CC BY
17
Дорофеев Б.М., Волкова В.И.
«Определение динамики изменения размера пузырька пара при кипении...»
ФУЗУНА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИКИ ИЗМЕНЕНИЯ РАЗМЕРА ПУЗЫРЬКА ПАРА ПРИ КИПЕНИИ С НЕДОГРЕВОМ АКУСТИЧЕСКИМ
МЕТОДОМ
Б.М. Дорофеев, В.И. Волкова
Обобщенное математическое описание динамики изменения размера сферического пузырька пара при кипении в объеме недогретой жидкости проведено в рамках энергетической тепловой схемы.
Справедливое в любой момент времени < уравнение теплового баланса записано в виде:
4(г) = ^(г) - ) (1) (результирующая плотность теплового потока равна разности плотностей тепловых потоков в пузырек и из пузырька). Разделив почленно (1) на р"Ь (р" -плотность пара, В - удельная теплота фазового перехода), получим равенство
к (г) = кх(г) - ), (2)
в котором к (г) - полная скорость изменения радиуса пузырька, а Ах(г) и к2(г) -
соответственно скорости его роста в связи с испарением пара в пузырек и уменьшения из-за конденсации пара на его межфазной поверхности.
После интегрирования (2) (при постоянной интегрирования равной нулю), переходя к относительному радиусу, имеем:
к = кф) - к2(г) кт к(гт) - к2(гт)'
Здесь Ят и гт - максимальный радиус и время роста пузырька.
Обусловленные процессами испарения и конденсации пара изменения радиуса пузырька представим с использованием дифференцируемых функций
относительного времени
R (фт ) = CF (фт), (4) R2 (Фт )= C2F2 (Фт ) , (5) где C1 и C2 - постоянные коэффициенты, которые могут содержать числовые сомножители, физические постоянные и критерии подобия. Тогда в соответствии с (3) получаем формулу
R = (CJ C2 )F (фт )-F2 (Фт ) Rm (CJC 2 )F1(1) - F2(1) ' K) Продифференцировав (6), учитывая, что при t = гт R(1) = 0 , находим
R = F (фт )F2(1) - F2 (фт )F(1) (J) R.m F1(1)F2(1) - f2(1)ВД
Не зависящие от входящих в коэффициенты C1 и C2 величин формулы динамики изменения радиуса пузырька пара при кипении недогретой жидкости должны удовлетворять обобщающему соотношению (7), которое следует из уравнения теплового баланса.
Прежде всего отметим, что этому соотношению удовлетворяют предложенные ранее в [1] тригонометрическая и в [2, 3] степенная простые эмпирические формулы, которые аппроксимируют опытные данные с малым средним квадратичным
34/2003
Вестник Ставропольского государственного университета
отклонением. В самом деле, если функция
. nt
FÁt/tm) (или F {t/tm)) имеет
вид sin
2t
(8)
то производная F^l) (или F2(1)) равна нулю. Поэтому при любой парной функции F2 (t/tm) (или F1 (t/tm)) в соответствии с (7) получается зависимость
R . nt — = sin-
Rm 2tm
(0< t <т, т = 2tm).
Если Fi(t/tm ) = (t/tm )П и F2 (t/tm ) = (t/t„ f ,
то из (7) вытекает формула R_
R„,
f t Y
2 -
f t Y
(n =
ln 2
V tm J
т и t
V tm J
(9)
время жизни и
1п(Т ^ )'
роста пузырька).
Теоретически функции ^¡(г/гт) и
(г/гт) могут быть найдены, исходя из
следующей упрощенной физической модели. Рост пузырька происходит за счет испарения окружающего его сферического слоя равномерно перегретой жидкости. По мере увеличения радиуса пузырька толщина этого слоя уменьшается до нуля. В результате пузырек оказывается в контакте с одинаково недогретой жидкостью. При схлопывании пузырька процесс конденсации пара на его межфазной поверхности протекает с постоянной скоростью.
