CC BY
114
Таблица 2
Контурные и фактические площади контактов, их удельные давления и коэффициенты трения при температурах выше 6000С
№ Показатель Сталь 20 Сталь 65Г
ці = 0,08 ці = 0,26 ці = 0,08 ці = 0,26
1 Асі, мм2 820,0 504,7 801 493,2
2 Рсі,МПа(кгс/мм2) 11,4(1,14) 7,1(0,71) 11,6(1,16) 7,1(0,71)
3 Асі2, мм2 724,5 343,7 712,8 335,8
4 Рсі2,МПа(кгс/мм2) 10,3(1,03) 5,2(0,52) 10,5(1,05) 5,3(0,53)
5 Аті, мм2 10,8 4,16 7,06 2,73
6 Рті,МПа(кгс/мм2) 865,0(86,5) 865,0(86,5) 1316,0(131,6) 1316,0(131,6)
7 Аті2, мм2 8,7 2,0 5,7 1,35
8 Рті2,МПа(кгс/мм2) 865,0(86,5) 865,0(86,5) 1316,0(131,6) 1316,0(131,6)
9 dp1, мм 0,02 0,018 0,018 0,016
10 dp12, мм 0,02 0,017 0,018 0,015
11 М2(1) 0,646 0,640 0,570 0,560
12 М2(12) 0,641 0,630 0,570 0,560
Выполненные расчеты позволяют перейти к следующему этапу работы по определению скоростей нагрева дисков в диапазоне температур выше 6000С, мощностей тепловых потоков, условий и причин их радиальной усадки и деформации.
Литература
1. Справочник по расчету и конструированию контактных частей сильноточных электрических аппаратов / под ред. В.В. Афанасьева. - Л.: Энергоатомиздат, 1988.
2. Детали машин: сб. материалов по расчету и конструированию. - Изд. 2. Кн. 1, 2 / под ред. Н.С. Ачеркана. - М.: Машиностроение, 1953.
3. Демкин, Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей / Н.Б. Демкин. - М.: Наука, 1970.
4. Попова, Л.Е. Диаграмма превращения аустенита в сталях и бета-растворах в сплавах титана / Л.Е. Попова, А.А. Попов // Справочник термиста. - 3-е изд. - М.: Металлургия, 1991.
5. Крагельский, И.В. Трение и износ / И.В. Крагельский. - М.: Машиностроение, 1968.
6. Термическая обработка в машиностроении / под ред. Ю.М. Лахтина. - М.: Металлургия, 1980.
----------+-------------
УДК 539.3 АД. Матвеев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Предложены вероятностный и энергетический методы нахождения коэффициентов запаса прочности, которые приближенно учитывают характер распределения напряжений в конструкциях. Показан комплексный анализ прочности конструкций на основе применения некоторых положений вероятностного и энергетического методов.
Введение. В настоящее время широко применяются конструкции, которые состоят из пластичных материалов. Как известно [1-3], коэффициент п запаса прочности конструкции, состоящей из пластичного материала и имеющей статическое нагружение, определяют по формуле
п = ^ (а)
&т
Э v
где ат - предел текучести материала; ат - максимальное эквивалентное напряжение, действующее в конструкции [1-3].
Отметим, что коэффициент п, определяемый по формуле (а), неточно оценивает прочностные свойства конструкции. Это связано с тем, что коэффициент n не отражает характер распределения напряжений в конструкциях.
