CC BY
41
УДК 517.9
В.В. Комиссаров СибУПК, Новосибирск
Н.В. Комиссарова СГГА, Новосибирск О.Н. Чащин СибУПК, Новосибирск
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ТЕПЛОИЗОЛИРУЮЩЕГО СЛОЯ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
В работе рассмотрены две обратные задачи теплопереноса, имеющие приложения к определению теплозащитных свойств строительных материалов и сооружений на стадии проектирования. Задача нахождения коэффициента теплопроводности для строительных материалов, имеющих слоистую структуру. Другая задача - определение геометрических характеристик сооружения при известных теплопроводящих свойствах материалов.
V.V. Komissarov
Siberian University of Consumer Co-operatives (SUCC), Novosibirsk
N.V Komissarova
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA), Novosibirsk
O.N. Chashin
Siberian University of Consumer Co-operatives (SUCC), Novosibirsk
DETERMINATION OF POWER HEAT-INSULATING LAYER BY INVERSE HEAT
In this paper we consider two inverse problems of heat transfer with applications to the determination of heat-shielding properties of building materials and structures at the design stage. The first challenge is the task of finding the coefficient of thermal conductivity of building materials, which have a layered structure. Another challenge is to determine the geometrical characteristics of structures with known heat-conducting properties of materials.
Математическая постановка
Рассмотрим традиционную обратную коэффициентную задачу теплообмена в слоистой среде Г2 , состоящей из п слоев. Требуется по известным т нестационарным измерениям температуры внутри тела определить коэффициенты теплопроводности слоистой среды. При этом теплофизические характеристики среды (толщина слоев, начальное распределение температуры, распределение источника тепла по времени и по пространству и т. д.) считаются заданными. Нетрадиционная задача состоит в
определении толщины теплоизолирующих слоев при известных коэффициентах теплопроводности слоев и необходимой мощности тех слоев, которые несут нагрузку.
Математическая модель процесса теплообмена:
ЗТ
рС---сИл^р^гаёТ) = ^(О, {) (1)
В трехмерной области О = (0; а) х (0; Ь) х (0; с) переменных X, у ,2, при изменении времени от ^ до Считаем /| = 0, /? - неизвестный коэффициент теплопроводности, Т7 - внутренний тепловой источник, рС - коэффициент объемной теплоемкости с плотностью р . Все эти величины зависят от пространственных переменных с естественными упрощениями.
Начальное и краевые условия задаются в виде
Тг=0=Т0{х,у,г). (2)
Т = Т (Г) на ГI, (3)
дТ
р— = к[Т^х,у^)-Тнар\ на Г2, (4)
дп
где ГI и Г2 - части границы области О., к - коэффициент теплообмена, Тнар - наружная температура воздуха.
Координаты .х и у направлены по простиранию стены, координата 2 -вглубь стены, перпендикулярно к ее плоскости, начало системы координат находится на внутренней поверхности стены Г\, Г2 - наружная поверхность
~ дТ
стены. Температура Т (?) на Г\ предполагается регулируемой, поток тепла —
дп
пропорционален разности температуры на внешней поверхности стены Г2 (определяемой переносом тепла по объему стены), и температуры наружного воздуха.
Решение прямой двухмерной задачи теплопроводности с использованием неявного метода переменных направлений (неявная разностная схема)
Построим в области £> = {(х,у,\ 0 < х < а, 0 < у < Ь, 0 < t < ^ах} равномерную прямоугольную сетку с шагом И в направлении х, у и с шагом т - в направлении t. Обозначим узлы сетки (хг, у, tk), приближенные значения
функции и(х,у^) в этих узлах - и^^. Тогда
xi = Ш, 1 = 0, 1, ..., Пх, Пх = a/h;
У}=]Ъ, ] = 0, 1,...,%, пу = Ь/И;
= Р, ] = 0, 1,..., т, т = гтах/т.
Аппроксимируем уравнение теплопроводности на шеститочечном шаблоне:
Воспользуемся продольно-поперечной схемой (неявный метод переменных направлений) [3]. Схема неявная по направлению х (по простиранию) и явная по направлению у (вглубь стены).
Алгоритм следующий: последовательно для всех ) по явной разностной
схеме определяется значение поля температур м(х7, V /,!к-\/2) ~ '■
иг
к-1/2
к-1
к-1
к-1
к-1
к-1
К—Ц ^ п / /1 — 1 , Л /і — 1 , Л /V —1 , „ /1—1 лл /1-І \ ,
Г,7+1 - Л',7+1 (м/+1,7+1 + /-1,7+1 + /,7+2 + ии - /,7+1) +
+ игк 7Іі, і = 1, 1, 7 =1, Ну- 2,
47+1
ик~}/2 = Т2, г = 1,Ых-1.
