CC BY
39
УДК 530.145
ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ, МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛА ВЛИЯНИЯ
А. А. Бирюков, М. А. Шлеенков
Самарский государственный университет,
Россия, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
E-mails: birykov@samsu.ru, shleenkov@list.ru
В рамках формализма функционального интегрирования в терминах статистической матрицы плотности рассматривается описание взаимодействующих многоуровневой квантовой системы и квантового электромагнитного поля. Выражения для. статистической матрицы плотности и вероятностей переходов квантовой системы представляются как средние значения функционала влияния электромагнитного поля. Функционалы влияния определяются для. конкретных моделей электромагнитного поля.
Ключевые слова: функциональное интегрирование, метод функционала влияния.
Введение. В настоящее время активно изучаются процессы взаимодействия наносистем с электромагнитным полем [1], возбуждение и диссоциация различных молекул [2], ионизация атомов под действием лазерного излучения [3]. Представляется актуальным получение уравнений, описывающих динамику квантовых систем в сильных электромагнитных полях, в рамках непертурбативного подхода. Одним из таких подходов является метод функционала влияния в формализме функционального интегрирования, впервые предложенного Р. Фейнманом и активно разрабатываемого рядом физиков [4-6]. В методе функционала влияния принципиальное значение имеет вычисление его явного вида, который существенно зависит от той модели системы, которую мы исследуем. В данной работе дается вычисление в голоморфном представлении функционала влияния электромагнитного поля на квантовую систему, взаимодействующую с ним в дипольном приближении.
1. Функционал влияния электромагнитного поля. Рассмотрим многоуровневую квантовую систему, взаимодействующую с электромагнитным полем. Данная модель описывается гамильтонианом Hfuu, который имеет следующую структуру:
где Нзу,^ — гамильтониан квантовой многоуровневой системы, и определяет стационарные состояния изолированной системы |п) с энергиями Еп.
Гамильтониан многомодового электромагнитного поля определяет-
ся выражением
здесь и далее — частота поля моды к\ Щ, а,к — операторы рождения и уни-
Александр Александрович Бирюков (к.ф.-м.н.), профессор, каф. общей и теоретической физики. Марк Александрович Шлеенков, аспирант, каф. общей и теоретической физики.
Нfull — Hsyst I Нfield I
k
чтожения фотонов энергии Ek = hQk соответственно. Мы полагаем, что поле находится в неком резонаторе и индекс к принимает дискретные значения.
Гамильтониан взаимодействия многоуровневой квантовой системы и электромагнитного поля представим в линейном виде (дипольное приближение) и будем определять выражением [7]
Нш = q^Skx(ak + al),
где Єк = ^hnk/(2e0v)] ж —оператор координаты частицы с зарядом q\ V — объем резонатора; Єо — электрическая постоянная.
Будем определять состояние системы в момент времени t статистическим оператором p(t), эволюция которого определяется уравнением
p(t) = U(t)p0U+(t),
где ро = p(t = 0), а оператор эволюции U(t) на временном интервале (0, і) имеет вид
U(t) =Т ехр
h
Эволюция статистической матрицы плотности полной системы в координатноголоморфном представлении будет описываться уравнением [8]
p(xf,a*f^,x,f,a,f^,t) = У V|J,(al(т))V|J,(al*(т))Vpl(т)Vxl(т)d|J,(alin)dxlinx х T)|^(a(т))V|^(a*(т))Vp(т)Vx(т)d|^(ain)dxinx х ^[з1иц[р{т),х{т),а*{т),а{т)] + ^(а}а(г) + а*(0)одга)]х
2г
х ро{х'іП,а'*п]ХіП,аіП) exp --( S'full [р'{т), х'{т), а'*{т), o'(г)] -
--{a'*{t)a'f + a'*na'{ 0))JJ. (1)
В случае, когда нас интересует эволюция взаимодействующих систем в некоторое определенное состояние |т) исследуемой квантовой системы и |%) электромагнитного поля из начального |и)|С), описываемых произведением соответствующих волновых функций, статистическая матрица плотности, описывающая вероятности таких переходов, примет вид
р(т, X', t\n, С; 0) = J Vfx(a'(T))Vfx(a'*(T))Vp'(T)Vx'(T)dfx(a'in)dfx(a'f)x
х dx[ndxlfViJi(a(T))ViJi(a*(T))Vp(T)Vx(T)diJi(etin)diJi(etf)dxindxf(t)*rn(xf) х х X*(af) exp ^SfuU[p(T),x(T),a*(T),a(T)\ + ^(a*fa(t) + a*(0)air
X 0п(Жгп)С(агп)0п(^п)С*(с4п) ЄХР [p'(t) , x'(t) , °>'* (t) , О,'(t)] -
~ ^(а/*(і)а// + а-Х0)/))]^т(ж//)х(а//*), (2
где
Sfuii\p(T),x(T),a*(T),a(T)] =
= J р(т)х(т) - (а*(т)а(т) - а*(т)а(т)) - Нзузі(р(т),х(т))-
— Нfieid{a*{т), а(т)) - Нш{х{т), а* {т), а{т)) dr,
Hsyst, % field, Hint — нормальные символы операторов Гамильтона.
