Описание математической модели распределения часов самостоятельной работы в учебных планах с учетом ФГОС Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863

ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ В УЧЕБНЫХ ПЛАНАХ С УЧЕТОМ ФГОС

И. М. Мальцев, К. А. Михайлов, Н. А. Михайлова

Аннотация. В статье рассматривается задача автоматического распределения часов самостоятельной работы студента в учебных планах с выполнением требований федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

Ключевые слова: учебный план, распределение часов самостоятельной работы, федеральный государственный образовательный стандарт.

Введение

Одной из основных задач развития информационного общества в Российской Федерации является повышение качества образования на основе развития и использования информационных и телекоммуникационных технологий в образовательном процессе вуза [1].

В соответствии с изменениями в законодательстве в области образования российская высшая школа переходит на новую систему высшего профессионального образования. Для этого разработаны и утверждены новые федеральные государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования (ФГОС ВПО).

В основе всего учебного процесса лежит рабочий учебный план. В нем практически полностью описывается учебный процесс студента. Учебный план - документ, определяющий состав дисциплин, их распределение по годам обучения, недельное и годовое количество времени, отводимое на предмет. Так же план дает основную информацию, необходимую для подготовки и составления расписания.

Одним из механизмов проектирования рабочих учебных планов является распределение часов самостоятельной работы студента по курсам (семестрам) таким образом, чтобы с одной стороны набрать ровно 60 зачетных единиц за курс обучения, а с другой - обеспечить возможность не превышать 54 академических часа общей трудоемкости в неделю. В настоящей работе представлен алгоритм распределения часов самостоятельной работы, реализованный в электронных макетах учебных планов ВПО пакета Планы. Рассмотрим описание математической модели данной задачи.

Математическая модель

Пусть в рабочем учебном плане имеется совокупность дисциплин, перенумерованных подряд индексами из множества

I = {1,2,...,т}, курсов К = {1,2,...,к0}, в каждом из которых ровно 2 семестра. Перенумеруем подряд семестры и введем множество

N = {1,2,...,п}, п = 2к0 . Обозначим через х- количество часов самостоятельной работы [ -ой дисциплины в - -ом семестре. Тогда

множество X = ];е1 полностью определя-

-еК

ет распределение часов самостоятельной работы обучающихся при изучении дисциплин.

Разобьем множество I на два подмножества 11 и 12 , где 11 - совокупность индексов односеместровых дисциплин и дисциплин, у которых отсутствует самостоятельная работа, а 12 - совокупность индексов дисциплин, изучаемых в течение нескольких семестров (многосеместровых), для которых общий объем самостоятельной работы ненулевой. Пусть далее N - множество номеров семестров, в которых преподается [ -ая дисциплина. Тогда и К; = N - множество всех номеров семестров, в которых есть теоретическое обучение. Для каждого ] е N во множестве

12 выделим подмножество 12 номеров многосеместровых дисциплин, изучение которых ведется в - -ом семестре.

Введем следующие обозначения:

- множество целых неотрицательных

чисел,

т2 - количество элементов во множестве 12

п - количество элементов во множестве

NN,

^ - количество недель теоретического обучения в j -ом семестре,

Si - объем часов самостоятельной работы i -ой дисциплины,

Ai - объем часов аудиторной работы i -ой дисциплины (Ai > 0),

aij - объем часов аудиторной работы i -ой дисциплины в j -ом семестре,

eij - объем часов, отводимый на подготовку и сдачу экзамена по i -ой дисциплине в j -ом семестре,

Pk - объем часов на k -ом курсе, отводимый на практики, научно-исследовательскую работу и итоговую государственную аттестацию.

Предположим, что пользователем для каждой дисциплины уже заданы общий объем часов, указаны аудиторные часы по видам занятий и распределены часы на экзамены. Тогда для односеместровых дисциплин объем часов самостоятельной работы однозначно определяется как разница между общим объемом часов и суммой аудиторной нагрузки и часов на экзамены. Следовательно, решение рассматриваемой задачи сводится к распределению часов самостоятельной работы по семестрам только для многосеместровых дисциплин. Будем считать, что xij = 0, если i -

ая дисциплина не изучается в j -ом семестре.

Определим множество G допустимых решений. Для каждой многосеместровой дисциплины i е 12 должны выполняться равенства

2 Ху = ^

(1)

Учитывая требование ФГОС ВПО (см., например, [2]), которое состоит в том, что в каждом семестре недельная нагрузка студента не должна превышать 54 часа, получим

2 xij < Bj для любых 1 е N,

(2)

!е!2

где В] = 54 • ^ -2 ау - 2 Х;

!е!

!е1.

