CC BY
19
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 621.316.1 А. П. Афанасьев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НЕОДНОРОДНОСТИ ПЛОТНОСТИ НАГРУЗКИ
ПРИ РАЗБИЕНИИ НА ВЗВЕШЕННЫЕ ПОЛИГОНЫ ВОРОНОГО
В статье предложено использование количественных показателей неоднородности плотности нагрузки на основе теории энтропии как меры беспорядка. Отмечается, что в качестве меры беспорядка на двумерных структурах, какими являются карты плотности нагрузки, предпочтительно использовать относительную энтропию Шеннона. Введение эффективной плотности нагрузки позволяет учесть характер энергопотребления в исследуемом регионе и локальную неоднородность.
Ключевые слова: неоднородность, плотность электрической нагрузки, энтропия Шеннона, диаграммы Вороного, мультипликативные диаграммы Вороного.
Введение
В настоящей работе предлагается механизм учёта неоднородности плотности нагрузки — x, y) при решении задачи определения зон ответственности трансформаторных подстанций (ТП) и радиусов действия сетей электроснабжения (СЭ), на основе взвешенных диаграмм Вороного [3].
Определение зон ответственности ТП и радиусов действия СЭ является одной из первоочередных задач при проектировании строящихся СЭ или реконструкции действующих. Полученные при решении данной задачи выводы являются основой для прогнозных оценок развития СЭ в среднесрочной и долгосрочной перспективе.
В качестве радиуса действия данного сегмента распределительной сети 0,4 кВ выступает максимальное расстояние от вершины диаграммы Вороного до границы полигона с учётом соблюдения стандартов качества (ГОСТ 13109-97) [2].
После определения зон ответственности ТП и радиусов их действия рассматриваются оптимальные технико-экономические варианты по-
Афанасьев Александр Петрович — кандидат технических наук, заведующий кафедрой технических дисциплин (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан, Россия); e-mail: [email protected].
© Афанасьев А. П., 2019
9
строения или развития СЭ в данных зонах. Для зон ответственности ТП необходимо определить количественные характеристики, которые будут служить исходными данными в технико-экономической задаче по определению оптимальных параметров элементов городских СЭ.
В качестве количественных характеристик, подлежащих определению, рассматриваются:
1. Геодезические координаты центра нагрузок;
2. Геодезические координаты точек границы полигона;
3. Максимальное расстояние от вершины до границы полигона Вороного;
4. Площадь полигона Вороного;
5. Средняя плотность нагрузки по полигону Вороного.
Максимальное расстояние от вершины до границы полигона Вороного рассматривается в качестве радиуса обслуживания ТП.
2. Количественная оценка неоднородности карты плотности нагрузки на основе алгоритмов цифровой обработки изображений
Для каждого полигона диаграммы Вороного определяется средняя плотность нагрузки по полигону:
n
СТ — ^ (!)
где Sft — мощность k — того потребителя в i — том полигоне Вороного; A — площадь i -того полигона.
Каждому значению плотности нагрузки ст, ставится в соответствие определённое значение интенсивности серого цвета по следующему правилу [4]:
gray _ level — —. (2)
тах(ст)
i
Для максимального значения плотности нагрузки принимается gray _ level — 1, что соответствует белому цвету, полигоны, имеющие меньшую плотность нагрузки, заливаются более тёмными оттенками серого цвета согласно формуле (2).
Представленная процедура позволяет получить мозаичное изображение карты плотности нагрузки, количественный анализ которого может служить инструментом для определения параметров элементов проектируемой и/или реконструируемой СЭ.
Пример такого изображения для города с низкоэтажной застройкой (например, г. Биробиджана) приведён на рисунке 1.
10
Рис. 1. Изображение карты плотности нагрузки в оттенках серого для региона сегментированного на взвешенные полигоны Вороного
Для улучшения визуального восприятия границы взвешенных полигонов диаграммы Вороного здесь отмечены светлыми линиями.
