Оперативное корректирование в задаче многокритериального выбора Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

5. Выводы

Научная новизна - впервые был предложен метод и алгоритм решения задачи расчета ННРТГ в ОМГ. На его базе был разработан и оттестирован на различных переходных процессах программный продукт, который может быть включен в программный комплекс для расчета и анализа РТГ для ММГ любой структуры. На основе анализа полученных результатов тестирования был сделан вывод об эффективности предложенного метода.

Практическая значимость - разработанные эффективный метод и алгоритм позволяют моделировать совместную работу пассивных и активных элементов трубопровода, а созданный на их основе программный продукт позволяет проводить более подробный комплексный анализ сложных технических систем с высокой степенью точности и достоверности.

Список литературы: 1. Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием / Н.Н. Новицкий, Е.В. Сенова, М.Г. Сухарев и др. Новосибирск.: Наука, 2004. 461с. 2. Селезнев В. Е., Клишин Г. С., Алешин В. В., Прялов С. Н.и др. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа / Под ред. В. Е. Селезнева. М.: Едиториал УРСС, 2003. 224 с.

Поступила в редколлегию 15.06.2007

Тевяшев Андрей Дмитриевич, академик УНГА, д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория стохастических моделей. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (057) 702-14-36, e-mail: tevjashev@kture.kharkov.ua.

Гусарова Ирина Григорьевна, канд. техн. наук, доц. кафедры прикладной математики ХНУ-РЭ. Научные интересы: математическое моделирование и управление систем с распределенными параметрами. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (057) 702-1436, e-mail: тел.: (057) 702-14-36.

Буданцева Юлия Владимировна, аспирантка кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование и системный анализ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (057) 702-14-36, e-mail: e-mail: Yuliya_Vladi@mail.ru.

УДК 519.5:681:513

А.А.ПАВЛОВ, Е.И. ЛИЩУК

ОПЕРАТИВНОЕ КОРРЕКТИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

Рассматривается задача оперативного корректирования оценок альтернатив по каждому из критериев. Предлагаются и обосновываются стратегии лица, принимающего решение, выбирающего наилучшее решение.

Введение

Рассмотрим некоторые альтернативы X\...,Xn. По каждой из альтернатив имеется информация о предварительных оценках по каждому из критериев. Задача состоит в следующем: откорректировать оценки одной из альтернатив, чтобы в результате рассмотрения альтернатив конкурсной комиссией конкурс выиграла именно она.

В этом случае наиболее простой метод - динамически откорректировать компоненты вектора одной из альтернатив, т. е. значения тех критериев, которые наиболее существенно влияли на выбор варианта (оценки по которым хуже, чем у остальных критериев).

Данный класс задач имеет достаточно широкое применение.

Для решения описанной выше задачи могут использоваться методы с обратной связью с экспертом [1,2]. В этом случае эксперту предлагается увеличить оценки по заданной альтернативе по критериям, по которым оценки хуже, чем у остальных альтернатив, за счет уменьшения оценок по другим критериям. Данный метод достаточно трудоемок и требует многократного обращения к эксперту в целях пересмотра экспертом своих же исходных и вновь полученных данных для их уточнения. Помимо всего прочего, он не может быть использован в автоматических системах для коррекции субъективно полученной информации при принятии решений. 92

В практических задачах достаточно часто имеет место ситуация, когда не все критерии сравнимы по важности, т.е. не может быть получено полное упорядочение множества критериев, но для отдельных пар критериев информация о сравнимости по важности имеется. При конструировании отношений предпочтения, которые основываются на локальной информации о сравнимости критериев, используется аксиоматический подход, предложенный В.В.Подиновским [3,4], суть которого в следующем: вводятся отношения попарной сравнимости критериев, основанные на той либо иной формализации понятий превосходства в важности, равноважности, сравнимости по замещениям. Результирующее отношение включает соответствующие введенные отношения попарной сравнимости и относится к классу рациональных транзитивных отношений. Окончательно структура результирующего отношения предпочтения в пространстве оценок критериев определяется структурой отношения сравнимости критериев на их множестве.

Целью данного исследования является разработка математического аппарата, позволяющего выполнять динамическую корректировку компонент вектора оценок одной из альтернатив для того, чтобы в результате рассмотрения альтернатив конкурсной комиссией конкурс выиграла заданная альтернатива.

