CC BY
12
УДК 551.24.02
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИВЕРГЕНЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ДВИЖЕНИЙ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Вячеслав Георгиевич Колмогоров
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры геоматики и инфраструктуры недвижимости, тел. (383)330-80-25, e-mail: Vyacheslavgeorgievich@mail.ru
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры космической и физической геодезии, тел. (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail.ru
Геодезические смещения точек можно описать изменением геопространственных элементов (координат, высот, направлений), которые дают повторные измерения. Полученный при этом вектор напряженно-деформированного состояния земной поверхности может быть использован как для 1) расчета тензора деформации земной поверхности в исследуемом районе, так и для 2) определения дифференциальной характеристики векторных полей, которая называется дивергенцией. В статье обсуждается идея определения дивергенции по геопространственным смещениям, полученным только по дискретным геодезическим данным.
Ключевые слова: геодезические данные, векторное поле, поток вектора, орт нормали на вектор, дивергенция, векторные трубки, полиномиальные модели.
DETERMINATION OF THE DIVERGENCE VECTOR FIELDS IN THE FRAME EARTH SURFACE
Vyacheslav G. Kolmogorov
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10 Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, D. Sc., Professor, Department of Geomatics, Property and Infrastructure, phone: (383)330-80-25, e-mail: Vyacheslavgeorgievich@mail.ru
Boris T. Mazurov
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, D. Sc., Professor, Department of Space and Physical Geodesy, phone: (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail.ru
Geodetic points displacements can be described by change in geospatial elements (Cartesian coordinates, elevations, bearings) that are obtained by repeated measurements. The resulting vector of the earth's surface stress-strain state can be deployed for both 1) calculation the strain tensor of the earth's surface in the survey area, and 2) determination of the differential characteristic of the vector fields, that are called divergences. In the manuscript is discussed the idea of divergences determination in discrete geospatial measurements of displacement based on geodetic data only.
Key words: geodetic data, vector field, flux of a vector, the ORT of the normal to the vector divergence, vector tube, polynomial models.
Введение
В работе [1] геодинамические системы отнесены к сложным системам с природными компонентами. Очень важную информацию о развитии таких систем и их потенциальной опасности для жизнедеятельности и экологического равновесия дают геодезические методы координатного мониторинга, включая как классические, так и основанные на ГНСС-технологиях. Примерами геодинамических систем являются территории активных геотектонических процессов [2-10], региональные геодинамические процессы [11-16], вулканические области [17], экологически опасные регионы [18], инженерные комплексы [19], места разработки полезных ископаемых [20-24]. Фундаментальная составляющая наук о Земле, ее изменчивости находится в состоянии развития теорий, методов и технологий мониторинга. В этом контексте востребованы математические результаты описания физических полей различной природы.
Математическая теория поля [25-28] может быть использована не только для описания течений в жидкостях и газах, но и для изучения потоков вещества в мантии и ядре Земли, при исследовании деформаций в сильно текущих горных породах осадочного покрова и в массах пород, испытывающих региональный метаморфизм в глубине земной коры. Сложнейшие деформации слоев в гнейсах развивались при значительном протекании масс, закономерности которого можно понять лишь опираясь на математическую теорию потоков в жидкостях. Эта же теория вполне применима и для познания роли магматических расплавов в развитии тектонических процессов [29], а также может быть использована для изучения современных смещений крупных деформированных массивов приповерхностных структур земной коры.
Поток векторного поля
В пределах векторного поля некоторую замкнутую или незамкнутую поверхность Е можно разделить на малые элементы площади dа, имеющие свой
орт нормали п. С центром каждого элемента связан определенный вектор V данного поля (средний для этого элемента), который бывает различно направлен относительно элементарной площадки. Скалярное произведение орта нормали п на ее вектор V, умноженное на площадь элемента dа, называется потоком векторного поля через элементарную площадку. Это произведение является скаляром. Потоком векторного поля через всю поверхность Е называется интеграл по всей поверхности
б = Ц (nV Уа. (1)
Е
Если вектор V изображает скорость течения материала (например, пластичных горных пород), то Q является его объемом, протекающим в единицу времени через выбранную поверхность Е..
