CC BY
10УДК 539.3
Определение контактного давления в задаче о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры
© Е. А. Губарева МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Показана максимально упрощенная схема контакта тел с упругими мягкими покрытиями, дающая возможность учитывать больше явлений, протекающих в области контакта. С учетом предложенной формулы для описания нелинейного трения в [1] найдено контактное давление. Определены ресурс трибосопряжения и условие отсутствия катастрофического износа.
Ключевые слова: покрытие, трение, тепловыделение, контактное давление.
Введение. В схожей постановке задача рассматривалась в [2-6]. В работе [1] была предложена нелинейная зависимость коэффициента трения от температуры и определена контактная температура. Особый практический интерес представляет определение контактного давления. В настоящей работе определяется контактное давление при заданной зависимости коэффициента трения.
Постановка задачи о контактном взаимодействии двух тел с тонкими мягкими покрытиями. Пусть на одно тело нанесено покрытие 1 начальной толщины Ию, а на другое - покрытие 2 начальной толщины ^20^ механические и теплофи-
зические характеристики покрытий различны; механические характеристики тел значительно превосходят характеристики покрытий, так что тела по сравнению с их покрытиями можно считать абсолютно жесткими; область контакта тел с покрытиями намного превосходит толщины покрытий Ию и ^0, поэтому покрытия можно считать относительно тонкими.
Используя «принцип микроскопа» [7], представим схему контакта тел с покрытиями, как показано на рис. 1.
Пусть в момент времени I = 0 одно тело, находясь в контакте с другим, начинает двигаться относительно него с постоянной скоростью V в направлении оси г. Динамическими эффектами будем пре-
т
кщ
ЧС
Рис. 1. Схема контакта тел с покрытиями
небрегать. Обозначим через д(^) контактное давление в момент времени I, в силу «принципа микроскопа» его можно считать не зависящим от координат х и г.
Допустим, что в области контакта возникают силы трения х(1), связанные с давлением ) нелинейной зависимостью
т = к(д, Т). (1)
В качестве функции примем к (д, Т) [1]
к(д, Т) = т* -
1 _ ехр(_ М)
т*
+ 2 (Р1 +Р2 )Т *
1 _ exp(_ М)
т*
(2)
где т* - минимальное из касательных напряжений текучести материалов покрытий; к1, к2- коэффициенты трения материалов покрытий; Т *- контактная температура, коэффициенты Р1 =(1 + у1 )(1 _у1 )_1а1, Р2 = (1 + у2 )(1 _у2 )_1а 2, у1, у2 - коэффициенты Пуассона материалов покрытий; а1, а 2 - коэффициенты линейного расширения материалов покрытий.
Вследствие трения в области контакта возникает износ поверхностей покрытий. Происходит изменение толщин покрытий за счет износа и термоупругих деформаций. Обозначим текущие значения толщин покрытий через / (^) и / (^) . Износ будем считать абразивным, тогда уменьшение толщин вследствие износа произойдет соответственно на величины [8]:
(* (Г) = _111Vт ¿С = _1ХУ| к(д, Т) dC), у2* (I) = 0 0 / / /21V т dС = IV | к (д, Т) ¿С,
(3)
где /1, /2 - коэффициенты износостойкости материалов покрытий.
Ввиду трения в области контакта происходит также тепловыделение. Если пренебречь малым силами трения, вызывающими износ покрытий и приращение мощности их упругой энергии, то количество теплоты, выделяемой в единицу времени на единицу площади контакта, можно представить формулой
0 = Vk (д, Т). (4)
Износ - медленно протекающий процесс, поэтому будем считать, что функции д(*), т(*) и / (*) являются медленно меняющимися.
Определение ресурса трибосопряжения. Допустим сначала, что функция д(*) задана и найдем ресурс работы пары тел с покрытиями. Для этого заметим, что должны иметь место следующие равенства:
*) + ПД*) = _/ю + ), (5 а)
У2(_/2, *) + У2* (*) = /20 _ /2(*), (5б)
где у (у, *) - упругие перемещения точек покрытий по оси у, а ) определяются формулами (3). Относительно у1(/1,*) и у2(_/2,*) отметим, что с уменьшением / (*) справедливы асимптотические соотношения
уА,*) = й(Н1), У2(_/2,*) = 0(Ъ2) (6)
(следствие (22), приведенных ниже).