С другой стороны, одна зачетная единица соответствует 36 часам и трудоемкость учеб-

ного года должна составлять 60 зачетных единиц (согласно требованию ФГОС ВПО [2]). Тогда, учитывая трудоемкость экзаменов, получаем ограничение

2 х^ц +2 х1 2к = Ск для любых

!е12к-1 !е12к

к е К, (3)

где

Ск = 60 • 36 - I 2 (а 2к-1 + a1 2к + e1 2к-1 + e1 2к )+ 2 (х1 2к-1 + х1 2к )+ Рк ]■

Учитывая не отрицательность переменных х1: , имеем еще одно условие

Х] е2

V! е 12,] е N.

(4)

Таким образом, G представляет собой множество всех матриц X = [х^ ], элементы которых удовлетворяют (1)-(4). При этом будем считать, что множество G допустимых решений не пусто, то есть распределение часов самостоятельной работы возможно.

Для завершения построения математической модели рассматриваемой задачи необходимо формализовать критерий оптимальности:

f (Х) =22

!е!2

Х:

Si А;

^ тт. (5)

Итак, задача автоматического распределения часов самостоятельной работы - это задача математического программирования с целевой функцией (5) и множеством допустимых решений G.

Вид ограничений и требование целочис-ленности, а также формулировка задачи позволяют рассматривать задачу автоматического распределения часов самостоятельной работы как задачу транспортного типа. Данная задача может быть отнесена к задачам управления запасами [3], [4]. Однако отсутствие стоимости «транспортировки» часов и нелинейный вид целевой функции не позволяют решить рассматриваемую задачу известными методами (например, методом потенциалов).

Для поставленной задачи построить начальное (опорное) решение методами задач транспортного типа (например, методом северо-западного угла) не всегда возможно. Следовательно, возникает необходимость привлечения иного математического аппарата. А именно, учитывая требование (4), система (6)

а

Е хц = ^ е 12 Е хц< В^ е N

1е12

Е , Х1 2к-1 + Е Х1 2к = Ск

(6)

1е12

1е12

сводится к равносильной системе неравенств, которая решается известными методами векторной алгебры (см., например [5], [6]). Таким образом, полученное решение системы (6) с учетом требования (4), является опорным решением рассматриваемой задачи.

После того, как найдено начальное решение, применяется алгоритм, позволяющий найти оптимальное решение рассматриваемой задачи: метод направленного перебора, разработанный для данной задачи и основанный на некоторых шагах метода потенциалов [7]. Данный алгоритм позволяет быстро находить оптимальное решение задачи распределения часов самостоятельной работы в области допустимых решений.

Описание алгоритма поиска оптимального решения задачи распределения часов самостоятельной работы: Шаг 1. Учитывая вид элементов области допустимых решений G, формируем прямоугольную распределительную таблицу разме-

ром (т2 + 1)х (п +1):

2

переносим в ячейки таблицы аудиторные часы по каждой дисциплине в соответствующем семестре;

клетка таблицы с номером (^Х I = 1,..., т2,] = 1,..., п содержит информацию о часах самостоятельной работы по I -ой дисциплине в ] -ом семестре. При этом если I -ая дисциплина не изучается в ] -ом семестре, то клетка (I,]) будет называться запрещенной;

для каждой дисциплины в столбце п +1 указываем общий объем часов самостоятельной работы и для каждого семестра в строке т2 +1 записываем количество "свободных" часов (разница В^ - Е х^ ).

Шаг 2. Находим начальное допустимое решение X и записываем его в распределительную таблицу. Вычисляем значение целевой функции f = f (X).

Шаг 3. Находим очередное допустимое решение. Для этого в распределительной таб-

лице выбираем первую клетку (I, ]):

I := У:= 1.

Шаг 4. Если выбранная клетка (I, ]) запрещенная, переходим к шагу 11, если нет, то к шагу 5.

Шаг 5. Строим цикл, содержащий выбранную клетку (циклом в распределительной таблице называется ломаная линия, вершины которой расположены в незапрещенных клетках таблицы, а звенья вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое в столбце [8]). Начиная с выбранной клетки, нумеруем все вершины цикла и помечаем нечетные вершины знаком минус, а четные - знаком плюс.

Шаг 6. [ля всех клеток со знаком минус проверяем условие Ху > 0. Если условие выполняется, переходим к шагу 7, иначе к шагу 10. Шаг 7. Вычитaeм 1 из клеток со знаком минус и прибавляем к клеткам со знаком плюс. Получаем новое допустимое решение Х1. Шаг 8. Вычисляем значение целевой функции

Г = f (Х1).

Шаг 9. Сравниваем Г и ^. Если ^ < f , тогда X := Х1 и возвращаемся к шагу 7.