При предварительной оценке пространственного распределения нагрузки и топологической разветвлённости СЭ возникает задача определения степени неоднородности нагрузки в исследуемом регионе как по абсолютной величине, так и по пространственным координатам.
В научной и технической литературе встречается достаточно большое количество показателей неоднородности, но большинство из них имеет применение, ограниченное рамками изучаемого явления или масштабом исследуемой величины.
Так как в данном контексте мы исследуем двумерное изображение, то в качестве оценки неоднородности воспользуемся общепринятой мерой неоднородности двумерных структур - энтропией Шеннона [1].
Определение энтропии некоторой системы Е(А) следующее:
п
Е(А) = Е(р„р2,...,Рп) = -XР< 1°ё2 Р<, (3)
1=1
где р — вероятность г -того состояния системы.
Функция Е(А) обращается в нуль, если система имеет лишь одно состояние п = 1 (в нашем случае это полностью однородная заливка исследуемого региона, т. е. плотности нагрузки для всех полигонов Вороного одинаковы). С ростом числа состояний энтропия Е(А) растёт.
11
Максимум энтропии при неизменном числе состояний приходится на случай, когда все состояния равновероятны (для нашего примера это означает равенство по площади всех полигонов диаграммы Вороного).
Энтропия также обладает свойством аддитивности, т. е. когда рассматривается система, состоящая из нескольких подсистем, то энтропия системы равна сумме энтропий подсистем:
Е(А) + Е( В) +... + Е( N) = Е(А + В +... + N). (4)
Непосредственное применение энтропии в качестве количественной меры неоднородности плотности не рационально по следующим причинам:
во-первых, как было отмечено выше, энтропия зависит от размеров исследуемой области, т. е. отсутствует свойство универсальности применения данного критерия различным по величине областям;
во-вторых, энтропия фиксирует сам факт наличия различий, но не является мерой этих различий по абсолютной величине.
Например, если взять два топологически одинаковых изображения, но различных по интенсивности градаций серого, то значения энтропий этих изображений совпадут. Пример данной ситуации приведён на рисунке 2.
Рис. 2. Изображения с одинаковой энтропией
Для устранения первого недостатка можно воспользоваться выражением для относительной энтропии, которая вычисляется по формуле:
п
Е (А)г = -, (5)
1об2 п
применительно к нашей проблеме а = —'--относительная доля
На
-=1
площади ' -того сегмента взвешенной диаграммы Вороного, п — количество сегментов.
12
Для фиксации неоднородности по абсолютным значениям плотности нагрузки найдём относительный показатель величины разброса плотности нагрузки — коэффициент вариации:
(6)
а
где а — средняя плотность нагрузки по рассматриваемому региону.
Для учёта полной неоднородности плотности нагрузки в качестве комплексной меры неоднородности (в дальнейшем просто меры неоднородности плотности нагрузки) введём величину Иг равную произведению Ег и V, т. е.
Иг = Е V . (7)
Максимальное значение шах(Ег) = 1 соответствует случаю, когда все состояния равновероятны, т. е. площади взвешенных диаграмм Вороного равны. Отсюда следует соотношение И = V , таким образом, Иг определяется только различием полигонов диаграммы Вороного по коэффициенту вариации плотности нагрузки и величины плотности нагрузки, т. е. — V .
Минимальное значение шш(Ег) = 0 соответствует случаю, когда имеется всего лишь один полигон взвешенной диаграммы Вороного в рассматриваемой области, но тогда и V = 0.
Зависимость плотности нагрузки от координат имеет нерегулярный стохастический характер, и получение аналитического выражения для а = а(х, у) затруднительно.
Между тем отмечается связь между величиной и неравномерностью плотности нагрузки и топологией сети. Указывается, что для регионов с неоднородной плотностью нагрузки стоимость сети возрастает в среднем на 40 % [5].
В данной работе для учёта неоднородности плотности нагрузки предлагается использовать эффективную плотность нагрузки а^, которая учитывает фактор неоднородности плотности нагрузки как по абсолютной величине — V, так и по пространственной сегментации — Ег исследуемой области.