Предположим, что износ достаточно развит, тогда в силу формул (5 а), (5 б) и (6) можно записать
г
/10 _/V|к(д^ = О/), (7а)
0
/
/20 _ ^|к(д^ = О(/2). (7б)
0
Определим ресурс работы трибосопряжения как время, необходимое для полного истирания одного из покрытий. Из формулы (7а) при /1 = 0 найдем некоторое время *1 , из формулы (7б) при /2 = 0 определим некоторое время *2. Тогда ресурс равен
** = 1иГ(*1, *2). (8)
Например, при д(*) = д* = со^ имеем
** = тГ
/10 /20
Щ(д, Т) /2П(я, Т)
(9)
Интегральное уравнение для определения контактного давления. Пусть теперь функции И (г) заданы, тогда функция
5 (г) = Иш + ^20 " Ч*)" ^),
(10)
определяющая процесс сближения оснований у = И1 (*) и у = -И2 (г) покрытий, также задана. Найдем, как изменяется контактное давление д(г), для чего вычтем (5 а) из (5 б), тогда в силу (10) получим
V2 (- И2, г) - V (И1, г) + V2* (г) - V]* (г) = 5 (г).
(11)
Для определения v2(-И2, г) и v1(И1, г), т. е. вертикальных упругих
перемещений границ у = И1(г) и у = -И2 (г) покрытий, пренебрегая
инерционными членами, воспользуемся уравнениями линейной несвязанной термоупругости [9]. Принимая во внимание, что напряженно-деформированное состояние покрытий зависит только от координаты у и времени г (как параметра), получим
^=Р,4, „ у,=У, е -м'
dy2 ёу
<у
у
Р, =
1 + у,
1 -у
-ы, у, =
2(1 -у, )
1 - 2 у,
С,
(12)
где а у, - нормальные напряжения; О, - модули сдвига.
Учитывая найденные выражения для температур в покрытиях [1]
и интегрируя дифференциальные уравнения (12), получим
*
р т
V, (у, г) = 12И-у2 + ^ + ЪИ, ау, = у, (а-Р,т*), (13)
где
И1И2Ух*
т * =
е1 Г ^лл
1- ехр ——
V т* у у
1 Г Г к а^V
^ 2 И1 + М2 - - ИхИу (р1 +р2 )т* 1-ехр
2 V V Т* уу
Функции времени а, и Ъ1 определим из следующих граничных условий:
П(0, г) = V2(0, г) = 0, а у1(0, г) = ау2(0, г) = 0. (14)
В итоге получим
г) = -^ / у! + р^Т* / 2, у2(Г) = / у2 - р2й2г* / 2. (15)
_ *
Подставив соотношения (3) и (15) в (11) и исключив Т, в результате получим для определения о(г) при известных / (г) (а следовательно, и при известном 5 (г)) нелинейное интегральное уравнение Вольтерра
где
' Ь + \ '
V У 2 У1 )
(
1- ехр
оV т* х
( колл г
14 ' 21У| т(о)^ = 5(г),
V т* ))
1 ( ( к 0ЛЛ
5 = Х2/ + %1Н1 - 2 //У (Р1 +р2 )т* 1- ехр
V т* ))
(16)
т(о) = 1 - ехр
к10
ЛЛ
И1Н2 1 - ехр
к10
\Л(
V Т* ))
1- ехр
к2°
V Т* ))
V т* ))
5
Случай относительно малого времени износа. Пусть 5(г) имеет порядок упругого перемещения, это будет очевидно, если рассмотрим относительно малый отрезок времени 0 < г < г* < го . В этом
случае в уравнении (16) можно приближенно заменить / (г) на Ию. Положим также, что к (о, Т) имеет соответственно вид (2), а скорость износа постоянна, т. е.
5 (г) = 5о +5^,
(17)
где 5о и 51 - некоторые заданные постоянные. Тогда интегральное уравнение (16) после перехода к безразмерным величинам
О = ко / т*, г' = Уг /(/720 + ¿10), 50 =5о/(//ш + ¿20), 51=51/У (18)
(штрихи далее опускаем) и комплексам
а =Т* (/20у/+ +/2) , ь = Ут* (Р2/20/10 +р1/120/20), к У1У 2(/10 + /20)
(19)
С = -VТ* (р2И20И10 + р1ИшИ20) , ё = 2(^2И10 + ^1И20)(И10 + И20^
Л = (/1 + /2)х* примет вид
С С к1дЛЛ
да-
ё + с
С С к2д ЛЛ
1- ехр
V х* JJ
1- ехр
V х* JJ
И| т(д)ё $ = 50 + 5^.
