Научная статья на тему 'On semidiscretization methods for differential inclusions of fractional order'

On semidiscretization methods for differential inclusions of fractional order Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
79
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА / FRACTIONAL DIFFERENTIAL INCLUSION / ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ / SEMILINEAR DIFFERENTIAL INCLUSION / ЗАДАЧА КОШИ / CAUCHY PROBLEM / АППРОКСИМАЦИЯ / APPROXIMATION / SEMIDISCRETIZATION / НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА / FIXED POINT / CONDENSING MAP / МЕРА НЕКОМПАКТНОСТИ / MEASURE OF NONCOMPACTNESS / ПОЛУДИСКРЕТИЗАЦИЯ / УПЛОТНЯЮЩЕЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Kamenskii Mikhail Igorevich, Obukhovskii Valeri Vladimirovich, Petrosyan Garik Gagikovich

The report provides semidiscretization diagram for semilinear differential inclusions of fractional order.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Kamenskii Mikhail Igorevich, Obukhovskii Valeri Vladimirovich, Petrosyan Garik Gagikovich

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «On semidiscretization methods for differential inclusions of fractional order»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки

Том 23, № 122

2018

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-125-130

ON SEMIDISCRETIZATION METHODS FOR DIFFERENTIAL INCLUSIONS OF FRACTIONAL ORDER

£ M.I. Kamenskii1), V.V. Obukhovskii2), G. G. Petrosyan2'

Voronezh State University 1 University sq., Voronezh 394018, Russian Federation E-mail: [email protected] 2- Voronezh State Pedagogical University 86 Lenin St., Voronezh 394043. Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. The report provides semidiscretization diagram for semilinear differential inclusions of fractional order.

Keywords: fractional differential inclusion; semilinear differential inclusion; Cauchy problem; approximation; semidiscretization; fixed point; condensing map; measure of noncompactness

Introduction

Theories of differential inclusions and condensing mappings are of great importance in modern mathematics (see [1], [2]). In our work, we present further development of these theories for differential inclusions of fractional order.

For a semilinear fractional order differential inclusion in a separable Banach space E of the form

c№)i+£ Ar)i+0 F)t,x)t-^tg]l,Ti, (1)

consider the problem of existence of mild solutions to this inclusion satisfying the following periodic

x)l+[ x)T+ (2)

and anti-periodic

x)l+[ x)T+ (3)

boundary value conditions under the following basic assumptions.

The symbol c Dqx denotes the Caputo fractional derivative of order q Q )1,2-|r We suppose that the linear operator A satisfies condition

The work is supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation in the frameworks of the project part of the state work quota (Project No 1.3464.2017/4.6).

),4+ A ; D)A+< E E E is a linear closed (not necessarily bounded) operator generating a C0-semigroup }£/)£-()-(>Q of bounded linear operators in E

We will assume that the multivalued nonlinearity F ; ] 1, Ti QE E Kv)EJr obeys the following conditions:

)F2+for each x Q E the multifunction F) ; ] 1, Ti e Kv )E+ admits a strongly continuous selection;

)F3+fora.e. £C?]l,Ti the multimap F)t1 E E Kv )F+is u.s.c.;

)F4+ there exists a function a Q 1, Ti+ such that

F)t,x+B c a)£-|}2 0 x)t+E+ for a.c. t Q ]l,Ti,

)F: + the -regularity condition: there exists a function ¡i Q L°°)]l,Ti+such that for each bounded set ! wc have:

X)F)t,\ -H-C fi)t~ix)\

for a.e. t Q ]1, Ti, where x is the Hausdorff MNC in E.

Along with inclusion (1), for a given sequence of positive numbers }hn\ converging to zero consider the inclusion

n*xh)t^Q Ahxh)t-H) Fh)t, xh)tM, t Q ] 1, Ti, (4)

where HQ H \ }hn\ is the semidiscretization parameter, Ah ; D)Ah~\—> Eh E Eh are closed linear operators in Banach spaccs Eh generating C0-semigroups }Uh)t-$t>0 . We assume that E0 [ E^A0 [ A. F0 [ F and continuous maps Fh ; ] 1, Ti O Eh Eh satisfying conditions )F2+ )F: +for each h Q H.

1. Basic concepts

Definition 1. A mild solution to the Cauchy problem for inclusion (1) with initial condition

x)l+[ x0 (5)

on an interval ] 1, ri < ] 1, Ti is a function x Q C)\ 1, T\=EJr which can be represented as

x)t+[ V)t^0 0 f )t )t t Q ]l,Ti,

Jo

where <j) Q

pea poo

V)t+[ / £q)6JJ)tWW, {)i+[ q / 0Zq)64J)tq6^M, Jo Jo

"E) )nq ° 2+ m)mrq^6 Q M+.

7T Z—' Tl(

n=l v

ON SEMIDISCRETIZATION METHODS FOR DIFFERENTIAL INCLUSIONS

127

By the symbol 1, ri we will denote the set of all mild solutions to the Cauchy problem (1), (5) on an interval 1, ri < ]l,Ti. In articles [3] and |4] we proved the following local existence result.

Theorem 1. Under conditions )F2+ )F: + there exists r Q )l,Ti such that

l,ri is a nonempty subset of the space C')] 1, ri=E-\r

Definition 2. We will say that problem (1), (5) satisfies condition )Q+provided: )Q2+ is a non-empty compact subset of C)] 1,Ti=E^

)QS+ the following extendability condition holds:

for every r Q )l,Ti.