-г, Ыу 2 ’ х
Далее это значение используется в неявной схеме при решении системы Ых+1 линейных уравнений с Ых+1 переменными:
ик-}/2= т2,
‘0,7
к-1/2
к-1/2
к-1/2
ЯиК-и -С + И-,7 К7 + КҐіі.1,7
7
7 - 7 і,к-112
и] /, і-1 /, / /, / -/, /+1 ■
"Ы”1,/-2 = Т2,1 = 1,1,1 = 1,Му -1.
Схема неявная по направлению у и явная по направлению х:
.к
"г, 0 _ Т(хі, 1к ),
Л',7М^7_і “ (1 + 4Л',7'К^7 + Л',7^7+1 =
= -Л',7М7_і / - 1/2 - Л',7 “?+1,7, * = 1,#х - 1, 7 = у- 1,
"г , N
~к
у
" т / £-1/2 А-—1/2 л — і/^ л —і
М/+1,7 - Л+1,7 («7,7 + м/+і, /-1 + м/+1,7+1 + 7+2,7
,7-+иг^1^2, г= щ^2 , і=,
—к ---------------------
" .=Т2, 7= 1, 1.
Ых ,7 2 ^ у
.*-1/2 ."к.і/2-4и*-1/2) +
, . о
Здесь Я7 , =------------------. В выражении л/ і учтена мощность
р(хі,у^С(і„у^И2 ’
слоя теплоизолятора й0. Система имеет трехдиагональную матрицу, и её рациональней всего решать методом прогонки или методом Зейделя.
Универсальным методом, пригодным для решения уравнения теплопроводности с переменными и даже разрывными коэффициентами в произвольной области любого числа измерений, является локально-однородный метод [2]. Решение задачи в этой схеме ищется в виде решения цепочки одномерных задач.
Результаты численных экспериментов
Из физических соображений можно принять естественное предположение об одномерности модели. В пределах однородного слоя материала стены здания градиент температурного поля в направлении по глубине стены намного (в десятки раз) превосходит градиент этого же поля по простиранию стены [1].
На рис. 1 приведено распределение температур через 14 часов в квадратной области (помещении) размером 10 на 10. Толщина кирпичной стены - принята за 1, толщина теплоизолятора 0,5. Начальная температура во всей области: +20°, температура вне области: -30°, температура источника тепла, располагающегося в центре области: +70°.
0 2 4 б 8 10
Рис. 1. Поле распределения температур в помещении через 14 часов
На рис. 2 приведен пример моделирования теплового процесса для одномерной модели. Левая граница области (х = 0) моделирует внутреннюю
стену здания, за ней температура +20°, правая граница (х = і) - внешняя, за ней -30°.
На границах задаются условия Ньютона (третья краевая задача), т. е. происходит обмен тепла с внешней средой.
Рис. 2. Толщина кирпичной стены 0.2 м, толщина теплоизолятора 0.2 м
В начальный момент времени внутренняя часть помещения прогрета до +20°, внутри стены температура распределена линейно от +20° до -30° (стабилизация теплового поля).
Сплошными линиями показано изменение температуры в течение 10 часов после отключения источника тепла. Шаг по времени 1 час.
Рассмотрены два типа обратных задач для параболических уравнений, имеющих приложения к проектированию строительных объектов и стройматериалов. Задача первого типа состоит в определении тепловых характеристик (неизвестного коэффициента теплопроводности). Такая постановка является традиционной, принадлежит к числу сильно некорректных задач и решается с применением регуляризирующих алгоритмов (РА). В настоящей работе применен РА Флетчера-Ривса, относящийся к классу градиентных методов. В задаче второго типа требуется определить геометрические характеристики области теплообмена при известных физических характеристиках теплопроводящей среды. Для её решения использован метод операторных уравнений с положительным оператором. Применение этого метода обосновано из физических соображений в силу естественных свойств монотонности. Проведённые вычислительные эксперименты убеждают в том, что имеет место практическая устойчивость использованных алгоритмов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Завадский В.Ф., Корнев Е.С. Физико-технические свойства стеновых изделий из бетонов различной плотности // Известия вузов. Строительство. 2006. - № 10. - С. 13 - 15.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем.: - М.: Наука, 1983. - 616 с.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.
© В.В. Комиссаров, Н.В. Комиссарова, О.Н. Чащин, 2011
