Оператор Fa,b в пространстве Cα и Lp Текст научной статьи по специальности «Математика»

Время, сутки

Глюкоза Биомасса, контроль —©— Биомасса, опыт

Рис. 7. Динамика роста и потребления глюкозы на 6 сутки роста бактерий (вариант 8).

3. Malashenco Yu. R. Syntabolism, the transformation of non-growth substrates up to biomass by obligate methane-oxidizing bacteria // 4th Int. symp. Microbial growth on C4- compounds (Minneapolis, Sept., 1983): Abstrs. Minneapolis, 1983. Thes. 2-10.

4. Малашенко Ю. Р., Соколов И. Г., Романовская В. А. Микробный метаболизм неростовых субстратов. Киев: Наукова думка, 1987.

5. Минкевич И. Г. Материально-энергетический баланс и кинетика роста микроорганизмов. Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2005. 352 с.

Время,сутки

-•-1 -Я-2 -Д-3 -Ж-4 -0-5

Рис. 8. Накопление аммония в процессе роста штамма LPM-4 на среде с (1) ЭДТА и на средах с добавлением глюкозы (2) до посева; (3) 1 сутки; (4) 2 сутки; (5) 3 сутки роста бактерий.

6. Satroutdinov A. D., Dedyukhina E. G., Chistyakova T. I., Witschel M., Minkevich I. G., Eroschin V. K., Egli T. De-gradanion of metal-EDTA complexes by resting cells of the bacterial strain DSM-9103 // Environ. Sci. Technol. 2000. V. 34. P. 1715-1720.

7. Witschel M., Nagel S., Egli T. Identification and characterization of the two-enzyme system catalyzing the oxidation of EDTA in the EDTA-degrading bacterial strain DSM-9103 // J.Bacteriol. 1997. V. 179. P. 6937-6943.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК517.55

ОПЕРАТОР ^ В ПРОСТРАНСТВЕ Са И Ьр

А. В. ГУЛЯЕВ, Е. В. СЕРГЕЕВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В работе изучаются свойства оператора

Fa bf = — i>+bdT \-Щг dn c >1 a,bJ 2ra'J Jn-A

Лп!_ dn c >1 (*)

b

n-т z Y 1

в пространствах Са и Ьр . Установлено, что этот оператор всюду непрерывен, отображает пространство Ьр на пространство Са , 0< а <1, с >1.

§ 1. ограниченность и непрерывность оператора ЕаЬ в пространствах Ьр и Са теорема 1. Пусть 2 принадлежит Е, где Е - комплексная плоскость, \г | < Я , 0 < т < с, с >1, Я2 = сЬЯ1, Я1 = сЬЯ . у - граница области \ г \ < Я2 , I(п) принадлежит пространству Ьр (у), р >2, X. + — = 1, тогда функция ф( г) = Яаь1 (г) удовлетворяет условию р 1

\ ф(г) \< МЬр (I, у), г е Е

Ьр (I, у) =

| \ I(г)|р ёхёу

и

< да, р > 1

доказательство. Произведем оценку модуля

\ Ф(г) \=

1_

2%

2п

„ь /г ^е" I (Яге")

п Я2егф-хЬг 0 ^

Применяя неравенство Гельдера, получим

^2п

где

\ф(г)\< / \ I (Я2е'ф )\р ёф р .1 |т (а+Ь)|ёт

о У V0

ф( г) = Раь!'(г)

Так как т \ г \< Я2 , те[0, с] , то

\ Я2егф - хьг \< Я2 - хЬ \ г \,Ух е [0,с].

С учетом (1.3)

2П ЯЧ л 2П Я2Ч

I-------------------- ёф< I--------2

* \ Я2 — т г \Ч * (Ят — т

Я|ёф

И 2

0 (Я2 —тЬ\г)1

= 2ф

Я1

(Я2 —тЬ\г)1

Так как \ г \ < Я , тЬ \ г \ < Я1, Ут е [0,с], то

Я2 —х \ г \ > Я2 - Я1, Ухе [0, с].

Из (1.2)-(1.5):

1

\Ф( г )\<-(2л)1 • Ьр (I, у) •

Я1

ра+Ь)| _ Я2 ёх

= (2я)1 • Ьр (I, у) •

с

(а+Ь)|+1

Я2 Я1

| Я-,

(а + Ь)| +1

1-|

Я2 Я1

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Я 1 ь

----2— = 1 +--------< 2, если с — 1 > 1, (2л) 1 < 1. С учетом последних неравенств

Я2 — Я1 сЬ — 1

\ ф(г) \=\ Fa,ЬI(г) \ <М. Ьр (I,у), где М = 2са+Ь+1 при условии, что сЬ — 1 > 1.

