Описание и моделирование катастроф лесных биоценозов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 574 ББК 28.080.3

Володченкова Людмила Александровна

ассистент г. Омск

Калиненко Николай Алексеевич

доктор сельско-хозяйственных наук, профессор г. Омск

Volodchenkova Lyudmila Alexandrovna

Assistant

Omsk

Kalinenko Nikolay Alexeevich Doctor of Agriculture,

Professor

Omsk

Описание и моделирование катастроф лесных биоценозов Description and Modelling of Forest Biocenos Catastrophes

Предлагается описание катастроф в экологии лесных биоценозов с помощью математической теории катастроф.

The article offers description of catastrophes in ecology of the forest biocenoses by means of the mathematical theory of catastrophes.

Ключевые слова: лесной биоценоз, экологическая катастрофа, вырубка, пожар, моделирование, прогнозирование.

Key words: forest biocenos, ecological catastrophe, cutting down, fire, modelling, forecasting.

Равновесные состояния лесных биоценозов характеризуются тем, что их строение и состав колеблются около какой-то средней точки, представляющей как бы типичное состояние растительного покрова. К их числу относится большая часть фитоценозов. Динамика развития леса зависит от множества различных внешних управляющих факторов. Отдельные из этих факторов, изменяясь со временем, вполне способны вывести лесной биоценоз из равновесия, начав при этом резкие, подчас катастрофические и неблагоприятные перемены в структуре и в организации фитоценоза.

Очевидно, что важно заранее выявить подобные факторы - назовем их факторами риска - и, кроме того, понять к каким последствием и новым равновесным состояниям лесного биоценоза приведут начавшиеся неконтролируемые изменения факторов риска.

Одним из методов решения данной задачи является математическое моделирование лесных биоценозов. Поскольку мы интересуемся резкими, необратимыми сменами равновесных состояний биоценоза, то естественно использовать математическую теорию катастроф Рене Тома [1,2,3].

Мы взяли для исследования в качестве возможных факторов риска такие факторы как влажность ™, мозаичность (оконная динамика) т (или состояние атмосферы при иной интерпретации этого фактора в нашей модели), определяющий мозаичность фитоценоза; наличие конкуренции к (принцип конкурентного исключения) и антропогенное вмешательства а в лесную экосистему (вырубка леса, пожары и т.д.). Модель легко может быть усложнена за счет введения дополнительных управляющих внешних факторов, но при этом она становится менее наглядной и требует при ее использовании уже гораздо более серьезных математических знаний.

1. Построение модели лесной экосистемы

Состояние леса мы характеризуем скалярной функцией времени х(), зависящей от четырех управляющих внешних факторов, перечисленных выше.

Функцию х({') будем называть доброкачественностью леса. Ее значением в самом простом случае можно считать биомассу (или прирост биомассы) биоценоза.

Конкретное значение доброкачественности лесной экосистемы, находящейся в состоянии равновесия, будем интерпретировать как конкретное растительное сообщество. Смена равновесия, сопровождающееся изменением значения доброкачественности лесного биоценоза, - это смена одних сообществ другими (динамика растительного покрова по Сукачёву).

Степень доброкачественности лесного биоценоза в момент времени * будет определять доброкачественность леса в следующий момент времени * + &. Иначе говоря,

х (* + Л ) = х (*) + Л((, х )&* (1)

где Л(^ ’х) - величина, описывающая отклонения в степени доброкачественности леса, произошедшие на отрезке времени Ж .

Из (1) имеем то, что называется дифференциальным уравнением

Жх ч

— = А(1, х)

Ж (2) В основе продуктивного процесса растений лежит фотосинтез. Растения под воздействием солнечной энергии, поглощая листьями из атмосферы углекислый газ и корневой системой из почвы воду, создают органическое вещество. Недостаток влаги — ^ > 0 является фактором, не способствующим благополучию леса. В таком случае следует в правую часть дифференциального уравнения (2) добавить член ( ^) :

Жх

= Л((, х) — ^)

Ш . (3)

В самом простом случае принимают, что Л(t, х) ~ ^Х. Коэффициент ^ можно считать постоянным. Но тогда доброкачественность леса будет нарастать как геометрическая прогрессия, и это делает бессмысленной нашу модель.

Поэтому начнем ее усложнять. Коэффициент ^1 отвечает за «прирост доброкачественности леса».