Общая постановка задачи

Рассмотрим некоторую альтернативу X1 из множества альтернатив Х\...,ХП. Пусть kr и kt - r-й и t-й компоненты этой альтернативы. Сравнимость по замещениям критериев kr и kt означает возможность для любой альтернативы X1 компенсации (по предпочтительности) произвольного изменения критерия kr некоторым изменением критерия kt.

Введем определение отношения замещения [5]: если для произвольной альтернативы X1 и для любого Ar е E1 существует равноценная ей альтернатива X1 такая, что — . — . A r

x'r = x'r -A r, xt = xt + A rt, A rt = f(r,t,x, Ar), — > 0, то критерии kr и kt сравнимы по

A rt

замещениям.

Рассматриваем альтернативу X1 . Путем замещения компонент альтернативы X1 пытаемся выиграть конкурс у альтернатив Xj,j = 1,n,i Ф j. По альтернативе X1 имеем следующую информацию для VI е L1 (множество индексов) известно xj > xj1, j = 1, n, j ф i.

Для Vl е L1 задано множество индексов x^ = const, i = 1, m : компоненты вектора X1 xj, l е L1 могут участвовать в замещении компонент вектора X1 с индексами из множества L1 (l) следующим образом:

1lm _ 11

Axim = а1 Axjm , lm е l2(1),1 е L*,

4 _С11 1

'ш

л ¡1ш 1 1

где Дх, - возможное уменьшение х, компоненты в целях увеличения значения х.

1 1 'ш

компоненты; а|1ш - заданные коэффициенты пропорциональности, зависящие от сущности 1 и 1ш компонент ьй альтернативы,

0 < X Дх[1ш < ь ;

1шеЬ2(1) х1 ,

Ь 1 - заданные коэффициенты, показывающие возможную границу уменьшения компонен-х1

ты х1, 1 е Ц .

Для упрощения во всех задачах полагаем, что для любого шеЦ существует по крайней

1 2 мере один индекс 1 е Ц , что 1ш е Ц (1), 1ш = ш .

Стратегии ЛПР, выбирающего наилучшую альтернативу. 1) Стратегия 1.

Выбирается та альтернатива, которая является Парето доминирующей. При этом предполагается, что изменяться могут только компоненты альтернативы X1. Тогда компоненты вектора X1 после процедур замещения будут иметь вид:

VI е Ь1, х'П > = Ф1,

хр = х1 - X а!1ш Ах! , VI е Ь1. 1 1 /-» 1 1 '

^(l)

х}П = xi + X Е Axl , teL1!, Vl е l\, Vlm e Lf(l), Vl,m = const, lm = t

m leLllmeL?(l) m

Х1П - преобразованная альтернатива X1.

Построение по X1 Парето оптимальной альтернативы сводится к следующей задаче

линейного программирования: max{ Еаl + Еаt}.

leL1 VteL1 i i

Примечание. В ограничениях не участвуют k компоненты альтернативы X1, для которых xk = const, 1 = 1, m при следующих ограничениях:

VAxllm > 0

а, > 0, l е L1, а t > 0, l е L1, teL1,

j - Е Axllm > maxxl+а l, Vj e1,n, j Ф 1,l e L11

lmeL?(l)

xt + Е Е Axj > maxxt+а t,,j = 1,n,j Ф1, VteL11, Vlm = t,

leL1lmeL2(l)alm j 1

VteL11, 3l,t e l" (l),

X Axfm < bx1, j * 1, l e L1, Vlm = t

lmeL?(l)

В приведенной выше задаче линейного программирования переменными являются

Axllm , аl, аt. 2) Стратегия 2.

Предполагается, что каждая из альтернатив X1,...,Xn может быть получена путем замещения на конкурсе и оперативно представлять различные варианты Xj, j = 1,n. В этом случае конкурсная комиссия должна для выбора наилучшей альтернативы вводить внешние критерии. Рассмотрим следующие варианты внешних критериев: Внешний критерий (1):

Должно выполняться xt >ct, t = 1,p, j = 1,n - заданные числа.

P j

Лучшая альтернатива выбирается по критерию max ЕРtxf, Рt > 0 - весовые коэффи-

t=1

циенты.

Тогда каждая альтернатива Xj, j = 1,n оперативно путем замещения критериев заменяется новой в соответствии с решением следующей задачи линейного программирования.