Дивергенция
Дивергенция - одна из часто используемых дифференциальных характеристик векторного поля, представляющая собой одно число (скаляр), относящееся к определенной точке. Векторное поле в целом описывается скалярным полем дивергенции, которая отражает изменение величины векторов в непосредственной близости от рассматриваемой точки во всех направлениях. Поэтому дивергенция относится к числу объемных производных векторного поля.
Алгоритм вычисления дивергенции следующий. Вокруг характеризуемой точки векторного поля создается (математически описывается) замкнутая поверхность произвольной формы. Определяемый по формуле (1) поток Q вектора V делится на объем 0, окруженный произвольной поверхностью Е, и рассматривается отношение ^0. Предел, к которому стремится это отношение
при стягиваншеШоё ии поверхности Е в точке М и приближении объема 0 к нулю, называется дивергенцией
^ Q 1 ее ^^ йп V = Нш ^ = Нш — |Г (п V)йст (2)
0^0 0 0^0 0 Е
Векторные трубки
Важным понятием теории исследования векторных полей является векторная трубка. Ее можно получить, если через произвольный замкнутый контур Ь в каждой его точке провести силовую линию поля (рис. 1).
Рис. 1. Изображение векторной трубки, ограниченной силовыми линиями, входным сечением и выходным сечением 52.
Разность площади выходного сечения S2 и входного сечения Si векторной трубки при малых ее размерах и при равенстве входного и выходного векторов позволяет количественно оценить значение дивергенции.
Заключение
Авторы предлагают для определения дивергенции точек векторных полей смещений земной поверхности использовать дискретные геодезические наблюдения. Необходимое для дальнейших вычислений векторное поле предлагается восстанавливать полиномиальными моделями. Например, пространственное векторное поле для каждой точки с известными координатами x, y, z и смещениями ux, uy, uz представляется полиномами вида
2 2 2
ux = ао + a1 x + а2У + a3z + a4x + a5y + a6z + a7xy + a8xz + a9yz ,
uy = b0 + b1x + b2y + b3z + b4x2 + b5 y2 + b6 z2 + b7 xy + b8 xz + b9yz ,
2 2 2
uz = c0 + c1 x + c2y + c3 z + c4 x + c5 y + c6z + c7 xy + c8 xz + c9yz .
Далее коэффициенты полиномов a, b, c вычисляются путем решения общей системы таких полиномов, составленных для всех пунктов наблюденной геодезической сети. Полученные уравнения векторного поля позволяют вычислять вектора смещений в любой точке, формировать векторные трубки малого объема и по их входным и выходным сечениям вычислять дивергенцию.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Полищук Ю. М. Имитационно-лингвистическое моделирование систем с природными компонентами. - Новосибирск : Наука, 1992. - 229 с.
2. Современные движения континентальной окраины Дальнего Востока России по результатам GPS-наблюдений / В. Ю. Тимофеев, Д. Г. Ардюков, П. Ю. Горнов, А. В. Тимофеев, М. Г. Валитов, Е. В. Бойко // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 2. - С. 88-103.
3. Вертикальные движения юга Приморского края и их связь с геодинамическими процессами в зоне субдукции / М. Д. Герасименко, Н. В. Шестаков, А. Г. Коломиец, Г. Н. Герасимов, Х. Такахаси, Д. В. Сысоев, Г. В. Нечаев // Геодезия и картография. - 2016. - № 3. - С. 30-34.
4. Inaba H., Itakura Y., Kasahara M. Surface Velocity Computation of Debris Flows by Vector Field Measurements // Phys. Chem. Earth (B). - 2000. - Vol. 25(9). - P. 741-744.
5. Arattano M., Marchi L. Measurements of Debris Flow Velocity through Cross-Correlation of Instrumentation Data // Natural Hazards and Earth System Sciences. - 2005. - Vol. 5. - P. 137-142.
6. Kaftan V. I., Ustinov A. V. Use of global navigation satellite systems for monitoring deformations of water-development works // Power Technology and Engineering. - 2013. - Vol. 47, Issue 1. - Р. 30-37.
7. Segall P., Davis J. L. GPS applications for geodynamics and earthquake studies // Annu. Rev. Earth Planet. Sci. - 1997. - Vol. 25. - P. 301-336.