Рассмотрим пример. Пусть две конструкции, состоящие из одинакового пластичного материала, имеют различный характер распределения напряжений. При этом первая конструкция является равнонапряженной. В этом случае эквивалентные напряжения af конструкции постоянны во всей ее области, т.е. аЭ =а1 = const. Вторая конструкция имеет один концентратор напряжений (большие напряжения возникают в окрестности только одной точки области конструкции). Пусть а2 = max(a2), где аЭ - функция
эквивалентных напряжений второй конструкции. При а1 = а2 = ат в силу (а) получаем п1 = = 1,
а1
п2 = = 1, т.е. коэффициенты запаса прочности п1, п2 соответственно первой и второй конструкций
а2
равны. Как известно [3], конструкция (состоящая из пластичного материала) разрушается, если в ней возникает область Sp пластического состояния определенных размеров, S с S , S - область конструкции. В
области Sp эквивалентные напряжения постоянны и равны ат. При а1 = ат первая конструкция разрушается, так как вся ее область находится в пластическом состоянии (Sp = S). У второй конструкции при а2 = ат пластическое состояние возникает только в одной точке ее области (в этой точке max(a2) = а2). Поэтому вторая конструкция не разрушается и продолжает выполнять свои функции. Итак, при равенстве максимальных эквивалентных напряжений (при аэт =а1 =а2 =ат) вторая конструкция (имеющая один концентратор напряжений) является более прочной, чем первая (равнонапряженная) конструкция. Таким образом, характер распределения напряжений в конструкциях влияет на их прочностные свойства.
Следует отметить, что причинами разрушения конструкций при их эксплуатации также могут быть силовые воздействия технологического характера и производственные дефекты. Такими причинами, например, являются: монтажные усилия (которые могут возникнуть при монтаже конструкций), микротрещины, царапины, остаточные напряжения (которые могут возникнуть при изготовлении конструкций), дефекты сварных соединений, нарушение условий эксплуатации конструкций и т.д. [3]. В силу этих причин разрушение конструкции может произойти в любой точке ее области (например, в окрестности микротрещины, возникшей в процессе изготовления конструкции). Поскольку возникновение такого рода причин носит вероятностный характер [3], то возможное разрушение конструкции в каждой точке ее области можно рассматривать как событие, которое может совершаться с некоторой вероятностью. В связи с этим при анализе прочности и надежности конструкций используют параметр, показывающий вероятность разрушения конструкции [2]. В настоящий момент вероятности разрушения конструкций определяют без учета распределения напряжений.
В данной работе предложены вероятностный и энергетический методы определения коэффициентов запаса прочности конструкций [4]. Эти методы приближенно учитывают характер распределения напряжений в конструкциях. В основе вероятностного метода лежит соотношение, которое представляет коэффициент запаса прочности конструкции через вероятность ее разрушения. При этом вероятность разрушения конструкции определяется с учетом распределения напряжений. Энергетический метод реализуется в конечноэлементной форме [5]. В данном методе используется функция, выражающая уровень энергии опасного состояния конструкции через удельные потенциальные энергии формоизменения всех конечных элементов дискретной модели. Эта функция строится с учетом распределения напряжений в конструкции. Показан комплексный метод анализа прочности конструкций, в котором используются некоторые положения энергетического и вероятностного методов. Приведен пример расчета.
1. Вероятностный метод. Как известно [2], вероятность p разрушения конструкции возрастает при уменьшении ее коэффициента n запаса прочности и наоборот: увеличение коэффициента запаса прочности конструкции приводит к уменьшению вероятности ее разрушения. В связи с этим вводим следующее
предположение, которое лежит в основе вероятностного метода. Считаем, что между величинами n, p , которые отвечают различным нагружениям конструкции, существует взаимно однозначная связь вида n = f (p), где функция f отражает ряд факторов, влияющих на прочность конструкции. Положения вероятностного метода состоят в следующем.
Положение 1.1. Конструкция состоит из пластичного материала, имеет статическое нагружение и определенные условия крепления. Считаем, что коэффициенты запаса прочности и вероятности разрушения данной конструкции, отвечающие различным ее нагружениям, связаны функциональной зависимостью вида
n = f (p), (1)
где n - коэффициента запаса прочности и p - вероятность разрушения конструкции,
f (p) - непрерывная функция, имеющая обратную f -1, т. е. p = f ~l(n),
f(p) > 0, 0 < p < 1, f(1) = 0 . (2)
Функция f (p) для данной конструкции отражает ее физические свойства, форму и размеры, харак-
тер нагружения, качество изготовления, условия крепления и эксплуатации.