Константа М не зависит от Г и р.

Из теоремы следует ограниченность оператора ¥аЬ в пространстве Ьр , р >2 .

теорема 2. Пусть I(п) е Ьр , р >1, г-^, г2 е Е. Радиус Г выбирается так, что ^ е Ея = { \ г \ < Я}, тогда имеет место неравенство

\ Fa,ьI(21) - Fa,ьI(г2) \ ^ Ьр (I, у) • М• \ ¿1 - г2 \ “ ,0 < а <1,1< I <2.

1

Ч

1

I

I

1

доказательство. Пусть ф(г) = Fа ь I(г). Оценим модуль разности

\ф( г1) -ф( г2 ) \ =^~ 2%

= Я.

\ г2 - г1 \

2п

|х а+Ьс1х

0 у

2п

ЬЬ Ц-Т Ц-Т г2

IеI (Ягек* МФ

02

(Я 2 е^-тЧ)^ егф-хЬг2)

г'Ф ТЬ Г

(1.7)

Применим к (1.7) неравенство Гельдера

\ф(г1) — ф(г2) \<^~ \ г 2 — г1 \Ьр (I, У) . 2п

2п

Я^ф

0\Я2е|ф —тЬ^1 ! 1 .\Я2е1ф—тЬг2\1

(1.8)

Так как 1 < | <1, то ЯЧ < Я| при Я2 > 1, поэтому

Я2^

\Я2е"*-ъъгх \ 1 -\Я2е^-х^ 1

<

Я2

Я2Ч (1 - Я1) 2Я

2ч

2|-2

я2 1 (1 - Я1)2

2Я

Из (1.7) и (1.9) следует

1

2|-2

Я

\ф(гх)-Ф2)\^\*2 - г1 \ Ьр (I, у) • Я2 1 (1 - -1-)

2п

Я

2п

|х (а+2Ь)Чх

(1.9)

1 -1

2-2|

= (2я)1 \г1 - г 2 \-Х- Я2 1

(а + 2Ь)| +1

(1.10)

Таким образом

I Я ^2 1 — Я

V Я2 У

-11—сЬ1.

2—2|

\ф(г1) — ф(г2)\<\г2 — г,\Ьр (I, у). са+2Ь+Я 1 1 — с^ )2

(1.11)

1

Пусть Я2 = \ ^1 — г 2 \ к , число k подбирается так, чтобы Я2 > Я1 или ^ — г 2 \к > с Я , к >— с . Следует

учесть, что \ г — г2 \ < 2Я или

11

>

\ г1 — г2 \ 2Я

С этим условием

2|—2

\ф(г1) — ф(г2) \ <\г2 — г1\ 1 М 1Ьр (У, У)= М1 Ьр (У).\ г1 — г2 \ а ,

а = 2—|, 0 < а <1, Мх = са+Ь+1(1 - с-Ь)~2 , с >1.

I

(1.12)

Отметим, что М1 не зависит от Г и р.

Из (1.12) следует, что FaьI вполне непрерывный оператор в пространстве Ьр, отображающий это пространство на Са , 0 < а < 1 .

1

1

1

2

1

2

1

теорема 3. Пусть

.[(П) е Са , (1.13)

Fa,ьI (г) = 2~]т а+Ьёт| — , (1Л4)

2га Л ■> п — и

0 у 1

к = са+Ь+1, и = сЬтЬг, тогда Fa ьI(г) е Са (Е), £ - комплексная плоскость. доказательство. Введем обозначение:

ф(и) = — I/М ёп, (1.15)

2га п — и

у

Е+ = {\г\ < Я2}, Е - = {\г\ > Я2}.

Согласно Мусхелишвили [1], если I(п) е Са (у) , то для любых точек из Е + и Е имеет место неравенство

\ Ф(и^) - Ф(и) \ < Н(I) \ щ - и \ а ,0 < а <1. (1.16)

Пусть щ = сь тьг1; и = сь т ьг , и г 2 е Г— = \ г \ = Ях, тогда \ и \ = сь хь \ г \ < Я2, те [0;1 — в], в >0 .

