CC BY
37
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2008. — № 1 (16). — С. 160-163. — ISSN 1991-8615
E. V. Bashkinova
MATHEMATICAL MODELING OF LONG DURABILITY OF THICK-WALLED PIPES ON THE BASIS OF CONCEPT THE INTEGRAL-AVERAGE EQUIVALENT PRESSURE
The generalized model of long durability construction's elements on the basis of integral-average equivalent stresses is offered. It is shown, that integral-average equivalent stresses are practically invariant sizes during deformation of a pipe from elastic (elastoplastic) conditions down to fracture. Results developed a generalized model for thick-walled pipes are resulted at creep for one-parametrical loading with use of various kinds integral-average equivalent stress are given. Check of adequacy calculation's data to experimental data is executed.
Samara State Technical University, Samara, Russia Received 12.12.2007
УДК 539.3
В. В. Струганое
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ С ПОСТРОЕНИЕМ ПОЛНОЙ ДИАГРАММЫ
Формулируются требования к эксперименту на растяжение, выполнение которых необходимо для определения инкрементальных модулей как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения материала. Приводятся экспериментальные данные для серого чугуна, полученные на специальной установке с переменной жёсткостью, и реализуется их пересчёт в зависимости инкрементальных модулей от продольной деформации.
В работе [1] показано, что для определения инкрементальных модулей материала на всех стадиях деформирования необходимо иметь зависимости условных напряжений и поперечных деформаций от продольных деформаций как при упрочнении, так и при разупрочнении. Тогда
Ер == Кр = —^—, Ср = —. (1)
<е <е 1 - 2иР 2(1 + V) ;
Здесь Ер, Кр, Ср —соответственно инкрементальные (мгновенные, касательные) модули: продольный, объёмный и сдвига; а — условное напряжение растяжения, е — продольная деформация, ир — мгновенный коэффициент поперечной деформации, еи —поперечная деформация. Указанные зависимости можно получить, используя экспериментальную полную диаграмму деформирования, состоящую из восходящей и ниспадающей до нуля ветвей, а также результаты замеров поперечной деформации. Необходимыми условиями для получения таких экспериментальных данных являются, во-первых, повышенная жёсткость нагружающего устройства, позволяющая избежать динамического разрушения образца при неизбежной локализации деформаций, во-вторых, отсутствие локального сужения в образце, что обеспечивает корректность измерения поперечной деформации.
Первому условию удовлетворяет, например, устройство для растяжения, выполненное по схеме реверсора [2] (рис. 1, а). Она содержит две массивные треугольной формы неподвижные платформы 1, скреплённые тремя стержнями 3, две массивные треугольной формы подвижные платформы 2, скреплённые тремя стержнями 4, червячный редуктор 5, нажимной винт 6, дюралюминиевый стержень 7. При необходимости для увеличения жёсткости установка снабжается двумя упругими стержнями 9 (упругими тягами), расположенными параллельно образцу 8.
При повороте ручки редуктора винт 6, упирающийся в стержень 7, вворачивается в верхнюю подвижную платформу, увеличивая расстояние и (рис. 1, а). Нижняя подвижная платформа, перемещаясь при этом вверх, растягивает образец, увеличивая его длину на величину г>2. В результате действия возникающих в системе усилий стержни 3 укорачиваются на величину г1, а верхний конец стержня 7 перемещается вниз на величину г^.
На нижнем захвате 10 (рис. 1, а) наклеен тензометрический мост для измерения усилий в образце. В ходе растяжения измеряется диаметр рабочей части образца с помощью модернизированных тен-зодатчиков прибора СИП 250. Измерительная система снабжена необходимыми средствами усиления
Определение инкрементальных модулей по результатам испытаний
а б
Рис. 1. Схема установки (а); стержневой аналог установки (б)
и расшифровки сигналов, которые вводятся в персональный компьютер, снабжённый специальным программным обеспечением для обработки сигналов [2].
Решающую роль при экспериментальном построении полных диаграмм растяжения играет жёсткость установки. Для определения этой характеристики мысленно скрепим захваты (образец и тяги отсутствуют) и, вворачивая винт, зафиксируем некоторое значение и. В результате полная потенциальная энергия установки (деформирование упругое) определится выражением
П
3E3 F3 2 , E7F7 / \ 2 ,
E10F10 2 . 3E4 F4
—-1>2 H--;-
2Lio 2L4
u
(u - V7 - V2)2 - У
Q du.
Здесь E3 = E10 = E4 = 2,1 ■ 105 МПа (модуль Юнга стали), E7 = 7,5 ■ 104 МПа (модуль Юнга дюралюминия), F3 = F4 = 706,5 мм2 (площади поперечных сечений стержней 3 и 4), Fio = 615,5 мм2 и F7 = 103 мм2 (площади поперечных сечений стержней 10 и 7), L3 = 342 мм, L4 = 240 мм, L7 = = 60 мм, Lio = 280 мм (длины соответствующих стержней), Q — сила, с которой винт давит на стержень 7. Согласно принципу минимума потенциальной энергии система находится в равновесии, если
дП дП д П д П
0, — = 0, — = 0, — =0. (2)
дv1
Разрешая уравнения (2), находим
дV2
дv7
ди
Q=
( и
+
L
10
L7
+ТТТТ +
L3
1
\ 3E4F4 E10F10 E7F7 3E3F3 J
и = cu,
где с —жёсткость установки. После необходимых вычислений получаем с = 88,9 кН/мм.