N
Положение 1.2. Конструкцию представляем областями Vt (V = U Vi, где V - область конструкции,
i=1
N - число областей Vt), в которых расположены концентраторы напряжений.
Положение 1.3. Считаем, что разрушение конструкции может произойти в любой из ее областей: V1 ,...,VN, причем возможные разрушения конструкции в областях V1 ,...,VN являются независимыми (по вероятности) событиями.
Следует отметить, что дефекты, которые могут вызвать разрушение конструкции, возникают в областях V1 ,...,VN независимо друг от друга (например, возникновение микротрещин при изготовлении конструкции).
Положение 1.4. Коэффициент запаса прочности ni области Vt конструкции определяем по формуле
n = —, i = 1,..., N , (3)
ii
7э
где 7т - предел текучести; (г1э - максимальное эквивалентное напряжение области Vt, т.е.
о1э = max (7э); 7э - функции эквивалентных напряжений конструкции.
Положение 1.5. Считаем, что коэффициент запаса прочности ni и вероятность разрушения pt области Vi связаны соотношением
ni = f (pi), i = 1,...,N. (4)
В первом приближении функцию f (p) с учетом (2) представим в виде
f (p) = а0(1 - p), а0 = const, а0 > 0. (5)
В этом случае в силу (1), (5) имеем
n = «0(1 - p). (6)
Отметим, что для функции f (p) вида (5) существует обратная, т.е. эта функция удовлетворяет положению 1.1. При использовании представления (6) параметры nt, pi области Vi, согласно положению 1.5, удовлетворяют равенству
n; =«0(1 - pi), i = 1,...,N. (7)
При анализе прочности конструкций, которые состоят из пластичных материалов и имеют статическое нагружение, широко используют четвертую теорию прочности [1]. Коэффициент n0 запаса прочности конструкции по четвертой теории прочности вычисляют по формуле
n 0 = 7, (8)
7И
m
_э
где ат - максимальное эквивалентное напряжение конструкции, определенное по четвертой теории прочности [1].
Рассмотрим приближенный способ определения коэффициента а0. Согласно четвертой теории, прочность конструкции эквивалентна прочности стержня (образца), который работает на растяжение и состоит из такого же материала, что и конструкция. При этом напряжение в стержне равно аэт и коэффициент
запаса прочности стержня-образца (как и конструкции) равен п0 = 7т / 7эт. Пусть вероятность разрушения стержня (образца) равна р0. Тогда существует такое а0 > 0, что п0 = а0 (1 - р0). Значение р0 можно определить с помощью испытаний, проведенных для стержней (образцов), коэффициенты запаса прочности которых равны п0 и которые состоят из такого же материала, имеют такое же качество изготовления и такие же условия эксплуатации, как и данная конструкция. Заметим, что в приближенных расчетах параметр р0 может быть задан [2]. Пусть для коэффициента п0 параметр р0 известен. Тогда из равенства
п0 =а0(1 - р0) получаем
п0
а0 =—^-. (9)
1 - р0
Испытания показывают, что вероятность р0 разрушения стержня (образца) зависит от качества его
т и 7т. В силу (8), (9) и коэффициент а0
изготовления и условий эксплуатации, от значений напряжений 7эт и 7т. В силу (8), (9) и коэффициент а
также зависит от значений 7т, 7т, от качества изготовления и условий эксплуатации стержня (образца), т.е. конструкции. С помощью (7), (9) вероятность р1 разрушения области у представим как
п
р1 = 1 - (1 - р0), I = 1,..., N. (10)
п0
Пусть р1 > 0. Из р1 > 0 в силу (3), (8), (10) следует неравенство
7Э >7т (1 - р0) . (11)
Так как значение вероятности не может быть отрицательным, то рассматриваем такие области у
конструкции, напряжения 71э в которых удовлетворяют условию (11). Пусть рг > 0 для I = 1,..., N . Считая возможные разрушения конструкции в областях у,...,VN независимыми (по вероятности) событиями (см. положение 1.3), находим вероятность рг разрушения конструкции хотя бы в одной из ее областей У ,...,VN по формуле [6].
