Научная статья на тему 'Определение критических напряжений потери устойчивости для короткого стержня коробчатого сечения из упругопластического материала'

Определение критических напряжений потери устойчивости для короткого стержня коробчатого сечения из упругопластического материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
310
49
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ / УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ / ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА / ECCENTRIC COMPRESSION / PLASTO-ELASTIC DEFORMATION / VARIATIONAL PROBLEM

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Баранов Михаил Васильевич

Критические напряжения находятся из условий минимума потенциальной энергии системы с использованием уравнения Эйлера вариационной задачи. Получены конечные формулы для случаев осевого и внецентренного сжатия. Приведен порядок расчета. Показано, что расчетные и экспериментальные данные для опорных кронштейнов ракеты-носителя «Космос-3М» дают хорошие совпадения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Determination of buckling critical stresses for box-section short rod made of plasto-elastic material

Critical stresses are calculated from minimal conditions of system’s potential energy using Euler’s variational problems equations. End formulas for axial and eccentric compression are derived. Computation method is given. It is shown, that computational and experimental data for support brackets of “Cosmos-3M” launch vehicle constitute a match.

Текст научной работы на тему «Определение критических напряжений потери устойчивости для короткого стержня коробчатого сечения из упругопластического материала»

УДК 621.7-216

М. В. Баранов

ОАО «НПО ПМ - Малое Конструкторское Бюро», г. Железногорск, Красноярский край, Россия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ КОРОТКОГО

СТЕРЖНЯ КОРОБЧАТОГО СЕЧЕНИЯ ИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Критические напряжения находятся из условий минимума потенциаль-

«у «у

ной энергии системы с использованием уравнения Эйлера вариационной задачи. Получены конечные формулы для случаев осевого и внецентрен-ного сжатия. Приведен порядок расчета. Показано, что расчетные и экспериментальные данные для опорных кронштейнов ракеты-носителя «Космос-зМ» дают хорошие совпадения.

Ключевые слова: внецентренное сжатие, упругопластическое деформирование, вариационная задача.

M. V. Baranov

JSC «NPO PM- Small Design Bureau», Zheleznogorsk, Russia

DETERMINATION OF BUCKLING CRITICAL STRESSES FOR BOX-SECTION SHORT ROD MADE OF PLASTO-ELASTIC MATERIAL

Critical stresses are calculated from minimal conditions of system's potential energy using Euler's variational problems equations. End formulas for axial and eccentric compression are derived. Computation method is given. It is shown, that computational and experimental data for support brackets of "Cosmos-3M" launch vehicle constitute a match.

Key words: eccentric compression, plasto-elastic deformation, variational

problem.

Несущая способность опорных кронштейнов ракеты-носителя «Космос-ЗМ» определяется сечениями, представляющими замкнутую прямоугольную коробку. Материал кронштейна - литейный алюминиевый сплав АЛ23-1. Проведенные эксперименты показали, что потеря устойчивости происходит, когда материал кронштейна работает в упруго-пластической стадии деформирования.

В качестве расчетной схемы может быть принят короткий стержень коробчатого сечения в условиях внецентренного сжатия при следующих предположениях:

© Баранов М. В., 2013

- напряжения во всех точках сечения превосходят предел упругости;

- потеря устойчивости происходит при увеличении сжимающей нагрузки, то есть в сечении отсутствуют зоны разгрузки;

- диаграмма ст.(е.) совпадает с диаграммой а(в);

- до потери устойчивости для сечения в целом справедлива гипотеза Гирхгофа-Лява.

Критические напряжения потери устойчивости находятся из условия минимума потенциальной энергии системы с использованием уравнения Эйлера вариационной задачи [1] Г Г с1 ( Г Г 1 сГЦ дГ >

<92, dx

dx

Ж,

= 0.

(1)

и ИССЛЕДОВАНИЯ

пдуко

Ж ГРАДА

где Г - потенциальная энергия на единицу длины системы вдоль оси Х (рис. 1).

Грани стержня рассматриваются как пластины:

- в плоскости, параллельнойХОУ, - ах^х^;

- в плоскости, параллельной ХО2, - ахЪхН2.

Потенциальная энергия элементарного участка йх может быть представлена в виде

(2)

где

о

Г = Г1 + ^

УуМ, * х* + %МУ ^лн* х„ -

- потенциальная энергия элементарного участка йх пластины ахс (без учета влияния поперечных сил);

Для упругопластической зоны по теории деформации при ц = 0,5 значения изгибающих и крутящих моментов запишутся как [2]

М= !)

М, = !)'