\ ф(их) — ф(и) \ < Н(сьть )а \ г — г \а (1.17)

С учетом (1.17) имеем

1—в

та+Ь а]

(г{) — FьI (г)\ < к 11ш Гт а+Ь та Н\гх — г \ а ёт <

в^0 0

< кНш(1 - в)НСа+Ь+га+1 \ 21 - г \ а = Н(I)сё \г1 - г \ а,ё = а + Ь +1 + аЬ. (1.18)

Последнее неравенство и доказывает теорему, если и г е ГЯ .

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Из этой теоремы следует, что оператор FaьI отображает пространство Са в себя.

§ 2. дифференциальные свойства оператора Fa ь

Введем обозначения:

2_ Г^^^Зи= I + (и),\и\ < Я;

2га •’ л - и

у

_^ Г /Хл) ^ = I- (и),\ и \ > Я,и = хьсь г.

2га л - и

у

Пусть \ г \ < Ях = Ясь, тогда = хьсь \ г \ < Я2 = Я1сь при Ут е [0,1].

Я 1 Я 1

Если \ г \ > Я1, то хьсь \ г \ < Я2, если 0 < т < (——)ь, и хьсь \ г \ > Я2 , если (—-)ь < т < 1.

И \г\

Для этого случая

т0 1

ф(2) = ^- Гт¿п+ Гт

2га ^ ■> п — и ■* ■* п — и

0 У т0 у

^(А.)*, и = сьтЬ2 , к = са+ь+1.

\ г \

Если \ г \ > Я2, то хьсь \ г \ < Я1сь, если 0 < т < (—Ц*, и хЬсЬ \ г \ > Я1сь , если (—^)* < т < 1.

\ г \ >Г

(2.1)

Таким образом, функция ф(г) имеет одно и тоже интегральное представление для всех г, удовлетворяющих условию Я1 < г < Я2 и г > Я2 .

Если же г < Я1 , то

ф( 1) = ^- Гт а+‘АГ Ж ёп 2га ^ ■> п — и

0 у 1

(2.2)

Для выяснения дифференциальных свойств оператора введем в рассмотрение ряд линейных операторов:

1)

Для этого оператора

= Хг —+ (2 -к)! -4

&

&

^х[г] = Хг , [г] = (2-X)г, [ \ г \ ]= \ г \, Бх[г.г х] = 0, Бх[I(г• г А)] = 0. Пусть \г \ < —1 , тогда

_х

имеет место интегральное представление (2.2), в котором проведем замену переменной, полагая т = \ г \ ь t,

0<т<\ г\ь , 0<т< 1.

я \ 2\Ь

(а+Ь+1)^ /

ф(г) = к | ха+ь \ г \ ь 14

сь^ь

Л

х \ 2\Ь

(а+Ь+1)Я

\ г \~ Ф(г) = к |ха+ьI+ (сЬ2\2 \ ^ )Л.

0

Подействуем оператором ^ на левую и правую части (2.3) и после преобразований получим

А,(а + Ь + 1)ф + ЬОху = кXI+ (сьг),\ г \ < Я1.

Если X = 0, то 22ф2 = 0 или ф2 =0 при Vг е ЕЯ = { \ г \ = Ях}.

Так как фг =0 для У г е ЕЯ , то функция ф(г) = FaьI(г) - аналитическая в области Е— .

Пусть \ г \ > Я , тогда ф(г) представима интегралом (2.1).

111 _Х

После замены переменной х = \ г\ ь t интеграл (2.1) примет вид

(а+Ь+1)Х \ 1

И — ф(2) = к\^Г (сЬ2|2 |- ^ Э ♦ к^‘Г (с‘2\2Г’- ? >*, 00

1 X—1

tl= яь\2\ь .

Действуя оператором 0-х на (2.5), получим

(а + Ь + 1)^ф( г) + ЬОяф( г) = к

а+Ь+1 - ,/ Я11 ~

\ г\

• (X- 1) I (л) + Щ (сЬ2), 1ф

при этом мы учитывали, что точка Я1сЬ —— = Я2-2- е у,

\г| \г\ |г|

гг I+ (—1 —) — I- (—1- -) = I + (п) — I(п) = I(п) г г

(2.3)

(2.4)

(2.5)

X

При X = 1

(а + Ь + 1)ф + Ь(2ф2 + 2ф2) = I (сЬ2)

или

1аЬФ = I (с г).

При X = 0

а+Ь+1 ■ - ,/Я1 1~

22ф2 = -к

\ г\

I (л).

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Из (2.8) следует, что ф(г) в области |г| > И1 является обобщенно аналитической функцией. Полагая в (2.4) X =1,получим

1а,Ь Ф = I+ (сЬ2).