При решении уравнения нестационарной теплопроводности, описывающего рост пузырька пара в объеме равномерно перегретой жидкости, в [4] получена формула
я(г/ т0) = ]а]2лп'т0[1 - ехр(- г/ т0)] = = А[1 - ехр(- г/ т0)]
(10)
Здесь 1а - число Якоба, а - коэффициент температуропроводности жидкости и т0 -постоянная времени роста пузырька
(т0 = 2а/ Я2 , Я - начальная скорость роста пузырька). В данном случае
/<(г/гт) = 1 - ехр(-агДт). (11)
При этом численное значение коэффициента а должно удовлетворять равенству
а = гт То. (12)
В [5] доказано, что коэффициент В , который определяется объемом пара, конденсирующегося с единицы поверхности в единицу времени, равен скорости изменения радиуса при схлопывании сферического пузырька
¿2 (г) = В. (13)
При постоянстве В величина уменьшения радиуса пузырька прямо пропорциональна времени, следовательно,
Р2 (Фт) = г/гт . (14)
Из (7), (11) и (14) получаем формулу динамики изменения радиуса пузырька пара при кипении в объеме недогретой жидкости
R = 1 - exp(- at¡ tm) - (at¡ tm )exp(- a)
R
1 -(l + a) exp(-a)
.(15)
При этом постоянная а должна удовлетворять граничному условию 1 - ехр(- ат/ гт) - (ат/ гт )ехр(- а) = 0 .(16) Обратим внимание на то, что формула (15) является справедливой как при разных значениях величин, определяющих коэффициент А (10) (например, при малых и больших числах Якоба), так и при слабом и сильном недогреве жидкости, от которого зависит объемная удельная скорость конденсации пара В (13).
В [1] показано, что в акустическом приближении в пределах неволновой зоны Я << г << X (Я - текущий радиус сферического пузырька, г - расстояние от его центра до точки контроля, X - длина звуковой волны) гидродинамическое уравнение Рэлея преобразуется к виду:
р'(я2 Я + 2ЯЁ2) р'У
р = —--- =-
г 4пг
(17)
(р - плотность жидкости, V - текущий объем пузырька).
КЗ
Дорофеев Б.М., Волкова В.И.
«Определение динамики изменения размера пузырька пара при кипении...»
Из (15) и (17) получаем формулу гидродинамически генерируемого пузырьком пара звукового давления
Р
= ^(' - Ъ - ас) [2{Ъ - с) тг
Ъ(1 - Ъ -
ас)],
(18)
где К = а2/[1 - (1+ а)с]3, а = аг/гт ,
Ъ = ехр(- а) и с = ехр(- а).
Переходим к рассмотрению методики определения характеристик динамики изменения радиуса пузырька по параметрам возбужденного им звукового импульса. Предложенная методика сводится к применению полученных на основе (16), (18) и расчетным путем следующих приближенных формул.
1. Для вычисления времени роста пузырька
гт* =(г1 + г 2) /2, (19)
где г, и г2
времена прохождения
12 звукового давления через нуль.
2. Для нахождения численным методом коэффициента а четырьмя способами:
1 - ехр(-а*т/гт* )-(а*т/гт* )ехр(-а*) = 0
(20)
(длительность звукового импульса Т равна времени "жизни" пузырька),
2(Ъ - С1 )2 - Ъ (1 - Ъ - а1С1 ) = 0 (21)
(а1
аг
11
Ъ1 = ехр(- а1) и с1 = ехр(-а1)),
2(Ъ2 - с2 )2 - Ъ2 (1 - Ъ2 - а2с2 ) = 0 (22)
, а^ г 2 (аг = 2 2
гт*
Ъ2 = ехр(- а2 )
и с2 = ехр(-а2)),
а
12
= а1 + а2
2
(23)
3. Для расчета максимального радиуса пузырька
03 = Тгт*Рт2 [1 +(1 +«12 )с12 ] (24)
Кт* =--2-^- У24'
а12с12Р
(с12 = ехр(-а12 )) .
