CC BY
13УДК: 519.71 MSC2010: 93B30
ОКРЕСТНОСТНЫЕ СТРУКТУРЫ И МЕТАСТРУКТУРНАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ1
© Н. М. Мишачев, А. М. Шмырин
ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ул. Московская, 30, Липецк, 398600, Российская Федерация e-mail: [email protected], [email protected]
Neighborhood Structures and Metastructural Identification.
Mishachev N. M., Shmyrin A. M.
Abstract. In the article, the concept of metastructural identification of a modeled system is formalized as the construction of a pair consisting of a neighborhood structure (graph) and the type of interactions between the nodes of this structure. In the language of metagraphs, two types of interactions are defined: vertex type, when the equations of the model correspond to the nodes of the structure, and the relational type, when the equations correspond to the edges of the structure. Structural identification of the modeled system, as a rule, can be divided into two stages. At the first stage we specify the nodes of the model, the connections between them and the sets of variables corresponding to these nodes and connections. On the second, we define the model equations with unknown parameters that are subject to further parametric identification. In this article, we propose to call the first stage a metastructural identification and define such identification as the construction of a neighborhood structure (graph), the choice of the type of interactions between the nodes of this structure and the indication of the corresponding variables. Our experience in modeling complex systems shows that in many cases it makes sense to distinguish between two types of such interactions: vertex-type, when the equations of the model correspond to the nodes of the structure, and the relational-type (edge-type) when the equations of the model correspond to the edges of the structure. The main purpose of this article is to create a system of definitions to describe these two situations and to clarify the relationships between them. These two types of models are convenient to define using the language of metagrafics. In order to describe the relationships between vertex-type and relational-type models, we are define the notions of clustering and declustering of neighborhood structures, and show that each relational-type structure can be uniquely declustered down to a vertex-type. This (fairly simple) result does not mean that we need to exclude the relational-type models, since declustering of the relational-type model often loses its visibility. We also discuss the inverse problem of clustering the vertex-type structures into more compact relational ones.
Keywords: neighborhood structure, neighborhood system, metastructural identification, metagraph, vertex system, relational system.
1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-07-00854).
1. Введение. Постановка задачи
Структурная идентификация моделируемой системы, как правило, может быть разделена на два этапа. На первом этапе мы задаем узлы модели, связи между ними и соответствующие этим узлам и связям наборы переменных. На втором мы определяем уравнения модели с неизвестными параметрами, подлежащими дальнейшей параметрической идентификации. В этой статье мы предлагаем называть первый этап метаструктурной идентификацией и определяем такую идентификацию, как построение окрестностной структуры (орграфа), выбор типа взаимодействий между узлами этой структуры и указание соответствующих переменных. Наш опыт математического моделирования сложных систем показывает, что во многих случаях имеет смысл различать два типа таких взаимодействий: вертексный (вершинный), когда уравнения модели соответствуют узлам структуры, и реляционный (реберный), когда уравнения модели соответствуют ребрам структуры. В данной статье мы описываем указанные два типа моделей на языке метаграфов и обсуждаем связи между ними. Для описания соотношений между вертексными и реляционными моделями мы определяем понятия кластеризации и декластеризации окрестностных структур и показываем, что каждая реляционная структура может быть канонически (единственным образом) декластеризована до вертексной. Это наблюдение не означает, что нужно отказаться от реляционных моделей в пользу вертексных, поскольку декла-стеризованные реляционные системы образуют довольно узкий специальный класс в пространстве всех вертексных систем и, кроме того, при декластеризация реляционной модели часто теряется ее наглядность, компактность и связь с моделируемым объектом. Мы обсуждаем также обратную задачу кластеризации вертексных структур до более компактных реляционных.
