CC BY
25
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 63
Tomsk State University Journal of Control and Computer Science
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ MATHEMATICAL MODELING
Научная статья
УДК 532.546: 519.63
doi: 10.17223/19988605/63/4
Определение коэффициента пьезопроводности на основе модели упругого режима разработки пласта
Ханлар Мехвали оглу Гамзаев
Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, Баку, Азербайджан, [email protected]
Аннотация. Рассматривается процесс нестационарного однофазного плоскорадиального течения в однородном цилиндрическом пласте, разрабатываемого в упругом режиме. В качестве математической модели этого процесса предлагается одномерное параболическое уравнение пьезопроводности в цилиндрических координатах. В рамках данной модели поставлена коэффициентная обратная задача, заключающаяся в определении коэффициента пьезопроводности пласта по дополнительно заданному условию относительно давления в скважине. Предложены специальные представления для уравнения пьезопроводности и граничного условия относительно расхода жидкости на скважине. Построен дискретный аналог поставленной задачи на основе метода конечных разностей с использованием явно-неявной аппроксимации по времени. Для численного решения полученной разностной задачи предлагается декомпозиция, позволяющая при каждом дискретном значении временной переменной расщепить задачу на две взаимно независимые линейные разностные задачи второго порядка, для решения которых используется устойчивый метод Томаса. В результате получена явная формула, по которой определяется значение коэффициента пьезопроводности пласта. На основе предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные расчеты для модельных задач, результаты которых подтверждают эффективность предложенного численного метода.
Ключевые слова: упругий режим разработки; плоскорадиальное течение в пласте; коэффициент пьезопроводности; коэффициентная обратная задача; явно-неявная аппроксимации по времени; разностная задача.
Для цитирования: Гамзаев Х.М. Определение коэффициента пьезопроводности на основе модели упругого режима разработки пласта // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 63. С. 29-36. doi: 10.17223/19988605/63/4
Original article
doi: 10.17223/19988605/63/4
Identification of the piezoconductivity coefficient based on the elastic mode model of reservoir development
Khanlar M. Gamzaev
Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan, [email protected]
Abstract. The process of nonstationary single-phase plane-radial flow in a homogeneous cylindrical reservoir developed in an elastic mode is considered. A one-dimensional parabolic piezoelectric equation in cylindrical coordinates is proposed as a mathematical model of this process. Within the framework of this model, a coefficient inverse problem is posed, which consists in determining the piezoelectric conductivity coefficient of the formation according
© Х.М. Гамзаев, 2023
to an additional condition relative to the pressure in the well. Special representations are proposed for the piezo conductivity equation and the boundary condition with respect to fluid flow at the well. A discrete analogue of the problem is constructed on the basis of the finite difference method using explicit-implicit approximation in time. For the numerical solution of the resulting difference problem, a decomposition is proposed that allows for each discrete value of a time variable to split the problems into two mutually independent second-order difference problems, for which the stable Thomas method is used. As a result, an explicit formula is obtained by which the value of the piezo conductivity coefficient of the formation is determined. Based on the proposed computational algorithm, numerical calculations were carried out for model problems, the results of which confirm the effectiveness of the proposed numerical method.
Keywords: elastic mode of development; plane-radial flow in the formation; piezoelectric conductivity coefficient; coefficient inverse problem; explicit-implicit approximation in time; difference problem.
For citation: Gamzaev, Kh.M. (2023) Identification of the piezoconductivity coefficient based on the elastic mode model of reservoir development. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 63. pp. 29-36. doi: 10.17223/19988605/63/4
Введение
Известно, что в начальном периоде разработки нефтяных месторождений с начальным пластовым давлением выше давления насыщения нефти газом развивается упругий режим. В упругом режиме разработки в пласте образуется однофазный фильтрационный поток, и его движение к скважинам происходит за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и нефти. Для моделирования процессов, происходящих при разработке нефтяных пластов в упругом режиме, используются система уравнений [1-3], включающая в себя дифференциальное уравнение неразрывности однофазного фильтрационного потока
^ + = (1)
дг
закон фильтрации в виде закона Дарси
V = --(Vp-pg) (2)
и уравнения состояния нефти и пористой среды
р = р0^(, ф = ф0ес-(^ (3)
где р - давление, ф - коэффициент пористости, р - плотность жидкости, V - вектор скорости движения нефти в пористой среде, ц - вязкость нефти, к - абсолютная проницаемость пористой среды, - коэффициент сжимаемости нефти, § - вектор ускорения свободного падения, ог - коэффициент упругости пласта, р0, ф0 - плотность нефти и коэффициент пористости при фиксированном значении пластового давления р = р0 .
