CC BY
14УДК 621.833.2(31)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МГНОВЕННОГО ПЕРЕДАТОЧНОГО ОТНОШЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧАХ
DETERMINATION OF THE INSTANTANEOUS GEAR TRANSMISSION RATIO IN SPATIAL GEARS
В. Н. Сызранцев
V. N. Syzrantsev
Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень
Ключевые слова: зубчатые передачи; функция передаточного отношения Key words: gears; gear ratio function
В теории зубчатых зацеплений [1, 2, 3] определение мгновенного передаточного отношения зубчатой передачи является результатом решения обратной задачи, формулируемой следующим образом: задана схема зубчатого механизма и известны поверх-
122
Нефть и газ
№ 6, 2016
ности зубьев обеих подвижных звеньев, требуется определить закон движения в виде функции, связывающей движение подвижных звеньев. Эта же задача является основой различных математических моделей [1, 2, 3] синтеза геометрии пространственных зубчатых передач.
Рассмотрим пространственную зубчатую передачу, звенья которой шестерня (1) и колесо (2) вращаются вокруг неподвижных, в общем случае скрещивающихся осей. С шестерней и колесом жестко свяжем системы координат S1(х1,у1,г1) и 52(х2,у2,г2).
Наиболее часто активные поверхности зубьев шестерни ^ и зубьев колеса в результате формообразования представляют собой однопараметрические огибающие, соответственно, семейств производящих поверхностей Р1 и Р2. В этом случае радиусы-векторы у"», г =1,2 и орты нормали т(), г =1,2 поверхностей , г =1,2 в системах координат 5 (х{,у{,гг) — верхний индекс у У(,)и т(), описываются следующим образом [1, 2]:
у(1) = у(1) (и А,ф); У2 = У2(2) (и А, ф); т1(1) = т1(1)(м1,д1,ж1); т22) = т22)(и2А2,ф2); (1)
/МАЖ) = о; ЛКА.Ж) = о.
Здесь м1,А1,«2, А2 — независимые параметры производящих поверхностей Р иР2 при нарезании зубьев шестерни и колеса; Ж и ф2 — углы поворота шестерни и колеса в станочном зацеплении; последними в выражениях (1) записаны уравнения зацепления при формообразовании зубьев шестерни и зубьев колеса.
В дальнейшем нам потребуется матричное представление зависимостей (1), имеющее вид
У(1) = У(1)("1А,Ф); У(2) = У(2)(«2А,Ф2);
т^ = т1(1)(«1,А1,ф1); т22) = т22)(«2, А2,ф2); (2)
/1(«1,А1,ф1) = 0; /2(«2,А2,ф2) = 0 где г()(и1,Д.,ф.) у<,)(м,-,А,ф) = ||х1^');у1(,);г,(,);1|| — матрицы-столбцы, составленные из проекций х,(,) («,., А,ф ); у,(1) (и,, А,ф ); радиусов-векторов уна оси систем координат 5,.(х, уг, г,.) ;
т(\и1 ,А,ф) = Цт^;тУ'; от^оЦ — матрицы-столбцы, составленные из проекций («.,А,ф); тУ!(«1 А,ф) и )(«(А,ф) радиусов-векторов )на оси систем координат 5 (Х, у., г..) .
Сообщим шестерне исследуемой зубчатой передачи поворот вокруг оси г1 на угол У. Вследствие этого поворота, колесо повернется на угол Ц/2 , величину которого определим из условия касания поверхностей ^ и . В точке касания поверхностей ^ и проекции координат радиусов-векторов Уl:') и т() совпадают, в результате имеем следующую систему уравнений:
Ут(и1А1,ф1) = Л12(у1;у2) • г2г)(и 2, А2,ф2) ;
т^^А^) = А^Ух^г) • т 22)(« 2,А2,ф2); (3)
/¿иАф) = о; /2 («2, А?, ф) = о,
где А12 (у1, у2 ) — матрица четвертого порядка [ 1]
6, 2016
Нефть и газ
123
~A12(¥1,¥2)=
d11 d12 d13 d14
d 21 d 22 d23 d24
d31 d32 d33 d34
0 0 0 1
(4)
описывающая переход из системы координат Б2(х2,у2,г2)в систему координат
¿¡(х,, у,, .
