Определение напряжения в малой частице, движущейся вместе с жидкостью в межтарелочном пространстве сепаратора Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.24411/0235-2451-2018-10821

УДК 621.928.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В МАЛОЙ ЧАСТИЦЕ, ДВИЖУЩЕЙСЯ ВМЕСТЕ С ЖИДКОСТЬЮ В МЕЖТАРЕЛОЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ СЕПАРАТОРА

В. Г. ЖУКОВ, доктор технических наук, главный научный сотрудник(е-шаИ: [email protected])

В. М. ЧЕСНОКОВ, кандидат технических наук, старший научный сотрудник

Е. Н. МАЛЕЕВА, старший научный сотрудник Всероссийский научно-исследовательский институт крахмалопродуктов - филиал Федерального научного центра пищевых систем им. В. М. Горбатова РАН, ул. Некрасова, 11, пос. Красково, Люберецкий р-н, Московская обл., 140051, Российская Федерация

Резюме. Рассмотрена задача определения напряжений внутри частицы биологического происхождения, взвешенной в потоке жидкости, движущейся в межтарелочных зазорах сепаратора. Это важная практическая проблема для пищевых, медицинских и химических производств, поскольку жировые и белковые частицы, бактерии, кровяные тельца могут разрушаться под воздействием интенсивного поля давления в сепараторе. Разрушение наступает с превышением порога напряжений в таких частицах. При этом, поскольку процесс окончательного разделения происходит в межтарелочном зазоре, условия неразрушения частиц следует относить к его периферийной зоне, где давление максимально. Решение построено на анализе взаимодействия условно разделенной на два сегмента малой частицы в центробежном поле жидкостного давления. На основании динамического уравнения движения малой частицы и с учетом значимости входящих в уравнение составляющих получены промежуточные общие формулы проекций сил взаимодействия между сегментами. После раскрытия функций, входящих в формулы составляющих, получена в явном виде функция напряжений на поверхности сегментов частицы. Для проверки результата изложенного решения были выбраны примеры расчетов двух жидких систем в промышленных сепараторах с противоположным соотношением плотностей дисперсных фаз к дисперсионным средам. В одном случае провели численный расчет условий выделения эритроцитов в сепараторе для разделения крови СК-1, в другом - жировых шариков в молокоочистителе А1-ОХО. Рассчитанное по полученным формулам численное значение допускаемой частоты вращения барабана сепаратора СК-1 подтвердило ее совпадение с рабочей частотой, указанной в технической документации сепаратора.

Ключевые слова: сепаратор, поток жидкости, частицы, напряжение, плотность, аналитическое решение. Дляцитирования:Жуков В. Г., Чесноков В. М., Малеева Е. Н. Определение напряжения в малой частице, движущейся вместе с жидкостью в межтарелочном пространстве сепаратора //Достижения науки и техники АПК. 2018. Т. 32. № 8. С. 78-81. Э01: 10.24411/0235-2451-2018-10821.

В крахмалопаточном производстве для осаждения крахмала и отделения глютена, в линиях переработки молока и мясоперерабатывающих производствах применяют центробежные жидкостные тарельчатые сепараторы, также широко распространенные во многих других производствах АПК, производствах химической и медицинской промышленности. Принцип их работы основан на использовании разницы в плотности дисперсной фазы и дисперсионной среды разделяемых в межтарелочных зазорах сепараторов суспензий и эмульсий. Определение напряжений, возникающих внутри частицы, взвешенной в жидкости

и движущейся в пространстве между тарельчатыми вставками сепаратора, представляет важную практическую задачу. Это обусловлено тем, что разделяемые центробежным сепарированием жидкие среды могут содержать частицы биологического происхождения [1], к числу которых относятся жировые и белковые частицы, бактерии, кровяные тельца и др. [2, 3]. Они могут разрушаться под воздействием поля давления в межтарелочном зазоре сепаратора [4, 5]. Разрушение наступает с превышением некоторого порога создаваемых в этих частицах напряжений. При этом условия неразрушения частиц следует относить к периферийной зоне межтарелочного зазора, где давление максимально.

Цель исследований состояла в определении функциональной связи между параметрами процесса в периферийной части межтарелочного зазора сепаратора, обеспечивающими целостность частицы.

Условия, материалы и методы. Рассмотрим взвешенную малую частицу суспензии или эмульсии, движущуюся вместе с потоком жидкости в межтарелочном пространстве сепаратора (рис. 1). Для наглядности изобразим ее в значительно укрупненном размере и примем форму частицы сферической. Однако можно моделировать реальную форму частиц и другими геометрическими фигурами, например, в виде эллипсоидов, цилиндрических стерженьков и др. [1, 2]. Принцип расчета напряжений при этом не изменится. Аналитическое решение строим, исходя из дифференциального уравнения относительного движения взвешенной в жидкости частицы в межтарелочном зазоре сепаратора.

