CC BY
59
ственного технического университета: Сб. статей по научным направлениям. - Ростов-на-Дону. 1997. - С. 68-77.
2. Глебов НА. Автоматический контроль направления движения горнопроходческих машин с использованием ОКЕ (л^ера)//Тезисы докладов республиканской научнотехнической конференции молодых ученых по проблемам угольной промышленности УССР. Донецк, 1968. С. 208-209.
3. Яцкевич В.А., Загороднюк ВТ. Принцип автоматической настройки параметров вращательного бурения на оптимальный режим//Горная электромеханика и автоматика, 1986, вып. 5. - С. 141-145.
4. Патент RU 2260124 МПК7 Е 21 D 9/10. Манипуляционный буропогрузочный ро-
/ . . , . . . - . 29.01.2004, . 10.09.2005, . 25.
5. . ., . . -
робота //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2005. Спецвыпуск «Проблемы горной электромеханики». - С.66-73.
6. ., ., . : . . - .: , 1989. - 624 .
7. Глебов НА., Прим чин С.Б. AUTOMATION OF DRIVING IN TUNNELLING (Автоматизация проходческих работ при строительстве тоннелей) // 18 th International Symposiym on Automation and Robotics in Construction/ 10-12 Sep-tember 2001, Krakow, Poland - p. 183-184.
8. . ., . .
комплекса// Мехатроника, автоматизация, управление. - 2003, № 8. - С. 19-23.
9. Патент RU 2206751, МПК7 E21 D8/093, Е21 С 35/24. Система автоматического управления механизмами передвижения щита и возведения крепи тоннелепроходческого
/ . . . . , . . . . 22.10.2001, опубл. 20.06.2003, Бюл. № 17.
10. Крапивин ДМ., Загороднюк В.Т., Бондаренко МД. Роботы для торкретирования горных выработок. Ростов-на-Дону: Издательство СКНЦ ВШ, 2000. - 160 с.
11. . ., . . -
ния проходки скважин// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2005. Спецвыпуск «Проблемы горной электромеханики». - С.96-99.
12. . ., . . , . . -
// . .
2004. . 2.
УДК 530.18
М.-Г.М. Зульпукаров, Г.Г. Малинецкий, А.В. Подлазов
Институт прикладной .математики им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА И ТИПА ПРЕДСТОЯЩЕЙ БИФУРКАЦИИ ПО НАРАСТАНИЮ ШУМА В СЛОЖНОЙ СИСТЕМЕ*
Введение
В настоящее время построение и анализ математических моделей нелинейных явлений находят всё более широкое применение в исследовании поведения сложных систем, в том числе и в областях, традиционно не относящихся к точным наукам (медицине, социологии, экономике, истории и т.д. [1]). Изучение таких не, ,
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №04-01-00510, 05-01-00852) и гранта Президента РФ НШ-374.2003.1.
, -
темах.
Замечательным свойством нелинейных систем является то, что в простых и в сложных системах возникают бифуркации одного и того же типа. Это даёт возможность свести задачу исследования бифуркаций исходной системы к изучению более простой (модельной) системы.
Будем рассматривать две практические задачи.
-,
определения критических моментов (точек бифуркации) в прошлом, а также исследования альтернативных вариантов развития. Результаты решения этой задачи, помимо чисто теоретического интереса, могут представлять собой опыт, который стоит учитывать в будущем.
- , -чения управляющих усилий в определённом направлении [3]. Исходными данными для задачи, как правило, являются наблюдаемое состояние и поведение системы. Примером решения такой задачи является создание устройств, отключающих авиационные и ракетные двигатели при возникновении в них аномаль-, .
При рассмотрении поведения сложной системы часто принимается во внимание, что на неё действует случайный шум - малое нерегулярное внешнее воздействие неопределённой природы. Также говорят, что в системе присутствуют слабые флуктуации. Например, если математическая модель описывает систему
- , -ней в модель вводятся стохастические составляющие.
Если система находится вблизи точки бифуркации, то следствием её чувствительности к малым изменениям начальных данных является усиление флук-. -жениях дано в работах [2,4,5], в [6] приведён пример экспериментального исследования предбифуркационных шумов; в работе [7] описаны и другие примеры
. -шума в системе определить, проходит ли она точку бифуркации.
