CC BY
17
Мерко М.А.1, Меснянкин М.В.2, Колотов А.В.3 ©
1,3Кандидат технических наук, доцент; 2старший преподаватель, кафедра «Прикладная механика», ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА С ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМОЙ ТЕЛ КАЧАНИЯ С ДИАМЕТРАМИ РАВНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Аннотация
Представлен алгоритм и пример определения координат точек лежащих на рабочих поверхностях звеньев механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины.
Ключевые слова: механизм, замкнутая система, тела качения, математическая модель, декартовая система координат, столбцовая матрица, система уравнений.
Keywords: mechanism, closed system, rolling elements, mathematical model, the Cartesian coordinate system, matrix, the system of equations.
Механизм с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины является прототипом для эксцентрикового механизма качения (ЭМК). Для ЭМК характерно смещение центров дорожек качения колец относительно друг от друга на величину эксцентриситета и наличие тел качения с диаметрами разной величины [1]. Коллективом авторов проводятся теоретические [1, 2] и экспериментальные [3, 4] исследования геометрических и кинематических параметров исполнительных механизмов технологического оборудования разработанного на базе, как эксцентрикового механизма качения, так и механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины [5].
Обеспечение требуемых положений звеньев механизмов данного вида достигается точностью определения координат точек лежащих на рабочих поверхностях его звеньев. Однозначное решение задачи о координатах точек лежащих на рабочих поверхностях звеньев возможно при помощи математических моделей, составленных для ЭМК и механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины с учетом особенностей строения их структуры [6, 7].
Рассмотрим процесс решения задачи определения координат точек, лежащих на рабочих поверхностях звеньев на примере механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины. Воспользуемся элементами теории матриц [8] для описания математической модели данного механизма без сепаратора (водило). При выборе систем координат звеньев необходимо, чтобы эти системы могли быть совмещены друг с другом посредством одного поворота и одного перемещения.
Для получения функций положения звеньев составим расчетную модель (рис. 1) и примем исходные условия и обозначения: Ru, Rn, Ов и Он - радиусы и геометрические центры дорожек качения внутреннего и наружного колец; Го, ri, ri и Хо, yo, хь yi, х,, yt - радиусы и координаты центров тел качения; системы координат звеньев - левые; ^O^T"" - неподвижная декартовая система
координат с центром в точке 0(в); 5'((1)(x01),y01)), S(1)(xj1",yj1"*),...,£г(1)(Хг(1),y(1)) - декартовые
системы координат с общим началом в точке 0(в), отличающиеся друг от друга на угловые
координаты ß,-; S(j2)(х(2),y(2)), S(2)(х|2),y|2)),...,(Х(2),y(2)) - декартовые системы координат с
началом в центрах тел качения и отличающиеся друг от друга на угловую координату q,. Начала отсчета всех систем координат связанны с геометрическими центрами звеньев механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины и лежат в точках расположенных на осях их вращения, а ось Z каждой системы координат совпадает этими осями. Во всех системах координат i=1,2,.. .,z; где z - число тел качения механизма.
© Мерко М.А., Меснянкин М.В., Колотов А.В., 2013 г.
(1) Аг<в)
х 01)
Рис. 1. Расчетная модель механизма-прототипа ЭМК без сепаратора (водило)
Положения точек С0, С1 и С, лежащих на рабочих поверхностях тел качения, относительно выбранных систем координат, описываются положениями векторов р и характеризуются проекциями на координатные оси. Переход от одной системы координат к другой осуществим при помощи формул преобразования координат, описываемых матрицами третьего порядка, т. е. матрицами вращения (поворота) и перемещения (сдвига) [7, 8].
С целью формирования требуемых матриц выполняем переход систем координат
х(1),уг(1)) в систему Хв)О(в)Тв). Для этого осуществляем поворот систем
координат
£г(-2)(*<*>,у(2)) и (у(1) вокруг оси Хг соответственно на углы \ Р, и q
!= 1
и qi таким
образом, чтобы оси координат Х(р и х<2) располагались параллельно оси Х(в) (рис. 1). В результате
выполненных действий получаем две матрицы вращения (поворота). Дополнительно для системы
координат $г(2) (хг(2), уг(2)) выполняем перемещение вдоль оси Х (в) на величину (R1 + ) до тех пор,
пока не совпадут начала отсчета преобразуемых систем, что позволяет окончательно сформировать матрицу вращения (поворота) и перемещения (сдвига).