Для ряда задач требуется описание динамики лишь квантовой системы, то есть определение её статистической матрицы плотности pSyst(%f, %'f',t) в некий момент времени t или вероятностей квантовых переходов Psyst(m, t\n] 0) за определенный интервал времени t, при этом электромагнитное поле в соответствующий момент времени t может быть либо в любом, либо некотором определенном состояниях.
Для случая, когда поле в соответствующий момент времени t может иметь любое значение, статистическая матрица плотности psyst{xf,x'^t) и вероятность квантовых переходов p(m, t|n;0) могут быть получены соответственно из уравнений (1), (2) исключением переменных электромагнитного поля путем интегрирования:
где Р[х(т), х'{т)\ —функционал влияния квантового электромагнитного поля на исследуемую квантовую систему, который имеет вид
(3)
х ехР -^(5'//[ж/(т),с/*(т),а/(т)] - ^(a'*(t)af +«'>(°)')) • (5)
Здесь
5е//[ж(т),а*(т),а(т)]
Jo
Hfieid(a>*(T),a(T)) - Нш(х(т), а*(г), а(т)) dr.
Формулы (3), (4) можно представить в символичной записи
= (х1,х11;г\Р[х,х1]рзуз1(х^,х^п;0)\х^,х^п;0), Рзуз^т,г-,п, 0) = (т,Цфт(х11)ф*гп(х1)Р[х,х1]'ф*п(х^п)'фп(х^)\п,0), (6)
где черта в правой части означает функциональное усреднение.
Для вычисления статистической матрицы плотности вероятности переходов между состояниями квантовой системы необходимо знать явный вид функционала влияния для исследуемой физической модели.
2. Явный вид функционала влияния электромагнитного поля. Для определения явного вида функционалов влияния электромагнитного поля представим выражение (5) в виде
F[x(t),x'(t)\ = J dii(a'in)dii(ain)dii(af)Ueff(a*f,ain][x(T)\]t)x
X Po,field(.(%im ^in)Ueff(cXin, СК/, \x (т)],£), (7)
Величина Ueff(a*p [ж(т)]; t), определяемая формулой (8), представляет собой амплитуду перехода электромагнитного поля из состояния \ctin) в состояние |ctf) под действием внешнего источника х(т) и записывается в виде функционального интеграла по переменным электромагнитного поля а(т),
Из формулы (7) следует, что для вычисления явного вида функционалов влияния электромагнитного поля на квантовую систему необходимо вычислить амплитуду перехода электромагнитного поля Ueff(a*pa^n^, определяемую формулой (8).
Амплитуду Ueff(a*pa^n^,[x(т)\^,t) можно вычислить, представляя функциональный интеграл (8) конечнократным [9] и считая, что функция х(т) не зависит от комплексных переменных а(т), то есть не влияет на процедуру интегрирования, что возможно в случаях, когда обратным влиянием квантовой подсистемы на электромагнитное поле можно пренебречь:
где
Ueff(a*f,ain][x(T)]]t) = J Т>а(т)Т>а*(т)х
"1 1 Г ^ 1
х exp ~(a*fa(t) + a*(0)ain) exp -5е//[ж(г), а*(т), а(т)\ . (8)
П
Ueff(a*f,tf,ain, 0) = lim
J 3 J 3 n—Vrv
k=0
Выражения для амплитуды перехода принимает вид
С/є//(а}^/;аіга,0) = ехр^-^(|а/|2+|аіга|2) + Аа}аіп + Ва} + Саіп+0^, (9) где
А = е
—іСІі
В = —і ( д(т)е гПтЫт, С = —і [ д(т)е гПтс1т, Уо Уо
(-г)2 Г Г д{т)д{т)е-*1{-т-т'Чтй'т'.