Для однородных пластов и слабосжимаемых жидкостей, каковыми являются нефть и нефтепродукты, система уравнений однофазного течения (1)-(3) преобразуется к одному линейному уравнению параболического типа относительно пластового давления (без учета гравитации) [2, 3]
др .д2 р д2 р д2 р.
— = х(—— + —— + ——) (4)
- АЛ -2 -,2 -.2 > ' V '
д1 д х д у д г
где х =--коэффициент пьезопроводности пласта.
ф0(о/ + 0-
Очевидно, что для решения практических задач, связанных с проектированием и разработкой однородных пластов в упругом режиме, с помощью модели (4) необходимо знать коэффициент пьезо-проводности пласта, а также иметь начальное и граничные условия, описывающие начальное состо-
яние пласта и взаимодействие пласта с его окружением. Обычно граничные условия задаются относительно давления или расхода жидкости на скважинах, где давление и расход жидкости доступны непосредственным измерениям, и на внешней границе пласта.
Известно, что коэффициент пьезопроводности пласта был введен В.Н. Щелкачевым и является одним из наиболее важных гидродинамических параметров упругого режима. Этот параметр характеризует скорость перераспределения давления в пласте при упругом режиме разработки. В практике разработки нефтяных месторождений коэффициент пьезопроводности определяют либо методами кривой восстановления давления, либо по наблюдению за реагированием скважин на возмущение соседних скважин [2-4]. Однако для применения этих гидродинамических методов исследований в практике разработки месторождений необходимо останавливать эксплуатационные скважины на определенное время, что впоследствии сопровождаются со значительными потерями в добыче нефти. В связи с этим важное значение имеет определение коэффициента пьезопроводности на основании информации, полученной из скважины в процессе ее эксплуатации. В настоящей работе задача определения коэффициента пьезопроводности пласта представляется как коэффициентная обратная задача для одномерного уравнения пьезопроводности и предлагается численный метод ее решения.
1. Постановка задачи и метод решения
Пусть рассматривается цилиндрический однородный нефтеносный пласт с начальным давлением выше давления насыщения нефти газом, толщиной к и радиусом Я , ограниченный сверху и снизу непроницаемыми плоскостями. По оси цилиндра расположена добывающая гидродинамически совершенная скважина радиуса . Боковая внешняя граница пласта также считается непроницаемой
для жидкости. В начальный момент времени I = 0 скважина впускается в эксплуатацию, и в пласте возникает упругий режим разработки. За счет потенциальной энергии упругой деформации нефти и пласта начинается плоскорадиальное движение нефти сначала в ближайших окрестностях забоя скважины, затем во все более удаленных областях пласта. Математическая модель однофазного течения в пласте (4) для данного нестационарного плоскорадиального течения примет вид [2, 3]:
ФМ = X ^ др(г, г) ^
дг г дг дг
Предположим, что в начальный момент времени г = 0 распределение давление в пласте известно, т.е. для уравнения (5) имеем следующее начальное условие:
р(г ,0) = Ф(г) , гш < г < Я . (6)
Предполагая, что изменение во времени расхода жидкости на скважине описывается функцией ), граничное условие для уравнения (5) при г = г№ можно записать в виде:
2шк~ д~Р^ = , 0 < г < Т,
ц дг
или
= в(0, 0 < г < Т, (7)
дг
д(г)
где 6(0 = -
2яг„,кф0(с/ + сг)
Так как боковая внешняя граница пласта непроницаема для жидкости, то на этой границе будем иметь условие
дРЯ) = 0 . (8)
дг
Известно, что прямая задача для одномерной модели однофазного течения в пласте (5)-(8) состоит в нахождении функции р(г, г), удовлетворяющей уравнению (5) с заданным коэффициентом X
и заданным условиям (6)-(8). Теперь предположим, что, помимо функции р(г,г) , неизвестным является также коэффициент пьезопроводности пласта % . А взамен этого задается дополнительное условие в скважине относительно давления
р(г„, г) = рк (г). (9)
Теперь задача заключается в определении функции р(г, г) и коэффициента % из уравнения (5) и дополнительных условий (6)-(9). Поставленная задача относится к классу коэффициентных обратных задач [5-7]. Корректность постановки коэффициентных обратных задач, вопросы существования и единственности их решения в различных функциональных классах исследованы в работах [8-12]. Численные методы решения задач идентификации младшего и ведущего коэффициентов для параболических уравнений рассматриваются во многих работах (см., напр.: [13-18]).