Положение точки Сг лежащей на рабочей поверхности г-ого тела качения относительно неподвижной системы координат Хв)О(в)Тв) определяется вектором, который в матричной форме имеет вид
~ (.;" = 4'М2>.рр, (1)
где р г0) и р - столбцовые матрицы, А- матрица вращения (поворота), а! 2) - матрица
вращения и перемещения (сдвига).
Верхний индекс параметров, содержащихся в равенстве (1), соответствует номеру системы координат, относительно которой определяется положения точки Сг лежащей на рабочей поверхности г-ого тела качения, а нижний индекс указывает на вид звена.
Столбцовые матрицы равенства (1) для г-го тела качения
в).
] / Г
у!" и рр = 0
1 1
(2)
Матрица вращения (поворота), содержащаяся в равенстве (1) относительно системы координат Хв)О(в)Тв) для г-го тела качения
( n (n \
cos XP t - sin XP t 0
V -1 0 / V 1 n \ /
sin XP t cos XP t 0
t_ 1 0 t_ 1 0
0 0 1
Матрица вращения (поворота) и перемещения (сдвига), содержащаяся в равенстве (1) относительно неподвижной системы координат ^<в)0(в)у(в)
для /-го тела качения механизма
' cos(qt sin( qt
A 2>_
-sin( qt) (Ri + rt)
cos( qt) 0
(4)
0 0 1 ' Подставив (2)...(4) в равенство (1) и преобразовав, сформируем систему параметрических
уравнений
x)
У/
в)
r • cos
r • Sin
здесь
xt
0)
и
У
0)
XP t + q.
t_ i
' n \
XP t + qt
t_ i
с
+ (R1 + r )• cos + (R1 + r )• sin
XP
t_ 1
n
XPt
t_ 1
(5)
координаты точки Сг лежащей на рабочей поверхности
/-ого тела качения относительно неподвижной системы координат ^'(в)0(в)7(в).
Анализ системы (5) показывает, что полученная система параметрических уравнений является математической моделью механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины без сепаратора относительно неподвижной системы координат Х^О^-Т^-1.
В результате решения системы (5) получим координаты любых точек лежащих на рабочих поверхностях тел качения и дорожек качения наружного и внутреннего колец, а также кривые второго порядка соответствующие рабочим поверхностям этих звеньев механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины без сепаратора.
Рассмотрим процесс решения системы (5) для точек контакта тел качения с дорожками качения наружного и внутреннего колец.
Граничными условиями для точки контакта 0н (рис. 1) являются
Ч/ = qo = 0
r _ Ъ
Pt_P0_ 0,
тогда система (5) дает решение
x
в).
R + 2г0,
у0в )_ 0.
(6)
Граничными условиями для точки контакта 1н (рис. 1) являются
Ч/ = Ч1 = o,
r _ гЪ
P t _P 1,
тогда система (5) принимает вид
х1в)_ r^cos(P1)+(R1 + г)-cos(P 1), y1в)_ r^sin(P1)+(R1 + r1 )-sin(P 1).
Граничными условиями для точки контакта 0в являются
в
Я, = 9о = 1800,
Г = Г
Р, = Р о = 0,
тогда система (5) дает решение
Я
{ у0В1 = о.
Граничными условиями для точки контакта 1в (рис. 1) являются
д, = д = 1800,
г = г,
Р, = Р 1,
тогда система (5) принимает вид
х,
в)
к • cos
(р 1 + 180)+(Я + к )• СС8(Р 1),
(9)
1 - '1
у1 в > = г>п (Р1 + 180)+(Я + к )•sin (Р1).
Системы (6)...(9) содержат координаты точек контакта тел качения с дорожками качения наружного и внутреннего колец и являются частными случаями решения математической модели (5) в общем виде.
Для повышения эффективности процесса определения координат точек, лежащих на рабочих поверхностях звеньев механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины, получаемых при решении системы параметрических уравнений (5), авторами разработано программное обеспечение [9, 10], которое представляет собой совокупность программных комплексов: «Эксцентрик», «ЭПМ У1» и «ЭПМУ1.01» зарегистрированных в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ) [11-13].
С целью демонстрации возможностей программных комплексов авторами выполнен расчет координат точек, лежащих на рабочих поверхностях звеньев механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины без сепаратора (водило) при следующих исходных данных:
Яв = 40мм , Ян = 89,5931мм , Г = 24,7965мм и 2 = 8. Результат вычислений представлен в
таблице 1.
