Определение нестационарного температурного поля промерзшей теплой жидкости в полубесконечной пластине методом итераций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 546.56+536.615

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРОМЕРЗШЕЙ ТЕПЛОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ

МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ

© 2012 г. Г.С. Хагба

Абхазский государственный университет, ул. Университетская, 1, г. Сухум, Республика Абхазия, 384904, absu1@mail.ru

Abkhazian State University, Universitetskaya St., 1, Sukhum, The Republic of Abkhazia, 384904, absu1@mail.ru

Исследована температурная зависимость твердой фазы (намороженного слоя) полубесконечной пластины. Показано явление переноса из жидкой фазы в твердую фазу, т.е. с фронтом фазы х=1(%) зависят от коэффициента теплообмена а, от коэффициента р=Х[/Су, XI — от коэффициента теплопроводимости фазового перехода, д — плотности теплового потока, р — плотности, Ь — внутренней теплоты фазового превращения и I — линейного размера. Определены значения безразмерных величин.

Ключевые слова: температура, фаза, коэффициент, теплота.

The temperature dependence of the solid phase a semi-infinite plate. The phenomenon of transfer from the liguid phase to the solid phase that is from the frount of the phase x=z(t) depends on the coefficient of hear transfer coefficient of a, the coefficient of f=X[/CV, xl — from the thermal conductivily of the phase transition, q — heat flux density, p — the density, L — internal heat of phase transformation and l — the linear sixe. The values of the dimesion less guantities.

Keywords: temperature, phase, coefficient, heat.

Определение нестационарного температурного поля в промерзшей теплой жидкости методом итераций заключается в выполнении последовательности приближений, которая сходится и строится рекур-рентно, т.е. каждое новое приближение вычисляется исходя из предыдущего; начальное выбирается в достаточной степени произвольно. Метод итераций применяется как при аналитических, так и при численных методах решения. В работе будет проиллюстрирована итерация в чистом виде, т.е. процедура этого метода является основной и для получения решения. В каждом конкретном случае дается название применяемому решению по выбору метода, который считается основным.

Актуальность темы заключается в том, что исследование теплофизических характеристик промерзшей тепловой жидкости полубесконечной пластины мето-

дом итераций при термоэлектрическом преобразовании энергии продиктована возможностью применения не только для приближенного (аналитического и численного) решения дифференциальных уравнений в частных производных, но и для приближенного решения интегрально-дифференциальных уравнений, для доказательства существования решений дифференциальных, интегральных и интегрально-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения.

Постановка задачи

Жидкость заполняет полупространство х > 0, имеет температуру Тж и более высокую температуру фазового перехода ^ . С момента времени т = 0 в плоскости х = 0 поддерживается заданный тепловой режим, в результате которого, начиная с плоскости

х = 0, жидкость затвердевает. Если заданы постоянные теплофизические свойства твердой фазы и теплота фазового перехода, математическая модель может быть получена в виде [1-4] (рис. 1).

Фазовый переход

Т=ТЬ

Т

z ±ж

Рис. 1. О промерзании теплой жидкости при граничных условиях II и III рода

Ж—т = cv — при (о < х < z(t)) ,

дх2 дт

д2Т „ дТ дх2

дТ_

дх

Т = Т при х = z(t),

(1)

(2) (3)

дТ Oz

Z — = «ж(Тж -TL) + pL — при х = х(т), (4)

Z—= F(т тп ) пРи х = 0,

дх

дх

дт

7(0) = 0 . (5)

В работе [1] рассмотрен случай, когда ^ задана в виде постоянного теплового потока на поверхности q или в виде

q =а(ТП -Тс),

(6)

от_ ОТ

дх дх

х дТ + Cv J—Сх .

о дт

Учитывая (2) и (7), получим

ОТ z ОТ

z— = q + cv J—Сх.

дх 0 дт

(8)

Записывая (8) при х = 7(т) и учитывая условие (4), после преобразований получим

* = д (тж - ть)+^ | дГх.

Ст р[ 0 дт

(9)

Интегрируя (8) по переменной х и учитывая условие (3), получим

т=т - q (z - х)

L

z - х) +

C z х от v r г СхСх.

z 0 0 дт

(10)

„ д д Oz Oz

Если учесть, что — =--и — от х не зави-

дт Oz дт дт

сит, то можно из (9) получить

q-аж(тж - TL)

ёт

pL\ 1 - C J ОТСх

1 L 0 дт

(11)

Уравнение (10) с учетом (11) запишем в виде

т = т -q(z - х)-СЬ~аж(Тж - tl)] jjОТсхсх. (12)

С ZдТ , ) 00 дт

z

ZL(1 - C j f-)

Первая часть уравнения (12) является функцией 2 и не зависит явно от т , что позволяет с учетом условия (5) записать выражение т = т^) в виде

т = ■

q

Рк.-(2 - с У^схаХ]. (13)

Лтж - Т[ Н [ И дт ) ( ) Решение уравнения (13) методом итерации дает возможность определить время, в течение которого на бесконечной пластине х = 0 намерзает слой толщи-

Т - г

ной 2. Введем безразмерные величины в = '

Т,„ - Т

z = z, x = х,

Т = , где l = lpL

Г L

х(Тж - Т)

