Описание кинематики антропоморфных роботов методом блочных матриц

Лесков А.Г.; Бажинова К.В.; Селиверстова Е.В.

УДК 621.865:004.021

DOI: 10.18698/0236-3933-2018-6-102-111

ОПИСАНИЕ КИНЕМАТИКИ АНТРОПОМОРФНЫХ РОБОТОВ МЕТОДОМ БЛОЧНЫХ МАТРИЦ

А.Г. Лесков1 К.В. Бажинова1' 2 Е.В. Селиверстова1' 2

1 Дмитровский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана, пос. Орево, Московская обл., Российская Федерация

2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

agleskov@rambler.ru

bazhinova@bk.ru

feoktistovaev@mail.ru

Аннотация

Рассмотрены вопросы описания кинематики многозвенных исполнительных механизмов антропоморфных роботов, способных выполнять многие задачи, возникающие в процессе трудовой деятельности человека, в том числе в экстремальных условиях (например, в открытом космосе, при работе с опасными объектами и др.). Предложен метод математического описания таких механизмов с использованием математического аппарата блочных матриц. Метод позволяет записывать громоздкие кинематические соотношения для многозвенного механизма антропоморфного робота в компактной форме. Формирование блочных матриц подчинено наглядным правилам, что делает предложенный подход удобным инструментом для вычислений на ЭВМ. Приведен пример, иллюстрирующий применение метода блочных матриц для описания кинематики робототехнической системы — антропоморфного робота-космонавта, перемещающегося в невесомости и связанного с неподвижным основанием многозвенным страховочным фалом

Ключевые слова

Антропоморфный робот, разветвленная кинематическая цепь, блочная матрица, задачи кинематики

Поступила в редакцию 26.03.2018 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Назначение первых робототехнических систем — облегчение деятельности человека и улучшение условий его труда при выполнении простейших манипуляционных операций. В последнее время все более актуальной становится проблема расширения спектра выполняемых роботами операций. Одно из направлений решения этой задачи — разработка и использование антропоморфных роботов, кинематические схемы которых напоминают кинематическую схему тела человека.

Подобные роботы планируется использовать также в космической отрасли — на борту космической станции (КС) и во время внекорабельной деятельности. Например, при выполнении различных операций на КС космонавты не могут обойтись без помощников, в качестве которых в настоящее время выступают другие члены экипажа. Поэтому применение антропоморфных роботов-помощников существенно повысит эффективность использования времени всех космонавтов и

уменьшит время их пребывания в открытом космосе. Для решения этих задач разработаны два антропоморфных робота: Robonaut-2 [1] (совместная разработка NASA и GM) и SAR-400 [2] (НПО «Андроидная техника» по заказу корпорации «Роскосмос»).

Современные антропоморфные роботы имеют в своем составе многозвенные механизмы, реализующие функции рук, ног, туловища и других частей тела человека. При этом роботы могут располагаться на подвижном основании.

Запись уравнений кинематики подобных механизмов в явной форме [3-5] осложнена из-за высокой размерности. Это обстоятельство делает актуальной разработку и применение специальных подходов, которые позволят записывать уравнения в компактной форме. Одним из примеров работ, выполненных в этом направлении, является [6].

Другим подходом к описанию многозвенных механизмов является метод, использующий для записи кинематических соотношений блочные матрицы. Метод блочных матриц для описания многозвенных механизмов с простой кинематической цепью впервые был применен в [7], в последующем метод получил развитие в направлении описания кинематики механизмов с разветвленной структурой [8]. Достоинства метода блочных матриц — компактность получаемых уравнений и достаточная степень общности, при которой в каждом конкретном случае не требуется дополнительная алгоритмическая проработка.

В настоящей работе метод блочных матриц развит в направлении описания кинематики более сложных механизмов, в том числе исполнительных механизмов антропоморфных роботов.

Описание исполнительного механизма с простой (линейной) кинематической цепью. Полагаем, что в составе исполнительного механизма имеется n звеньев. Они связаны между собой попарно и нумеруются, начиная от основания, с которым связана инерциальная система координат (СК) — СКо. При этом звенья с большими номерами находятся дальше от основания, чем звенья с меньшими номерами (рис. 1).

CKt_!

Рис. 1. Пример механизма с простой кинематической цепью

Матрицы поворота СК смежных звеньев хг, е М3 х3 (г = 1, 2, ..., п) определяются стандартными процедурами, предполагающими их представление в виде

произведений трех матриц элементарных поворотов последовательно вокруг каждой координатной оси.