Для численного решения поставленной коэффициентной обратной задачи (6)-(9) сначала построим ее дискретный аналог с помощью метода конечных разностей. С этой целью введем равномерную пространственно-временную разностную сетку в прямоугольной области ^ = (гш < г < Я, 0 < г < Т}
Я - г Т
с шагами Дг =-— по переменной г и Дг = — по времени г
п т
ю = |(г,г].):г = г, + /Дг, гу = 7'Дг, г = 0,1,2,...п, ' = 0,1,2,...т}.
Представляя уравнение (5) и граничное условие (7) в виде
др(г,г) 1 д , др(г,г). %-1 д , др(г,г). „ „ т
=--(г )+ ---(^ ), с <х<Я, 0<г<Т,
дг г дг дх г дг дх
+ (%-1)др^ = 0(г), 0 < г < Т
дг дг
запишем дискретный аналог поставленной обратной задачи на сетке ю, используя явно-неявную аппроксимацию по времени:
pi - pi—1 _ 1
At r Ar
pi+1 — pi pi- pi-i ri+1/2 . r i—1 / 2
Ar Ar
+ X —1
r Ar
nJ -1 — nJ—1 nJ—1 — nJ—1
r pi+1 pi „ pi pi—1 ri+1/2 . ri—1/2'
Ar i-1 / 2 Ar
(10)
г = 1, 2,..., п -1,
+ (%-1)р -1 - р0 -1 = &, (11) Дг Дг
рП - рП-1 = 0 , (12) Дг
р0' = р—, (13)
' = 1, 2,...,т,
рг° = ф,, г = 0,1, 2,.. .п, (14)
где р ~ р(г,, г' X г,±1/2 = гг ± Д / 2, & = 6(0 X Р— = р—(г' ) , Фг = Ф(гг ).
Полученная разностная задача (10)-(14) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой в качестве неизвестных выступают коэффициент пьезопроводности пласта % и
р/, / = 0,1,2,..,п, ' = 1, 2, 3,....,т, т.е. приближенные значения искомой функции р(г,г) в узлах разностной сетки ю.
Для расщепления системы разностных уравнений (10)-(14) на взаимно независимые подсистемы, каждая из которых может решаться самостоятельно, решение этой системы при каждом фиксированном значении ' =1,2,...,т представим в виде [15, 16]:
р' = и' + (%- 1)Х/, г = 0,1,2,..., п, (15)
где и/, X/ и % - неизвестные переменные.
Подставив выражение р/ в уравнение (10), будем иметь
1{ + (х- i)Xj - РГ 1
M
r Mr
u + (х- 1)X j+i - u j - (х- 1)X j u j + (х- 1)Xj- u h - (х- 1)j r i +1/2 r-
Дг
' i-1/2"
Mr
+
х-1
r Mr
pJ-1 _ pJ-1 pJ-1 - pJ-1
ri+1/2 : 'г- -1/2
Mr
или
uj - pj-1 1
M r Mr
ui+1 - uj
Mr
ui- uL
ri+1/2 . 4 -1/2 .