По альтернативе X j имеем информацию: множество L1j состоит из индексов компонент Xj, для которых выполняется xl > Cl:

x

max{ ЕР l(xl- Z Axllm) + Z Z P lm (x^ + Z Z -j- Axl1-)}

jеL1

1mеL2(1)

jеLj jmеL2j(j)

jеL1l jmеL2j(j) al

jlm

Axllm > 0, l е L1j,lm е L2j(l),

Z Axllm < b j, l е L1

о l x^ j :

xj- Z Axllm >cl, lе L1,

jmеL2j(j) J

xt + Z Z ^-Ax^ > ct, l е Lj, lm е L2j(l), Vlm = t,

jеL1j jmеL:j(j) af m

(2)

VtеL1j, 31, t е L2(l)

(3)

Внешний критерий (2):

При выполнении ограничений задачи линейного программирования (1)-(3) функционал «Минимальная компонента модернизированной альтернативы Xj» есть максимальным. Модернизированная альтернатива находится в виде решения следующей задачи линейного программирования:

max у,

AxI1- > 0, l е L1j,lm е L2j(l),

jmеLj(j) xj -

Z Axj1- < b j, 1 е L1 2 1 1

j - Z Axfm > Cl, l е Lj,

l- еLj(j) jl

xt +Z Z j^- > ct, l е L1j, l- е L2j(l), Vl- = t,

. _ 1 . _ 4 . - Urn J J

jl

jеL1l jmеL2j(j) al

VtеL1j, 31, t е L2(l); ,jl

xl — Z Axl1- > al y, l е L1 ,

l О l l j

1-е^(1)

xt + Z Z

1

1еL1l 1mеL2j(1) al

-Axl1- > aty, 1 е L1 1- е L2j(l),

m

Vl- = t,

VtsL1 , 31, t е L2 (1),

J

С1ш > у, 1 е Ь^, 1ш е Ь2(1),

где а 1 и а | - коэффициенты пропорциональности, переводящие значения критериев в заданный эквивалент.

Пример задачи многокритериального выбора, иллюстрирующий предложенный подход

Рассмотрим пример с различными критериями и оценками, которые демонстрируют изложенную выше последовательность действий. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

На рассмотрение конкурсной комиссии выставлены 3 проекта построения домов на одном из участков города. Конкурсной комиссией оглашено 5 критериев (характеристик),

1-еЦ(1)

по которым выполняется оценка каждого из проектов домов. Заранее известны характеристики каждого из трех проектов.

Задача заключается в следующем: откорректировать характеристики одного из проектов домов (в нашем случае первого), чтобы в результате конкурса именно этот проект был принят конкурсной комиссией.

Имеются следующие числовые характеристики проектов домов (табл.1).

Таблица 1

Критерий Проект Описание критерия

1 2 3

1 5 2 2 Планировка квартир

2 4 4 4 Этажность

3 3 5 6 Внешний дизайн

4 2 4 3 Качество материалов

5 4 1 2 Инфраструктура

Согласно приведенной выше постановке задачи необходимо откорректировать компоненты первой альтернативы (проект 1) таким образом, чтобы по всем критериям оценки первой альтернативы были не хуже, чем у двух остальных.

Для решения поставленной задачи применим описанную выше стратегию 1 ЛПР для построения Парето оптимальной альтернативы.

В нашем примере первая альтернатива выигрывает у двух остальных альтернатив по первому и пятому критериям. Поэтому в качестве множества L1 (Vl е L1 xj > Xj, j = 1,n, j ф i) принимаем множество {1,5}. По третьему и четвертому критериям первая альтернатива уступает двум остальным (множество L2(l) = {3,4}). Следовательно, необходимо с помощью динамического оперативного корректирования оценок по первому и пятому критериям улучшить оценки по третьему и четвертому. Второй критерий не участвует в замещении, так как оценки по этому критерию по всем трем альтернативам совпадают.

Согласно приведенной выше стратегии 1 ЛПР целевая функция будет следующей:

max z = a1 + a 5 +a 3 + a 4.

Ограничения:

По первому и пятому критериям, за счет уменьшения оценок по которым происходит увеличение оценок по третьему и четвертому критериям, необходимо, чтобы в результате уменьшения оценок по этим критериям они остались не хуже, чем по двум другим альтернативам (xj - X Axjlm > maxxj+aj, Vj e1,n, j Ф i,l е L1). При этом максимальная lmeL?(l) j

оценка по первому критерию по второй и третьей альтернативе 2, по пятому критерию -тоже 2.