Учтём, что для здорового леса обязательной чертой является наличие ярусности. Следуя Дюрье, примем в расчет только четыре яруса. Взаимодействие ярусов [4] должно дать вклад в доброкачественность леса вида

4 ™

а.х ■ а2х -а3х ■а.х = а.а2а3а.х тт 11 а

1 2 3 4 1 2 3 4 . Каждый коэффициент 1 характеризует степень

~ т7 а. —— 0

участия 1-го яруса во взаимодействии ярусов. Если 1 , то мы констатируем

отсутствие 1-го яруса; означающее меньшую ярусность лесного биоценоза и, следовательно, его меньшую степень биоразнообразия, меньшую устойчивость к неблагоприятным воздействиям.

Примем, что

ki = коx4 - p{x), (3)

a = a1a2a3a.= const где 1234 - «сила» взаимодеиствия четырех ярусов леса, а вели-

чина p( х) - это то, что мешает доброкачественности леса. Тогда следует принять, что

p(x) = к2 + к3 х2 - к4 х,

вырубка леса, конкуренция мозаичность леса

пожары (состояние атмосферы) (4)

к 3 х2 „ к.х

где член 3 характеризует конкуренцию растений в лесу, а член 4 допускает две интерпретации. При к4 > 0, при первой интерпретации, имеем состояние атмосферы (температура, влажность, состав), или, при второй - действенен основной механизм смены поколений деревьев, поддерживающий специфическую мозаичность лесов и высокое биологическое разнообразие во многих типах леса, называемый «оконной динамикой». Он связан с гибелью отдельных старых деревьев или их групп, образования за счет этого «окон» в пологе древостоя и формирования в этих окнах групп молодых деревьев.

Объединяя уравнения (2)-(4), получаем

где

dx д

— = — V (x, к, m, a, w), dt dx

V (x, l, u, v, w) = — x6 + kx4 + mx3 + ax2 + wx, 6

(5)

(6)

к = -к3 /4, т = к4 / 3, а = -к2 / 2,

- потенциал лесного биоценоза. Отметим, что доброкачественность характеризуется неравенством х > 0; наличие конкуренции неравенством к < 0, действенность оконной динамики неравенством т > 0; вырубка лесов, пожары неравенством а < 0, недостаток влаги неравенством ^ < 0.

Функция ^(хк,т’а ^, заданная выражением (6), описывает при изме-

к, т, а, w ел.

нении параметров ’ ’ ’ самые различные бифуркации, называемые в математической теории катастроф катастрофами типа «бабочка» [1,2,3].

Первый член ах (а > 0) определяется наличием только четырех ярусов леса. Учет каждого нового яруса увеличивает показатель степени х на единицу. Но при этом теряется так называемая структурная устойчивость модели. Иначе говоря, вид уравнения, его свойства не сохраняются при малых возмущениях правой части уравнения (5).

2. Равновесия системы, их смена и математическая теория катастроф

Равновесие в природе на самом деле зависит от окружающей среды, а среда эта постоянно подвержена изменениям. Пожары, наводнения, колебания количества атмосферных осадков оказывают влияние на среду, в которой произрастает лес. И растения, конечно же, не могут не реагировать на эти изменения. Получается, что экосистема все время пытается либо сохранить равновесие, либо попасть в новое равновесие. Вмешательство человека - всего лишь еще один способ изменить окружающую среду и, таким образом, повлиять на направление развития экосистемы.

Лесной биоценоз (лесную экосистему) можно вывести из состояния равновесия многими способами. Обычно это бывает пожар, наводнение или засуха. После такого нарушения равновесия новая экосистема сама себя восстанавливает, и этот процесс носит регулярный характер и повторяется в самых разных ситуациях.

Для математического описания смены равновесий системы при изменении внешних (управляющих) факторов математиками создана теория элементарных катастроф. Она исходит из предположения, что поведение системы определяет-

„ , „V = V(х,и,,...,ип) х

ся некоторой потенциальной функцией 1 п , где л - переменная,

и,,...,ип ,

характеризующая изучаемую систему, а 1 п - внешние управляющие фак-

торы. Динамика изменения во времени переменной х(() задается дифференциальным уравнением

Жхд

— = —V(х,и,,...,ип),

Ж дх 1 11 (7)

Равновесия системы - это такие решения х(г) уравнения (7) , которые не

меняются со временем (какой-то период времени), т.е. х() = сопМ. Но в таком случае, как видно из уравнения (7), имеем уравнение всевозможных равновесий системы

д

—V (х, и,,..., и п) = 0. дх (8)

Каждое равновесие есть решение х данного уравнения, зависящее от конкретного набора внешних управляющих факторов, т.е. х = х(и* и").