Рис. 1. Схема силового воздействия на частицу в межтарелочном пространстве сепаратора.

Для расчета внутренних напряжений в частице будем считать ее твердым телом, которое условно разделим на две части плоским сечением на расстоянии х от правой крайней точки частицы по потоку жидкости вдоль образующей конической поверхности (см. рис. 1). Первая часть - шаровой затемненный сегмент, вторая - светлый сегмент. Символы, относящиеся к затемненному сегменту частицы, обозначены далее с одним штрихом, к светлому - с двумя. Найдем вначале силы взаимодействия Ях' и Я" между сегментами, после чего будем искать напряжения на общей для этих сегментов поверхности сечения.

Результаты и обсуждение. Для определения сил взаимодействия между сегментами воспользуемся векторным динамическим уравнением движения малой частицы [6, 7, 8]. Это уравнение запишем в общем виде для относительного движения с учетом выталкивающей (архимедовой) силы со стороны жидкости, зависящей от всех ускорений точек жидкости, в форме: _

с/и — — - = = = dv.

т— = Р + Я„ + Р„ + Р + /= +Я +т,—1,

а пер кор пм с о " ^у^ ' (1)

где т - масса частицы, кг; т1 - масса жидкости, вытесненной частицей, кг; - - скорость центра масс частицы, м/с; -1- скорость центра масс жидкости в объеме частицы, м/с; t - время, с; -а - архимедова сила, обусловленная разностью давлений жидкости на частицу, Н (здесь и далее для модулей сил); -пер -переносная архимедова сила инерции, обусловленная разностью переносных сил инерции, действующих на частицу и жидкость в объеме частицы; -кор - архимедова кориолисова сила инерции, обусловленная разностью кориолисовых сил инерции, действующих на частицу и жидкость в объеме частицы; -пм - сила от присоединенной массы, обусловленная разностью относительных ускорений частицы и жидкости в объеме частицы; -с - сила сопротивления движению частицы в потоке жидкости, обусловленная разностью скоростей частицы и жидкости в объеме частицы; -б - сила Бассе, учитывающая влияние отклонения течения от установившегося [6].

Упростим уравнение (1), используя допущения, учитывающие крайне малые размеры рассматриваемых частиц и, вследствие этого, весьма малое отклонение их относительной скорости и относительного ускорения от относительной скорости и относительного ускорения жидкости в объеме частицы. Это означает, что частица практически движется вместе с жидкостью. Тогда выражение в левой части равенства (1) и последнее слагаемое в правой его части можно объединить и записать как: _

(т - т.)—

4 — с№.

Силой -кор можно пренебречь ввиду малости относительных скоростей жидкости и частицы, то есть -кор» 0. Также можно пренебречь силой -пм из-за малой разницы ускорений частицы и жидкости в объеме частицы и считать -пм» 0. По той же причине -б « 0 [6]. Кроме того, -с» 0, поскольку весьма мала разность скорости частицы и жидкости в объеме частицы.

С учетом указанных допущений уравнение (1) для рассматриваемых частиц упростится до:

(т-тЛ— = Р + Р„.

61

(2)

Следует иметь в виду, что при равномерном вращении тарелок переносная архимедова сила инерции сводится только к ее нормальной составляющей,

которая еще называется центробежной архимедовой силой инерции или просто центробежной силой. Таким образом, далее примем -пер = -цб.

Для последующих расчетов применим уравнение (2) к двум ранее выделенным сегментам сферической частицы, приняв во внимание две внутренние силы взаимодействия ЯX и Ях" этих частей между собой в сечении х, где х- текущая координата сечения частицы вдоль ее диаметра, м. Для затемненного и светлого сегментов сферической_частицы соответственно имеем:

= = (3)

где архимедовы силы Я' и Я"", приложенные к выделенным частям сферической частицы, направлены в одну сторону (см. рис. 1) и равны соответственно:

Р=Р + Р Р=Р+Р (4)

а д х' а д х' Vм/

где Я', Я"" - соответственно силы давления жидкости на затемненную и светлую части сферической частицы; т' и т" - соответственно массы затемненной и светлой частей; т' и т"" - соответственно массы жидкости в объеме затемненной и светлой частей; Яцб и Яц'б - соответственно архимедовы центробежные силы инерции, приложенные к затемненному и светлому сегментам.