Постановка задачи
В качестве объекта исследования выберем некоторую диссипативную ди-, -ным дифференциальным уравнением с параметром
X = v( х,Л) (1)
где x=x(t) - переменная состояния, t имеет смысл времени, Л - параметр, v - не-
( ). -
нятием потенциала:
X
U ( х,Л) = -J v( г,Л)ёг (2)
0
Ограничимся рассмотрением одной из наиболее простых бифуркаций - надкритической (мягкой) бифуркации типа «вилка» с нормальной формой
у = fly — у3. Это локальная бифуркация положения равновесия, коразмерности 1.
Чем ниже коразмерность бифуркации, тем более типичной для разнообразных динамических систем она является. Бифуркационные задачи для систем высокой размерности часто сводятся к рассмотрению систем размерности 1 или 2 [8]. Таким образом, сделанные для системы (1) выводы будут достаточно общими.
Будем рассматривать поведение нелинейной системы под действием броуновского шума, действующего по следующей схеме. Пусть в определённые моменты времени ti переменная состояния х суммируется с реализацией £ некоторой случайной величины 5. Назовём это действие возмущением. Затем система интегрируется до очередного возмущения и так далее. Совокупность возмущений £(0 назовём вносимым шумом, а случайный процесс х(0 - наблюдаемым сигналом. В дальнейших рассчётах будем использовать равномерно распределённый периодический броуновский шум:
1Ф А/ 2 |#|> А/ 2
^ = 2,Я <3)
-^ = Г,, i = 0, 1, 2, ...
Будем исследовать воздействие шума на систему с параметром Я, изменяющимся с течением времени. Пусть изменение параметра происходит в пределах [Ятт,Ятах], дискретно, с постоянным шагом по Я, обозначаемым ДЯ (ДЯ << Ятах — Ятт ), и постоянным интервалом по времени ТЯ. Поскольку значительно проще изучать наблюдаемый сигнал как установившийся процесс, нам ,
. , ,
Т« << Тя (4)
Окончательно поставим задачу следующим образом.
- , -
ного броуновского шума для случая одной из наиболее типичных бифуркаций требуется получить закон распределения наблюдаемого сигнала и выяснить характер его изменения по мере приближения параметра к точке бифуркации.
- , ,
:
в процессе медленного изменения параметра системы оценить расстояние до точки бифуркации и сделать предположения относительно её типа.
Теоретическое обоснование
(1),
заданную уравнением
X = х (Я — х2) (5)
Потенциал (2) в данном случае имеет вид
(6)
Данная система удобна тем, что нет необходимости приводить её к нормальной форме: можно видеть, что в точке Я=0 происходит надкритическая бифуркация типа «вилка».
, -уновский шум вида (3). Пусть управляющий параметр Я<0, и Я приближается к точке бифуркации с соблюдением условия (4). Оценим, как при этом меняется дисперсия наблюдаемого сигнала х(0. Воспользуемся следующими очевидными свойствами функции у(х,Я) для случая (5):
Здесь х обозначает характерное значение переменной х(^). При статистическом исследовании в качестве х можно взять, например, стандартное отклонение (7х. Упрощения (7) и (8) позволяют разделить анализ поведения системы (5) по трём множествам значений параметра Я: в одном из них зависимость поведения системы от параметра является наиболее простой, в другом - отсутству-, .
Чтобы получить выражение для функции плотности распределения наблю-, (1) -смотрение ансамбль таких систем. Если одной системе соответствует точка в одномерном фазовом пространстве, то образом ансамбля систем будет совокупность точечных частиц. Пусть системы подвергаются возмущению описанным выше образом, и эти возмущения не согласованы (то есть, у каждой системы -
).
: ( -) ( ).
Ошибка! Источник ссылки не найден. можно считать, что с течением времени установится некоторое стационарное распределение линейной плотности частиц. Будем предполагать наличие свойства эргодичности: распределение вероятностей для положения отдельной частицы совпадает с распределением плотности .
Главной интегральной характеристикой вносимого шума является постоянная, называемая коэффициентом диффузии [9]:
где К(х,,^,ґ) - относи тельная скорость перено са, или плотность вероятности переноса частицы из её начального положения, взятого за начало координат, на отрезок [En^+dE\, в течение интервала времени Ж. Для вносимого шума вида (3) относительная скорость переноса будет равна
v(х, Л) ~ Ах, | Л| >> X2, у(х, Л) ~ -х3, | Л << -X2.
(7)
(8)
о
к О)=Т- /„ (О).