Параметры звеньев задаются в СК, связанной с соответствующими звеньями. К параметрам звеньев относятся векторы длин звеньев 1; е М3 х1, равные смещениям СК; относительно СК; _ 1, и вектор координат центров масс звеньев П е М3 х1 (см. рис. 1).

Запись кинематических соотношений для механизмов с простой кинематической цепью с использованием блочных матриц. Для механизмов с простой кинематической цепью, которая состоит из п звеньев, последовательно связанных между собой кинематическими парами 5-го класса, векторы е М3х1 смещений СК звеньев относительно СК0, заданные в СК этих же звеньев, определяются по формуле [9]:

и = е ^,) I],;=1,2,...,п, (1)

, j v j = 1

(2)

где х;,] е М х — матрицы поворота системы координат СК] относительно си стемы координат СК;, которые определяются из соотношения

( ; ~ 1 Т

х;, ] = П Ъ, к+1 .

Vк =]

В методе блочных матриц [8] уравнения (1) записываются так:

г = т I, (3)

где г е М3п х 1, I е М3п х 1 — блочные векторы с элементами и ; теМ3пх3п — блочная нижняя треугольная матрица, недиагональными элементами которой выступают матрицы , ], а элементами главной блочной диагонали — единичные

матрицы т;= Е е М3 х 3.

Уравнения (3) в отличие от уравнений (1) записываются в «безындексной» форме, что делает их более компактными. Уравнения (3) справедливы для механизмов с произвольным числом звеньев. В составе исполнительного механизма могут присутствовать и вращательные, и поступательные кинематические пары в произвольной комбинации.

Центральное место в методе блочных матриц занимает алгоритм определения матрицы х в виде

п - 1

х=Е У', (4)

; = 0

где У е М3п х 3п — блочная матрица, формируемая по правилу У] = х;,], где х;,] — матрицы поворота СК смежн^1х звеньев. Индексы ' и ] соответствуют номерам блочной строки и блочного столбца матрицы У. Из определения матрицы У следует, что для механизмов с неразветвленной структурой ненулевыми блоками матрицы У являются только элементы первой блочной поддиагонали.

С помощью матрицы т рассчитываются блочные векторы линейных V е М3п х 1 и угловых ю е М3п х 1 скоростей звеньев механизма, составленных из векторов линейных и угловых скоростей каждого звена [10, 11].

Блочный вектор угловых скоростей звеньев механизма определяется из соотношения

ю = тусд, (5)

где V е М3п х п — блочная диагональная матрица, ненулевые элементы которой составлены из п (3 х 1) векторов V; проекций осей X СК;-1 на оси СК;; д е Мп х 1 — вектор скоростей сочленений исполнительного механизма; оеМп х п — матрица индикаторов типов кинематических пар сочленений звеньев. Если г-е сочленение — вращательная кинематическая пара, то = 1, если 1-е сочленение — поступательная кинематическая пара, то = 0.

Блочный вектор линейных скоростей звеньев механизма определяется из соотношения

V = - (X (г) + тХ (/))тустд + XV (Е - с) д, (6)

где А,(*) е М3п х 3п — блочная матрица диагонального вида, ненулевые элементы которой — матрицы размера (3 х 3), составленные из компонент векторов г; и ; г е М3п х 1 — блочный вектор координат центров масс звеньев с элементами г;; Е е Мп х п — единичная матрица. Отметим, что элементы блочных векторов ю и V записываются в проекциях на оси связанных со звеньями СК.

Описание антропоморфного робота. Полагается, что в составе антропоморфного робота имеется п звеньев. Звенья связаны между собой попарно и нумеруются, начиная от основания, с которым связана СКо. Звенья с большими номерами находятся дальше от основания, чем звенья с меньшими номерами. Звенья каждого из ответвлений кинематической цепи нумеруются последовательно, начиная от звена, прикрепленного к точке ветвления. При рассмотрении первого ответвления номера его звеньев начинаются с номера, на единицу большего, чем номер корневого звена; номера звеньев следующего ответвления начинаются с номера, на единицу большего, чем номер последнего звена предыдущего ответвления. Порядок рассмотрения ответвлений произвольный. Геометрические и инерционные параметры звеньев аналогичны параметрам звеньев механизма с линейной структурой.

В качестве примера рассматривается антропоморфный робот-космонавт, свободно перемещающийся в невесомости. Робот связан с основанием посредством фала, который представляется в виде трехзвенного механизма. С местом крепления фала связана СКо. Нумерация звеньев робота приведена на рис. 2.

