On the existence of a stationary measure for the stochastic system for the quasi-solenoidal Lorenz model for a baroclinic atmosphere on a sphere Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.51

ON THE EXISTENCE OF A STATIONARY MEASURE FOR THE STOCHASTIC SYSTEM FOR THE QUASI-SOLENOIDAL LORENZ MODEL FOR A BAROCLINIC ATMOSPHERE

ON A SPHERE

Yuliya Yur'evna Klevtsova, candidate of physical and mathematical sciences,

associate professor Phone:8 905 937 4205, e-mail: yy_klevtsova@ngs.ru Federal State Budgetary Institution «Siberian Regional Hydrometeorological Research Institute», Novosibirsk,

http://www.sibnigmi. ru

We consider the system of equations for the quasi-solenoidal Lorenz model for a baroc-linic atmosphere

д dt

A1u + vA2u + A3u + B(u) = g, t > 0,

(1)

on the two-dimensional sphere S centered at the origin of the spherical polar coordinates

n n

(i,p), ie [0,2n), p e -, ) = sin p. Here v> 0 is the kinematic viscosity,

u(t, x,«) = ((t, x,«), u2(t, x,«) )T is an unknown vector function and g(t,x,«) = (g1(t,x,«),g2(t,x,«))T is a given vector function, x = (i,/) , «eQ, (Q,P,F) is

^ (-kA 2kA ^

a complete probability space,

Г-А 0 >

Ai =

0 -A + /I

A2 =

f A 2 0

0

A2

A3 =

k A -(2k + k1 + vy)A + pI

B(u) = (J(Aux + 2/,ux) + J(Au2,u2), J(Au2 -yu2,ux) + J(Aux + 2),u2))T.

Also, y, P,k, k > 0 are numerical parameters, I is the identity operator, J (y,0) = Wx0)-y)0x'is the Jacobi operator and Ay = ((1 -)2)y/l)/ + (1 - J) lWxx is the Laplace-Beltrami operator on the sphere S. A random vector function g = f + n is taken as the right-hand side of (1); here the random external force f (x,«)=(f1(x,«), f2(x,«))T is square summable in « and the random vector function n(t,x,«) = (n(t,x,«),n2(t,x,«))Tis a white noise in t. In [1] it was obtained for existence of a stationary measure of Markov semigroup which is defined by the solutions of the Cauchy problem for (1) the sufficient conditions on the right-hand side of (1) and the parameters v, y , P, k, kx:

k < inf g(i), g(i) = 2 2 (6vj3 (i) + 4vyj2 (i) + x(j(i))

'=u,-,'-_(j (i) -y)_

+^(6v/3 (i) + 4vYj2 (i) + X(j (i)) )2 + (JQ) - Y)2 (j4 (i) + 2vj(i)x(j(i)) ) ),

312

Образовательные ресурсы и технологии •2014'1(4)

Х(y) = (k + У(y2 + ry) + P(Y + y), j(y) = y(y +1), y > 0; U =

2v

+Vv+1

> i if 2, _ _ th.t rt f > 1, c* =< I r I - the integer part of r.

W if у = 2,

References

1. Klevtsova Yu.Yu. On the existence of a stationary measure for the stochastic system of the Lorenz model describing a baroclinic atmosphere // Sb. Math., 204, No. 9. 1307-1331 (2013).

УДК 532.542:536.24

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В НАНОЖИДКОСТЯХ В УСЛОВИЯХ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ

Софья Владимировна Козлова, аспирант Тел.: 391 290 5134, e-mail: sonique@icm.krasn.ru Институт Вычислительного моделирования СО РАН Илья Игоревич Рыжков, к.ф.-м.н., с.н.с., Тел.: 391 290 7528, e-mail: rii@icm.krasn.ru Институт Вычислительного моделирования СО РАН http://icm.krasn.ru

В данной работе исследован теплообмен в жидкостях и наножидкостях в цилиндрической трубе. Построено точное решение для температуры однокомпонентной жидкости (вода). Выполнено численное моделирование вынужденной конвекции для воды и наножидкости вода/Al2O3, построено распределение температуры в трубе.

Исследована эффективность теплообмена в наножидкости вода/Al2O3 в зависимости от концентрации наночастиц и скорости течения.

Ключевые слова: теплообмен в жидкостях, наножидкость, задача Греца, самосопряжённый оператор, собственные функции, численное моделирование, вынужденная конвекция.

Исследование выполнено при поддержке КГАУ «Красноярский краевой фонд поддержки научной и научно-технической деятельности», соглашение № 02/13.

В последние десятилетия активно развиваются системы охлаждения и обогрева, основанные на жидких теплоносителях (вода, этиленгликоль, машинное масло, жидкие смеси). В настоящее время активно изучаются новые типы теплоносителей. К ним относятся наножидкости - двухфазные системы, состоящие из базовой жидкости и твёрдых наночастиц [1]. В данной работе представлены результаты численного моделирования вынужденной конвекции для воды и нано-жидкости вода/ AI2O3.

Цели исследования - определить распределение температуры в жидкости и оценить эффективность теплообмена. Нами рассмотрено установившееся ламинарное течение жидкости в цилиндрической трубе, конечный участок которой имеет постоянную тем-

Образовательные ресурсы и технологии ^2014'1(4)

313