0 о

Если меняются внешние факторы, скажем, вместо набора 1 п пере-1 і

ходим к набору 1 п , то имеем смену равновесия системы - вместо равно-

х° = х(и,0,..., и0) х1 = х(и,,..., ип)

весия у 15 ’ п 7 получаем равновесие ' 1 п'.

Естественно считать, что если слабо изменятся внешние факторы, то система почти не изменит своего состояния, т.е. практически сохранит значение

характеризующей ее переменной х 0 , или займет равновесие близкое к тому, что было, но не отличающееся от предыдущего качественно. Однако исследования показали, что возможны такие малые изменения внешних факторов, и они происходят тогда, когда они пересекают при своем изменении так называемые бифуркационные множества, при которых система переходит к новому равновесию, для которого ее характеристика х1 существенно отлична от предыдущей и, следовательно, новое равновесие обладает новыми качествами.

Такие переходы были названы катастрофами, поскольку переходы к новому устойчивому равновесию предшествует потеря устойчивости раннего равновесия.

С точки зрения математики, как видно из уравнения (8), равновесие х = x(мl,•••,ип) - это либо точка минимума, либо точка максимума, либо так

называемая точка перегиба функции У ^"о^.-ИпэМ УUl,•••,ип). Обозначе-

V = V, )(х) , V = V(х,и1,.^,и )

ние (и1--ип)Ч 7 говорит о том, что мы функцию 1 п рассматри-

ваем, как функцию одной переменной х и используем соответствующий математический аппарат, известный школьникам^

Как правило, устойчивые равновесия системы - это минимумы функции

У У(хUl,•••,и) • На рисунках графика функции У У(и1,- ип)(х) они изобража-

ются ямками (соответственно максимумы - неустойчивые равновесия - изображаются вершинами горок)

3. Определения экологической ситуации и экологических катастроф Катастрофы, описываемые теорией катастроф, вполне отвечают тому, что можно было бы назвать экологическими катастрофами Поэтому адаптируем терминологию теории катастроф к экологии

Назовем местной экологической ситуацией, отвечающей набору внешних

факторов Ul,•••, ич любую из точек локального минимума функции

. Экологическая система, в случае местной экологической ситуа-

ции, пребывает в равновесии, т.е. величина х(^) не меняется со временем

(управляющие факторы Ul,•••,ип зафиксированы)

Для конкретного набора внешних факторов у функции У У(“1,- “п)(х) мо-

х1 хт

жет быть несколько точек минимумов^ Скажем, это точки ■’ • В каком из

этих равновесий находится система? Как узнать это? Для этого придуманы различные правила, т.е. способы, по которым выбираются равновесия. Рассмотрим два основных правила.

Правило максимального промедления предписывает состоянию оставаться в минимуме при изменении факторов до тех пор, пока он существует.

В момент, когда происходит исчезновение старого минимума и становится необходимым переход в новый, происходит экологическая катастрофа.

Правило Максвелла предписывает взять в качестве равновесия системы такую точку минимума, в которой функция ^ ^(и1,-<)(х) достигает наименьшего

значения.

2. Описание катастрофических смен равновесных состояний леса

Построенная модель описывает, самые различные катастрофические смены равновесий в состоянии лесного биоценоза (лесной экосистемы). Для этого следует изменять управляющие факторы так, чтобы они при изменении пересекали особое бифуркационное множество Вуг (оно очень сложно устроено, и его описание можно найти в книгах [1,2,3]).

Модель описывает, например, следующие экологические катастрофы:

2.1. Катастрофы при вырубке лесов (и при пожарах). Рассмотрим случай отсутствия мозаичности (т = 0), наличии сильной конкуренции (к < 0) и индеферентность к влажности ж . Ситуации изображены на рис.1, где равновесия - это минимумы («ямки») графика потенциальной функции экосистемы V(^к,m,a,ж) как функции переменной х.

\А

Рис.1. Изменения равновесий лесной экосистемы (минимумы графика функции V “ V(х)) при изменениях факторов a, ж Жирными линиями изображено бифуркационное множество В .

Если фактор а уменьшается от значения а > 0 (поддержание леса в порядке) через а = 0 до а < 0 (идет вырубка лесов или имеет место пожар), то единственное устойчивое до этого равновесие лесной экосистемы сменяется одним из трех возможных; и в свою очередь, одно из них вскоре исчезает при дальнейшем уменьшении фактора а. Лесная экосистема, наконец-то, перейдет к новому равновесию, причем либо к одному из двух альтернативных, либо к одному конкретному в зависимости от степени влажности почвы.

