Определение электродинамических параметров наноматериалов произвольной геометрической формы, расположенных в волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Гришина Е.Е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НАНОМАТЕРИАЛОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ, РАСПОЛОЖЕННЫХ

В ВОЛНОВОДЕ

В статье исследуется задача определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных образцов материалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Данная задача находит применение, например, при определении диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией. Это является актуальной проблемой нанотехнологии и наноэлектроники. При экспериментальном измерении эти параметры, как правило, труднодоступны, что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и находить решение численно с помощью компьютеров.

Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P = {х:0 < x1 < а, 0 < Х2 < Ь, -¥ < Х3 < ¥} - волновод с идеально проводящей поверхностью ЭР . В волноводе

расположено объемное тело Q , характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью то и положительной 3 х 3 -матрицей-функцией диэлектрической проницаемости e( х) . Компоненты е( х) являются ограниченными функциями в области Q , Є Є L¥(Q) , а также Є 1 Є LJQ) . Граница ЭQ области Q кусочно-

гладкая .

Требуется определить электромагнитное поле E, H є L2 Joc(P) , возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида e~iwt . Источник стороннего поля - электрический ток j0 є L2icx(Р) . В области Р с Р3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать "слабые" (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

rot H = -iweE + jE

E (1)

rot E = iwmH

Для E , H должны выполняться краевые условия на стенках волновода

Et 1эр = 0, Hn 1эр = °- (2)

Диагональный тензор функции Грина GE, компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца, приводился в [1].

Будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе.

Рассмотрим изотропный случай, и будем считать, что Є(х)=Є , где є - неизвестная константа (эффективная диэлектрическая проницаемость) образца. Предположим, что — a < к° <—b . В этом случае в

волноводе может распространяться только одна мода потому что Im g2) = 0 , g2) = gkg - —2/a2 > 0 и Im > 0 для всех p, j за исключением p = 1 и j = 2 . Мы также предполагаем, что падающее поле имеет вид [2]

E0 (х) = e2A('++iwm0 —sin e'7r Х3 .

Здесь A

(+)

(известная) амплитуда распространяющейся волны. Отсюда следует уравнение

E (х) = E0 (х) + к0 f--11 f GE (х, y) E2 (y) dy, х є Q ,

ІЄ0 J Q

мая во внимание условие на бесконечн

A(+) + k02 f — - 1І-1-f sn m1 y3E2 (y) dy. (4

— J br^mm Q a y ’

Принимая во внимание условие на бесконечности при х3 ® ¥ , мы можем получить

Мы предполагаем, что коэффициент Q1(+) известен из эксперимента. Таким образом, мы имеем

—-1 = с

(E, f) '

(5)

с =

i—o)m°ьr° (q1(+) - a(+))

k02

e2sn —іe-'r12)у3 , a о II Q^pTj

(6)

а скобки обозначают скалярное произведение в пространстве L2 (Q)

(E, f) = f E (y)f|7dy . (8)

Q

Мы получаем нелинейное объемное интегральное уравнение ^(E (х) - E0 (х)) = k2 f Ge (х, y) E (y) dy +

Q

с

+ grad divfGE (х, y) E (y) dy, х є Q.

(9)

Приближенное решение уравнения (9) может быть найдено посредством итерационного процесса

где

Q

A(+) If II'

r{(E„, f )(E„ - E0)-C (A,En)}

E

E

n

(10)

который сходится для любого начального приближения

Eoє S*(E0)

со скоростью геометрической про-

грессии .

В качестве начального приближения естественно взять Eo = E0 .

Аналитическое решение задачи дифракции на секции в волноводе было получено в [3]. Выберем є = Єї и найдем коэффициент F по формуле:

F =--

2АуЄ

1 -

Л2 ґ \2

R | e-irc - 1 + g 1 | eigc

g ) і g; )

, где g =xjk0-Р , r=Jk2 -p .

Возьмем в качестве коэффициента , при решении обратной краевой задачи итерационным методом,

g

коэффициент F, и будем вычислять є . Решение обратной задачи было запрограммировано и были получены следующие результаты.

В таблицах 1,2 приведены значения є в зависимости от размера сетки т, а также число итераций, за которое процесс сходился к данному значению.

Таблица 1.

Єї = 0.9 ___________________________________________________

m Результат Количество итераций

4x4x4 0.900153 - i0.000931323 8

6x6x6 0.900218 - i0.000422493 8

8x8x8 0.900228 - i0.000239316 9

10x10x10 0.90023 - i0.000153641 8

12x12x12 0.900231 - i0.000106866 8

Таблица 2. Єї = 1.3

m Результат К-во итераций

4x4x4 1.30053 - i0.00563096 21

6x6x6 1.29705 - i0.00264162 16

8x8x8 1.29547 - i0.00152342 16

10x10x10 1.29468 - i0.000998563 22

12x12x12 1.29422 - i0.000712126 21

График зависимости значения диэлектрической проницаемости от числа итераций. Є1=0.9. Размер сетки m=4x4x4.

График зависимости значения диэлектрической проницаемости от числа итераций. Єх=1.3. Размер сетки m=12x12x12.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - №3. - С. 210 .

2. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Высш. шк., 1992.

3. Смирнов Ю.Г., Медведик М.Ю., Гурина Е.Е. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - №2. - C. 32 - 43.