Так как Я' = -Я", то, исключив из системы уравнений

х х 6V

затемненной

одинаковое относительное ускорение

л

и светлой частей сферической частицы, найдем по (3) с учетом соотношений (4) одну из сил взаимодействия этих частей:

х т'-т\ + т'-т" ' (5)

Перейдем к проекциям (символы без верхней черты) левой и правой частей векторного равенства (5) на направление координатной оси. В результате получим: р _ (пп' - т;)(-г;+эту )- (т" - + эту )

* т' - т\ + т" - т" '

(6)

В соотношении (6) выразим массы сегментов частицы и жидкости в объеме частицы через их объемы, а объемы через координату х по известным формулам геометрии. Силы давления жидкости Я', Я"" на выделенные шаровые сегменты найдем по формулам, применяемым для подсчета сил гидростатического давления на искривленную поверхность, то есть Р'=р' ®х, Я" =Р"5Х, где р'и р"соответственно средние давления жидкости на затемненный и светлый сегменты частицы (Нм-2), у - половина угла конусности тарельчатых вставок (рад), С - диаметр частицы (м), Б=-шсР/4 - площадь наибольшего сечения светлого сегмента, то есть площадь центрального сечения сферической частицы, Бх - площадь сечения круга, общего для выделенных шаровых сегментов, равная Бх=тх(С-х).

Давление рассчитывается по формуле из работы [9] по координате г в интервале ге[г, х] и г^[г+х, г+С]. Пользуясь небольшой величиной интервалов осреднения, принимаем значения г в средних точках этих интервалов. В этом случае численные значения сил давления жидкости на выделенные сегменты будут равны:

5' =

(г + х/2/

эт2у

Я2(?ц \пГ + х/2

п Д /г эту

я х((У-х),

(7)

механизация

р, со2 (r + (d + х) 2)2 sin2

Я2дц |nf + (d + x)/2

я Д ft siny

(8)

где р, р1 - плотность частицы и жидкости соответственно, кг/м3, ю - угловая скорость вращения, 1/с, h - расстояние между тарельчатыми вставками по нормали к их поверхности, м, q - расход жидкости через одно межтарелочное пространство, м3/с, ц -коэффициент динамической вязкости жидкости, Пас, А1 - безразмерный комплекс, X - безразмерное число Экмана-Гольдина.

Численные значения центробежных архимедовых сил инерции определяются по известным формулам механики:

F4'6 = (т' - т\ )ш2 |г +1 j sinу,

^(m'-rn^r + ^jsinY. (9)

Подставив в (6) выражения величины m', m", m1', m1" и поделив его на площадь Sx=wx(d-x) поверхности круга, разделяющего сегменты, найдем средние нормальные напряжения ах на этой поверхности. При этом для случая, когда разделяющее сечение находится левее большого круга, то есть xe[d/2, d], формула будет такой же, но с обратным знаком. Отсюда имеем: /

(cf3-3dx2+2x3X-Ffl' + ^6s¡nY)

d\ x(d-x) '

(3dx2 - 2x3 )(~f;+ f;6 siny У d3nx(d-x)

(10)

где проекции сил определены в (7), (8) и (9). Для иллюстрации общности изложенного решения ниже приведены примеры расчетов двух жидких систем с противоположным соотношением плотностей дисперсных фаз к дисперсионным средам.

На рис. 2 показаны кривые зависимости ах(х) по (10) для случая сил, действующих со стороны произвольного сечения с координатой х, принадлежащего светлому сегменту, на затемненный сегмент частицы. Кривая 1 построена для эритроцитов крови убойных

5x10'

-5x10'

-1x10

■1-5x10

-2x10

о(х)

5

1 i i

¿/i J2 i V2 í\ i

2x10

-6

4x10

,-6

6x10"

- 6

8x10

-6

Рис. 2. Результаты решения примеров расчета напряжений в частицах.

животных (дисперсная фаза тяжелее дисперсионной среды и потому оседает в шламовом пространстве), а кривая 2 - для молочных жировых шариков (дисперсная фаза легче дисперсионной среды и потому увлекается в межтарелочные зазоры).

При построении графиков использовали следующие осредненные значения параметров частиц и жидкости [10, 11]:

для эритроцитов - плотность эритроцитов р=1060 кг/ м3, плотность плазмы крови р(=1030 кг/м3, диаметр эритроцита d=7,5-10-6 м, вязкость плазмы ^=0,002 Па-с;

для жировых шариков - плотность жира р=955 кг/ м3, плотность молочной плазмы р1=1030 кг/м3, диаметр шарика d=4-10-6 м, вязкость плазмы ^=0,002 Пас.