Отметим, что если \ г \ > —1, то сЬ \ г \ > Я^Ь = —2 и \ г \ < —1, если сЬ \ г \ < —2.

То есть, если г > Я1 , то и > Я2 , если г < Я1 , то и < Я2 . Это значит, что

1 ГI (л)

2га ■> л _ и

Г/М ^ = I+ (и),\и\ < —2; •> п— и

тМ—ёц = I (и),\и\ > —2, 2га •’ л - и

У

и \ > Я2, и = с г.

Из равенств (2.7) и (2.9) следует

I а,Ь ф( г) = /a,ьFa,ьI(2) = ^ и = А,

/П1 •> п — и

Пусть

Тогда при г < Я1

при г > Я1

По формуле Сохоцкого

у = {\ г \= Я2}, Кп) е Са (у) , 0< а <1.

ф+ (г) =1 а,ь ф( г),\г \ < Я1;

Ф~ (г)= 1 а,Ь Ф(г),\ г \ > Я1. ф+ (л) = к 11Ш I+ (сЬЯ,е1ф) = I+ (—2е1ф)

Ф" (л) = к Нш I- (сь—1е1ф ) = I- (—2е1ф).

г ^ Я^^

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Ф+ (^) -Ф (^) = к:[ (цХ ^еу = {\ г \ = Я2 = Я1сЬ}. (**)

Таким образом, для оператора IaьFaьI точки окружности у являются особыми, при этом скачок функции ф(г) = Iа ьFaьI можно найти по формуле (**).

2) Рассмотрим еще один оператор

Г) д д

О = г--------------------------3г —.

дг дг

Для этого оператора О[I(г. \ г \ )] = 0 .

В интеграле (2.1) произведем замену переменной, полагая X = \ г \ ь t и, затем действуя оператором D на левую и правую части равенства, получим

(а + Ь + 1)ф(г) + Ь(2ф2 - 3гфг) = 2

(Я2сь У

а+Ь+1

. \ г \ . V 1 'У

г > Я1 .

Ь ( г \

я2 —

V |г| У

I

+ са+ь+11 - (сьг)

(2.12)

Сравним (2.12) с ранее полученным

(а + Ъ + 1)ф(г) + Ь(2ф2 + 2ф1 ) = са+Ь+1 f (сЬ2),

Ф г

1 г

г т г V

а+Ь+1

( Я, ^ ~г (

2Ь | г \ 2 У г \

I

Л

Я2-------

2 \ г \

Уг : \ г \ > Я1.

Здесь точка Я2 .— е у, при :\ г \ > —1., поэтому если I(п) е Са (у), то фг =— IaЬFaЬI е Са (Е) .-

11 дг ’ ’

г

и1 = с^-, 1 = 1,2.

Пусть X(г) = 1а ь ф(г) , тогда согласно Мусхелишвили [1, стр.71]

-Цм2) \ < Я\М1 - и2 \ х = НсЬа \ г1 - г2 \ Н1 \ г1 - г2 \ “ .

(2.13)

Из (2.13) следует, что функция

0 < а <1, где 1а,ьф(г) = (а + Ь +1)Fa,ьI + ЬDFa¡ьI.

Так как Fa,ьI (г) е Са (Е), то и оператор DFa,ьI (г) = г( Faъf)z + г (Fa,ьI)2 тоже принадлежит С а (Е).

список литературы

1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

1

анализ существующих средств адаптации программ

В. В. ДРОЖДИН, А. М. ВОЛОДИН Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра прикладной математики и информатики

Характерной особенностью большинства компьютерных систем являются изменяющиеся условия функционирования, поэтому для обеспечения нормального функционирования системы должны приспосабливаться к происходящим изменениям. Например, финансовые и энергосистемы должны сохранять работоспособность при любых сбоях оборудования и защищать себя при любых попытках взлома защиты. Адаптация систем - один из основных путей решения этих проблем.

Адаптивная система - это система, способная приспосабливаться к изменениям внешней среды

и внутренней организации путем настройки своих параметров или изменения структуры [3]. Поэтому можно выделить два основных подхода к адаптации программного обеспечения. Первый - параметрическая адаптация, предполагающая изменение и фиксацию параметров, определяющих эффективное поведение системы в определенных условиях. Самый известный пример реализации такого подхода - протокол ТСР, чье поведение меняется путем модификации значений, влияющих на управление пакетами передачи и их ретрансляцию в случае перегрузки сети.