2. ОКРЕСТНОСТНЫЕ структуры и МЕТАГРАФЫ
Далее, нам будет удобно различать термины «вершина» и «узел» графа: каждый узел является вершиной, но не каждую вершина является узлом. Окрестностной структурой мы называем ориентированный граф N = (V; Е), содержащий вершины V = и и V и W трех типов: входы и, узлы V и выходы W, при этом:
• каждая вершина инцидентна, по крайней мере, одному ребру;
• каждый вход и £ и имеет только выходящие ребра е(и, *);
• каждый выход £ W имеет только входящие ребра е(*,эд);
• каждые два узла у', у" £ V могут быть соединены между собой не более чем двумя противоположно ориентированными ребрами-связями е(у', у'') и е(у'', у');
• каждый узел у £ V имеет петлю е(у,у);
• каждый узел V Е V имеет входящие и выходящие ребра (кроме петли).
Заметим, что в силу этого определения в непустой окрестностной структуре число вершин |У| ^ 2, а если и = 0 или W = 0, то число узлов IV| ^ 2. Как обычно в теории графов, источниками вершины мы называем все входящие в нее вершины и стоками — все исходящие. Все узлы (то есть вершины из V) в силу наличия петель являются своими стоками и источниками, все входы имеют только стоки, все выходы — только источники. На рис. 1 изображена окрестностная структура с одним входом, одним выходом и одним узлом.
Рис. 1. Окрестностная структура
Метаграфом Ш = (МУ; МЕ) над конечным множеством V мы называем граф, метавершинами МУ которого являются подмножества множества V, а метаребра-ми МЕ — пары метавершин. Или, на языке теории множеств: метавершины мета-графа — это элементы первого булеана В^), то есть МУ С В^), а метаребра метаграфа — это двухэлементные подмножества второго булеана ВВ^), то есть МЕ С В2В^). Заметим, что метавершины М^ метаграфа над V являются ребрами гиперграфа (V; М^) над V и что любой гиперграф над V можно считать метаграфом, все метаребра которого соединяют непустые метавершины с пустой метавершиной 0 € В^). По аналогии с обычными графами можно определить ориентированные метаграфы и двудольные метаграфы. В окрестностной структуре N = ; Е) каждый узел V € V порождает метавершину его источников (метаисточник) v+ € В(и и V) и метавершину его стоков (метасток) V- € В^ и W), при этом V € v+ П V-. Обозначим через V + и V- множества всех метаисточников и метастоков, для всех узлов V € V. Добавим еще к множеству метавершин все узлы V € V. Каждый узел V € V порождает метаребро соединяющее метаисточник узла с этим узлом, и ме-
таребро соединяющее метаисточник узла с его метастоком. Таким образом,
каждая окрестностная структура N = ; Е) порождает ориентированные двудольные метаграфы
Шу = Шу(^ = V; V) и Шд = Шд(^ = (V +, VV).
Метаграфы Шу и Шп мы будем называть, соответственно, вертексным и реляционным метаграфами, ассоциированными с окрестностной структурой N = ; Е).
Заметим, что вертексный метаграф не содержит никакой информации о выходах W, в то время как в реляционном метаграфе выходы W участвуют в образовании V На самом деле в некоторых случаях имеет смысл рассматривать аугментированные метаграфы My (N) = (V + U W + , V U W ; V U W ) и Mr (N) = (V + U W + , V- U W ; V), но мы не будем делать это в данной статье.
Замечание (от окрестностных структур к метаграфам и обратно). Обозначим через M(S) и N(S) множества всех метаграфов и множество всех окрестностных структур над конечным множеством вершин S. Далее, обозначим через M^(S) множество метаграфов с отмеченной вершиной в каждой метавершине таких, что каждое метаребро соединяет метавершины с общей отмеченной вершиной, и через DM• (S) — множество всех двудольных метаграфов из M^(S), у которых в каждой доле нет ме-тавершин с совпадающими отмеченными вершинами. Можно доказать, что описанная выше конструкция N ^ MR(N) определяет изоморфизм N(S) ^ DM •(S ).