ш
а коэффициент диффузии, соответственно,
-=~ *| /. ООО О-
2Т
(9)
Записав выражение для потока броуновских частиц в отсутствие потенциа-(9), , -
ренциальное уравнение и приняв во внимание свойство эргодичности, имеем выражение для функции плотности вероятности наблюдаемого сигнала(10):
/ (х) = ехр — к
- и(х)^/ | ехр^ —К и (х)^ ёх.
(10)
Для определения характерной величины х воспользуемся стандартным отклонением для плотности вероятности /х):
| х2 / (х)ёх.
Для системы, упрощённой в соответствии с (7), имеем:
7/='-1М.
(7) ,
Я >>4К.
(8), ,
7/=
1(Шк, щ<< 2 п^тк.
Г (1/4) 1 1 Г(1/4)
(11)
(12)
(13)
(14)
В промежуточной области функция плотности распределения частиц имеет
вид
/(х) = ехр —Ки(х)\/ к114Ша
K^^КJ
где Wd - функция, определяемая следующим образом:
ёе/ 1
^ М 'ТТ IГ
V 2 к=0
2к +1^и{2к)(0) к (2к)! "
При этом
72г =лfКxW
Г1Я1
(15)
(16)
(17)
2
где
У'гГ 2к + 31 и (2к) (0) як
W(s)tл£^ЦJЮ—. (18)
1 ' Wd (я)
Пример решения обратной задачи
Допустим, некоторая нелинейная система генерирует сигнал х(0, в котором присутствует случайная составляющая. Пусть есть возможность измерения неко-Я, , -
ное время изменения Я - ТЯ значительно превышает интервал корреляции наблюдаемого сигнала Тх: ТЯ >> Тх. Пусть также отмечено, что наблюдаемый сигнал при фиксированном Я имеет стационарное распределение, причём при изменении параметра Я в определённом направлении происходит рост дисперсии наблюдаемого сигнала 72х .
Требуется проверить предположение о том, что при дальнейшем изменении параметра, по достижении им определённого значения Яь, в исследуемой системе происходит бифуркация, а также определить Яь. Желательно проверить, является
« ».
, -
кации, так что система может быть линеаризована. Тогда, согласно соотноше-(12), -
раметра 7^ (Я) построен в двойном логарифмическом масштабе, то точки
должны ложиться на прямую с угловым коэффициентом +1.
,
в точке бифуркации. Воспользуемся этим, чтобы приближённо найти точку бифуркации Яь . Из (12) следует соотношение
72 = К
х~ —Я—Я).
Итак, мы получили уравнение с двумя параметрами - бифуркационным значением Яь и коэффициентом диффузии к Чтобы найти значения параметров, приведём его к виду уравнения прямой:
7— =~ Я + Я . (19)
К К
, , -риментальных точек (,(7—2Х ) найдём угловой коэффициент и свободный
, , (19) -
чения К И Ль .
Выполним следующее преобразование координат для удобства использова-(17):
(20)
Область применимости линейного приближения (12) в этих координатах будет определяться соотношением
Если это соотношение не выполняется, то исходное предположение об удалённости параметра от точки бифуркации неверно.
Следует отметить, что, на практике, по мере удаления параметра от точки бифуркации, точность оценки коэффициента диффузии в формуле (19) возрастает (так как поведение нелинейной системы всё менее отличается от поведения
),
бифуркации снижается (поскольку последняя задача сводится к оценке коорди-
, ). -, -димо исследование наблюдаемого сигнала в области выхода его дисперсии на .
(Я, У г) следует аппроксимировать функцией
где сдвиг яъ - единственный параметр аппроксимации - определяет положение
точки бифуркации. Если удалось выполнить аппроксимацию с заданной точностью, то можно считать, что положение точки бифуркации в новых координатах .
Предположение о типе бифуркации можно проверять после оценки положения точки бифуркации. Для этого следует сравнить построенную по результатам наблюдения (за время, в течение которого изменение Л можно считать незначительным) функцию распределения наблюдаемого сигнала с функцией (15). Поскольку в области насыщения закон распределения является уникальным для данного типа бифуркации, при совпадении сравниваемых функций предположение о типе можно считать подтверждённым.
, , сформулировать следующим образом.
1.
2. -
нии аппроксимирующей прямой и получить оценки для коэффициента
3. Выполнить преобразование координат согласно (20).
