную формулировку задачи и переходят в (1) к бинарной случайной величине X = (l; 0), или к дихотомии, т.е.
к статистическому эксперименту с двумя возможными исходами испытаний по схеме Бернулли: противоположными случайными событиями A и A . И в этом приеме нет ничего ограничительного: специалисты хорошо понимают подчиненную роль понятия «случайная величина» по отношению к «случайному событию» в теории вероятностей. При этом выражение (2) преобразуется к виду
*
n
z pPA(1-Pa)
А2
(3)
гдеРА
- вероятность события А. Идея здесь состоит в том, чтобы радикальным образом
о 2
ограничить дисперсию вариаций а из выражения (2). Нетрудно понять, что в варианте
(3) дисперсия ограничена сверху на уровне 0,25. А достигаемый эффект иллюстрируется следующим примером. При той же, что и выше, доверительной вероятности р=0,95 и той же допустимой погрешности А = 0,05 оценка вероятности Рд по формуле относительной
частоты (или частости) р
A
случайного события A требует всего n
*
384 испыта-
ний. Здесь m - частота появления события A в серии из n независимых наблюдений. Как
видим, благодаря дихотомии требуемый объем наблюдений сократился примерно в 4 раза. И это далеко не предел, что подтверждается результатами проведенного далее исследования, в котором идея дихотомии получила свое дальнейшее развитие в задачах с априорной неопределенностью.
Перепишем выражение (1) в терминах относительной длины доверительного интервала
8 =
(4)
76
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1
с целью получения гарантированного результата вне зависимости от истинного распределения случайной величины X. И при учете очевидного равенства M(X) = Рд при дихо-
томии из выражения (2) получим
*
n
z 2/
S2 Pa /[ KAS2
(5)
где K
V
/(1-PA)
- коэффициент обусловленности случайного события А. Отметим, что в
отличие от (3) в выражении (5) отражена естественная асимметрия результата вычислений объема выборки относительно вероятностей двух альтернативных исходов A и A каждого отдельного испытания.
Следуя полученному выражению (5), в рамках предыдущего примера вычислений при равенствах S = 0,05, Рд = 0,91 и Кд = 10 будем иметь n «154, или в 2,5 раза меньше,
чем на основе классического подхода с использованием выражения (3). А при уменьшении требований к точности оценки до S = 0,1 ...0,15 при том же коэффициенте обусловленности Кд = 10 приходим к еще более радикальному сокращению требований к объему
выборки: до n » 38 и ниже. Для сравнения, при тех же условиях известный подход дает согласно (3) существенно худший результат, а именно: n* » 96. При этом особо отметим, что даже в предельном варианте полученный объем выборки n* »38 по-прежнему хорошо согласуется с условиями центральной предельной теоремы, положенной в основу выражения (4). А это, в свою очередь, подтверждает обоснованность принципа гарантированного результата в формулировке (5). При этом достигаемый эффект объясняется использованием дополнительной информации о степени обусловленности события A.
На первый взгляд, здесь возникает острый вопрос в отношении точности и обоснованности такого рода информации. Однако положение спасет простая логика рассуждений. Даже при полном отсутствии априорной информации об истинном значении коэффициента K можно использовать наше знание в отношении разновидности поставленной перед исследователем задачи, а также беспрецедентных особенностей зависимости K (P ) по области ее определения: она плавно затухает до нуля слева от точки P = 0,9
на оси абсцисс и, напротив, резко возрастает до бесконечности справа от нее. Для многих решаемых с использованием статистических методов задач [1-3], значение Рд = 0,9 может рассматриваться в качестве порогового уровня при тестировании работы исследуемой информационной системы. Порогового том смысле, что по условиям задачи вероятность успеха Рд для эффективных технических решений в данной области исследований не
может опускаться ниже уровня 0,9. Поэтому мы можем изначально, не обладая достоверной априорной информацией, переписать критерий (5) в его предельно упрощенном виде
2 /
Z /
n* = 0,1 pX, , (6)
/ S2
которым, тем не менее, гарантируется необходимый результат в отношении точности S и достоверности p оценки вероятности Р^ в условиях априорной неопределенности.
В самом деле, для систем с неизвестной истинной вероятностью успеха мы при условии Р > 0,9 согласно выражению (6) будем иметь завышенную оценку объема выборки с гарантированно высокой эффективностью статистического анализа. В системах
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1
77
же с относительно низкой вероятностью успеха P < 0,9, которые по определению не
A
представляют собой практического интереса, требования к точности и надежности оценок их эффективности могут быть существенно понижены. Как видим, критерий (6) гарантирует необходимый результат в рабочем диапазоне значений вероятности успеха P .
Физическим объяснением достигнутого эффекта могут служить особенности ряда задач из практики статистического анализа данных. К ним, главным образом, относятся задачи проверки статистических гипотез с явной (по своему физическому смыслу) асимметрией в отношении степени априорной обусловленности тестируемых гипотез. Классический пример - цифровые системы связи, при применении которых вероятность безошибочного обнаружения сигнала редко опускается ниже уровня Рд = 0,9. В этом случае
вероятность пропуска сигнала не превышает значения P— = 0,1.
