Научная статья на тему 'On connection between continuous and discontinuous homogenized neural field equations'

On connection between continuous and discontinuous homogenized neural field equations Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
82
51
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
DISCONTINUOUS HAMMERSTEIN EQUATIONS / SOLVABILITY / CONTINUOUS DEPENDENCE / РАЗРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ГАММЕРШТЕЙНА / РАЗРЕШИМОСТЬ / НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бурлаков Евгений Олегович, Поносов Аркадий, Виллер Йон

We study existence and continuous dependence of the solutions to the Hammerstein equation under the transition from continuous nonlinearities in the Hammerstein operator to the Heaviside nonlinearity in a vicinity of the solution, corresponding to the discontinuous nonlinearity case.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Изучаются существование и непрерывная зависимость решений интегральных уравнений Гаммерштейна при переходе от непрерывной нелинейной части оператора Гаммерштейна к нелинейности типа Хевисайда в окрестности решения, соответствуюшего случаю разрывной нелинейной части.

Текст научной работы на тему «On connection between continuous and discontinuous homogenized neural field equations»

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015

4. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2002.

5. Kiguradze I., PuZa B. Boundary value problems for systems of linear functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2003.

6. Бравый Е.И. Разрешимость краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011.

7. Бравый Е.И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. № 4. С. 1029-1032.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки РФ (задание 2014/152, проект 1890) и поддержана РФФИ (проект 14-01-00338).

Поступила в редакцию 27 мая 2015 г.

Bravyi E.I. ON SOLVABILITY OF PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEM AND DIRICHLET PROBLEM FOR SECOND ORDER FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

The Dirichlet boundary value problem and the periodic boundary value problem for for some classes of linear second-order functional-differential equations are considered. Necessary and sufficient conditions of a unique solvability of the boundary value problem for all equations from these classes are obtained.

Key words: functional-differential equations; boundary value problems; periodic boundary value problem; solvability conditions; Dirichlet problem.

Бравый Евгений Ильич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», email: bravyi@perm.ru

Bravyi Evgenii Ilich, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Center «Functional-Differential Equations», e-mail: bravyi@perm.ru

УДК 517.968.4

ON CONNECTION BETWEEN CONTINUOUS AND DISCONTINUOUS HOMOGENIZED NEURAL FIELD EQUATIONS

© E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller

Key words: discontinuous Hammerstein equations; solvability; continuous dependence. We study existence and continuous dependence of the solutions to the Hammerstein equation under the transition from continuous nonlinearities in the Hammerstein operator to the Heaviside nonlinearity in a vicinity of the solution, corresponding to the discontinuous nonlinearity case.

We consider the following generalization of the homogenized Amari neural field equation (see for example [1], [2])

dtu(t,x,x f ) = —u(t,x,x f)+ / u(x — y,x f — yf )fe (u(t,y))dyf dy,

i Y (D

t> 0, x € S С Rm, xf € У e Rk,

ISSN 1810-0198. Вестннк Try, t. 20, huo. 5, 2015

parameterized by 0 € [0, to) .

We assume that the functions involved in (1) satisfy the following assumptions:

(A1) For any xf € Y , the integration kernel w(-, xf) € C2(E, R) .

(A2) For any x € R , the integration kernel u(x, ■) € L(Y, ^, R) .

(A3) For 0 = 0 , the Hammerstein nonlinearity is represented by the Heaviside function

, , , i 0, u < 0, f0(u) = \ 1, u>0

with some threshold value 0 .

(A4) For 0 > 0, functions of the family fp : R ^ [0,1] are non-decreasing, continuous, and satisfying the following convergence conditions with respect to the parameter 0:

(i) fp ^ fp uniformly on R as 0 ^ 0, 0 € (0, to) ;

(ii) for any e > 0 , fp ^ f0 uniformly on R \ BR(0, e) as 0 ^ 0 .

If the stationary solution to (1) exists and does not depend on the fine-scale variable, it satisfies the following equation

u(x) = J(w)(x - y)fp(u(y))dy,

r 3 (2)

(w)(x) = u(x,xf)dxf, x € e C Rm,xf € Y•

Y

We are interested here in one particular type of solutions, which possesses the following properties.