(20)
Отметим, что интегральное уравнение (20) эквивалентно дифференциальному уравнению
, Ьк^ё+ф"^-Ьск2в-к2д+Ьс{к2-к1)в-(к1+к2)д , И . . 5
ад'------2-к—V2—--д'+Ит(д) =5] (21)
У (ё+с(1- е-к2д ))2 4 КЧ) 1 V 7
при начальном условии
д0а'
Ь
ё + с 1 - ехр с к2 д0 ^
V Т* J
1 - ехр
с Л V Т* J
= 5
0
(22)
где д0 - начальное безразмерное контактное давление.
Решения для частных случаев. Рассмотрим случай, когда д0 мало, и будем считать, что в рассматриваемом диапазоне времени давление д(^) также мало. Линеаризуя соотношения (21), (22), имеем
д' (а - Ьк1 / ё) + дИк1 = 51, д0а - Ьк1 / ск2 = 50. Отсюда при а > Ьк1/ ё
(23)
д = •
51 + 50 + Ьк1 / ск2 51 Ик1 V а - Ьк1 / ё Ик1
ехр
Икх I
а - Ьк1 / ё
(24)
_ , ч 50 + Ьк, / ск2
Следовательно, д(^) меняется в пределах от —----— при I = 0
а - Ьк1 / ё
до 51 / Ик1 при ^ ^го.
Пусть теперь д0 велико, и будем считать, что в рассматриваемом диапазоне времени давление д(¿) также велико. Упрощая соотношения (21), (22), имеем
h
11 + h10h20V^
4 = -^
S,
-81
о
a
q =
b /(d + c) + 80
a
где
1
S0 = Ь2h10 + b1h20 - 2 h10h20V(Pi + p2 К
(25)
Отсюда получим
f
h
1 +
h10h20 V S0
-81
q =
-t+
b /(d + c) + 80
a
a
(26)
Условие h
^ + h10h20Vx ^
S0
> является условием катастрофиче-
V )
ского износа, поскольку в ином случае давление линейно растет с течением времени.
Выводы. В задаче о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении, учитывая зависимость коэффициента трения от температуры, получено дифференциальное уравнение для нахождения контактного давления. Рассмотрены два частных случая - когда давление мало и когда давление велико, - для которых получены выражения для контактного давления. Определен ресурс трибосопря-жения. Найдено условие катастрофического износа.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Губарева Е.А., Мозжорина Т.Ю., Щетинин А.Н. Моделирование взаимодействия тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, спец. вып № 3 «Математическое моделирование», с. 122-126.
[2] Alexandrov V., Gavdzinski V. Contact Interaction of Deformed Coverings of Solids with Regard for Wear and Friction Heating. Proc. of the Second Intern. Symp. on Thermal Stresses and Related Topics, 1997, New York, Rochester, 1997, рр. 371-373.
[3] Александров В.М., Губарева Е.А. Задача о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры. Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2006, № 2, с. 10-15.
[4] Александров В.М. О термосиловом взаимодействии деформируемых покрытий тел с учетом износа. Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 5, с. 70-75.
[5] Александров В.М. Абразивный износ тонкого мягкого покрытия при нелинейном законе трения с учетом тепловыделения. Известия вузов Сев.-Кавказ. регион. Техн. науки, 2001, Спец. вып., с. 11-13.
[6] Александров В.М. Контактная задача для тел с покрытиями с учетом нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения. Известия РАН. МТТ, 2003, № 4, с. 128-135.
[7] Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. Москва, Наука, 1974, 640 с.
[8] Хрущов М.М., Бабичев М.А. Абразивное изнашивание. Москва, Наука, 1970, 251 с.
[9] Подстригач Я.С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя. Инженерно-физический журнал, 1963, т. 6, № 10, с. 129-136.
Статья поступила в редакцию 27.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Губарева Е.А. Определение контактного давления в задаче о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/solid/845.html
Губарева Елена Александровна родилась в 1982 г., окончила МГУ им. М.В. Ломоносова в 2004 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 8 научных работ в области механике контактных взаимодействий. е-mail: gubareva_ea@pochta.ru