Раскрывая матричные выражения (3) с учетом (4), имеем следующую систему из восьми, в общем случае трансцендентных, уравнений:
(5)
xЛщА'Фх) = • x2 лщАЖ')+di2(^i,^2) • у2 л^А'Фг) +
+^(¥,¥2) • zf^AA) + di4 (¥,¥2) ;
У^^АФ = d21(^1,^2) • х22)(м2,^2,ф2) + d22(¥l,¥2) • У^^АФ +
+d23 (¥, ¥2) • z22)(u2,А2> ф) + d24(¥, ¥2 ^
z(1) («1, А1, Ф1) = d31(¥1, ¥2) • x22) (и2,А2,ф2) + d32 (¥1, ¥2) • y22) (U2A2A) + +d33(¥, ¥2) • z22) («2, А2, Ф2) + d34(¥1, ¥2);
даХ11)(иА,ФФ) = dn(¥1,¥2) • mX2(и2А2,Ф2) + d12(¥1,¥2) • даУ2 (и2А2,Ф2) +
+ d13(¥1,¥2) • т^22)(«2,А2,ф2);
тУ1) (u1, А1,ф1) = d 21(¥l, ¥2) • mX2 (и 2 , А2 , ф2 ) + d 22 (¥ , ¥2) • m{yl(u2AA) +
+d 23 (¥1, ¥2) • т(%(и2А2,Ф2) ;
mZf(«1, А1,Ф1) = d31(¥1,¥2) • ml?(и2,А2,Ф2) + d32(¥,¥2) • mУ2(и2АА2) +
+ d33(¥1,¥2) • mZ2) (и2,А2,Ф2) ;
/¿иАЖ) = 0; Л^АФ) = 0.
В этой системе независимыми являются лишь семь уравнений, поскольку
[ т«(и, ,А,. ,ф,.) ]2 +[ m У?(и, ,А,. ,ф,.) ]2 +[ m£ )(и,. ,А,. ,ф,.) ]2 = 1, i = 1,2. (6)
*
При фиксированном угле поворота шестерни ¥1 = ¥1 = const система (5) содержит семь независимых уравнений с семью неизвестными Ц , А1 , ф , и2 , А2 , ф2 , ¥2 . В результате решения (любым численным способом) этой системы определяются значения параметров и1 , А1 , ф1 , и* , А2, ф2 , ¥2 , знание которых позволяет рассчитать в системах координат x1, y1, z1) и ^2(X2, y2, z2) проекции координат радиусов-векторов поверхностей F1 и F2 в точке их касания и проекции ортов нормалей к этим поверхностям в этой точке:
x* = хО^аф*) , у*=У(1)(М;а,Ф;) , z*=^(и'АФ) ,
* ? 1
У1 *
x* = x2 )(и*, А2,ф2), у* = у2 (и*, А2,ф2), z* = z2 (м2, А2,ф2),
m*1 = mX1) (и*, А*, ф 1*), m*1 = т^ (их, А ,ф'l), m* = mZ1) (и*, АА, ф1) = m
(7)
= mZ1)(
*
т'х 2 = т'х1' ("2 A¡,Ф¡), т'у 2 = т (и* ' А 5 2 , т12 = т^ («2 , , ф2 ) .