Mr Mr
+
+(х-1) H 1
Mt rMr
Xi+1 Xi Xi Xi-1 ri+1/2 . ri-1/2 '
Mr
Mr
r Mr
ri+1 /2
Pi+/ - pj -1 Mr
-r
i-1/2 "
Pi7 -1 - Pi-1 Mr
= 0.
А подстановка выражения p/ в (11), (12) дает
u uo
Mr
+ (х-1)(
Xi -Xo , Pi 1 -Po 1
Mr
) = ßj
Mr
u« - uj-i
(х-1)-
X j -X j
n n-1
= 0.
Дг Дг
Из представленных соотношений получим следующие разностные задачи для определения вспомогательных переменных и/, X/ , г = 0,1,2,...,и , при каждом фиксированном значении / , / = 1, 2,...,от :
uj - Pj-1 1
Mt
r Mr
r+1/2 . ri-1/2
Mr
u{—uj _ j
Mr
= 0,
Mr
ßj,
ui! _ Q
Mr
X j
1
Mt r Mr
r j -x7 - r x7 -x7-1 ri+1/2 . r i-1 / 2 .
Mr Mr
r Mr
r p£ - Pj-1 r ri+1/2 . r i-1 / 2
Mr
Pj -1 - Pi-!1 Mr
X/-X0 , p/-1 - P0'-1
Mr
Mr
X n -Xn-1 = 0
Mr
= 0,
(16)
(17)
(18) = 0, (19)
(20) (21)
Разностные задачи (16)-(18) и (19)-(21) при каждом фиксированном значении j, j = 1, 2,...,m, представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, и решения этих систем можно найти методом Томаса [6]. Подставляя представление (15) в (13), будем иметь
u0 + (х- i)X0 = pW .
Отсюда получим формулу для определения приближенного значения искомого коэффициента пьезопроводности пласта х
х = 1+
Pj - upQ Xq
(22)
Таким образом, вычислительный алгоритм решения разностной задачи (10)-(14) по определению р]/ , X, 1 = 0,1,2,..,п, на каждом временном слое /, / = 1, 2,...,т, состоит из следующих этапов:
1) определяются решения двух независимых разностных задач (16)-(18) и (19)—(21) относительно вспомогательных переменных и-, Xj , i = 0,1,2,...,n ;
2) по формуле (22) определяется значение искомого коэффициента пьезопроводности % ;
3) вычисляются значения переменных pj , i = 0,1,2,...,n , по формуле (15).
2. Результаты численных расчетов
Для проверки эффективности практического применения предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач. Численные расчеты проводились по следующей схеме:
- для заданного значения коэффициента % находится решение прямой задачи (5)-(8), т.е.
функция p(r, t), rw < r < R, 0 < t < T ;
- найденная зависимость pw (t ) = p(rw, t ) принимается в качестве точных данных для решения обратной задачи по восстановлению % .
В практике наиболее часто встречающиеся значения коэффициента пьезопроводности заключены в пределах 0,1-5 м2/с. В связи с этим численные эксперименты проводились при следующих значениях коэффициента пьезопроводности % = 0,1; 1; 2; 3; 4; 5 м2/с. Для остальных параметров пласта были использованы данные: R = 500 м, rw = 0,1 м, q(t) = 4 -10 4 м3/с, h = 10 м. Численные расчеты
проводились на пространственно-временной разностной сетке с шагами Ar = 9,998 м, At = 0,1 с.
Первая серия расчетов выполнялась с использованием невозмущенных входных данных. Результаты численных расчетов показали, что при использовании невозмущенных входных данных значения искомого коэффициента х восстанавливаются с очень высокой точностью в течение 10-50 с. При этом относительные погрешности восстановления значений % не превышают 0,025%.
Вторая серия расчетов проводились при наложении на pw(t) некоторой функции, моделирующей погрешность входных данных:
АЛ0 = аЛ0 + 5ст(0АЛ0>
где Ô - уровень погрешности, c(t) - случайная величина, моделируемая с помощью датчика случайных чисел. Результаты второй серии расчетов представлены в таблице; в ней t - время, ys. - точное значение коэффициента пьезопроводности, у_ - вычисленное значение коэффициента пьезопроводности при возмущенных входных данных. Для возмущения входных данных в качестве уровня погрешности использовались ô = 0,02.
