CC BY
40
Надеев Д.Н., Безяев А.В. ОПИСАНИЕ МОДУЛЬ-НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ОЦЕНКЕ ОШИБОК «ЧУЖОГО» БИОМЕТРИКО-НЕЙРОСЕТЕВЫХ СРЕДСТВ АУТЕНТИФИКАЦИИ
Известно, что при оценке ошибок «Чужого» биометрические преобразователи выдают значения мер Хэмминга, близких к половине длины ключа, в зависимости от того, насколько качественно подобраны вектора примеров пользователей, подбирающих неизвестный пароль, или сбалансированы генераторы случайных биометрических образов. Если длина ключа п=25 6 бит, тестируем ли мы на реальных образах или используем их размножение, выходные распределения центрированы относительно точки Н=12 8 бит. Для малого разброса параметров тестовой базы нормальный закон подходит для описания без каких либо модификаций [1,2]. Если происходит размытие параметров «Чужого», не знающего пароль, вероятность для Н=12 8 бит падает, вероятности соседних с ними точек поднимаются, на них переходит часть, сосредотачивавшаяся раньше в центральной точке. С некоторой границы наступает предел, дальше использовать нормальный закон нельзя. Это точки левого и правого крайних значений меры Хэмминга, Н=0 и Н=25 6 бит. Меры не может выходить за эти границы, она всегда принимает значения из области Н=[0-256]. Если определить эти границы как ограничения на значения функции плотности вероятности, то мы получим модуль-нормальный закон, ограниченный с двух сторон, или двумодуль-нормальный закон.
При тестировании на примерах «Своего» нет надобности использовать второе ограничение на значения вероятности, распределение там центрировано относительно нуля. Здесь же, когда примеры вводит «Чужой», распределение может очень сильно размываться относительно центра и переходить за границы. Поэтому введение второго ограничения не снимает смысла модуль-нормальности, оно только делает его таким не по одну , а по обе стороны от своего математического ожидания. Еще одним свойством этого распределения является то, что здесь не изменяется расстояние между математическим ожиданием и центром этого распределения. Это расстояние всегда фиксировано и равно для нас т=12 8. Для модуль-нормального закона, ограниченного с двух сторон, нет смысла перемещать центр, так как описание для этого случая уже получено. Для нас важно, что происходит с таким законом, когда растет с.к.о. случайной величины (меры Хэмминга) и переходит через границы Н=0 и Н=256.
Если происходит переход границы Н=0, то мы добавляем оставшуюся часть к ветке Н г>
(см. рис. 1) .
Для противоположной границы происходит то же самое. Если ветка нормального закона выходит за границу
H=0, то поднимается ветка Н[(
Когда наступает момент равенства площадей
стигается граница левой модуль-нормальности, распределение выпрямляется и
ветвей L ’'J и H [0-12 8] , до-юроятность в каждой точке
зетки Н[,
становиться одинаковой и равной P1=0.04 (см. рис. 2). Для
H,
[0;+да]
такое же преобразо-
[0;256]
вание приводит к тому, что вторая часть распределения выпрямляется и становится похожа на рав-
номерный закон. В этой точке находится граница левой и правой модуль-нормальностей, граница двумодуль-нормальности. Положения, которые занимает кривая плотности до этого момента, характеризуются тем, что вероятность Р1н=128 принятия меры значения Н=12 8 меняется от Р1н=128=0 , 0 4 до Р1н=128=0 , 02 . если мы будем продолжать увеличивать с.к.о. меры Хэмминга, то получим уменьшение этого значения ниже точки Р1н=128=0,02 (см. рис. 3). Пределом для нее будет точка Р1н=128=0, когда вся вероятность приходится на значение Н=0 и Н=25 6 бит. Эти точки для практики не представляют большого интереса, так как характеризуют вырожденного «Чужого», пользователя без знания рукописного пароля, но мерой Хэмминга выходного кода, равной Н=0 или Н=25 6 бит. Это не «Свой», математическое ожидание распределения равно т(Н)=128 бит. Такие топологические переходы происходят при условии, что за границей модуль-нормальности вероятности продолжают складываться и увеличивать значение крайней точки меры. Свойство становиться равновероятным при увеличении с.к.о. меры проявляется и на других статистических законах, оно, видимо, является общим для всех вероятностных моделей в условиях наложения границ на значения случайной величины. Эти ограничения являются не выдумкой, они закономерно накладываются метрикой, применяемой при вычислении совпадения выходных кодов. В любой другой метрике, отличной от метрики Хэмминга, ничего не измениться, только измениться форма границ, вид и свойства закона останутся теми же.