N
рг = 1 - П (1 - р1 )• (12)
I = 1
Согласно (6), параметру рг отвечает коэффициент пг, т.е. имеем пг =а0(1 - рг). С учетом (9) коэффициент запаса прочности пг конструкции (отвечающий вероятностному методу) равен
1-р
0 1 1 - р0
г (13)
В силу (3), (10), (12) имеем зависимость рг = рг(71,...,7^), т.е. значение рг зависит от макси-
N -
'г э’***’~'э
мальных эквивалентных напряжений 7^,...,7Э^ соответственно областей у,...,УN. Следовательно, значение рг вероятности разрушения конструкции приближенно отражает ее характер распределения напряжений. Величина а0 (как отмечалось ранее) зависит от значений напряжений 7эт, 7т, от качества изготовления и условий эксплуатации конструкции. Согласно (13), пг = пг (а0, рг). Таким образом, коэффи-
циент nr приближенно отражает характер распределения напряжений в конструкции, ее физические свойства (т.е. предел текучести 7т), качество изготовления и условия эксплуатации.
Рассмотрим пример. Пусть конструкция имеет q (q > 1) подобластей Vj ,...,Vq (т.е. пусть конструкция имеет q концентраторов напряжений), в которых максимальные эквивалентные напряжения 7;j,...,73q
э
отличаются от максимального эквивалентного напряжения 7m конструкции на достаточно малую величину, 73m = max (7j7^). Поэтому принимаем: 71э =73m (i = 1,...,q) и в силу (3), (8), (10) имеем: nt = n0 =7т / 73m, pt = p0, i = 1,..., q. Пусть для коэффициента n0 известно p0. Тогда вероятность разрушения pr (q) и коэффициент запаса прочности nr (q) данной конструкции в силу (12), (13) (pi = p 0, i = 1,—, q) соответственно равны:
pr(q) = 1 - (1 - po)q, nr(q) = no(1 - po)q-1. (14)
Пусть q = 9, p0 = 0,01. Используя формулы (14), получаем: pr (9) = 0,0868, nr (9) = 0,922n0. Имеем nr (9) < n 0, при этом коэффициент запаса прочности nr (9) на 7,8% меньше коэффициента n 0. В самом деле, при увеличении числа q концентраторов напряжений (при 73m = const) в силу (14) увеличивается вероятность разрушения pr конструкции и уменьшается ее коэффициент запаса прочности nr, а значит, уменьшается ресурс работы конструкции, что подтверждается на практике. Заметим, что значение коэффициента n0 запаса прочности конструкции, определяемого по формуле (8), при увеличении числа q
(при 73m = const) не меняется (n0 =7т / 73m = const). Итак, в данном примере коэффициент nr более точно оценивает прочность конструкции, чем коэффициент n0.
2. Энергетический метод. Рассмотрим конструкцию, которая состоит из пластичного материала и имеет статическое нагружение. Пусть для данной конструкции построено конечноэлементное решение. В центре тяжести КЭ Ve (e = 1,..., N, N - общее количество КЭ) определяем эквивалентное напряжение
7^ по четвертой теории прочности [1]. Считаем, что в области КЭ Ve: 7; = const, e = 1,..., N . В этом
случае удельную потенциальную энергию формоизменения Пф КЭ Ve представим в форме [1]
п ф (7;)=«М!, ,15,
3E
где E - модуль Юнга, ц - коэффициент Пуассона, e = 1,..., N .