В состав антропоморфного робота (см. рис. 2) входят 25 звеньев, пронумерованных от основания. Звенья с номерами от 1 до 3 — фал, который связывает робот с неподвижным основанием, расположенным на корпусе МКС. Звенья 4, 6, 12, 18 и 22 — фрагменты туловища робота. Они используются для описания

Рис. 2. Механизм антропоморфного робота-космонавта

связи головы, рук и ног робота с точкой ветвления, расположенной на туловище. Звено 5 — голова робота. Звенья 7, 8, 13 и 14 — руки робота. Звенья 9, 10, 11, 15,16,17 — пальцы кистей. Звенья 19, 20, 21, 23, 24 и 25 — ноги робота.

Запись кинематических соотношений для механизма антропоморфного робота. Соотношения метода блочных матриц можно достаточно просто распространить на случаи исполнительных механизмов с разветвленной древовидной структурой [8]. Такую структуру имеет и механизм антропоморфного робота.

Для механизмов такого типа вид уравнений (3), (4), (5) и (6) по сравнению с механизмами с линейной кинематической схемой не изменяется. Изменяется лишь структура матриц У и т. Правила построения этих матриц следующие.

В матрицах У аналогично случаю механизмов с линейной кинематической цепью на место элементов У;, ] помещаются матрицы т;,], связывающие СК смежных звеньев. Остальные блочные элементы этой матрицы полагаются равными нулевым матрицам Z е М3 х 3.

Матрица т рассчитывается по формуле (4). Верхний предел суммы в (4) полагается равным числу звеньев наиболее длинной ветви «дерева» кинематической схемы исполнительного механизма.

Пользуясь предложенной методикой, составим блочные матрицы Y и т антропоморфного робота (см. рис. 2). Число блоков размера (3 х 3) в этих матрицах составляет 25 х 25 — в соответствии с общим числом звеньев робота. Полный размер этих матриц составляет (75 х 75).

Сначала составляем матрицу Y (рис. 3). Порядок формирования этой матрицы следующий.

1. Формируем блоки (отдельные элементы конструкции), которые могут быть представлены как механизмы с линейной структурой. Сочленениям фала соответствуют матрицы поворота Х2, i и хз, 2. Шее и голове робота соответствуют матрицы х4,3 и is, 4. Плечу и предплечью левой руки соответствуют матрицы поворота %7, 6 и Tg, 7, то же для правой руки — хп, 12 и хи, 13. Бедру, голени и стопе левой ноги соответствуют матрицы поворота Х19, ig , Х20,19 и Х21,20, то же для правой ноги — 123, 22 , 124, 23 и X2S, 24.

2. Формируем блоки в местах соединения отдельных элементов — точках ветвления. Местам крепления рук и ног робота к туловищу соответствуют матрицы Тб, 3, Т12,3,118,3 и 122, 3. Запястью левой руки, к которому крепятся пальцы «кисти», соответствуют матрицы i9, g, хю, g и х 11, g, запястью правой руки — матрицы X1S, 14 , h6,14

и Х17,14.

3. Матрицы поворота х,j, соответствующие блокам отдельных элементов конструкции с линейной структурой и блокам в местах соединения отдельных элементов, размещаем на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Y. На рис. 3 для удобства восприятия их расположение отмечено символом « х ». Все прочие элементы матрицы Y заполняем нулевыми матрицами Z е М3 х 3.

Теперь формируем матрицу т (рис. 4). Формально это можно сделать по формуле (4). При этом следует принять n = 7. Однако эту операцию можно выполнить, не прибегая к процедуре перемножения, а применяя более простые приемы. Для этого выполняем следующие действия.

1. Переносим ненулевые элементы матриц Y в матрицу т. На рис. 4 для удобства восприятия элементы, отличные от нулевых матриц, обозначены символом « X ».

2. Расставляем единичные матрицы E е М3 х 3 на месте главной блочной диагонали.

3. Формируем блоки, связывающие каждое звено с СКо. Этим блокам соответствует матрица поворота xi, j СК относительно СК,, если j-е звено связывает i-е звено с инерциальной СК. Эти матрицы рассчитываются из соотношения (2). Индексы i и j матрицы х,, j соответствуют номерам строки и столбца ячейки матрицы х, в которую помещается матрица xit j. Например, в строке с номером 17 будут размещены матрицы тп, 1, tu, 2, хп, 3, Хп, 12 и хп, 13, а в строке с номером 25 — матрицы X2S, 1, X2S, 2, X2S, 3, X2S, 22 и X2s, 23. На рис. 4 для удобства восприятия эти блоки обозначены символом « • ».

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

X Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z X Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z