^1
0.04
0.03
0.02
0.01
грани цы модул ь-норма а ьности
\ / \ /
\ / \
/ \
7 4
о
64
123
192
256
Н
Рис. 1 - Модуль-нормальный закон для «Чужого», не знающего пароль (с.к.о меры Хэмминга б=10)
При увеличении с.к.о. меры Хэмминга б=10 и выше выравнивание распределения в равномерное говорит о том, что тестовая база сбалансирована по выходным кодам. Делать такую балансировку можно для того, чтобы проверять калибровку преобразователя, или чтобы включать в средства аутентификации режимы, когда не различаются «Чужой» от «Своего», например, в условиях боевых действий. Такое размытие меры снижает почти до нуля надежность распознавания, ведь чем дальше математическое ожидание «Чужого» от нуля и чем меньше его с.к.о., тем меньше вероятности ошибок распознавания.
Рі
0-04 0 03
0.02
0-01
о
/ л Е=30
У V ^6=20
у \ 6=10
/ V 4
64 123 № 255
Н
Рис. 2 - Модуль-нормальный закон при с.к.о меры Хэмминга б=10, б=20, б=30
При увеличении с.к.о. меры Хэмминга б=30 и выше наблюдаемый выгиб функции плотности становится, характеризующийся уменьшением вероятности в центре и увеличением ее с краев распределения, превращает «Чужого» в подобие «Своего», у которого или не совпадают все биты, или все биты совпадают. В каждой из точек Н=0 и Н=256 бит вероятность поднимается до Р1Н_о=0,5 и Р1Н_256=0 , 5 . Это предельный случай, дальше распределение изменять свои параметры не может.
Рі ода
0.06 0.04 0.02 0
6=70 /
\- II В
У у ^6=30
V
0 64 128 192 256 н
Рис. 3 - Модуль-нормальный закон при с.к.о меры Хэмминга 6=3 0, 6=50, 6=7 0
Это свойство модуль-нормального закона может хорошо описываться сочетанием двух нормальных закон, параметры которых каждый раз изменяются, при этом происходит совпадение по форме и площади с гистограммой распределения выходных кодов биометрического преобразователя. Здесь нас больше всего интересует
начальные изменения кривой, часто встречающиеся на практике. Здесь нормальный закон или не изменяется
совсем, или переходит в модуль-нормальный с двумя границами. Если мы специально подаем на вход преобразователя вектора примеров с коррелированными параметрами, то выходные распределения могут описываться двумя нормальными законами, их ветками, обрезанными по математическому ожиданию.
ЛИТЕРАТУРА
1.Иванов А.И., Надеев Д.Н. Оценка вероятностей состояний выходных разрядов преобразователя биометрия/код: моделирование закона распределения // Труды научно-технической конференции «БЕЗОПАСНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ» Том № 6, 2005 г., Пенза, изд-во ПНИЭИ, с.41-45.
2.Малыгин А.Ю., Волчихин В.И., Иванов А.И., Фунтиков В.А. Быстрые алгоритмы тестирования нейросете-
вых механизмов биометрико-криптографической защиты информации. //монография. Пенза: Издат. Пенз. ГУ -2006. 161 с.