4. Проверить выполнение условия (21). Если условие не выполняется, то следует изменить выбор экспериментальных точек для п. 1. Например, можно попробовать выбрать точки с минимальной дисперсией наблю-
(я - %) >> 1.
(21)
(22)
диффузии К и координаты предполагаемой точки бифуркации Л .
даемого сигнала (предположительно, они наиболее удалены от точки ).
5. Рассчитать теоретически плотность распределения наблюдаемого сигнала (10) для линеаризованной системы, воспользовавшись упрощением (7), для Я —Л .
6. Проверить соответствие плотности распределения наблюдаемого сигнала, полученной экспериментально, теоретическим рассчётам. При несоответствии считать алгоритм неприменимым в данном случае. Вероятной причиной является слишком быстрое изменение параметра.
7. Если с ростом я отмечается замедление роста дисперсии наблюдаемого шума по сравнению с оценкой для линеаризованной системы, то по-
(22).
случае, если достигнута заданная точность аппроксимации, считать координату точки бифуркации определённой.
8. ,
распределения по формуле (15) и сравнить с экспериментальными дан.
.
Заключение
В настоящей работе рассмотрены вопросы поведения нелинейных динами, ,
.
- 1 -«вилка». Дана точная зависимость дисперсии наблюдаемого сигнала от вносимого шума и бифуркационного параметра. Приведён пример алгоритма решения обратной задачи - обнаружения и определения типа бифуркаций посредством анализа наблюдаемого сигнала.
На основании полученных и имеющихся результатов, можно сделать сле-: -, -хода его дисперсии на уровень насыщения.
В заключение считаем приятным долгом выразить благодарность О.Я. Бут-ковскому и Е.Д. Суровяткиной, которые привлекли наше внимание к этому важному классу задач.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Малинецкий Г.Г.,Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.
2. Кравцов Ю.А.,Бмьчинская С.Г.,Бутковский О.Я.,Рычка И.А.,Суровяткина Е.Д..
Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах. Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2001, том 120, вып. 6(12), стр 1527-1534.
3. Малинецкий Г.Г.,Подлазов А.В.,Кузнецов И.В. О национальной системе научного мониторинга. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2004, 47.
4. Kravtsov Yu.A. and Surovyatkina E.D. Nonlinear saturation of prebifurcation noise amplification // Physics Letters A, Volume 319, Issues 3-4, 8 December 2003, Pages 348-351.
5. Surovyatkina E. Prebifurcation noise amplification and noise-dependent hysteresis as indicators of bifurcations in nonlinear geophysical systems // Nonlinear Processes in Geophysics (2005) 12, Pages 25-29.
6. Juel A., Darbyshire A.G., Mullin T. The effect of noise on pitchfork and Hopf bifurcations. // Proc. R. Soc. Lond. A (1997) 453, 2627-2647.
7. Anishchenko V.S., Neiman A.B. Structure and Properties of Chaos in the Presence of Noise (“Nonlinear Dynamics of Structures”. Edited by R. Z. Sagdeev, U. Frisch, F. Hussain, S.S. Moiseev and N.S. Erokhin. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong: World Scientific, 1991, p. 21-48).
8. ., . . .: ,
1983.
9. . ., . . . -
действующих частиц. М.: Наука, 1973.
10. .- . ., . ., . .
задачи теории бифуркаций в динамической системе с шумом. M., 2005. Препринт Ин-
. . . : 39.
УДК 51-7;519.6;519.8
А.А. Кочкаров, ГX. Малинецкий
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва
ТЕОРИЯ СТОЙКОСТИ И СТРУКТУРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*
Введение
Моделирование сложных систем позволяет исследовать особенности их функционирования в различных условиях, наделять их требуемыми характеристи-
( ).
-
учесть каждый из ее многочисленных элементов.
Рассмотрим проблему с позиции теории самоорганизации - синергетики, и теории управления рисками. В математической модели исследуемой системы должны быть представлены основные элементы, по поведению, по качеству, по эффективности функционирования которых можно достоверно судить о всей системе. Такой подход в исследованиях, когда без детального представления сложных , , синтезом [1]. О результативности использования этого подхода можно судить по многим работам [1—4]. Наглядно подтверждает это цикл работ научной школы В.В. Кульбы [3], посвященный исследованиям по управлению рисками. В этих работах для моделировании поведения систем со сложной структурой были использованы методы теории взвешенных ориентированных графов. Такой подход уже
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00510).