Использовали значения рабочих параметров сепараторов для разделения крови СК-1 и молокоочисти-теля А1-ОХО.

Для сепаратора СК-1 максимальный радиус тарелок по нормали к оси вращения барабана flmax=fl2=108-10-3 м, минимальный - flmin=fl0=50-10-3 м, расход через одно межтарелочное пространство q=9,26-10-7 м3/с.

Для сепаратора А1-ОХО с положением жирового шарика на периферии пакета максимальный радиус тарелок по нормали к оси вращения барабана Я=Я =122,5-10-3 м, минимальный - flmin=fl=65,5-10-3

max 2 ' ' min 0

м, расход через одно межтарелочное пространство q=1,9-10-5 м3/с. Для обоих сепараторов угол наклона тарелок к оси вращения барабана у=35°, расстояние между тарелками по нормали h=4-10-4 м, угловая скорость вращения барабана ю=500 с-1. При этом графики строили для максимального расстояния частиц от оси вращения сепаратора, где давление наибольшее.

Самые большие напряжения сжатия возникают на переднем и заднем краях частицы по отношению к направлению потока. Посредине частицы они становятся весьма малыми. Кривая напряжения 1 для жировой частицы более растянута вдоль оси абсцисс, по сравнению с кривой 2 для эритроцита, в силу большего диаметра жировой частицы. Начинается кривая 1 по оси ординат выше кривой 2, поскольку максимальное давление в сепараторе А1-ОХО меньше, чем в сепараторе СК-1.

Анализ выражения (10) свидетельствует, что напряжения в точках х=0, x=d с большой точностью будут равны абсолютной величине давления жидкости в этих точках. Поэтому:

>

С7Ц "

limax = =f

х-»0

peo2 г2 sin2 у

+ -

я Д h siny r0

o J

(11)

Формула (11) совпадает с формулой давления жидкости, полученной при решении гидродинамических уравнений задачи течения ньютоновской жидкости в межтарелочном пространстве сепаратора в работе [9]. В этой связи, можно считать, что максимальные численные значения внутренних напряжений в сферической частице будут равны давлению жидкости в месте ее нахождения. Подстановка численных значений параметров в формулу (12) показывает, что в области наибольшего сечения частицы напряжение весьма мало, а именно - порядка сотен паскалей.

В технической документации на сепаратор СК-1 имеется экспериментально установленное ограничение на угловую скорость вращения барабана сепаратора для предотвращения возникновения давления, способного разрушить эритроциты [10]. Выведенные формулы позволяют вычислить аналитическое значе-

ние угловой скорости вращения ротора, что открывает возможности для ее сравнения с экспериментальной, указанной в документации.

Рассчитаем по полученным формулам максимально допустимую угловую скорость вращения барабана сепаратора для разделения крови убойных животных. Данные для расчета возьмем соответствующими указанному ранее сепаратору СК-1.

Так как максимальное напряжение (давление) в частице соответствует положению сечения в точке касания поверхности частицы, примем в формуле (12) х=0. При этом, поскольку наибольшее давление жидкости в межтарелочном пространстве будет по окружности максимального радиуса тарелок, то для Я' и Я"" по (7) и (8) примем г2в1п2у = Я| и отношение г/г0=Я2/Я0. Экспериментально установлено, что число оборотов барабана при сепарировании крови убойных животных не должно превышать величины, создающей давление на стенку барабана, равное 15105 Па [5, 10]. Если это давление взять за максимальное напряжение, соответствующее началу гемолиза, то есть (ох)тах=15-105 Па, то из (11) должно следовать:

2 яДЛ3эту R0 v Утах где в соответствии с работами [8, 9]

(13)

вЛЛ-втЯ

V к^ЬХ + СОЭХ)

Численное решение в пакете MATHCAD неравенства (13) с принятыми выше численными значениями параметров дает ю<500 с-1. Это значение угловой скорости вращения барабана соответствует п=5000 об/мин. Паспортное значение угловой скорости вращения барабана сепаратора СК-1, обеспечивающее отсутствие гемолиза, соответствует этому числу, что подтверждает правильность выполненного аналитического решения.

Выводы. На основании баланса сил, действующих на частицу в межтарелочном зазоре сепаратора, получена формула определения напряжений в частице в зависимости от параметров процесса. Проверка на примерах с различной плотностью жидкой дисперсионной среды и дисперсной фазы показала при прочих равных условиях, что центробежные архимедовы силы инерции действительно ничтожны. Это позволяет выразить в явном виде напряжения в выделяемой частице. Численный расчет частоты вращения барабана сепаратора для разделения крови СК-1 по условию не превышения напряжений в частице, обеспечивающих ее целостность, дал значение, подтвердившее правильность результатов аналитического решения.