Таблица 1
Результат вычислений
в
х
вид поверхности звеньев механизма обозначение точки (рис. 1) координаты
X У
кривая второго порядка, соединяющая центра тел качения 0 64,7965 0
1 45,8183 45,8180
2 0 64,7965
3 -45,8183 45,8180
4 -64,7965 0
дорожка качения внутреннего кольца 0в 40 0
1в 28,2843 28,2846
2в 0 40
3в -28,2843 28,2846
4в -40 0
дорожка качения наружного кольца 0н 89,5931 0
1н 63,42139 63,2823
2н 0 89,5931
3н -63,42139 63,2823
4н -89,5931 0
Программные комплексы «Эксцентрик», «ЭПМ VI» и «ЭПМУ1.01» по данным таблицы 1 позволяют выполнить графическое моделирование симметричной схемы механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины без сепаратора.
В результате представленных действий получена система параметрических уравнений (5) являющейся математической моделью механизма с замкнутой системой тел качания с диаметрами равной величины без сепаратора. Решение математической модели позволяет обеспечить позиционирование звеньев механизма рассмотренного вида в требуемых положениях наименьшими погрешностями.
Литература
1. Мерко М. А. Кинематические и геометрические характеристики эксцентрикового механизма качения: автореф. дис. канд. техн. наук: 05.02.02. Красноярск, 2002. 26 с.
2. Мерко М. А., Меснянкин М. В., Митяев А. Е., Колотов А. В. Анализ взаимозависимостей геометрических параметров эксцентрикового механизма качения // Вестник Красноярского государственного аграрного университета. 2012. № 11. С. 180-184.
3. Беляков Е. В., Мерко М. А., Колотов А. В., Меснянкин М. В., Митяев А. Е. Обеспечение требуемого движения выходного звена эксцентрикового эпициклического механизма // Сборник научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. 2012. Т. 5. № 4. С. 47-51.
4. Белякова С.А., Груздев Д. Е., Беляков А. Н., Мерко М. А., Меснянкин М. В., Колотов А. В. Применение дифференциального механизма для шлифования плоских поверхностей // Сборник научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. 2012. Т.5. №4. С. 51-56.
5. Меснянкин М. В., Мерко М. А., Колотов А. В., Митяев А. Е. Определение границ областей существования механизмов-прототипов ЭМК при вводе поправки в расчет по дорожке качения внутреннего кольца // Вестник Красноярского государственного аграрного университета. 2012. № 12. С.138-141.
6. Мерко М. А., Меснянкин М. В., Шемякин Д. В., Леонтьев А. С., Собко И. В. Особенности формирования математической модели ЭМК при ведущем наружном кольце // Молодежь и наука: сборник материалов VП-ой Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых посвященной 50-летию первого полета человека в космос [Электронный ресурс] / отв. ред. О. А. Краев -Красноярск : Сиб. фед. ун-т, 2011. - Режим доступа: http://conf.sfu-kras.ru/sites/mn2011/thesis/s19/ Shemyakin.pdf.
7. Меснянкин М. В., Мерко М. А., Колотов А. В., Беляков Е. В., Белякова С. А. Математическая модель ЭМК с сепаратором при ведущем внутреннем кольце // Сборник научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. 2012. Т. 5. № 4. С. 62-67.
8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов. В 2 т. Т. 2: учеб. пособие для вузов. М: Наука, 1985. 560 с.
9. Мерко М. А., Меснянкин М. В., Файзиев А. Н., Вацлавский Е. С. Повешение эффективности проектирования эксцентриковых механизмов приводов технологического оборудования на основе ЭМК // Молодежь и наука: сборник материалов УП-ой Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых посвященной 50-летию первого полета человека в космос [Электронный ресурс] / отв. ред. О. А. Краев - Красноярск : Сиб. фед. ун-т, 2011. - Режим доступа: http://conf.sfu-kras.ru/sites/ mn2011/thesis/s19/Faiziev.pdf
10. Беляков Е. В., Колотов А. В., Применение САПР при исследовании эксцентрикового планетарного механизма // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3. С. 109-112.
11. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012614197. Программный комплекс «Эксцентрик» / Меснянкин А. В., Мерко М. А., Колотов А. В., Груздев Д. Е., Митяев А. Е., Беляков Е. В.; заявитель и правообладатель ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»; заявка № 2012612100 от 22.03.12; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12.05.12.
12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012614355. Программный комплекс «ЭПМ У1» / Беляков Е. В., Мерко М. А., Колотов А. В., Груздев Д. Е., Митяев А. Е., Меснянкин А. В.; заявитель и правообладатель ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»; заявка № 2012612237 от 27.03.12; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 16.05.12.
13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013610142. Программный комплекс «ЭПМУ1.01» / Беляков Е. В., Мерко М. А., Колотов А. В., Груздев Д. Е., Митяев А. Е., Меснянкин А. В.; заявитель и правообладатель ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»; заявка № 2012660154 от 23.11.12; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 09.01.13.