Н.-у=У\1Г

%

- (3)

где

X х

(2')

т-П(с,Х) ст;

д дх2 , Х у = — д % ду2 '

Х ху = д дхду

(3')

для плоскости ХОУ.

Аналогичные выражения для М, М2 и Ихг могут быть записаны для плоскости ХО2, где

X х =■

д 2Ж,

(2")

- потенциальная энергия элементарного участка дх пластины ахс.

дх Х

2 ' ^

X z =

дz 2

д 2Ж2 дхд2

(4)

Принимаем, что до момента потери устойчивости в гранях стержня реализуется одноосное напряженное состояние.

Тогда

Определение критических напряжений потери устойчивости

(9)

(7 = СТ

г х

и = а = т = О

дг\У

(5)

П(а,х) = ая

ах~

М, - -О

Фс •

'2 с/

Г1 IV,

3/7 \ ' "

сг

I/

ох

СУ

УФ^^1 <г.а'г}!

Л' =

В системах (3) и (6)

ЕИ3 = Ес/ = Е^/

9 ' Фс = /Е' Фк = /Е'

Ес = ^^ - секущий модуль; Ек = - касательный модуль.

а2 = а-

1 -(1-з)5

с.

где ^ =

ст

— Ш1П /

\ Гэ^гО 2 Г е2п\л Л 7 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

■ + Ф,' +

/ 1 & 1 'V у

+ф,-

~дхг'~ду2 Г'^Г

сНГ Й*Г

(/Кф, + ;/4Фг ■

Га2^ ] (дЪЛ

V &3 ; + Ф,' +

& V у

ЙГ" /X

Условие равенства углов поворота по ребрам запишется как

Подставив в систему (3) выражения (3') и (5), получим

д ¡1' ,,II

ду

cW,

у=0

д х

х=0

(6)

Тогда

/2 = А-с/ь.

Введем обозначения:

г, т-к-х

(9') (10)

71 * V

1Г:

%■ I

Закон распределения напряжений по граням, параллельным плоскости ХОZ:

/00 = 8111

/(2) = 8111

С

1 ,

Ас Я-фсЛ";

В2С =~Е'Ч> С-А,3;

£)2С - £)1С •

(10')

/г =

- С/

Ь'

Тогда

Учитывая эти обозначения, после подстановки (6) и (3') в выражения (2') и (2") имеем:

Г, = Л ■/(*)■/(г); Г1 = Ас |[/2 + %')'[/"(Л')]2 • |Г'(уУ<Ь>-

¿\Ну)

Ф

Л/

Л: (7)

{/«И

#(у) Л

Функции прогибов пластин принимаем

в виде

{[!-(!. (11)

5

X

ИССЛЕДОВАНИЯ

КО—

и нсспщ

ПАУ

Л г

ГРАДА

Потенциальная энергия деформации элементарного участка стержня

Г = Ас | ф[/"(х)]2 • \/2(у) • Ху + • к2 )/2(Г)^

?! =Н/dy+% к2/)/•А=

+/( х ) • /"( х )

! / (у )•

к 0

d 2/( у )

--Ъ/• п27

1 + к- "V

2

• dy +

ЪГ ,72

d2 / (у)

dy + •к2- Г

dz2

d2 / ( г )

dz =

+ А?/ ,2 хУ(г)

•к^ !/(Г)•.!

и

+/ \

о [

-[/( х) ]

d 2 / (У)

11 о

2

ХГ 1

•ХГ

(у у

Ъ

у + % •к2-1

" Х2 / (Г)" 2 •ХГ

Х21

I

х/ (у)

-^[/'(х)]^ ^ ^(у +

•(у + Акэ •к/

1 + 3'

Х/ ( Г ) 1 2]

_ хг ]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д,

+ к• ^ -(. ■

2

с.

/ 2( г ) (Г

Здесь ф = 0,25 + 0,75-Фк/ф.

Уравнение Эйлера (1) может быть преобразовано к виду

дГ

д/ (х) Хх

дГ

д/'( х )

+ -

хх

дГ д/"( х )_

Найдя величины

дГ _ Х ' дГ " . х2 дГ '

д/ (х) Хх _д/'(х) ] Хх2 _д/"(х) ]

где

V =

=Ф? !?!;

1

"Д1 •и+и-и

1С 5

?{ = [Лу^ Ху + Ь^Ь3 •к2' |/2( ^ (Г

= Ъ/ • /2

л3

1 + к3 к

3 '

5

?! у) • ху+

•][ 1-(1-

С

(12)

1+3+кч

л

\\

1-

1-3 п2 + 1

Учитывая (10'), уравнение (14) может быть преобразовано к виду

Г Л 4 ' тп л

Г Л 2

тп

V и у

а

+ г = 0.