Результаты численных расчетов
t, с Значения коэф( )ициента пьезопроводности х, м2/с
%e X %e X %e X %e X %e X %e X
10 0,100 0,100 1,000 1,003 2,000 2,014 3,000 3,032 4,000 4,058 5,000 5,091
20 0,100 0,100 1,000 1,002 2,000 2,015 3,000 3,039 4,000 4,014 5,000 5,119
30 0,100 0,100 1,000 1,000 2,000 2,011 3,000 3,003 4,000 4,005 5,000 5,007
40 0,100 0,100 1,000 1,003 2,000 2,015 3,000 3,037 4,000 4,068 5,000 5,108
50 0,100 0,099 1,000 1,003 2,000 2,006 3,000 3,010 4,000 4,012 5,000 5,013
60 0,100 0,099 1,000 1,003 2,000 2,009 3,000 3,017 4,000 4,026 5,000 5,037
70 0,100 0,100 1,000 1,000 2,000 2,003 3,000 3,007 4,000 4,012 5,000 5,018
80 0,100 0,100 1,000 1,003 2,000 2,013 3,000 3,029 4,000 4,051 5,000 5,078
90 0,100 0,099 1,000 1,003 2,000 2,014 3,000 3,031 4,000 4,053 5,000 5,081
100 0,100 0,100 1,000 1,002 2,000 2,007 3,000 3,017 4,000 4,030 5,000 5,046
Из таблицы видно, что при использовании возмущенных входных данных, в которых погрешность имеет флуктуационный характер, значения коэффициента пьезопроводности восстанавливаются с определенной погрешностью. Однако при этом относительные погрешности восстановления значений искомого коэффициента х не превышают 2,4%.
Заключение
Рассмотрена обратная задача по определению коэффициента пьезопроводности замкнутого цилиндрического пласта на основе математической модели упругого режима разработки данного пласта.
Предложенный численный метод, основанный на дискретизации задачи и использовании специальной декомпозиции для полученной системы разностных уравнений, позволяет определить по явной формуле коэффициент пьезопроводности цилиндрического пласта. На основе предложенного метода также можно определять другие гидродинамические параметры пласта.
Список источников
1. Aziz K., Settari A. Petroleum reservoir simulation. New York : Applied Science Publishers, 1979.
2. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. Ижевск : Ин-т компьютерных исслед., 2005.
4. Amanat Ch. Oil Well Testing Handbook. Elsevier, 2004.
5. Alifanov O.M. Inverse heat transfer problems. Berlin : Springer, 2011.
6. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical methods for solving inverse problems of mathematical physics. Berlin : Walter de
Gruyter, 2008.
7. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Springer, 2017.
8. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York : Marcel
Dekker, 2000.
9. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv : VNTL, 2003.
10. Prilepko A.I., Kostin A.B., Solov'ev V.V. Inverse Source and Coefficient Problems for Elliptic and Parabolic Equations in Holder and Sobolev Spaces// Journal of Mathematical Sciences. 2019. V. 237. P. 576-594.
11. Cannon J.R., Lin Y. An inverse problem of finding a parameter in a semi-linear heat equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1990. V. 145. P. 470-484.
12. Kamynin V.L., Kostin A.B. Two inverse problems of finding a coefficient in a parabolic equation // Differential Equations. 2010. V. 46 (3). P. 375-386.
13. Ye C., Sun Z. On the stability and convergence of a difference scheme for an one-dimensional parabolic inverse problem // Applied Mathematics and Computation. 2007. V. 188. P. 214-225.
14. Vogel C.R. Computational methods for inverse problems. Philadelphia, PA : Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002. 183 p.
15. Vabishchevich P.N., Klibanov M.V. Numerical identification of the leading coefficient of a parabolic equation // Differential Equations. 2016. V. 52 (7). P. 855-862.