Таким образом, данная установка подобна по энергии стержневой системе, состоящей из образца 1, упругих тяг 2, 3 с жёсткостью к каждая и упругого стержня 4 с жёсткостью, равной с (рис. 1, б). Растяжение осуществляется посредством задания перемещения и свободному концу стержня 4 (х — удлинение образца).
Система описывается потенциальной функцией [3]
x
П = J q(x)dx + — х)'2 + кх
2
В. В. Стружанов
где д — усилие растяжения образца. Известно [2], что равновесный характер квазистатического деформирования нарушается тогда, когда
^2П ¿д п1 ~Т2 = ~Г +с + 2к = 0.
Ы1Х Ы1Х
Следовательно, равновесное деформирование будет иметь место, когда выполняется неравенство Ад Ах
— > —с — 2к. Таким образом, если для получения экспериментальной зависимости а(е) с падающей
ветвью жёсткости с установки недостаточно, то во многих случаях этого можно добиться, подбирая жёсткость к упругих тяг.
На описанной выше установке испытывали специальные образцы с малой рабочей частью из литого в землю серого чугуна. Образцы имели длину 2 мм и диаметр 3 мм [4]. Выбор материала обусловлен отсутствием локального сужения (шейки) при растяжении, а геометрия образца обусловлена жёсткостью установки и возможностью её увеличения посредством подключения упругих тяг.
Экспериментальные данные [4] аппроксимировали зависимостями а = еаеьеС£ (а = 8,844, Ь = = 0,578, с = -133,083) (рис. 2, а) и еи = -етепе1£ (т = 1,353, Ь = 1,388, I = -108,911) (рис. 2, б). На этих рисунках —предельная деформация, ев —деформация предела прочности.
Теперь по формулам (1) находим выражения для инкрементальных модулей:
Ер = еа(ЬеЬ-1 + сеь)еС£, ур = ет(иеп-1 + ¡еп )е1£,
кр =
еа (Ьеь-1 + сеЬ)еС£
1 - 2ет(иеп-1 + 1еп)е1£' Зависимости (3) и (4) изображены на рис. 3-4. ег, МПа 160
ар =
еа(ЬеЬ-1 + сеЬ)еС£
2 [1 + ет(иеп-1 + 1еп)еы]'
(3)
(4)
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 е а
Рис. 2. Диаграмма растяжения (а); зависимость поперечной деформации от продольной деформации (б)
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 е б
ЕР ■ 103, МПа
250 V9
0,03
200
150 0,02
100
1 0,01
50 \
\ев ег
ЩЛ 0702 0,03 0,04 0,05
0,01 \ 0,02 0,03 0,04
а б
Рис. 3. Зависимость Ер(е) — а; зависимость ир(е) — б
Определение инкрементальных модулей по результатам испытаний ...
KP- 103, МПа CP
350 120
300 100
250
200 80
150 60
100 40
50 \ 20
V» Sz
О ТЩ 0,02 0,03 0,04 0,05 е а
ТЩГ р2 0,03 0,04 0,05 е б
Рис. 4. Зависимость Kp(e) — а; зависимость Gp(e) — б
Зависимость vp(e) (рис. 3, б) показывает, что после деформации е* = 0,013 сужение образца сменяется его расширением (происходит разбухание материала). На рис. 3-4 видно, что при деформации е = 0,04 значения инкрементальных модулей мало отличаются от нуля, т. е. материал уже практически разрушен. В отличие от модельного примера, приведённого в работе [1], модуль Kp не имеет разрыва, так как мгновенный коэффициент поперечной деформации не достигает значения |. Плавный характер изменения инкрементальных модулей указывает на то, что процесс повреждения материала происходит постепенно и плавно, без скачкообразного возрастания.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-01-96087-р-урал)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Стружанов, В. В. Упругопластическая среда с разупрочнением. Сообщение 1. Свойства материала и инкрементальный закон пластичности при растяжении [Текст] / В. В. Стружанов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2006. - № 42. - С. 49-61. - ISBN 5-7964-0815-1.
2. Миронов, В. И. Установка для определения механических свойств материала на стадии разупрочнения [Текст] / В. И. Миронов, В. И. Микушин, А. П. Владимиров и др. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов.— 2001. - Т. 67, № 3. - С. 48-51. - ISSN 1028-6861.
3. Стружанов, В. В. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций [Текст] / В. В. Стружанов, В. И. Миронов. - Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 191 c. - ISBN 5-7691-0493-7.
4. Миронов, В. И. Свойства материала в реологически неустойчивом состоянии [Текст] / В. И. Миронов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2002. - Т. 68, № 10. - С. 47-52. - ISSN 1028-6861.
Институт машиноведения УрО РАН, г.Екатеринбург Поступила 01.02.2008
V. V. Struzhanov
DETERMINATION OF INCREMENTAL MODULES ON BASE OF TENSION TEST RESULTS WITH FULL DIAGRAM CONSTRUCTION
Demands on the tension experiment to determine incremental modules both on hardening material stage and softening one are formulated. The experimental data for the grey iron obtained on the special test machine with altering rigidity are presented. The dependencies of incremental modules upon tensile strain are calculated on the base of experimental data.
Institute of Engineering Science, Ural Branch, Received 01.02.2008
Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russia [email protected]