A
Примером может служить метод фонетического декодирования слов [4] из области речевых технологий. Данный метод характеризуется повышенной точностью и надежностью среди своих аналогов за счет предусмотренной в нем автоматической настройки на голос диктора. Для его экспериментального тестирования в работе [5] использовалась выборка суммарным объемом 2000 слов, составленная из аудиозаписей 50 речевых команд диктора, т.е. по 40 реализаций на каждую команду - точно в соответствии с результатами предыдущих вычислений. При этом была достигнута вероятность безошибочного распознавания каждого слова из используемого словаря команд в диапазоне значений от 0,93 и выше. И эти данные были подтверждены десятью разными дикторами.
Нетрудно подсчитать, что суммарный объем экспериментального словаря составил в данном случае 20 тысяч слов, а трудоемкость его наполнения - из расчета минимальных затрат порядка 5 секунд на запись одной реализации речевой команды от каждого диктора - примерно 27,8 часа. Это большая, но вполне практически реализуемая работа силами небольшого исследовательского коллектива. Для сравнения, при применении известного выражения (3) в рамках классического подхода к статистическому анализу трудоемкость исследования того же объекта составила бы почти трое суток непрерывной работы. Более того, если учесть, что в ряде случаев, как, например, в той же работе [5], оцениваемая по выборке конечного объема n вероятность успеха находится в пределах P = 0,95 и выше, то в выражение (6) вместо множителя 0,1 следует подставить множитель
A
0,05. Это означает, что объем выборки сократится в данном случае до П = 20 и ниже, а трудоемкость статистического эксперимента - примерно до 14 часов в течение одного рабочего дня.
Полученный результат подтверждается следующими несложными вычислениями: при больших значениях вероятности успеха Р^ = 0,95...0,99 в серии из 20 последовательных испытаний по схеме Бернулли вероятность появления более одного неуспеха 1 - 20 • Рд19 • (1 - Рд) - Рд20 =0,02...0,09 весьма близка к нулю при том, что 1 неуспех в данной серии - это как раз гарантированная нами точность (на уровне S =5%) статистической оценки вероятности P .
Таким образом, по результатам проведенного исследования предложен новый подход к определению объема контрольной выборки, рассчитанный на широкий класс задач проверки статистических гипотез в условиях априорной неопределенности. Благодаря предложенному подходу во многих случаях удается существенно понизить требования к организации и условиям статистического эксперимента и, тем самым, сделать эксперимент значительно более доступным и реализуемым силами небольших исследовательских коллективов.
78
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1
Литература
1. Жиляков Е.Г., Белов С.П. Обнаружение звуков речи на фоне шумов // Научные ведомости БелГУ: Серия «История. Политология. Экономика. Информатика». 2012. Т. 22. № 7-1. С.182-189.
2. Савченко В.В., Васильев Р.А. Анализ эмоционального состояния диктора по голосу на основе фонетического детектора лжи // Научные ведомости БелГУ: Серия «История. Политология. Экономика. Информатика». 2014. № 21 (192). Вып. 32/1. С. 186-195.
3. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике: Пер. с нем. М.: Финансы и статистика, 1982. 278 с.
4. Савченко В.В., Савченко А.В. Разработка быстродействующих алгоритмов автоматического распознавания голосовых команд с регулируемой точностью и надежностью на основе принципов слоговой фонетики русского языка и метода фонетического декодирования слов в информационной метрике Кульбака-Лейблера // Тезисы докладов Всероссийской научнотехнической конференции и выставки, посвященной итогам реализации федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научнотехнологического комплекса России на 2007-2013 годы». Москва, 24-26 сентября 2013 г. М.: Изд-во МИСиС, 2013. С.184-185.
5. Савченко В. В., Савченко А. В. Метод фонетического декодирования слов в информационной метрике Кульбака-Лейблера для систем автоматического анализа и распознавания речи с повышенным быстродействием // Информационно-управляющие системы. 2013.№2. С. 7-12.
THE DETERMINATION OF SAMPLE SIZE IN CONDITIONS OF A PRIORI UNCERTAINTY ON THE PRINCIPLE OF GUARANTEED RESULT
V. V. SAVCHENKO
Nizhny Novgorod state linguistic university
e-mail:
svv@lunn.ru
A new approach to calculation of volume of sampling in the conditions of aprioristic uncertainty - by the principle of the guaranteed result concerning accuracy and reliability of a statistical estimate of probability of a casual event is offered. Examples of its application are reviewed. It is shown that thanks to the offered approach in a number of actual cases in practice the volume of sampling is reduced several times in comparison with known estimates.
Keywords: theoretical informatics, statistical estimate, statistical samples, volume of sampling, problem of small volume sampling, problem of aprioristic uncertainty.