Пусть в КЭ Vm возникает максимальное эквивалентное напряжение 73m конструкции, 1 < m < N . Согласно четвертой теории прочности (при 73m = const в области КЭ Vm), энергия Пр предельного (опасного) состояния конструкции определяется удельной потенциальной энергией nm формоизменения КЭ Vm. Считают, что конструкция находится в опасном состоянии, если Пр = nm (7т), т.е. согласно (15)
при e = m, если 73m =7т. Как известно, всякое изменение формы КЭ Ve (т.е. изменение энергии формоизменения КЭ Ve) приводит к изменению формы КЭ Vm (т.е. к изменению энергии формоизменения КЭ
Vm), e = 1,...,N, e Ф m. Причем, чем дальше КЭ Ve находится от КЭ Vm, тем меньше КЭ Ve влияет на
изменение формы КЭ Vm, т.е. тем меньше КЭ Ve ,,изменяет'' энергию формоизменения КЭ Vm. Таким образом, энергии формоизменения КЭ Ve, e = 1,...,N, e Ф m, влияют (в разной степени) на энергию формоизменения КЭ Vm. В связи с этим вводим следующее предположение (которое лежит в основе энергетического метода). Считаем, что уровень энергии Пр опасного состояния конструкции (при 7; = const в области КЭ Ve, e = 1,..., N ) определяется значениями удельных потенциальных энергий формоизменения
'кретиой мопепи те считаем что "П_ _ (-П1 АА n
всех КЭ дискретной модели, т.е. считаем, что Пр = Пр (ПфП^). Положения энергетического метода
состоят в следующем.
Положение 2.1. Конструкцию представляем разбиением на КЭ Ve, e = 1,..., N, N - общее количество КЭ. Разбиение области конструкции на КЭ такое мелкое, что считаем: в области КЭ Ve: 7; = const, где 7Э; - эквивалентное напряжение КЭ Ve, посчитанное по четвертой теории прочности (в центре тяжести КЭ Ve).
Положение 2.2. Считаем, что энергия Пр опасного состояния конструкции определяется обобщенной удельной потенциальной энергии формоизменения Пm КЭ Vm (в котором возникает максимальное эквивалентное напряжение конструкции), т. е. считаем Пр = П 0m.
Положение 2.3. Энергию П0m находим по формуле
N
П0 = У П m ,
me
e=1
где Пm - энергия, которую „порождает” КЭ Ve в КЭ Vm (e = 1,..., N, e Ф m).
Положение 2.4. Энергия Пm имеет вид
Пm = nфF(rem),
где F(rem) - непрерывная строго убывающая функция (функция влияния); r^ - расстояние между центрами тяжести КЭ Ve и Vm. Функция влияния F удовлетворяет условиям: F(0) = 1, F(<^) = 0. Итак,
согласно положениям 2.2-2.4, имеем Пр = Пр (Пф,...,nN).
Положение 2.5. Считаем, что прочность конструкции эквивалентна прочности стержня (образца), который работает на растяжение. При этом обобщенная удельная потенциальная энергия формоизменения
Пm КЭ Vm равна удельной потенциальной энергии формоизменения Пс стержня (образца), т.е.
П0 П 7ЭЧ (1 + М) (70э )2 (16)
Пm = Пс (70) =---------—------- , (16)
3E
где 7,Э - напряжение стержня (образца).
Напряжение 7,Э назовем обобщенным эквивалентным напряжением конструкции.
Положение 2.6. Считаем, что конструкция находится в опасном состоянии, если П0m = Пс (7т), т.е.
согласно (16), если 70 = 7т .
{ „m Л
Принимаем F (rem) = exp
r
o
, где 2ro - диаметр КЭ Vm. Тогда согласно положению 2.4,
( rm Л
re
r
V o J
e = 1,..., N. (17)
Используя положение 2.3 и формулы (15), (17), энергию П0m запишем в форме
3E e=1 Сравнивая (16), (18), получаем
(18)
^-Э _э 70 = 7m ■
N
1 + Z^expHf / ro) , (19)
e=1(e^:m)
где ае = гэе / гэт; ае < 1, так как гэт > гэе ПРИ е = 1,...,N, е ф т; гэт = шахГгэм).