В зубчатых передачах с приближенным зацеплением (несопряженных) [2] при вращении шестерни с постоянной скоростью колесо на периоде работы одной пары зубьев будет вращаться неравномерно [3]. Если Щ — угол поворота шестерни, а Щ2 — угол поворота колеса, то мгновенное передаточное отношение передачи (/¡2 ) равно [2]:
124
Нефть и газ
№ 6, 20116
- (8)
ll2 — ^- ■ (8)
Поскольку для несопряженных передач аналитическое описание функции у/2 — у/2 ) отсутствует, непосредственно воспользоваться формулой (8) для определения ij2 не представляется возможным. Полученное выше численными методами решение (7) обратной задачи теории зацепления [1] позволяет рассчитать i12 по приближенной зависимости, используя значения ^ и соответствующие j -ой и j + 1 точкам активной действующей линии
ij2 — (tf™-уУЖУГ1 -Л (9)
Другой подход приближенного определения величины i12 предложен в работе [3]. В ней функция Ц/2 — Ц/2 (^j) представлена в виде ряда, конкретные значения членов которого описывают закон движения у/2 — Ц/2 (^) зависимостью, близкую к квадратичной.
Имея после решения системы уравнений (5) для точки контакта (касания) поверхностей F1 и F2 результаты (7), получим аналитическое выражение для расчета величины i12 . Воспользуемся обобщением теоремы Виллиса для случая непараллельных и непересекающихся осей вращения колес [4] ■ В этом случае контакт-нормаль пересекает две параллельные плоскости, проходящие через ось вращения шестерни и ось вращения колеса в точках, радиусы вращения которых обратно пропорциональны угловым скоростям. В результате основой для определения является зависимость следующего вида:
i12 — Гп2> Г^ (10)
где Гп1, Гп2 — радиусы-аналоги основных радиусов в зацеплении со скрещивающимися осями шестерни и колеса.
Обратимся к рисунку, где обозначено: O1,02 — начала отсчета систем координат
S1 и S2, орты осей Z1 и z2 которых к1 и к2 определяют направления векторов a и a ; текущие радиусы Г1 и Г2 задают, каждый в своей системе координат, точку контакта M; векторы qi — qi • mi, i —1,2 определяют расстояние от точки M вдоль контакт-нормали до точек ее пересечения с параллельными плоскостями П1, П2, проведенными через оси вращения z2 , z1 колеса и шестерни перпендикулярно кратчайшему расстоянию В1В2 между ними; с1, с2 — орты межосевого перпендикуляра В1В2 ; e , e2 — орты перпендикуляров к осям z1 и z2 , расположенные в плоскостях П1 и П2; 2 — угол скрещивания осей z1 и z2 .
Воспользовавшись построениями (см. рисунок), найдем
с1 — к1 х к2; с2 — к2 х к1; e1 — к2 - к1 • cos 2 ; ё~2 — к1 - к2 • cos 2 . (11)
Запишем два очевидных векторных равенства
r + q1 — a1 + Гп1 ; r2 + q2 — a2 + ^
Умножая их скалярно, соответственно, один раз на Ci, а затем на ei (i — 1,2), определим
с. ■ r _ _ _ _
—; г»— e ■r + e • m ■ q; .—u. (12)
C.. • m,
№ (, 20116
Нефть и газ
125
* х1; * Х2; * тх1; * тх 2; 0; 0;
11 II * У1; * • г2 = ' Г2 * У 2; * ; т1 = * ту1; * ; т22 = * ту 2; * ; к? = 0; 1; 0; ; к2 = 0; 1; 0;
1; * 2; 1; тг1; 0; т 2; 0;
Рисунок. Расчетная схема пространственной зубчатой передачи
Объединяя эти зависимости, для расчета Тп1 получим следующее выражение:
с • г
г = е • г - е • т •
а • т.
(13)
При использовании формулы (13) необходимо вычислить в системе координат Si, г = 1,2 скаляр Гп1 и по выражению (10) рассчитать величину мгновенного передаточного отношения /12.
Для зубчатых передач с пространственным зацеплением зубьев, раскрывая формулу (10) с учетом выражений (13) и построений (см. рисунок), получим конечные аналитические зависимости для расчета /12 .
Определим проекции векторов 71, г2, т1, т2, к1, к2 в системах координат S1, S2 (соответственно верхний индекс 1 или 2) с учетом зависимостей (7), представив векторы в виде матриц-столбцов:
*
Ух';
*
1;
х2;
*
У2;
*
* 2; 1;
т.