3. Вертексные и реляционные системы
Метаграфам My и Mr соответствуют вертексные и реляционные системы над окрестностной структурой N. Опишем подробнее эти системы, ограничиваясь дискретным динамическим и статическим случаями. Мы предполагаем, что входы U, узлы V и выходы W пронумерованы числами от 1 до nu, от nu + 1 до nu + ny и от nu + ny + 1 до nu + ny + nW. Обозначения множеств вершин U, V, W и мета-узлов v+, v- можно понимать и как обозначения соответствующих наборов чисел (номеров вершин). Каждому ребру e(i, k), включая петли, соответствует переменная Y(i, k) Е Rn(i,fc) входа-выхода из i-го узла в k-тый. Переменные Y(i, k) = U(i,k) с i E U мы называем внешними входами в систему, переменные Y (i, k) = W (i,k) с k E W — внешними выходами из системы, переменные Y(i,k) = V(i,k) с i,k E V — внутренними переменными. Для петель e(i,i) положим Y(i,i) = X(i) и Rra(i,i) = Rn(i). Переменную Y(i,i) = X(i) мы называем состоянием узла. В вертексной модели вход-выход Y (i, k) не зависит от k, то есть узел Vj E V передает по всем исходящим связям одну и ту же переменную своего состояния X(i) = Y(i,i), а вход u E U — одну и ту же переменную входа U (i) = U (i, k) = Y (i, k). Далее, метаисточнику v+ узла Vj E V соответствует переменная состояния метаисточника X+(i) E RN(j'+), где Rn (*>+) — это произведение всех пространств Mra(k>j) c k E v+. Метастоку v- узла Vj E V соответствует переменная состояния метастока X_(i) E RN(j'-), где RN(j'-) — это произведение всех пространств Rra(j,fc) c k E v-. В динамическом случае, который мы считаем далее основным, все перечисленные выше переменные зависят от (дискретного) времени t. Сделаем еще замечание по поводу переменных управления. Можно
считать, что и = и и и, где и — независимые входы и и — управляемые входы. Соответственно, переменные входов и (г, к) бывают двух типов: внешние переменные и (г, к) и переменные управления и (г, к).
Вертексному метаграфу Шу соответствует набор функций
рг : (г+ ^ Еп(г) , г е V, (1)
каждая из которых преобразует состояние Х+(г) метаисточника узла в состояние Х(г) этого узла. Термин «функция» мы используем здесь потому, что для скалярных переменных это действительно функции.
Реляционному метаграфу Шд соответствует набор операторов
Ег : (г'+) ^ (г'-) , г € V , (2)
каждый из которых преобразует состояние Х+(г) метаисточника узла в состояние Х-(г) метастока этого узла.
Функции Ег и операторы Ег порождают вертексные и реляционные системы, которые могут быть динамическими или статическими. Уравнения динамической вер-тексной системы имеют вид
Х4+1(г) = Ег(Х+ (г)), г € V (3)
(здесь пу уравнений) или подробнее:
X4+1 (г) = Ег({Х4(к)|к € ^г+|) , г € V. (4)
Уравнения динамической реляционной системы имеют вид
Х-+1(г) = Ег(Х+ (г)), г € V (5)
(здесь пу операторных уравнений) или подробнее:
Ут(г,т) = Егт({У4(к,г)|к € ^г+|), г € V ; т € V- . (6)
В последнем случае количество уравнений равно у IV |, где IV-1 — это количество вершин в метастоке V-. Термин «уравнения» в этих случаях традиционен, но не вполне корректен, поскольку при заданных входах это просто формулы для пересчета предыдущего состояния в последующее. Эти формулы превращаются в настоящие уравнения в задачах управления.
Статические вертексные и реляционные системы возникают как системы уравнений для стационарных состояний соответствующих динамических систем и имеют вид
Х(г) = Е(Х+(г)), г € V (7)
(здесь ну уравнений) и
Х_(г) = Ег(Х+ (г)) , г £ V (8)
(здесь ну операторных уравнений). Теперь это настоящие уравнения — их нужно решать, чтобы найти стационарные режимы системы.
Замечание (метавертексные системы). На языке метаграфов реляционные системы фактически становятся вертексными или, точнее, двудольно-метавертексными, поскольку переменные входа-выхода У (г,к) объединяются в переменные Х±(г) состояния метаузлов: метаисточников и метастоков.