Эти ограничения выглядят так: 5 - (Ax13 + Ax^) > 2 + a1, 4 - (Ax53 + Ax54) > 2 + a5 .

Необходимо, чтобы оценки по третьему и четвертому критерия, по которым происходит оперативное корректирование оценок альтернатив, были не хуже, чем по двум остальным альтернативам:

xt + X X —j— Axjlm > maxxt +a t,,j = 1,n,j Ф i, VteL1i, Vlm = t leL1lmeL2(l)aim j

VteL1i, 3l,t е L2^ (l).

Максимальная оценка по третьему критерию - 6, по четвертому - 4.

Эти ограничения выглядят так:

3 + (1,6 • Ax13 +1,3 -Ax53) > 6 + a 3, 3 + (1,6 • Ax13 +1,3 -Ax53) > 6 + a 5, .

2 + (2,5 • Ax14 + 2 • Ax54) > 4 + a 3, 2 + (2,5-Ax14 + 2 ^Ax54) > 4 + a 5.

Максимальное изменение оценки по первому критерию, чтобы оценка по этому критерию не стала хуже, чем по остальным альтернативам, равно 3, по пятой равно 2

( £ Axfm < bxi, j * i, 1 e L1, Vlm = t). ImeL^(l) 1

Эти ограничения выглядят так: Ax^ + Ax^ < 3 , AX53 + AX54 < 2 . Условие неотрицательности переменных:

Ax13 > 0, Ax14 > 0, Ax53 > 0, Ax54 > 0,

a1 > 0, a5 > 0, a3 > 0, a5 > 0. В результате решения описанной задачи линейного программирования известными методами получим следующие значения переменных:

Axi3 = 3, ai = 0 , a3 = 3 ,

Axi4 = 0, a 5 = 0, a 5 = 3,

Ax53 = 0, Ax54 = 2 .

Следовательно, альтернатива, полученная в результате оперативного корректирования оценок по критериям, будет иметь следующий вид (табл.2).

Таблица 2

Критерий Проект

1 2 3

1 2 2 2

2 4 4 4

3 6 5 6

4 4 4 3

5 2 1 2

Выводы

Несмотря на развитие науки и автоматизации методов теории принятия решений, все ответственные решения принимает человек. Повышение ответственности лиц, принимающих решения, на многих этапах управления вынуждает разрабатывать и внедрять различные компьютерные системы поддержки принятия решений. Эти системы представляют информацию в удобном обработанном виде, например, в виде готовых рекомендаций, тем самым снижая психологическую нагрузку и соответственно уменьшая вероятность ошибочных решений. Рассмотренный выше алгоритм позволяет, на основании данных о правильности предыдущих решений, наиболее простым методом повысить эффективность этих систем. Его относительная простота позволяет широко использовать алгоритм для динамического оперативного корректирования оценок альтернатив, представляемых конкурсной комиссии.

Список литературы: 1. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмический аспект. Киев: Наук. думка, 2002. 381 с. 2. ПавловА.А., Гриша С.Н., Томашевский В.Н. и др. Основы системного анализа и проектирования АСУ: учеб. пособие /Под общ. ред. Павлова А. А. К.: Выща шк., 1991. 367 с. 3. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями // ЖВМ и МФ. 1975. № 2. С. 330 - 344. 4. Меншикова О.Г., Подиновский В.В. Построение отношения предпочтения и ядра в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности неоднородными критериями // ЖВМ и МФ. 1988. № 5. С. 647 - 659. 5. Кини Р.Л., РайфаX. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

Поступила в редколлегию 02.06.2007 Павлов Александр Анатольевич, д-р техн. наук, проф., декан факультета информатики и вычислительной техники НТУУ «КПИ», директор НИИ Информационных процессов. Научные интересы: современная теория управления, математические методы исследования операций, статистического анализа и прогноза, труднорешаемые комбинаторные задачи и теория NP-полноты. Адрес: Украина, 03056, Киев, пр. Победы, 37, к.317/2-18, тел. (044) 23619-70, pohilko@asu.ntu-kpi.kiev.ua

Лищук Екатерина Игоревна, ассистент кафедры АСОИУ НТУУ «КПИ». Научные интересы: теория принятия решений. Адрес: Украина, 03056, Киев, пр.Победы, 37, к.429/3-18, тел. (044) 456-68-41, kate@it.ua