Коэффициент запаса прочности пэ конструкции, отвечающий энергетическому методу, определяем по формуле
п3 =7. (20)
4 '
7П
'0
Согласно (19), (20), имеем nэ = nэ (af ,■■■,а% ) , т.е. значение коэффициента nэ зависит от напря-
жений 7{*гэм, действующих соответственно в областях КЭ У1 ,...,УМ. Значит, коэффициент запаса
прочности пэ приближенно отражает характер распределения напряжений в конструкциях.
Рассмотрим пример. Пусть гэт =7т и гэе = 7т, е = 1,..., q; q > 1 (т.е. в области Бр, состоящей из КЭ У1,...,Уq, возникает пластическое состояние). Пусть КЭ У1 находится в центре области Б р. Используя формулу (19), имеем
q N_
ae ' e
а0(q) = аТл 1 + У exp(-rm / r0) + Уa2 exp(-rf / r0), (21)
e=2 e=q+1
где ae = аэе / ат, ae < 1; ae = 1 для e = 1,..., q; N - общее количество КЭ.
При увеличении числа q (при увеличении размеров области Sp пластического состояния конструкции) в силу (21) возрастает обобщенное эквивалентное напряжение а0 (q) конструкции. Согласно (20), при возрастании а0 (q) уменьшается коэффициент nэ запаса прочности конструкции, т.е. уменьшается время ее эксплуатации (что подтверждается на практике). Отметим, что при аэт = ат коэффициент n0 запаса прочности конструкции (определяемый по известной формуле (8)) равен n0 = ат / аэт = 1 и с увеличением числа q значение коэффициента n0 не изменяется. Итак, в данном примере коэффициент nэ более точно оценивает прочность конструкции, чем коэффициент n0.
3. Комплексный метод. Данный метод анализа прочности конструкций основан на применении формул вероятностного и энергетического методов. Рассмотрим этапы реализации комплексного метода. Пусть конструкция состоит из пластичного материала, имеет статическое нагружение и q концентраторов напряжений. Пусть для конструкции построено конечноэлементное решение. В центре тяжести КЭ Ve по четвертой теории прочности определяем эквивалентное напряжение аэе, e = 1,..., N, N - общее количество КЭ. Считаем, что в области КЭ Ve: аэе = const. Пусть в центрах непересекающихся областей V1, ..., Vq
q
конструкции расположены концентраторы напряжений, V = U V1, где V - область конструкции. Для об-
i=1
ласти Vi находим максимальное эквивалентное напряжение а^. = max (аэе), N. - количество КЭ об! e=1,...,N.
ласти V1, 1 < т. < N., т.е. напряжение а^. возникает в КЭ Vm, zVl ( КЭ Vm, лежит в центре области V1), i = 1,..., q. Применяя в (19) аэщ вместо аэт, для области V1 вычисляем обобщенное эквивалентное напряжение а0.
_э
а0 =ат.
N.
1 + У ae2 exp(-remi / Го ) , (22)
e=1^m.
где ae =аэе / аэт., e = 1,..., N., гm - расстояние между центрами тяжести КЭ Ve и V, (1 < т. < N.), 2r0 - диаметр КЭ Vm., i = 1,..., q.
Пусть в КЭ Vm, 1 < ш < N, возникает максимальное эквивалентное напряжение аэш конструкции, т.е. аШ = шах(а1э,..., аN). Тогда, как известно, коэффициент запаса прочности п0 конструкции равен п0 = ат / аШ. Используя в (3), (10) а10, пк вместо а1э, п., находим коэффициент запаса прочности пк и вероятность разрушения рк области V1
k
ат k і ni п ч
:—Т ' pi = 1----------(1 - pG),
-
(23)
а
G
G
где і = 1,..., q, р0 - известно.
