CC BY
22
БУД1ВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦ1Я ТА ЕКСПЛУАТАЦ1Я КОНСТРУКЦ1Й I СПОРУД ЗАЛ1ЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
УДК 625.111
Борисов Э.А., к.т.н., доцент (ДонИЖТ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК КРУГОВЫХ КРИВЫХ
Проблема. На криволинейных участках проектируемых дорог все основные точки (главные, пикеты и некоторые плюсовые) должны иметь координаты в системе координат трассы.
Анализ известных решений. Для координирования точек круговых кривых используют несколько способов [1,2].
Первый способ основан на известных координатах центра кривой (точка О, рисунок 1), длине радиуса Я и центральных углах Yi для соответствующих участков кривой длиной К Координаты ьх точек находят по формулам
V у У
V У У
+ Я
о
ео8(анк + 270° + у. )" Бт(анк + 270° + у.)
(1)
где
Г х > Гх л + Я "еов(анк + 90°)
V у У о V У У нк Бт(анк + 90°)
К.
Т = -^гР, Ч Я
(2)
где р - радиан.
Во втором способе координаты точек на кривой находят по длине в^ и направлению хорд, стягивающих дуги между началом кривой (НК) и ьтой точкой (рисунок 1)
Г х ^ Г X ^
. у, 1 V У ,
НК
+ в. 1
У;
С08(анк +-Т)
2 У:
81П(анк +
(3)
где
У1
в = 2Я81П — 1 2
(4)
Уск
анк
У2
п 2 2
О
Рисунок 1 - Схема кривой для 1-го и 2-го способов
В третьем способе "прямоугольных координат" применяют методику расчета элементов (координат) разбивок (рисунок 2), согласно которой координаты равны
х^ = ЯБшу^;
у1 = Я(1-С0Бу1), (5)
где углы у вычисляют по формуле (2).
Для некоторых значений Я и у составлены таблицы [3], по которым координаты (5) определяются с точностью до сантиметров.
Указанные способы выполнения задачи дают одинаково точные решения.
ВУ
Рисунок 2 - Способ прямоугольных координат
Постановка задачи. Дополним рассмотренные способы четвертым вариантом расчета координат по внутренним хордам, расположенным между соседними точками кривой.
Основной материал. По рисунку 3 видно, что в каждом равнобедренном треугольнике для дуги длиной К! центральный угол Р! и длина хорды ф определяется формулами (2) и (4). Дирекционные углы этих
хорд получают последовательным суммированием углов Р/2 к начальному дирекционному углу анк для тангенсной линии НК-ВУ.
ВУ
ВУ
анк
1а
Ё! ч2
1 в
нк
в1
Я
в2
1б
вз
Кз
Ф
_ 2б вз .2
,КК
Рисунок 3 - Определение координат по внутренним хордам
Рт
Первая хорда в1, стягивающая дугу К1, расположена под углом -2. к
2
линии тангенса, поскольку для этой хорды угол между ней и касательной в точке НК равен половине её центрального угла.
Тогда дирекционный угол первой хорды будет равен
в!
а1 = аНК + 2
(6)
Для определения дирекционного угла следующих хорд продлим линию первой хорды в направлении НК-1-1а. Через точку 1 проведем
в
в
в
касательную 1-1 б и вторую хорду 1-2. В равнобедренном треугольнике О-
01
НК-1 углы при точках НК и 1 равны 90°- -2. Касательная 1в-1-1б к точке 1
перпендикулярна к радиальной линии 0-1, откуда угол между ней и хордой
в1 в1
1-НК, а также между 1-1а и 1-1 б равен 90°-(90°- -2)=-2.
Хорда в2 (линия 1-2) аналогично первой хорде расположена под в2
углом -2. относительно касательной 1-1 б к точке 1. Теперь дирекционный
угол второй хорды отстоит от дирекционного угла первой хорды на сумму
в1 + в2 углов ~ и равен
2
в + в2
а2 = а1 +
где а1 вычисляют по формуле (6).
Распространив этот метод на последующие хорды, найдем обобщенную формулу нахождения дирекционных углов для всех хорд до конца кривой КК:
(
а п =
в
1
л
а +
нк 2
V /V
(
+
в!+в2
2 2
л (
+
в2 + вз
2 2
+... +
Г в i в ^
rn-1 | п 2 2
аНК + 2 +
в1 + в1 + в 2 + в 2 + в3 + + в п-1 + в
2
|
2
| ... |
п
2
п вп-1 + вп = анк + ^ п 1 п.
(7)
1
2
Тогда координаты точек кривой будут равны
Г х ^ Г х
V у , п V y, НК
п
+ Z d
п
cosa
п
sma
п
(8)
где ап вычисляют по формуле (7).
Расчеты, проведенные для круговой кривой с углом поворота 90° и радиусом 1000м по всем точкам от НК до КК, показали полную идентичность результатов по всем приведенным способам, включая предложенный.
Выводы. Сравнивая эти способы с предложенным, отметим достоинство последнего в том, что вычисления дуг одинаковой длины ведутся последовательно по единым исходным данным (например, длинам дуг, равным 100м между пикетами). К недостаткам отнесем возможность накопления погрешностей при последовательном вычислении координат от точки к точке. Данный способ можно использовать как контролирующий массовые вычисления в ходе проектных и полевых работ.
Список литературы
1. Левчук Г.П. и др. Прикладная геодезия. Геодезические работы при изысканиях и строительстве инженерных сооружений. - М.: Недра, 1983.
2. Муравлев А.В., Гойдышев Б.И. Инженерная геодезия. - М.: Недра, 1982.
3. Таблицы для разбивки кривых на железных дорогах. Власов Д.И., Логинов В.И. - М.: Транспорт, 1968.