С(Тж - TL ) ß = ^ж (Тж - TL )

q

q

где постоянная температура среды ТС < TL и коэффициент теплообмена а - также постоянная величина. Реальные граничные условия (2) можно представить как условия, действующие на поверхности пластины с бесконечно малыми термическим сопротивлением и теплоемкостью. Эта пластина ограничивает полупространство 0 < х < <х, в котором находится жидкость в момент т = 0; твердая фаза 0 < х < z(t) и жидкость z(t) < х <ж при т > 0 (рис. 1). Температурное поле в жидкости задано, а после начала образования твердой фазы оно обменивается теплом с фронтом фазы х = z(t) по закону (4). Искомыми являются толщина

твердой фазы (намороженного слоя) z(t) и распределение температуры Т (х, т). При условии

f(t, ТП ) = q = const (7)

решение находим, интегрируя уравнение (1)

После преобразования (12) и (13) будут иметь вид

а(1 - ß) JОвв йхёх в = х - z+-^-, (14)

1 f дв А

1 - а I — ах 0 Oz

Т =

1

х - а \ f Ов СхСх I.

1 -А 00 Oz 1

В качестве нулевого приближения принимаем 1

в0 = х - z ,

Т = 1 0

1 -ß

(15)

(16) (17)

что соответствует бесконечно малой теплоемкости затвердевшей массы.

Подставляя (16) в правую часть уравнений (14) и (15), получим первое приближение

в1 = х - z +

а(1 -ßjz2 - х2) . 2(1 + az)

(18) (19)

Т =_l_ [1+az|. 1 1-ß\ 2 J

После второго приближения

t „\Лх4 + Ах2 + Ах + A в2= х - z + а(1 -ß)-J-5-2-1, (20)

1 + Ar,

Т \1+az|_а2z2

1 -ß{ 2 ) 3(1 + а)

(21)

0

х

да

а =

х

х=0

где A1 = — 1 2

-1 + a(i -ß)

z\ i + ^az (i + az )2

A2 = z-a(l-ß)-^ ; A3 =-1 + a(l-ß)4+4 ; 4(1 +az) 2

4(l + az)

A4 =

!(i-ß) .

. .. ; а - коэффициент теплоотдачи; % -24(1 + аг )2

коэффициент теплопроводности; % - коэффициент теплопроводности фазового перехода; р - плотность; т - время; Ь - внутренняя теплота фазового или другого внутреннего превращения; ТП - температура поверхности; Тж - температура жидкой фазы; ТЬ -температура фазового переходя или кристаллизации; Тс - температура среды; в = Т - Т - избыточная температура; Т, Т - текущая и равновесная температуры; Т , Т - безразмерные величины времени в первом и во втором приближении; I - линейный размер;

%

д - плотность теплового потока; ¡3 = —^ ; Е - функ-

Сг

ция, отражающая заданный закон плотности теплового потока, вызванного внутренним превращением.

Далее запишем численное значение величин х = 2, а и ¡3 - постоянные величины в первом приближении и а = 0,6 ; 3 = 0,01 во втором приближении, величина z=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Подставляя численные значения в (18), (19) и (20), (21), определяем время затвердевания намороженного слоя толщиной г и избыточные температуры, т.е. перепад температур - от температуры фазового перехода или кристаллизации к температуре жидкой фазы в первых и во вторых приближениях.

(TJ=0,101,

(T1)II=0,202,

(Т1)Ш=0,304,

(TJV=0,406,

(T1)V=0,508,

(T1)VI=0,611,

(T1)VII=0,714,

(T1)VIII=0,817,

(Tj)IX=0,921,

(T2)I=0,103,

(T2)II=0,213,

(T2)III=0,327,

(T2)IV=0,446,

(T2)V=0,569,

(T2)VI=0,696,

(T2)VII=0,826,

(T2)VIII=0,96,

(T2)IX=1,097,

№1,9,

(0l)II=1,6,

(90Ш=1,58,

(01)IV=1,5,

(01)V=1,4,

(01)VI=1,3,

(01)VII=1,2,

(01)VIII=1,1,

(01)IX=1,

(02)I=1,85,

(02)II=1,58,

(02)Ш=1,52,

(02)IV=1,45,

(02)V=1,32,

(6i)VI=1J22,

(02)VII=1,02,

(02)VIII=0,82,

(02)IX=0,62.

2

1

Рис. 2. Зависимость времени затвердевания намороженного слоя

©

Строим графики зависимостей времени затвердевания намороженного слоя Т = Т (г) и перепада температур от толщины намороженного слоя в = в(г), которые указаны на рис. 2, 3 (1 и 2-я зависимости соответствуют первому и второму приближениям).

0Д 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Рис. 3. Зависимость перепада температур от толщины намороженного слоя

Из вышеизложенного следует, что определены зависимости времени, в течение которого на бесконечной плоскости х = 0 намерзает слой толщины z методом итераций, и распределения температур от толщины промерзшей теплой жидкости z методом итераций. Получены формулы и безразмерные величины [1 - 4].

Литература

1. Задача о промерзании жидкости, натекающей на плоскую стенку / А.М. Макаров [и др.] // Инж.-физ. журн. 1971. Т. 21, № 3. С. 537.

2. Осесимметричная задача Стефана с граничными условиями второго рода / А.М. Макаров [и др.] // Теплофизика высоких температур. 1971. Т. 9, вып 6. С. 1325.

3. Ли-Орлов В.К., Волков В.Н. К теории нестационарных методов измерения теплофизических характеристик // Тепло- и массоперенос. Минск, 1968. Т. 7. С. 332.

4. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М., 1975. С. 65, 66.

Поступила в редакцию

28 сентября 2011 г.

T

2