Уо У о
о = {-
Комплексно сопряжённая амплитуда в выражении (7) может быть найдена аналогичным образом.
Используя явный вид (9), найдём явный вид функционала влияния для модели, когда электромагнитное поле в начальный и конечный моменты времени £ будут находиться в вакуумном состоянии. Для данной модели начальное и конечное состояния электромагнитного поля определяются волновыми функциями, которые соответственно имеют вид [7]
С»(«т) = ехр
№
|2
= ЄХР
|«/|2
Функционал влияния одной моды вакуума электромагнитного поля с частотой П*. на исследуемую квантовую подсистему имеет вид
Рк(Ху[х(т),х'(т)\(у) = ! d|л(ain)d|л(ain)d|л(af)d|л(a,f)xl(af)x
х иен(а},ацп; с//; [ж/(г)];%„(а//) =
= ехр
[ [ {@к{т — т')х{т)х{т') + @1(т — тl)xl(т)xl(тl))dтdтl Уо Уо
где
/О / _ /\ _ 0_^к_ -іПк(т-т') _ Я__^}к_ -іПк(т-т')
Рк[т Т) Vе &2є0УЄ
, (10)
(11)
Рассмотрим случай, когда исследуемая квантовая система взаимодействует с квантовым электромагнитным полем, начальное состояние которого представлено вакуумом, определяемым вектором 10), а измерение конечного состояния электромагнитного поля не проводится, то есть оно может быть любым. Последнее условие математически представляется интегрированием по всем конечным состояниям электромагнитного поля:
Гк([х(т),х\т)}(ь) =
ехр
■ [ [ - т')х(т)х(т') + РЦт - тl)xl{т)xl{тl))dтdтl+
Уо Уо
+ [ [ (^к{т ~ т')х{т)х'{т')^т^т' Уо Уо
где функции Рк(т — т') имеют вид (11).
Рассмотрим случай, когда исследуемая квантовая система взаимодействует с одномодовым электромагнитным полем с частотой О, которое в начальный момент времени находилось в чистом когерентном состоянии | ск), а конечное состояние электромагнитного поля может быть любым. Волновая функция начального чистого когерентного состояния (а(о:*п) имеет вид [7]
Явный вид функционала влияния одной моды когерентного излучения после проведения интегрирования представим в виде
Построение функционала влияния многомодового электромагнитного поля осуществляется по правилу [4]:
3. Описание динамики спонтанных переходов двухуровневого атома. Сформулированный подход можно использовать для описания динамики спонтанных переходов двухуровневого атома. Пусть в начальный момент времени £ = 0 атом находился в возбужденном состоянии | п) с энергией Еп и волновой функцией фп(хгп), основное состояние атома обозначим |д) с энергией Ед и волновой функцией фд{ХгП). Дипольный момент и частота квантового перехода даются соответствующими выражениями:
Вероятность того, что исследуемый атом, взаимодействующий с вакуумом электромагнитного поля, останется в возбужденном состоянии п, будем находить на основании формулы (6), где функционал влияния определяется выражением (10):
Используя (12) и приближение Вайскопфа—Вигнера [7] при шпд = П, получим
г ^а11[х{т),х\т)] =
(12)
к
Р(п, і) = ехр
к
к'
Р(п,і]п, 0) = ехр[—Г і].
Вероятность обнаружения атома в возбужденном состоянии экспоненциально затухает с константой затухания
Р _ 1 4|dflra|2
Аттео 3heoC3 ’
Заключение. Уравнения, описывающие эволюцию статистической матрицы плотности, а также вероятности переходов исследуемой квантовой системы, взаимодействующей с электромагнитным полем, представлены в виде усреднения функционала влияния электромагнитного поля на квантовую систему.
Найден явный вид функционала влияния электромагнитного поля, как одномодового, так и многомодового, на квантовую систему в случаях, когда начальное состояние электромагнитного поля представлялось вакуумным и чистым когерентным.