Обратим внимание, что модель предсказывает наличие, как минимум, трех равновесий, в которых может оказаться лес после вырубки. Именно такая ситуация наблюдалась в исследованиях [5,6], проведенных в лесхозах Западного Саяна. После вырубки лес оказывался в одном их трех равновесных состояния леса после вырубки: во-первых, кустарники, во-вторых, лиственные породы, или, наконец, ценные хвойные породы.

Аналогично, наблюдения лесов после пожаров [7-10] доказывают, что состояние восстановленного леса после пожара не является однозначно определенным: возможны качественно различные новые равновесные состояния}.

2.2. Смены равновесия при засухах. Здесь возможны три случая. Ситуации изображены на рис.2, где равновесия - это «ямки» графика потенциальной функции экосистемы ^(Х’к ’ та’ ^ как функции переменной х.

Если a = const < 0 (пожары) и идет засуха (w уменьшается от 0 до очень

маленького w < 0 вдоль линии 1), то два альтернативных равновесия сменяются одним - лес после засухи и пожаров.

Если a = const > 0 (нет пожаров) и начинается и нарастает засуха (w

уменьшается от w > 0 до очень маленького w < 0 вдоль линии 2), то одно равновесие заменяется на одно издвух альтернативных, а затем остается только одно - лес после засухи без пожаров.

Если w < 0 (нет пожаров) и начинается и нарастает засуха (w уменьшается от w > 0 до очень маленького w < 0 вдоль линии 3), то равновесие остается единственным, меняется только доброкачественность леса.

2.3. Смена равновесия при вымокании леса (рис.3, изменения w вдоль

линий 1,2,3,4). Полагаем, что имеет место случай m = 0, т.е. не наблюдается действие оконной динамики. Тогда при возрастании избытка влаги w в почве

потенциальная функция экосистемы V(^ k, m, a w) как функция переменной x, начинает меняться так, что при использовании правила Максвелла происходит смена равновесия и экосистема занимает состояние с меньшей доброкачественностью леса (смена позиции черной точки в ямке на рис.3). Этот процесс является широко распространен-ным и отмечается многими исследователями [11].

W<0 н=0 w>0

w w W vJ,V \j

m=0 - x

Рис.3.

З. Выводы

Предложенная модель лесной экосистемы дает описания кризисных и катастрофических состояний лесных экосистем, совпадающие с тем, что констатируют в своих исследованиях лесов многие биологи, экологи и лесоводы, полный список которых мы опускаем, поскольку приведенные в них результаты во многом близки к [5-ІІ]. Модель способна давать прогнозы приближающихся экологических кризисов и катастроф, что является важным условием для любой теории, претендующей на ее использование и применение в практической работе биологов, экологов и лесоводов.

Библиографический список

1. Брёкер, Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы [Текст] / Т. Брёкер, Л.Ландер. -М.:Мир, І977. - 2Q7 c.

2. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения [Текст]/ Т. Постон, И.Стюарт. - М.: Мир, i9SQ. - 57Q c.

3. Москалюк, Т.А. Курс лекций по биогеоценологии [Электронный ресурс]/ Т.А.Москалюк. - Режим доступа: http://www.botsad.ru/p_papers.htm (i2.Q5.2QQ9).

5. Пестриков, А.Н. Лесоводственная оценка вырубок Саяно-шушенского лесхоза [Текст]/ А.Н.Пестриков, З.В.Ерохина // Сборник статей студентов по материалам всероссийской научно-практической конференции «Лесной и химический комплексы - проблемы и решения» І5-Іб ноября 2QQ7 г. Красноярск, 2QQ7. - Т.І. - C.2Q-23.

6. Бондарева, Е.С. Влияние технологических схем на лесовозобновление вырубок Ун-гутского лесничества Манского лесхоза [Текст]/ Е.С.Бондарева, З.В.Ерохина, К.О.Гераськина // Сборник статей студентов по материалам всероссийской научнопрактической конференции «Лесной и химический комплексы - проблемы и решения» І5-Іб ноября 2QQ7 г. Красноярск, 2QQ7. - Т.І. - C.3Q-32.

7. Бакшеева, Е.О. Влияние низовых пожаров на возобновление в среднетаежных лиственничниках Красноярского края: монография / Е.О.Бакшеева [и др.]. - Красноярск: СибГТУ, 2QQ3. - І94с.