Пусть рІ > 0, і = 1,..., q. Тогда вероятность рк разрушения конструкции хотя бы в одной из об-
q
ластей V1,..., У<1 равна рк = 1 - П (1- Рі )• Используя в (13) рк вместо рг, определяем коэффици-
і=1
ент запаса прочности пк конструкции (отвечающий комплексному методу)
q
k п (1 - pk)
-k = nG i=1
, (24)
1 - p G
4. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим анализ прочности двумерного изотропного однородного линейно-упругого тела размерами 72h x 72h (h = G,5), которое испытывает плоское напряженное состояние [7] и расположено в декартовой системе координат xOy (рис.).
Модуль Юнга тела Е = 1, коэффициент Пуассона /л = 0,3. При у = 0 имеем и = V = 0, граница крепления тела на рисунке отмечена штриховкой. Тело в точках с координатами (72к, ), где
= 30к + к (} -1), } = 1,...,30, нагружено силами qx = 1,2 (см. рис.). При решении данной задачи по методу конечных элементов [5] используем дискретную модель, состоящую из квадратных КЭ 8е (е = 1,...,5184) первого порядка со стороной к. В центре тяжести КЭ 8е посчитаны эквивалентные напряжения аЭ по четвертой теории прочности [1]. В таблице даны значения эквивалентных напряжений, действующих в окрестности крепления тела, где х. = 0,5к + к (г -1), хг+4 = 69,5к + к(г -1), уг = 0,5к + к (г -1), г = 1,2,3; х4 = 20,5к . Расчеты показывают, что в точке А тела с координатами х = 71,5к; у = 0,5к (см. рис.) действует эквивалентное напряжение аэА = 2,404, которое является мак-
k
n
симальным для всей конструкции (табл.). Пусть <гт = 4. Тогда коэффициент п0 запаса прочности конструкции согласно (8) равен
^т
= 1,664. (25)
J A
n
Q
y I x xi x 2 x 3 x 4 x5 x 6 x 7
Уо 2,156 1,570 1,332 0,766 1,478 1,751 2,404
У 2 1,948 1,705 1,438 0,779 1,607 1,915 2,196
y 3 1,710 1,630 1,469 0,792 1,652 1,846 1,947
В точке B тела с координатами x = 0,5h; y = Q,5h (см. рис.) действует эквивалентное напряжение j3B = 2,156. Итак, в окрестностях точек A, B, т. е. в областях S0, S2 (см. рис.), тело имеет два концентратора напряжений. При этом напряжение <j3B отличается от напряжения j3A на 10,3%. Для анализа прочности данного тела используем комплексный метод, используя функцию влияния вида F(т?) = exp(-rem I Го ) .
12
Область S (S ) размерами 30h x 30h представлена КЭ Se, e = 1,...,900. Отметим, что даль-
12
нейшее увеличение размеров областей S , S при данном выборе функции влияния не приводит к суще-
12
ственному изменению результатов. Пусть максимальное эквивалентное напряжение области S1 ( S2) возникает в КЭ S0, причем в области S1: а0э =J3A, в области S2: а0э =J3B. Для областей SO, S2 обобщенные эквивалентные напряжения jQ, jQ (считая, что в области КЭ Se: j3e = const) вычисляем по формулам (см. (22))
^1
j0 =JA
9QQ
1 + £ae2exp(-re1I ro) = 2,698,
e
e=2
где ae =J3e I J3A (J03 = J3A), rQ = 0,5h , г] - расстояние между центрами тяжести КЭ Se и S0,
;v
_2 _ _э JQ = JB
9QQ
1 + У a;2 exp(-re11 ro) = 2,416,
e e=2
где ae = а3е I j3b JO = J3B).