Для иллюстрации метода описан процесс спонтанного перехода квантовой системы.
Полученные формулы удобны для развития вычислительных методов Монте—Карло [10] при описании квантовых переходов системы под действием электромагнитного поля.
Авторы выражают благодарность Организационному комитету третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения ’2012» за приглашение к участию.
Работа выполнена в рамках задания Министерства образования и науки Российской Федерации № 2.2459.2012 и федеральной целевой программы «Научные и научно-педаго-гические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. А. О. Govorov, “Semiconductor-metal nanoparticle molecules in a magnetic field: Spin-plasmon and exciton-plasmon interactions” // Phys. Rev. B, 2010. Vol. 82, no. 15, 155322. 11 pp.
2. Ch. Wellers, A. Borodin, S. Vasilyev, D. Offenberg, S. Schiller, “Resonant IR multiphoton dissociation spectroscopy of a trapped and sympathetically cooled biomolecular ion species” // Phys. Chern. Chern. Phys., 2011. Vol. 13, no. 42. Pp. 18799-18809.
3. M. Richter, M. Ya. Amusia, S. V. Bobashev, T. Feigl, P. N. Juranic, M. Martins, A. A. Sorokin, K. Tiedtke, “Extreme Ultraviolet Laser Excites Atomic Giant Resonance” // Phys. Rev. Let., 2009. Vol. 102, no. 16, 163002. 4 pp.
4. R. P. Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals. New York: McGraw-Hill, 1965. 371+xii pp.; русск. пер: P. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. 382 с.
5. S. Albeverio, L. Cattaneo, S. Mazzucchi, L. Di Persia, “A rigorous approach to the Feynman-Vernon influence functional and its applications. I” // J. Math. Phys., 2007. Vol. 48, no. 10, 102109. 22 pp.
6. J. Jin, M. W. Y. Tu, W.-M. Zhang, Y. Yan, “Non-equilibrium quantum theory for nanodevices based on the Feynman-Vernon influence functional” // New J. Phys., 2010. Vol. 12, 083013, arXiv: 0910.1675 [cond-mat.mes-hall].
7. M. O. Scully, M. S. Zubairy, Quantum Optics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997; русск. пер.: М. О. Скалли, М. С. Зубайри, Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003. 512 с.
8. С. Н. Вергелес, Лекции по квантовой электродинамике. М.: Физматлит, 2008. 248 с. [£. N. Vergeles, Lectures on Quantum Electrodynamics. Moscow: Fizmatlit, 2008. 248 pp.]
9. М. Hillery М., M.S. Zubairy М. S., “Path-integral approach to problems in quantum
optics”// Phys.Rev. A, 1982. T. 26, №1. C. 451-460.
10. В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов, “Компьютерные методы вычислений в решеточной квантовой хромодинамике”// Теоретическая физика, 2010. Т.Н. С. 64-85.
[ V. G. Bornyakov, М. I. Polikarpov, “Computer methods for calculations in lattice quantum chromodynamics”// Teoreticheskaya fizika, 2010. Vol. 11. Pp. 64-85].
Поступила в редакцию 16/XI/2012; в окончательном варианте — 27/III/2013.
MSC: 81Q30
THE INFLUENCE FUNCTIONAL METHOD TO THE DESCRIPTION OF THE DYNAMICS OF QUANTUM SYSTEMS INTERACTING WITH THE LASER RADIATION
A. A. Biryukov, M. A. Shleenkov
Samara State University,
1, Academician Pavlov St., Samara, 443011, Russia.
E-mails: birykov@samsu.ru, shleenkov@list.ru
The description of interacting multilevel quantum system and quantum electromagnetic field in terms of statistical density matrix is considered in path integral approach. The statistical operator and probability transitions of quantum system are represented as mean of electromagnetic field influence functional. The influence functionals are defined, for specific models of electromagnetic field. The explicit form, for single- and, multimode electromagnetic field is concretized in cases when, initial state of the field is represented by vacuum and, pure coherent.
Key words: path integrals, influence functional method.
Original article submitted 16/XI/2012; revision submitted 27/111/2013.
Alexander A. Biryukov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of General and Theoretical Physics. Mark A. Shleenkov, Postgraduate Student, Dept, of General and Theoretical Physics.