16. Гамзаев Х.М. Численный метод решения коэффициентной обратной задачи для уравнения диффузии-конвекции-реакции // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. P. 67-78.
17. Khairullin M.Kh., Badertdinova E.R., Khairullin R.M. Numerical solution of the inverse coefficient problem of filtration in a multilayer reservoir // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1392. Art. 012053.
18. Shergin S.N., Safonov E.I., Pyatkov S.G. On some inverse coefficient problems with the point wise over determination for Mathematical models of filtration // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS). 2019. V. 12 (1). P. 82-95.
References
1. Aziz, K. & Settari, A. (1979) Petroleum Reservoir Simulation. New York: Applied Science Publishers.
2. Shchelkachev, V.N. & Lapuk, B.B. (2001) Podzemnaya gidravlika [Underground Hydraulics]. Izhevsk: Regulyarnaya i khaoti-
cheskaya dinamika.
3. Basniev, K.S., Dmitriev, N.M. & Rozenberg, G.D. (2005) Neftegazovaya gidromekhanika [Oil and Gas Hydromechanics].
Izhevsk: Institute of Computer Research.
4. Amanat, Ch. (2004) Oil Well Testing Handbook. Elsevier.
5. Alifanov, O.M. (2011) Inverse Heat Transfer Problems. Berlin: Springer.
6. Samarskii, A.A. & Vabishchevich, P.N. (2008) Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics.
Berlin: Walter de Gruyter.
7. Isakov, V. (2017) Inverse Problems for Partial Differential Equations. Springer.
8. Prilepko, A.I., Orlovsky, D.G. & Vasin, I.A. (2000) Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York:
Marcel Dekker.
9. Ivanchov, M. (2003) Inverse Problems for Equations of Parabolic Type. Lviv: VNTL.
10. Prilepko, A.I., Kostin, A.B. & Soloviev, V.V. (2019) Inverse Source and Coefficient Problems for Elliptic and Parabolic Equations in Holder and Sobolev Spaces. Journal of Mathematical Sciences. 237. pp. 576-594.
11. Cannon, J.R. & Lin, Y. (1990) An inverse problem of finding a parameter in a semi-linear heat equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 145. pp. 470-484.
12. Kamynin, V.L. & Kostin, A.B. (2010) Two inverse problems of finding a coefficient in a parabolic equation. Differential Equations. 46(3). pp. 375-386.
13. Ye, C. & Sun, Z. (2007) On the stability and convergence of a difference scheme for a one-dimensional parabolic inverse problem. Applied Mathematics and Computation. 188. pp. 214-225.
14. Vogel, C.R. (2002) Computational Methods for Inverse Problems. Philadelphia (PA): Society for Industrial and Applied Mathematics.
15. Vabishchevich, P.N. & Klibanov, M.V. (2016) Numerical identification of the leading coefficient of a parabolic equation. Differential Equations. 52(7). pp. 855-862.
16. Gamzaev, Kh.M. (2017) A numerical method for solving the coefficient inverse problem for diffusion-convection-reaction equation. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 50. pp. 67-78. DOI: 10.17223/19988621/50/6
17. Khairullin, M.Kh., Badertdinova, E.R. & Khairullin, R.M. (2019) Numerical solution of the inverse coefficient problem of filtration in a multilayer reservoir. Journal of Physics: Conference Series. 1392. 012053.
18. Shergin, S.N., Safonov, E.I. & Pyatkov, S.G. (2019) On some inverse coefficient problems with the pointwise overdetermination for Mathematical models of filtration. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSUMMCS). 12(1). pp. 82-95.
Информация об авторе:
Гамзаев Ханлар Мехвали оглу - профессор, доктор технических наук, профессор кафедры общей и прикладной
математики Азербайджанского государственного университета нефти и промышленности (Баку, Азербайджан). E-mail:
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Information about the author:
Gamzaev Khanlar M. (Doctor of Technical Sciences, Professor, Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan).
E-mail: [email protected]
The author declares no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 09.01.2023; принята к публикации 09.06.2023 Received 09.01.2023; accepted for publication 09.06.2023