8. Shestakov N., Takahashi H., Ohzono M. et al. Analysis of the far-field crustal displacements caused by the 2011 Great Tohoku earthquake inferred from continuous GPS observations // Tectonophysics. - 2012. - Vol. 524-525. - P. 76-86.
9. On the influence of RF absorbing material on the GNSS position / W. Aerts, C. Bruyninx, P. Defraigne, G. A. E. Vandenbosch // GPS Solutions. - 2014. - DOI: 10.1007/s10291-014-0428-y.
10. GPS-measurements of recent crustal deformation in the junction zone of the rift segments in the central Baikal rift system / A. V. Lukhnev, V. A. San'kov, A. I. Miroshnichenko, S. V. Ashurkov, L. M. Byzov, A. V. San'kov, Yu. B. Bashkuev, M. G. Dembelov, E. Calais // Russian Geology and Geophysics. - 2013. - Vol. 54. - P. 1417-1426.
11. Серов М. А., Жижерин В. С. Моделирование напряженно-деформированного состояния земной коры верхнего Приамурья // Успехи современного естествознания. -2017. - № 10. - С. 107-112.
12. Басманов А. В. Геодезический мониторинг Байкальского геодинамического полигона Росреестра // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 2 (30). - С. 48-54.
13. Мазуров Б. Т. Совместная математическая обработка разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 6. -С. 30-39.
14. Колмогоров В. Г. Современная геодинамика Сибири по результатам геодезических и геолого-геофизических исследований. - Новосибирск, 2013. - 236 с.
15. Колмогоров В. Г., Калюжин В. А. Приповерхностные деформации в районе Таштагольского геодинамического полигона // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. -2015. - № С/5. - С. 15-19.
16. Колмогоров В. Г., Дударев В. И. Состояние проблемы комплексного изучения современной геодинамики Сибири в конце двадцатого столетия // Вестник СГГА. - 2014. -Вып. 4 (28). - С. 3-12.
17. Мазуров Б. Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 3. - С. 93-99.
18. Хамедов В. А., Мазуров Б. Т. Разработка методических вопросов создания системы спутникового мониторинга состояния лесных экосистем в условиях воздействия нефтегазового комплекса территории западной Сибири // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). -С. 16-31.
19. Шоломицкий А. А., Лагутина Е. К., Соболева Е. Л.. Высокоточные геодезические измерения при деформационном мониторинге аквапарка // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 3. - С. 45-60.
20. Дорогова И. Е. Исследование смещений и деформаций бортов карьера по результатам повторных геодезических измерений // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2016. XII Меж-дунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 18-22 апреля 2016 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. Т. 2. - C. 31-36.
21. Соловицкий А. Н. Геодезический мониторинг напряженно-деформированного состояния земной коры в районах освоения угольных месторождений Кузбасса: геодезические построения // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 1. - С. 81-89.
22. Соловицкий А. Н. Геодезический мониторинг напряженно-деформированного состояния земной коры в районах освоения угольных месторождений Кузбасса: точность регистрации и определения координат // Вестник СГУГиТ. - 2016. - Вып. 4 (36). - С. 16-25.
23. Воздействие современных геодинамических движений на устойчивость бортов карьеров / А. Д. Сашурин, В. А. Бермухамбетов, А. А. Панжин, С. В. Усанов, В. Е. Боликов // Проблемы недропользования. - 2017. - № 3 (14). - С. 38-43.
24. Панжин А. А., Сашурин А. Д., Панжина Н. А. Геодинамический мониторинг на Узельгинском месторождении // Маркшейдерия и недропользование. - 2016. - Т. 1. № 3 (83). -С.30-35.
25. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. - М. : «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1972. - 352 с.
26. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1. - М. : «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 536 с.
27. Седов Л. И. Размышления о науке и об ученых. - М. : «Наука», 1980. - 440 с.
28. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. - М. : «Мир», 1974. - 319 с.
29. Гзовский М.В. Математика в геотектонике. - М. : «Недра». - 1971. - 240 с.
© В. Г. Колмогоров, Б. Т. Мазуров, 2018