т
ту1'
*
тг1; 0;
; т22 =
т
т
т
; к2 =
(14)
г1 =
г.2
0
Нефть и газ
№ 6, 2016
Для перехода из системы координат £2 в систему координат 1 воспользуемся матрицей четвертого порядка [1] А12, а для перехода из системы координат 51 в систему координат 52 обратной матрицей А21 — А^ , имеющих вид
A12 =
a21; a22; a23; a24
a31; a32; a33; a34
0; 0;
0;
1;
A21 _
bn; Ъи; bu; Ъи,
Ъ21; Ъ22; Ъ23; Ъ24 b3i; Ъ32; Ъзз; ^
0; 0; 0;
1;
(15)
Известно [1], что для г —1,3 и ] — 1,3 элементы а^ матрицы А12 связаны с элементами Ь^ матрицы А21 соотношениями:
aij = Ъл
(16)
Определим проекции вектора k2 в системе координат S1 на основе матричного выражения:
k2 = A12 • k 2 = ||a13 ; a 23; a33; 0;| = после чего, воспользовавшись формулами (11), найдем проекции в этой же системе векторов с!1 и ё^:
с} = ||-a23; a13; 0; 0;||; ё11 = ||a13; a23; a33 - cos S; 0;||. (17)
Раскрывая, далее, скалярные произведения векторов ё^ • Г ; ё11 • ; с^ • rj1 и с^ • m\ , получим
~1 ~1 * * * /
е1 • r1 = x1 • a13 + y1 • a23 + z1 • (a33 - cos S) ;
~1 ~ 1 * * * /
е1 • m1 = mx1 • a13 + my1 • a23 + mz1 • (a33 - cos S)
C1 • r1 Xj • a23 + y1 • a13 ;
: -m* • a23 + m*1 • a13.
x1 23 y1 13
(18)
Подставляя эти выражения в формулу (13), определим величину Гп1
rn1 = X1 • a13 + У1 • a23 + Z1 • (a33 - C0s S) -[m*1 • a13 + m*1 • a23 + m*1 • (a33 - C0s S)] • ( X1 • a23 y1 • a13 )
(19)
Аналогичным образом установим зависимость для Гп2 , при получении которой все вектора должны быть записаны в системе координат 52 .
Проекции вектора к1в этой системе определим с помощью матрицы (15) и учета связи (16):
к12 — А21 • к2 — ||а31; а32; а33; 0;||. (20)
Используя зависимости (11), найдем проекции векторов С22 и ё"22 :
a31; 0; 0;
a31; a32; a33-cos S; 0;
(21)
—2 —2 —2 —2 —2 —2 —2 —2 и определим скалярные произведения векторов ё2 • r2 ; е2 • m2; с2 • r2 и с2 • m2:
"2 -2 ~ 2
~2 * * * /
r2 = x2 • a31 + y2 • a32 + z2 • (a33 - cos S)
* X2
~ 2 * * * / v\
m2 = mx2 • a31 + my2 • a32 + mz2 • (a33 - cos S)
~2 ~2 * *
C2 • Г2 = -X2 • a32 + y2 • a31 :
C22 ^ m22 = -m*2 ^ a32 + m'y2 ^ a31
a11; a12; a13; a14
C • m1
11
«23" "V«13
2
2
с 2 a 32
2
2
:-V» 6, 2016
Нефть и газ
Входя с найденными выражениями в формулу (13), определим величину rn.