Definition 1. Let 0 > 0 be fixed. We say that u € C R) satisfies the 0-condition if

N

(B1) there is a finite set of open bounded domains 0j C E such that u(x) > 0 on 0= |J 0j;

i= 1

N

(B2) for any point x of the boundary B = (J Bi of 0 , it holds true that u'(x) = 0;

i= 1

(B3) there exist a > 0 and r > 0 such that u(x) < 0 — a for all x € E \ BRm (0, r).

The following theorem provides conditions for convergence of the stationary solutions up to

(1), 0 > 0 , (if these solutions exist) to the stationary solution u0 to (1) at 0 = 0 .

Theorem 1. (Continuous dependence) Let the assumptions (A1) — (A4) hold true, 0 > 0 be fixed and u0 € C 1(Rm,R) satisfies the 0 -condition. Then there exists e > 0 such that for any (sufficiently large) closed Q C Rm, if we assume existence of solutions up € Bci(Q,R)(u0, e) to the equation (2) for any 0 € (0,1] (E = Q), then there exist a solution to (2) at 0 = 0 and it is a limit point of the set {up} . Moreover, if the solution of (2) at 0 = 0 (E = Q), say u0 , is unique then \\up — uo||ci(n,R) ^ 0 .

The next theorem provides a tool for proving existence of solutions to (2) for 0 € (0, to) using some knowledge about the solution to (2) at 0 = 0 .

Theorem 2. (Existence) Let the conditions of Theorem 1 be satisfied, the set Q and the constant e be taken from Theorem 1. Assume that there exists solution u0 € C 1(Rm,R) of

(2) at 0 = 0, which satisfies 0 -condition and which is unique in Bci(n;R)(u0, e1) (e1 < e), and deg(I—F0, Bci(n;R)(u0, e1), 0)=0 , where the operator F0 : Bci(n;R)(u0,e1) ^ C1 (Q,R) is given by

(F0u)(x) = (u)(x — y)f0(u(y))dy.

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015

Then for any в € (0,1] , there exists solution € Bci(n,R)(uo,£i) to the equation (2) .

These results can be applied for justification of the usage of the Heaviside Hammerstein nonlinearities in the frameworks of [1] and [2], where it appreciably simplified both theoretical and numerical investigations.

REFERENCES

1. Svanstedt N., Wyller J., Malyutina E. A one population Amari model with periodic microstructure // Nonlinearity, 2014. № 27. P. 1391-1417.

2. Malyutina E., Wyller J., Ponosov A. Two bump solutions of a homogenized Wilson-Cowan model with periodic microstructure // Physica D. 2014. № 271. P. 19-31.

ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by RFBR (project № 14-01-97504).

Received 25 May 2015.

Бурлаков Е., Поносов А., Виллер Й. О СВЯЗИ НЕПРЕРЫВНЫХ И РАЗРЫВНЫХ УСРЕДНЁННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙРОПОЛЕЙ

Изучаются существование и непрерывная зависимость решений интегральных уравнений Гам-мерштейна при переходе от непрерывной нелинейной части оператора Гаммерштейна к нелинейности типа Хевисайда в окрестности решения, соответствуюшего случаю разрывной нелинейной части.

Ключевые слова: разрывные операторы Гаммерштейна; разрешимость; непрерывная зависимость.

Burlakov Evgenii, Norwegian University of Life Sciences, As, Norway, Post-graduate Student, e-mail: evgenii.burlakov@nmbu.no

Бурлаков Евгений, Норвежский университет естественных наук, Аас, Норвегия, аспирант, e-mail: evgenii.burlakov@nmbu.no

Ponosov Arcady, Norwegian University of Life Sciences, As, Norway, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: arkadi.ponossov@nmbu.no

Поносов Аркадий, Норвежский университет естественных наук, Аас, Норвегия, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: arkadi.ponossov@nmbu.no

Wyller John, Norwegian University of Life Sciences, As, Norway, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: john.wyller@nmbu.no

Виллер Йон, Норвежский университет естественных наук, Аас, Норвегия, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: john.wyller@nmbu.no

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.