В таблице 1 представлены взятые из работы [3] необходимые сведения, которые позволяют апробировать предложенную методику в широком интервале изменения недогрева жидкости до температуры насыщения. Здесь ДГИ и р - недогрев
и плотность жидкости; Ят, гт и т - микрохарактеристики пузырька. Коэффициент а вычислен из граничного условия (16). В ней также приведены времена г1, г2 и амплитуда Рт2 создаваемой пузырьком
волны разрежения (г=13 мм), определенные при расчете по формуле (18) звуковых импульсов (рис. 1).
Результаты оценки точности расчетных формул (19) - (24) представлены в таблицах 2 и 3, где указаны вычисленные по этим формулам величины с относительными ошибками для каждого из пяти пузырьков, а также средние значения модулей относительных погрешностей.
Таблица 1
2
г
*
т
№ ДТН Р, кг/м3 0т ' мм г , т мкс Т , мкс а (16 г1 > мкс г2 , мкс Р 1 т2 > Па
1 15,6 970 0,51 244 600 0,951 117 375 -248
2 32,2 980 0,44 190 450 0,812 94,0 289 -276
3 54,4 990 0,38 138 300 0,445 71,9 206 -379
4 70,2 996 0,32 90 180 0,015 49,7 130 -616
5 86,0 999 0,27 50 80 -2,028 33,2 66,2 -2350
34/2003 В
Вестник Ставропольского государственного университета ¡щ ■ ц)
Таблица 2
№ tm* , мкс 8,% а (20) 8, % а1, (21) 8,%
1 246 0,82 0,919 -3,36 1,005 5,68
2 192 1,05 0,781 -3,82 0,847 4,31
3 139 0,72 0,428 -3,82 0,471 5,84
4 89,9 -0,11 0,015 0 0,015 0
5 49,7 -0,60 -1,933 4,68 -2,142 -5,62
Ср. зн. 0,66 3,14 4,29
Таблица 3
№ а2 (22) 82 , % а, (23) 812,% Кт ,мм 8к, %
1 0,840 -11,7 0,923 -2,94 0,519 1,76
2 0,691 -14,9 0,769 -5,30 0,446 1,36
3 0,385 -13,5 0,428 -3,82 0,382 0,53
4 0,015 0 0,015 0 0,320 0
5 -1,826 9,96 -1,984 2,17 0,278 2,96
Ср. зн. 10,0 2,85 1,32
Анализ ошибок (табл. 2 и 3) приводит к выводу о практической пригодности предложенных расчетных соотношений (19) - (21), (23) и (24). При определении коэффициента а наиболее точной оказалась формула (23), поэтому в равенство (24) входит коэффициент а12. Следует
обратить внимание на малую погрешность формул (19) и (24) определения микрохарактеристик пузырька.
Строгое решение задачи требует выполнения сложных вычислительных операций. При этом в (21) и (22) заменяется на , а а и а2 - на а . Поочередное использование любой пары из трех
формул (16), (21) и (22) позволяет рассчитать точные значения tm и а методом последовательных приближений. Затем в результате варьирования t в (18) находится время tm1, tm2 или tm3 достижения максимума Рт1, Рт2 или Рт3 (рис. 1), чтобы в соответствии с (18) вычислить точное значение Ят. При малом уменьшении погрешностей расчетов (tm и Ят порядка одного и а - трех процентов) проведение таких операций, как правило, является нецелесообразным.
Дорофеев Б.М., Волкова В.И. Ущ «Определение динамики изменения размера пузырька пара при кипении.»
Продемонстрируем использование предложенной методики на практике.
На рисунке 2 показана полученная в [6] осциллограмма возбужденного пузырьком пара звукового импульса. Второй луч осциллографа отображает ось времен. Включен генератор 25 микро секундных меток. Расстояния между соседними метками увеличиваются в направлении к концу осциллограммы, что свидетельствует об искаженной форме импульса из-за нелинейности развертки. Начиная с восьмой метки, импульс искажен и в результате воздействия на гидрофон, кроме прямой, отраженной звуковой волны.