Литература.

1. Molecular Biology of the Cell, 4th edition / B. Alberts, A. Johnson, J. Lewis, etc. New York: Garland Science, 2002.

2. Buckner D. Blood cell separation // Blood. 1968. Vol. 31. No. 5. Pp. 653-672.

3. Sirs J. А. Automatic recording of the rate of packing of erythrocytes in blood by a centrifuge // Phys. Med. Biol. 1970. No. 1. Pp. 9-13.

4. Либерман С. Г., Пожариская А. С., Файвишевский М. Л. Переработка крови животных на мясокомбинатах. М.: Пищевая пром-ть, 1980. 200 с.

5. Жуков В. Г., Белоусов А. Н., Соколов В. И. Оптимизация сепарирования крови // Мясная индустрия СССР. 1984. № 5. С. 27-28.

6. Хинце И.О. Турбулентность. Её механизм и теория. М.: Гос. издат. физико-мат.лит., 1963. 680 с.

7. Surface effects of particles undergoing rapid gravity flow /A. A. Ukolov, V. N. Dolgunin, D. N. Allenov, etc.// 14-th International Congress of Chemical and Process Engineering. Praha, 2000.

8. Карамзин А. В. Научно-техническое обоснование процесса классификации частиц растительного происхождения в отстойниках и жидкостных центробежных машинах. М.: «Спутник +», 2012. 202 с.

9. Жуков В. Г., Чесноков В. М. Давление в тонкослойном потоке жидкости тарельчатого центробежного сепаратора// Теоретические основы химической технологии. 2016. Т. 50. № 6. С. 683-693.

11. Липатов Н. Н. Сепарирование в молочной промышленности. М.: Пищевая пром-ть, 1971. 400 с.

10. Шаршунов В. А., Кирик И. М. Технологическое оборудование мясоперерабатывающих предприятий. Минск: Ми-санта, 2012. 676 с.

DETERMINATION OF STRESSES IN A SMALL PARTICLE MOVING IN A FLUID IN INTERPLATE SPACE OF A SEPARATOR

V. G. Zhukov, V. M. Chesnokov, E. N. Maleeva

All-Russian Research Institute of Starch Products - the branch of the V. M. Gorbatov Federal Science Center of Food Systems of the RAS, ul. Nekrasova, 11, pos. Kraskovo, Lyuberetskii r-n, Moskovskaya obl., 140051, Russian Federation Abstract. The problem of determining the stresses inside a particle of biological origin, suspended in a fluid flow, moving in interplate separator gaps, was considered. This is an important practical task for food, medical and chemical industries, since fat and protein particles, bacteria, blood cells can collapse under the influence of an intense field of pressure in the separator. Destruction occurs when the threshold of stresses in these particles is exceeded. In this case, since the final separation process takes place in the interplate gap, the conditions for the survival of the particles should be referred to its peripheral zone, where the pressure is maximal. The solution is based on the analysis of the interaction of a small particle, conditionally divided into two segments, in a centrifugal field of liquid pressure. Based on the dynamic equation of motion of a small particle and taking into account the significance of the constituent components, intermediate general formulas for the projections of interaction forces between segments were obtained. After the disclosure of the functions of the constituent components included in the formulas, the stress function on the surface of the particle segments was obtained in an explicit form. To verify the result of the stated solution, it was chosen examples of calculating two liquid systems in industrial separators with an opposite ratio of dispersed phase densities to dispersion media. In one case it was carried out a numerical calculation of the conditions for the separation of erythrocytes in SK-lseparator for the separation of blood, in another - for the separation of fat globules in A1-OKhO milk cleaner. The numerical value of the permissible rotational speed of a drum of SK-1 separator, calculated from the obtained formulas, confirmed its good agreement with the operating frequency, specified in the technical documentation of the separator.

Keywords: separator; liquid flow; particles; stress; density; analytical solution.

Author Details: V. G. Zhukov, D. Sc. (Tech.), chief research fellow (e-mail: [email protected]); V. M. Chesnokov, Cand. Sc. (Tech.), senior research fellow; E. N. Maleeva, senior research fellow.

For citation: Zhukov V. G., Chesnokov V. M., Maleeva E. N. Determination of Stresses in a Small Particle Moving in a Fluid in Interplate Space of a Separator. Dostizheniyanaukii tekhnikiAPK. 2018. Vol. 32. No. 8. Pp. 78-81 (in Russ.). DOI: 10.24411/02352451-2018-10821.