We suppose that there exist linear operators Qh ; Eh € E. h Q H, Qq [ I and projection operators Eh, P0 [ I such that

PhQhi h, (6)

where J^ is the identity on Eh and

QhPhX e x (7)

as h e 1 for each x Q E. We suppose that the operators F\ and Qh are uniformly bounded

Ph C 2, Qh C2 (8)

for all h G H.

An initial condition for equation (4) will be given by the equality

xfc)l-K xh)T^ov xh)l+[ xh)T-tf (9)

2. Main results

Theorem 2. Under conditions )A-^)F2+ )F3-^)Q2+ )Q3+ let problem (1) - (2) )or (1) - (3)+ the solution x* on the interval 1, ai. Then, for a sufficiently small h > 1 problems (4), (9) have solutions Xh on the interval ]1, ai and

Qhxh € x*

as h £ 1.

Various applications of the theory of differential inclusions of fractional order can be found in papers [5], [6] and [7].

REFERENCES

1. Akhmerov R.R., Kamenskiy M.I., Potapov A.S., Rodkina A.E., Sadovskiy B.N. Mery nekom-paktnosti i uplotnyayushchie operatory [Measures of Non-Compactness and Condensing Operators]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1986. (In Russian).

2. Borisovich Yu.G., Gelman B.D., Myshkis A.D., Obukhovskiy V.V. Vvedenie v teoriyu mnogo-znachnykh otobrazheniy i differentsial'nykh vklyucheniy [Introduction to the Theory of Many-Valued Separations and Differential Inclusions]. Moscow, Book House "Librokom" Publ., 2011. (In Russian).

3. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. On semilinear fractional order differential inclusions in banach spaces. Fixed Point Theory, 2017, vol. 18, no. 1, pp. 269-292.

4. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space. Applicable Analysis, 2017, vol. 96, pp. 1-21.

5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier Science, 2006, 541 p.

6. Petrosyan G.G., Afanasova M.S. O zadache koshi dlya differentsial'nogo vklyucheniya drobno-go poryadka s nelineynym granichnym usloviem [On the Cauchy problem for a differential inclusion of fractional order with nonlinear boundary conditions]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2017, no. 1, pp. 135-151. (In Russian).

7. Petrosyan G.G. On the structure of the solutions set of the Cauchy problem for a differential inclusions of fractional order in a Banach space. Nekotorye voprosy analiza, algebry, geometrii i matematicheskogo obrazovaniya [Some Questions of Analysis, Algebra, Geometry and Mathematical Education]. Voronezh, 2016, pp. 7-8.

Received 21 March 2018

Reviewed 26 April 2018

Accepted for press 5 June 2018

There is no conflict of interests.

Kamenskii Mikhail Igorevich, Voronezh State University, Voronezh, Russia, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Functional Analysis and Operator Equations, e-mail: [email protected]

Obukhovskii Valeri Vladimirovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, Russia, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Higher Mathematics, e-mail: [email protected]

Petrosyan Garik Gagikovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, Russia, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, e-mail: [email protected]

For citation: Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Petrosyan G.G. On semidiscretization methods for differential inclusions of fractional order. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 125-130. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-125-130 (In Russian, Abstr. in Engl.).

ON SEMIDISCRETIZATION METHODS FOR DIFFERENTIAL INCLUSIONS

129

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-125-130 УДК 517.92

О МЕТОДЕ ПОЛУДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

М. И. Каменский1^, В. В. Обуховский2), Г. Г. Петросян2)

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет» 394018, Российская Федерация, г. Воронеж. Университетская пл., 1 E-mail: mikhailkaraenskiQmail. ru 2"' ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет» 394043, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Ленина, 86 E-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. В докладе приводится схема полудискретизации для полулинейных дифференциальных включений дробного порядка

Ключевые слова: дифференциальное включение дробного порядка; полулинейное дифференциальное включение; задача Коши; аппроксимация; полудискретизация: неподвижная точка: уплотняющее отображение; мера некомпактности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск, Наука, 1986.

2. Борисович Ю.Г., Гелълшн Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Издание 2-е, испр. и доп. М.: Книжный дом «Либроком», 2011.

3. Kamenskii М., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-С. On semilinear fractional order differential inclusions in banach spaces // Fixed Point Theory. 2017. Vol. 18. № 1. P. 269-292.

4. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space // Applicable Analysis. 2017. Vol. 96. P. 1-21.

5. Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science. 2006. 541 p.

6. Петросян P.P., Афанасова M.C. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка с нелинейным граничным условием // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2017. № 1. С. 135-151.

7. Петросян Г. P. On the structure of the solutions set of the Cauchy problem for a differential inclusions of fractional order in a Banach space // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Воронеж, 2016. С. 7-8.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках проектной части государственного задания (проект № 1.3464.2017/4.6).

Поступила в редакцию 21 марта 2018 г. Прошла рецензирование 26 апреля 2018 г. Принята в печать 5 июня 2018 г. Конфликт интересов отсутствует.

Каменский Михаил Игоревич, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, зав. кафедрой функционального анализа и операторных уравнений, e-mail:[email protected]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Обуховский Валерий Владимирович, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, зав. кафедрой высшей математики, e-mail: [email protected]

Петросян Гарик Гагикович, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Каменский М.И., Обуховский В.В., Петросян Г.Г. О методе полудискретизации для дифференциальных включений дробного порядка // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 125-130. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-125-130

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.