'в ' ^ В (^ 1 _ ^в-
Пусть вероятность разрушения данной конструкции для коэффициента п0 равна 0,01, т.е. пусть
1 2
р0 = 0,01. Используя формулы (23), для областей £ , £ находим коэффициенты запаса прочности: п* = ат 1а0) = 1,483, п2 = ^т / &0 = 1,656 и вероятности возможного разрушения областей £1, £2:
р1 = 1 - щ (1 - р0)/п0 = 0,117, р* = 1 - п2 (1 - р0)/п0 = 0,0147 . Вероятность ркг разрушения
12
конструкции хотя бы в одной из областей £ , £ вычисляем по формуле р* = 1 - (1 - р* )(1 - р2) = 0,129. Коэффициент запаса прочности конструкции согласно (24) равен п* = п0(1 - р*) /(1 - р0) = 1,462. Итак, коэффициент запаса прочности п* (отвечающий комплексному методу) на 12% меньше коэффициента запаса прочности п0, определяемого по известной формуле (25)
для максимального эквивалентного напряжения а3т конструкции (без учета распределения напряжений в конструкции).
Литература
1. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - Киев: Наук. думка, 1975.
2. Биргер, И.А Расчет на прочность деталей машин / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, Г.Б. Иосилевич. - М.: Машиностроение, 1993.
3. Москвичев, В.В. Основы конструкционной прочности технических систем и инженерных сооружений / В.В. Москвичев. - М.: Наука, 2002.
4. Матвеев, А.Д. Анализ прочности с учетом распределения напряжений в конструкциях / А.Д. Матвеев;
Краснояр. гос. ун-т. - Красноярск, 2006. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ. №1298 - В2006.
5. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975.
6. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн - М., 2003.
7. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1970.
-----------♦'-------------
УДК 631.3(075.8) Н.И. Селиванов, В.С. Кирин, Р.А. Эбель
ОЦЕНКА ТЯГОВО-СЦЕПНЫХ СВОЙСТВ КОЛЕСНОГО ТРАКТОРА К-701
Получены параметрические уравнения связи буксования с коэффициентом использования веса; установлены максимальные и допустимые значения тягового КПД, определяющие ширину рациональных тяговых диапазонов; определены условия рационального агрегатирования тракторов с переменными массоэнергетическими параметрами в составе почвообрабатывающих и посевных агрегатов.
Сельскохозяйственные тракторы общего назначения 5-го тягового класса предназначены для выполнения основных сельскохозяйственных работ в составе почвообрабатывающих, посевных и транспортных агрегатов. По результатам эксплуатации и лабораторно-полевых испытаний трактора К-701 с одинарными и сдвоенными колесами установлены основные рабочие передачи (1 -3,11-111 режимов) в составе почвообрабатывающих комплексов, обеспечивающие диапазон тяговых усилий от 36 до 60 кН при скоростях движения 3,3-1,7 м/с и тяговой мощности 105-120 кВт. Определяются режимы рабочего хода в основном загрузкой двигателя, тягово-сцепными свойствами трактора на основных фонах и колебаниями внешней нагрузки, параметры распределения которой соответствуют V. = 0,05-0,07 при частоте основного энергетического
Ркр
спектра = 2,0 - 3,0 с-1 [1,2].
По результатам лабораторно-полевых экспериментов получены усредненные значения коэффициентов а и в уравнения регрессии, связывающего коэффициенты использования веса трактора <ркр = (РкрЮЭ)
и буксования 5 = а Ркр при установленных значениях давления в шинах ФД-12(28,Ж26) и коэффициенте в -Ркр
сопротивления перекатывания трактора 1 на различных фонах (табл. 1).
Таблица 1
Коэффициенты уравнения буксования, сцепления и сопротивления перекатыванию трактора К-701
Фон а в Рк max f Р пер. /зад,. МПа
Стерня 0,110 0,773 0,54 0,10 0,14/0,14
Поле, подготовленное под посев 0,086 0,640 0,52 0,16 0,14/0,13
Полученные уравнения протабулированы при различных сочетаниях фкр и 1, что позволило определить максимальные значения коэффициента сцепления рктах, соответствующие допустимому буксованию
5дтрактора, и установить графические зависимости 5 = 1(рр) на указанных фонах (рис. 1).