Так как в силу естественных трудностей, связанных со случайным недетерминистическим характером зависимости а = а(х, у), определить аналитический вид функции плотности нагрузки не представляется возможным, то можно использовать подход, подобный тому, что используется в теории возмущений [4], т. е. предполагаем, что а = а(х, у) можно формально представить в виде степенного ряда по степеням И .
v =
13
Так как при однородной нагрузке полученное выражение для с = с(x, y) должно приводить к средней плотности нагрузки с по рассматриваемому региону, то формально можно записать:
aeff = C + HrC + И2гс +... (8)
Ограничиваясь двумя первыми членами ряда, получаем линейное приближение для с = с(x, y) т. е.
Cf = (1 + Нг )C = (1 + Erv)C (9)
Величину
кн = (1 + Ev) (10)
будем считать коэффициентом неоднородности плотности нагрузки.
Коэффициент неоднородности плотности нагрузки — безразмерная величина, не связана с непосредственным увеличением плотности нагрузки, так же, как и с^, не представляет действительную плотность
нагрузки в данном регионе.
В данном контексте это просто параметр предоставляет возможность учёта неоднородности плотности нагрузки в соотношениях, где на основе плотности нагрузки рассчитываются количественные значения параметров элементов сетей ЭС.
Заключение
Предложенные количественные показатели более объективно характеризуют плотность неоднородности плотности нагрузки и учитывают как пространственную неоднородность, так и неоднородность по абсолютным значениям.
Применение данных показателей в качестве аргументов для расчёта параметров элементов городских СЭ позволяют учесть локальные особенности региона проектирования и характер энергопотребления в данном регионе
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Верещагин Н. К., Щепин Е. В. Информация, кодирование и предсказание. М.: ФМОП, МЦНМО, 2012. 238 с.
2. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения: ГОСТ 32144-2013. М.: СтандартИнформ, 2014. 19 с.
3. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 478 с.
4. Andrienko Yu. A., Brilliantov N. V., Kurths J. Complexity of two-dimensional patterns // The European Physical Journal B (EPJ B). 2000, vol. 15, Issue 3, pp. 539 — 546. https://doi.org/10.1007/s100510051157.
5. Hyvyarinen M. Electrical networks and economies of load density: Doctoral Dissertation. Helsinki: Helsinki University of Technology, 2008. 158 p.
14
•Jc -Jc -Jc
Afanasyev Alexander P.
DETERMINATION OF QUANTITATIVE INDICATORS OF HETEROGENEITY OF LOAD DENSITY WHEN DIVIDING ON WEIGHTED VORONNY POLIGONS
(Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan, Russia)
The article suggests the use of quantitative indicators of the heterogeneity of the load density based on the theory of entropy as a measure of disorder. It is noted that, as a measure of disorder on two-dimensional structures, such as load density maps, it is preferable to use Shannon's relative entropy. The introduction of an effective load density makes it possible to take into account the nature of energy consumption in the studied region and local heterogeneity.
Keywords: heterogeneity, electric load density, Shannon entropy, Voronoi diagrams, Voronoi multiplicative diagrams.
References
1. Vereshchagin N. K., Schepin E. V. Informatsiya, kodirovanie i predskazanie (Information, coding and prediction), Moscow, 2012. 238 p.
2. Normy kachestva elektricheskoy energii v sistemakh elektrosnabzheniya obshchego naznacheniya (Standards for the quality of electric energy in general-purpose power supply systems), Interstate Standard GOST 32144-2013, Moscow, StandardInform Publ., 2014. 19 p. (In Russ.).
3. Preparata F., Sheymos M. Vychislitel'naya geometriya: Vvedenie (Computational geometry: Introduction), translation from English, Moscow, Mir Publ., 1989. 478 p.
4. Andrienko Y., Brilliantov N., Kurths J. Eur. Phys. J. B (2000) 15: 539. https://doi.org/10.1007/s100510051157.
5. Hyvyarinen M. Electrical networks and economies of load density, Doctoral Dissertation, Helsinki University of Technology, 2008. 158 p.
■k -k -k
15