4. Кластеризация и декластеризация
Пусть N = (V; Е) — некоторая окрестностная структура, вершины и ребра которой мы будем называть далее «красными». Декластеризацией красного узла у £ V
называется замена этого узла на | у_| зеленых узлов с дублированием входящих в у
красных ребер и петли соответствующими зелеными ребрами и зелеными петлями, при этом выходящие из у ребра распределяются по новым узла и остаются красными, см. рис. 2. Точно так же можно определить декластеризацию входа и £ и.
Рис. 2. Декластеризация узла
Результат последовательного применения декластеризации ко всем узлам и входам структуры N не зависит от выбора порядка вершин и в итоге исходная «красная» окрестностная структура N превращается в «зеленую» структуру N такую, что вер-тексному метаграфу Му и реляционному метаграфу Мд(^) соответствует одна и та же система уравнений (5). Нетрудно привести примеры окрестностных структур N1 и N2 таких, что их декластеризации N1 и N1 совпадают, и потому обратная задача свертывания (кластеризации) окрестностной структуры N в окрестностную структуру N такую, что вертексному метаграфу Му (^ и реляционному метаграфу Мд(^) отвечает одна и та же система уравнений, не имеет однозначного решения.
История ВОПРОСА
В этом пункте мы обсуждаем историю вопроса и даем библиографические ссылки. Системы уравнений, ассоциированные с графами, в той или иной версии достаточно часто возникают в приложениях (см., например, [1] или [2]), но эти версии, как правило, отражают специфику соответствующих приложений. Окрестностные системы, определенные в работах [3] и [4], являются достаточно общим классом систем на графах, и им было посвящено значительное количество работ. Заметим, что в [3] термин «окрестностная система» отсутствовал, но зато обсуждался соответствующий класс графов. Термин «окрестностная система» появился в [4], но в этой работе отсутствовало, хотя и подразумевалось, описание соответствующих графов. Далее, в работе [5] акцент был перенесен на эти графы, которые были названы окрест-ностными структурами, а разные типы окрестностных систем рассматривались уже как надстройки над окрестностными структурами. В работах [6], [7] и [8] определение окрестностной структуры последовательно видоизменялось и параллельно были определены два класса систем над окрестностными структурами — вертексные и реляционные. В работах [9], [10], и [11] построение моделей фактически уже содержало этап метаструктурной идентификации. В то же время во всех этих работах вопросы метаструктурной идентификации были вспомогательными, так как статьи были посвящены конкретным приложениям. Понятие метаграфа (см. [12]) оказалось идеально приспособленным для описания вертексных и реляционных систем. В данной статье, посвященной основаниям (а не приложениям), мы обновили, используя язык метаграфов, определение окрестностной структуры и двух типов систем над ней и формализовали понятие метаструктурной идентификации.
Заключение
Мы определили метаструктурную идентификацию моделируемой системы как построение окрестностной структуры (орграфа), выбор типа взаимодействия между узлами структуры и указание соответствующих переменных. Новым и, как мы считаем, полезным элементом здесь является указание типа взаимодействий между узлами. Мы описали, исходя из нашего опыта моделирования сложных объектов, два таких типа: вертексный, когда уравнения модели соответствуют узлам структуры, и реляционный, когда уравнения соответствуют ребрам структуры. Для определения этих двух типов исключительно удобным оказался язык метаграфов. Мы показали, что любую реляционную модель можно канонически преобразовать в эквивалентную ей вертексную, но при такой редукции количество узлов модели может значительно возрасти, будет потеряна наглядность модели и связь между моделью и физическим объектом.
Описок литературы
1. Кафаров, В. В. Анализ и синтез химико-технологических систем / В. В. Кафаров, В. П. Ме-шалкин. — Москва: Химия, 1991. — 432 с.
KAFAROV V. V. and MESHALKIN V. P. (1991) Analysis and synthesis of chemical-technological systems. Moscow: Chemistry.