Шаг 10. Если в распределительной таблице еще не все клетки просмотрены, то есть

I < т

2

и ] < п , переходим к следующей

клетке (шаг 11). Если просмотрены все клетки распределительной таблицы, то переходим к шагу 12.

Шаг 11. Если ] < п , тогда ] := ] +1. Если ] = п, I < т2, тогда I := I +1, ] := 1 и переходим к шагу 4. Если ] = п, I = т2 , то возвращаемся к шагу 3.

Шаг 12. Проверяем условие ^-<8, где

£ - некоторая заданная величина отклонения. Если условие не выполняется, переходим к шагу 3.

Шаг 13. X - искомое оптимальное решение. Распределение часов самостоятельной работы выполнено. Заключение

Описанный выше алгоритм успешно реализован в электронных макетах рабочих учебных планов интегрированного пакета PLANY [9], [10]. На многочисленных семинарах, проводимых на базе Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, данный метод показал высокую эф-

фективность при проектировании учебных планов ВУЗов (в том числе МГУ им. Ломоносова, МГТУ им. Баумана, ЮФУ и др.) по любым направлениям и специальностям.

Библиографический список

1. "Стратегия развития информационного общества в Российской Федерации". Утверждена Президентом РФ В. В. Путиным 07.02.2008. №Пр-212.

2. Электронный каталог государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС ВПО). Режим доступа: http://www.edu.ru/db/portal/spe/archiv_new.htm свободный - Загл. с экрана.

3. Бахтин, А. Е. Дискретные задачи производственно-транспортного ™па. / А Е. Бахган, А А Колоколов, 3. В. Корсакова. - Новосибирск: Наука, 1978. - 160 с.

4. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций, 7-е издание. Пер. с англ./ Хемди А.Таха

- М.: Изд. дом «Вильяме», 2005. - 912 с.

5. Зоркальцев, В. И. Системы линейных неравенств. Учебное пособие./ И. В. Зоркальцев, М. А. Киселев. - Иркутск: ИГУ, 2007. - 99 с.

6. Черников, С. Н. Линейные неравенства. / С. Н. Черников. - М.: Наука, 1968. - 400 с.

7. Вентцель, Е. С. Исследование операций. / Е. С. Вентцель. - М.: Советское радио, 1972. - 552 с.

8. Грешилов, А. А. Прикладные задачи математического программирования: Учебное пособие.

- 2-е изд. / А. А. Грешилов. - М.: Логос, 2006. -288 с.

9. Мальцев И. М. Развернутое руководство по использованию программного комплекса PLANY. [Электронный ресурс] / Лаборатория ММИС. - Режим доступа: http://www.mmis.rU/Portals/0/Plany.pdf, свободный- Загл. с экрана.

10. Как распределить часы самостоятельной работы по семестрам (2007). [Электронный ресурс] / Лаборатория ММИС. - Режим доступа:

http://www.mmis.rU/Portals/0/DOC/RCSRE.doc, свободный- Загл. с экрана.

DESCRIPTION OF THE MATHEMATICAL MODEL OF THE DISTRIBUTION HOURS OF INDEPENDENT WORK IN THE LEARNING PLAN, IN LIGHT OF FGOS

I. M. Maltsev, K. A. Mikhailov, N. A. Mikhailova

In article the problem of independent working hours allocation in curriculum in accordance with federal state educational standard of higher vocational education is considered.

Мальцев ИгОорь. Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по информационным технологиям, заведующий кафедрой «Математика» ЮжноРоссийского государственного университета экономики и сервиса, математическое моделирование и информационные системы, 158 публикаций, e-mail: plany@rambler.ru

Михайлов Константин Андреевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика» Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, математическое моделирование и информационные системы, 10 публикаций, e-mail:

kostya_bah@mail. ru

Михайлова Наталья Александровна - программист, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, математическое моделирование и информационные системы, 5 публикаций, e-mail: natalymich@mail.ru

УДК 681.3

РАЗРАБОТКА ГЕОИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОТРАНСПОРТНЫХ СЕТЕЙ

А. М. Пуртов

Аннотация. Разработан способ применения геоинформационных систем и метода редукции графов для анализа маршрутов в транспортных сетях. Технология демонстрируется на примере анализа популярного маршрута г. Омска. Приведен пример построения ГИС - карты графа задержек на маршруте. Методом редукции графов получены оценки влияния задержек на время прохождения маршрута. Результаты анализа изображены на ГИС - карте графа задержек.

Ключевые слова: автотранспортная сеть, геоинформационные системы, ГИС-карта задержек, метод редукции графов, анализ маршрутов.