Гп2 = Х2 • «31 + У2 • a32 + Z2 • (a33 - COS 2) -
[m*2 • «31 + m'y2 • «32 + m*2 • («33 - COS 2)] • (Х2 • «32 - У* • «31 )
*
mx2 • «32 2 • «31
Для получения зависимости по расчету мгновенного передаточного отношения i12 необходимо в формулу (10) подставить выражения (19) и (24), при этом учтем, что элемент матрицы перехода Al2, определенный на основе построений (см. рисунок), всегда равен о33 = cos 2. В результате, опуская преобразования, окончательную формулу для расчета i12 представим в виде
(A • D2 - B2 • C2 )• D1
(25)
(a • D -B1 • C1 )• d2 где введены обозначения:
2 2 Л * *
A1 = x1 • «13 + y1 • «23 9 A2 = x2 • «31 ^ y2 • «32 '
_ 2 2 * *
B1 = mx1 • «13 + my1 • «23 ' B2 = mx 2 • «31 + my2 • «32 9
C1 = x1 • «23 - y1 • «13 ; C2 = x2 • «32 - y2 • «31'
7Л 2 2 7Л 2 2
D, = m , • o,3 - m . •D2 = m 2 • я32 - m 2 • o,3, .
1 x1 23 y1 ' 2 x 2 32 y 2 31
Полученная зависимость (25) для зубчатых передач с пространственным зацеплением зубьев позволяет после решения обратной задачи для любой фиксированной фазы зацепления рассчитать мгновенное передаточное отношение в исследуемой передаче и оценить величину ее несопряженности с целью определения возможности компенсации отклонения передаточной функции за счет упругих деформаций зубьев под нагрузкой. Формула (25) справедлива для любых пространственных передач и может быть использована при решении задач анализа и синтеза различных вариантов цилиндрических передач с арочными зубьями [5], конических и гипоидных передач [2], плоскоконических передач с малым межосевым углом [6] и других.
Основные результаты работы
• Для зубчатых передач с пространственным зацеплением, формообразование поверхностей зубьев которых осуществляется в процессе однопараметрического огибания, рассмотрена методология решения обратной задачи зацепления.
• Получена конечная зависимость для точного расчета после решения обратной задачи зацепления пространственных передач с точечным касанием поверхностей зубьев величины мгновенного передаточного отношения. При решении задач синтеза геометрии пространственных передач данная зависимость целевую функцию математической модели синтеза позволяет строить не на основе приближенных оценок функции положения, а использовать результаты расчета по аналитическим выражениям.
Список литературы
1. Litvin, F. L. (1998) Development of Gear Technology and Theory of Gearing: NASA Reference РиШ^иНои, 1406. -124 p.
2. Лопато Г. А. Конические и гипоидные передачи с круговыми зубьями. Справочное пособие / Г. А. Лопато, Н. Ф. Кабатов, М. Г. Сегаль. -М.: Машиностроение, 1977. -423 с.
3. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел: Монография. - М.: Издательство «Станкин», 1999. -494 с.
4. Коростелев Л. В. Мгновенное передаточное отношение в пространственных зацеплениях / Теория передач в машинах. -М.: Машиностроение, 1970. - С. 39-40.
5. Syzrantsev V., Syzrantseva K., Varshavsky M. Contact load and endurance of cylindrical gearing with arch-shaped teeth. ICMT'2001 Proceedings of the International Conference on Mechanical Transmissions: April 5-9, 2001, Chongqing, China: P. 425-431.
6. Syzrantsev V., Denisov J., Wiebe V., Pazyak A. The Design and Production of Drives Based on Pan Precess Gear for Oil and Gas Machinery. ASME 2015 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Volume 10: ASME 2015. Paper No. DETC2015-47096, pp. V010T11A057; 8 pages doi:10.1115/DETC2015-47096/
128 Нефть и газ № 6, 2016
Сведения об авторе
Сызранцев Владимир Николаевич, д. т. н., профессор, заведующий кафедрой «Машины и оборудование нефтяной и газовой промышленности», Тюменский индустриальный университет, тел.:8(3452)283013, е-mail: v_syzrantsev@mail. ru
Information about the author Syzrantsev V. N., Doctor of Engineering, professor, head of the Department of «Machinery and equipment of oil and gas industry», Industrial University of Tyumen, tel. 8(3452)283013, e-mail: v_syzrantsev@mail. ru