S. Уткин, А.И. Влияние огня на природу и формирование лиственничников Центральной Якутии [Текст]/ А.И. Уткин // Лесн. хоз-во. - І9б5. - №І. - С.4б^.

9. Захаров, А.А. Особенности лесных пожаров и возобновления кедра в Читинской области [Текст]/ А. А.Захаров, И.В.Горбунов // Сборник статей по материалам всероссийской научно-практической конференции «Лесной и химический комплексы -- проблемы и решения» І5-Іб ноября 2QQ7 г. Красноярск, 2QQ7. - Т.І. - C.Si^.

iQ. Буланова О.С., Борисова Е. В. Особенности формирования лесных ценозов на начальном этапе восстановительной сукцессии [Текст] / О.С.Буланова, Е.В.Борисова // Сборник статей по материалам всероссийской научно-практической конференции «Лесной и химический комплексы - проблемы и решения» І5-Іб ноября 2QQ7 г. Красноярск, 2QQ7. - Т.І. -C.i5i-i54.

ii. Казанцева, М.Н. Биоразнообразие таежных растительных сообществ под влиянием различных факторов нефтедобычи [Текст]/ М.Н.Казанцева // Человек и север: Антропология, археология, экология. Материалы всероссийской конференции г. Тюмень, 24-2б марта 2QQ9 г. Выпуск І. - Тюмень, 2QQ9. - C.249-252.

Bibliography

i. Baksheeva, E.O. Influence of Local Fires on the Renewal in Taiga Hemlock Forest of Krasnoyarsk Region [Text] / E.O. Baksheeva [and others]. - Krasnoyarsk: SibSTU, 2QQ3. - І94 p.

2. Bondareva, E.S. Influence of Technological Cuttings Down Schemes on the Renewal of the Ungutsky Forest Area of Mansky Forest Enterprise [Text] / E.S. Bondareva, Z.V. Erokhina, K.O. Geraskina // Collection of Students’ Articles on the Materials of the All-Russia Scientific-and-Practical Conference “Forest and Chemical Complexes: Problems and Decisions”, November, 1516, 2007. - Krasnoyarsk, 2007. - V.1. - P. 30-32.

3. Broker, T. Differentiable Germs and Catastrophes [Text] / T.Broker, L. Lander. - M.: Mir, 1977. - 207 p.

4. Bulanova, O. S. Feature of Forest cenoses Formation at the Initial Stage of the Regenerative Succesion [Text] / O.S.Bulanova, E.V.Borisova // Collection of Articles on the Materials of the All-Russia Scientific-and-Practical Conference “Wood and Chemical Complexes: Problems and Decisions”, November, 15-16, 2007. - Krasnoyarsk, 2007. - V.1. - P.151-154.

5. Kazantseva, M. N. Biodiversity of Taiga Vegetative Communities Under the Influence of Various Factors of Oil Extraction [Text] / M.N. Kazantseva// Man and North: Anthropology, Archeology, Ecology. Materials of the All-Russia Conference, Tyumen, March, 24-26, 2009. - № 1. -Tyumen, 2009. - P.249-252.

6. Moskalyuk, T.A. Biocenoses Course [Electronic Resource] / T.A.Moskalyuk. - Access Mode: http://www.botsad.ru/p_papers.htm (12.05.2009).

7. Pestrikov, A.N. Forestry estimation of Cuttings Down Sayano-Sushensk Forest Enterprise [Text] / A.N. Pestrikov, Z.V. Erokhina // Collection of Students’ Articles on the Materials of the All-Russia Scientific-and-Practical Conference “Forest and Chemical Complexes: Problems and Decisions”, November, 15-16, 2007. - Krasnoyarsk, 2007. - V.1. - P.20-23.

8. Poston, T. Theory of Catastrophes and Its Applications [Text] / T. Poston, I. Stewart. - M.: Mir, 1980. - 570 p.

9. Utkin, A.I. Influence of Fire on the Nature and Formation of Hemlock Forest of the Central Yakutia [Text] / A.I. Utkin // Forest Enterprise. - 1965. - № 1. - P.46-50.

10. Zakharov, A.A. Features of Forest Fires and Cedar Renewal in the Chita Region [Text] / A.A.Zakharov, I.V.Gorbunov / / Collection of Articles on the Materials of the All-Russia Scientific-and-Practical Conference “Wood and Chemical Complexes: Problems and Decisions”, November, 15-16, 2007. - Krasnoyarsk, 2007. - V.1. - P.81-86.