Несмотря на отмеченные особенности, приведенная осциллограмма достаточно информативна с точки зрения возможности применения рассмотренного выше акустического метода.
Из осциллограммы (рис. 2а) следует, что г1 = 75 мкс, (соответственно третья и седьмая метки). Результаты расчетов по формулам (19), (21) и (16) (а = а1): гт* = 125 мкс, а1 =-0,752 и
Т = 225 мкс. При амплитуде отрицательного давления
Рт 2 = -1,6 кПа Ят* = 0,4 мм (=6,5 мм, р = 1000 кг/м3).
На рисунке 2б приведен рассчитанный по формуле (18) звуковой импульс с учетом нелинейности развертки (искаженное время в условных единицах г* = к1г + к2 г2, к1 = 2,5 10-2 ус.ед./мкс, к2 = 6,0 • 10-4 ус.ед./мкс2).
г2 = 175 мкс
Рис. 1. Генерируемые пузырьками пара звуковые импульсы при разных недогревах жидкости (табл. 1)
Рис. 2. Определение по возбужденному пузырьком пара звуковому импульсу (а - в) динамики изменения радиуса пузырька (г)
34/2003 В
Вестник Ставропольского государственного университета ¡щ ■ ц)
Это сделано для удобства его сопоставления с зарегистрированным импульсом (рис. 2а), которое свидетельствует о достаточной надежности полученных результатов.
На рисунке 2в, г показаны рассчитанные неискаженный звуковой импульс (18) и изменение радиуса пузырька (15). Таким образом, по трем измеренным параметрам звукового импульса t2 и Рт2
удалось воспроизвести весь импульс целиком и представить динамику изменения радиуса пузырька пара (и то, и другое в абсолютных масштабах).
В заключение отметим, что формула (18) для расчета звукового импульса может применяться в случаях, когда при схлопывании пузырька пара не происходит образования ударной волны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дорофеев Б. М. Временные и спектральные характеристики звуковых импульсов, генерируемых при кипении недогретой жидкости //Теплофизика высоких температур, 1979. -Т. 17. - № 5. -С. 1024- 1029.
2. Дорофеев Б. М, Волкова В. И. Формулы-алгоритмы расчета звуковых импульсов, генерируемых пузырьками пара при кипении недогретой жидкости / Материалы 42 научно-методической конференции "Университетская наука - региону". - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1997. -С. 62-64.
3. Дорофеев Б. М, Волкова В. И. Влияние недогрева жидкости на звуковые импульсы, генерируемые пузырьками пара при кипении //Акустика на пороге XXI века. Сборник трудов VI сессии Российского акустического общества. - М: Изд-во Московского государственного горного университета, 1997. - С. 313 -316.
4. Дорофеев Б М, Подддубная Н. А. Скорость роста пузырька пара при насыщенном кипении / Теплофизика высоких температур, 1999. - Т. 37. -№. 5.-С. 841 - 844.
5. Дорофеев Б. М, Волкова В. И Влияние процесса конденсации на образование ударной волны в период схлопывания пузырьков пара при кипении недогретой жидкости /Теплофизика высоких температур, 2000. - Т. 38. -№5.-С. 842-845.
6. Дорофеев Б. М, Сологуб И. С. Излучение звука паровыми пузырьками при кипении недогретой жидкости /Исследования по физике кипения, 1975. - Ставрополь: Изд-во СГПИ. Вып. III. - С. 34-41.
Об авторах
Дорофеев Борис Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор. Автор более 100 опубликованных работ (включая две монографии и учебное пособие). Область научных интересов - акустика и физика кипения. Волкова Валентина Ивановна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики. Автор 22 опубликованных работ. Область научных интересов -акустика и физика кипения.