2. Татур, Т. А. Основы теории электрических цепей / Т. А. Татур. — Москва: Высшая школа, 1980. — 274 с.
TATUR T. A. (1980) Fundamentals of the theory of electrical circuits. Moscow: High school.
3. Блюмин, С. Л. Смешанное управление смешанными системами / С. Л. Блюмин, A. M. Шмы-рин, Д. А. Шмырин. — Липецк: ЛГТУ, 1998. — 80 с.
BLYUMIN S. L., SHMYRIN A. M and SHMYRIN D. A. (1998) Mixed control of mixed systems. Lipetsk: LGTU.
4. Блюмин, С. Л. Окрестностные системы / С. Л. Блюмин, A. M. Шмырин. — Липецк: ЛЭГИ, 2005. — 131 с.
BLYUMIN S. L. and SHMYRIN A. M. (2005) Neighborhood systems. Lipetsk: LEGI.
5. Шмырин, А. М., Мишачев, Н. М., Канюгина, А. С. Кластеризация окрестностной структуры // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». — Тамбов,
2016. — Т. 21(2). — C. 459-464. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-459-464.
SHMYRIN, А. М., MISHACHEV, N. M., KANYUGINA, A. S. (2016) Clustering of neighborhood structure. Bulletin of Tambov University. Natural and technical sciences. 21 (2). p. 459-464.
6. Шмырин, А. М., Мишачев, Н. М. Окрестностные системы и алгоритм Качмажа // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». — Тамбов, 2016. — Т. 21(6). — C. 2113-2120. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2113-2120.
SHMYRIN, А. М., MISHACHEV, N. M. (2016) Neighborhood systems and Kaczmarz algorithm. Bulletin of Tambov University. Natural and technical sciences. 21 (6). p. 2113-2120.
7. Шмырин, А. М., Мишачев, Н. М., Канюгина, А. С. Кластеризованная окрестностная структура и алгоритм Качмажа // Системы управления и информационные технологии. — Воронеж,
2017. — 68(2). — C. 93-97.
SHMYRIN, А. М., MISHACHEV, N. M., KANYUGINA, A. S. (2017) Clustered Neighborhood structure and Kaczmazh algorithm. Control Systems and Information Technology. 68 (2). p. 93-97.
8. Мишачев, Н. М., Шмырин, А. М., Параметрическая идентификация окрестностных систем вблизи номинальных режимов // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». — Тамбов, 2017. — Т. 22(3). — C. 558-564. DOI: 10.20310/1810-0198-201722-3-558-564.
MISHACHEV, N. M., SHMYRIN, А. М. (2016) Parametric identification of neighborhood systems near nominal modes. Bulletin of Tambov University. Natural and technical sciences. 22 (3). p. 558-564.
9. Shmyrin, А. М., Mishachev, N. M., Semina, V. V. (2017) Structural Identification of Neighborhood Model for Ventilation-Filtration System. International Journal of Applied Engineering Research. 12 (21). p. 11114-11117.
10. Мишачев, Н. М., Шмырин, А. М., О градиенте нейросетевой функции // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». — Тамбов, 2017. — Т. 22(3). — C. 552-567. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-552-567.
MISHACHEV, N. M., SHMYRIN, А. М. (2016) On the gradient of a neural network function. Bulletin of Tambov University. Natural and technical sciences. 22 (3). p. 552-567.
11. Шмырин, А. М., Мишачев, Н. М., Семина, В. В. Агрегирование окрестностных систем в модели вентиляции цеха цементного производства // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». — Тамбов, 2017. — Т. 22(6-1). — C. 1346-1354. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1346-1354.
SHMYRIN, А. М., MISHACHEV, N. M., SEMINA V. V. (2017) Aggregation of neighborhood systems in the model of ventilation of cement production workshop. Bulletin of Tambov University. Natural and technical sciences. 22 (6-1). p. 1346-1354.
12. BASU A. and BLANNING R. (2007) Metagraphs and their applications. Springer.