= 0. (13)

Решением этого уравнения будет

к /Ъ

где

тЪ

а у

\2

•фа+' тЪь

\2

•Р + 2 у

(15)

(16)

а =

из уравнения (12) с учетом (10') и подставив их в выражение (13), после некоторых преобразований получим уравнение

/(х) + v•/"(х) + г/ (х), (14)

в =

1 + .к3 1 + /к3 к

1+3+к3 V 2 /Л 1 + К 1 1 -3 п2 +1 | 1 2 п2 У '/• V к /к

1+ 3 + к2 V 2 /Л 1 + к 1 -3 п2 +11 2 п2 1 2/ • к /л,3 к

1+ 3 + к3 V 2 /к1 ' 1 -3 п2 +1 ^ V 2 • п2 У]

(17)

Обозначив = X, найдем минимум а: а

= Дс • п2у Х X к / -

2Х • ф • а —з • в X

6

0

Определение критических напряжений потери устойчивости

отсюда

X4 -

ф-а

X2 =

в

ф-а

(19)

1. Определяются к; а1; в1; у1 при 3 = 1:

к - с/ • к /Ъ;

1 +

=

Подставив (19) в (17), получим 21/ф'«'Р + 2у] =

[Т^Р-^ + у].

(20)

Ф(

Таким образом,

р, -

(21)

У1 =

1 И / 1 + Д - к3:

1+ Д3 • 1/ /к

1 + ИИ' д - к3

1 Н3/ 1+Л3 - к

где К -2фс ^д/ф->/а-р + у , а, в, у - величины, зависящие от соотношения геометри-

1

2/ - к3 ^ к

2. Задаваясь значением о > о

Ъ/ ПЦ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п найдем

ческих параметров сечения (К = с/Ъ; Л2/Л1) и по формуле (21) отношение % / для кото-степени неравномерности загружения сече- рого это значение о является критическим.

ния 3 (17).

Введем коэффициент, учитывающий за-

Строится график окр = ,/(Ъ/Л1).

3. По графику определяется о для кон -

висимость критических напряжений потери кретного Ъ/И.

устойчивости от степени неравномерности загружения сечения 3:

1 + 3 И

К

Н - к3 И1

1 -

1-3 п2 +1

4. 3-и

5. К определяется по формуле (22).

3-1

1 + Н2

. (22)

6. Запас устойчивости г| =

СТкр

к3

К, • <зтяк

Несущая способность стержня: при 3 -1

при 3 Ф 1

Р - Р

3Ф1 г3-1

1 + 3

2 - К Порядок расчета: исходные данные Н1; Н2; Ъ; с. Диаграмма сжатия о. = .Да.).

7. Несущая способность определяется по формуле (23) или (24).

Используя вышеприведенные формулы, был проведен расчет для двух вариантов исполнения опорного кронштейна: из материалов АЛ23-1 и АЛ27-1 [3]. Принятые в расчете диаграммы о(е) приведены на рис. 2.

(23) Геометрические параметры и величины, определяемые этими параметрами, по двум расчетным сечениям приведены в табл. 1.

Зависимости о от Ъ/Н для рассмотрен-

(24) ных вариантов сечений и материалов приведены на рис. 3.

Несущая способность определяется сечением V и равна 83 т для АЛ23-1 и 80 т для АЛ27-1.

Таблица 1

Р

7

Материал Сечение И , мм И , мм с, мм Ъ, мм к а в 1

АЛ27-1 IV 10 10 108 158 0,683 1 1,865 1,270

V 10 10 80 108 0,740 1 1,670 1,235

АЛ23-1 IV 12 10 108 158 0,683 0,965 1,590 1,160

V 12 10 80 108 0,740 0,958 1,445 1,130

ИССЛЕДОВАНИЯ

КО—

ЩШ ИССЛЕ)

А\

Ж г

ГРАДА

Рис. 2

кг/сиг

3000 --

2800 --

2600 --

2200 2150

1 2345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ь/Ь

Рис. 3

Экспериментальной проверке подверга- Библиографические ссылки лись кронштейны из АЛ23-1.

Несущая способность этих кронштей- 1 Кан С. Н. Строительная механика ^шюч^. М. : нов была в пределах 85-100 т. Превышение Машиностроение, 1966

экспериментальных значений несущей спо- 2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых

собности над расчетными объясняется прове- систем. М 1969

дением расчетов по минимальным толщинам. 3. Технический отчет 33-436. КБПМ. 1967

8

Статья поступила в редакцию 08.10.2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.