Огрубленное статистическое исследование прикладных динамических систем методами распознавания образов (часть II) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные технологии Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 6 (1), с. 164-174

УДК 004.93+519.6

ОГРУБЛЕННОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ (ЧАСТЬ II)

© 2012 г. \Ю.И. НеймарК, И.В. Котельников, Л.Г. Теклина

Научно-исследовательский институт прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

neymark@pmk.unn.ru

Поступила в редакцию 23.03.2012

Обсуждаются возможности исследования математических моделей с большим числом параметров методами распознавания образов. В дополнение к огрубленному исследованию путем построения фазового и параметрического портретов рассматриваются возможности применения методов распознавания образов в изучении проблем, вытекающих из конкретного содержания модели. Возможности использования распознавания образов в исследовании динамических систем проиллюстрированы на примере трех математических моделей.

Ключевые слова: динамические системы, численные методы, распознавание образов.

Введение

Новая методика огрубленного численного исследования динамических систем методами распознавания образов с активным экспериментом представлена в первой части данной работы [1]. Стандартные процедуры методики включают в себя:

- изучение всех возможных видов установившихся движений в фазовом пространстве системы (аттракторов);

- построение огрубленных фазовых портретов в виде совокупности аттракторов и областей их притяжения в фазовом пространстве при заданных значениях параметров;

- изучение зависимости огрубленного фазового портрета от значений параметров путем построения огрубленного параметрического портрета динамической системы.

Эти задачи решаются для любых математических моделей, описываемых динамическими системами, вне зависимости от их конкретного содержания. Но возможности применения методов распознавания в исследовании математических моделей далеко не исчерпываются лишь огрубленным исследованием в виде построения фазового и параметрического портретов. В настоящей работе представлены уже реализованные возможности исследования математических моделей и обсуждаются перспективы их применения. Исследование проиллюстрировано результатами, полученными для трех математических моделей, содержащих значительное число параметров.

1. Дополнительные возможности исследования методами распознавания

математических моделей с большим числом параметров

Результаты огрубленного исследования - фазовые и параметрический портреты - это лишь база для решения многих задач, вытекающих из анализа конкретного содержания исследуемой математической модели. Перечислим лишь некоторые возможности в проведении исследований методами распознавания образов, которые наиболее интересны для исследователя.

1. Определение закономерностей изменения характеристик отдельного аттрактора (например, координат состояния равновесия) или границ областей притяжения при изменении определенных параметров. Решение этих задач требует только создания соответствующей обучающей выборки.

2. На основе известного параметрического портрета можно решить такие интересные задачи, как:

- прогнозирование состояния объекта, описываемого исследуемой моделью, при изменении его параметров;

- управление объектом путем изменения его параметров.

В последней задаче цель управления объектом может заключаться, во-первых, в приведении объекта в некоторый стабильный режим функционирования, наилучший из возможных при заданном начальном его состоянии, и, во-

вторых, в поддержании, а при возможности и в улучшении достигнутого стабильного состояния.

3. Результаты классического исследования могут стать базой для интересных качественных и количественных исследований, учитывающих конкретное содержание исследуемой математической модели. Такие проблемы обычно связаны с изучением зависимости движений и их динамики в фазовом пространстве системы от параметров модели. Алгоритм их решения включает в себя следующие этапы:

- формулировка проблемы как задачи анализа и исследования динамики аттракторов или фазовых портретов системы;

- постановка исследуемой проблемы как задачи распознавания образов;

- формирование обучающей выборки для решения поставленной задачи в пространстве параметров системы на основе данных об аттракторах или фазовых портретах системы;

- выбор признаков, информативных для решения задачи. Информативными для решения задачи распознавания считаются те признаки (параметры системы), изменение которых приводит к переходу объекта из одного распознаваемого класса в другой;

- поиск скрытых закономерностей путем использования различных методов интеллектуального анализа данных на множестве выделенных признаков.

Постановка и решение таких задач не формализуемы, но решение их - это и расширение возможностей извлечения знаний из математических моделей, и оценка их значимости и адекватности. Возможности решения таких нестандартных задач проиллюстрированы далее в разделе 2.3 на примере исследования конкретной математической модели.

2. Исследование конкретных математических моделей

Возможности нового подхода к исследованию динамических систем проиллюстрируем на примере исследования трех математических моделей. Для представленных моделей такое исследование движений в зависимости от всех ее параметров проведено впервые.

2.1. Математическая модель иммунного ответа организма на вторжение инфекции

Полное описание модели можно найти в [2], далее дается лишь очень краткое ее представление, необходимое для изложения результатов исследования.

2.1.1. Представление математической модели

Иммунные системы животного и человека очень сложны, но, несмотря на всю сложность

иммунного ответа организма на инфекцию, на первый план выступают три фактора: инфекция, ее размножение и влияние на организм, противодействие организма и возможности его реализации, зависящие от состояния организма. Эти факторы можно количественно охарактеризовать тремя величинами: х, у и г - численностью инфекции, величиной противодействия организма и потенциалом организма. Инфекция, помимо своей численности х, характеризуется быстротой размножения в среде организма и подавляющим действием на него. Противодействие характеризуется своим количеством у и его эффективностью, быстротой и мощностью пополнения w, зависящими от организма и его потенциала г. Динамика иммунного ответа -изменение величин х, у, г, w - описывается следующими дифференциальными уравнениями:

х = Хх -

аху

1 + ах

-гх

У =

Ьху 1 + ах

+ w = К при у > 0

или у = 0 & К > 0 при у = 0 & К < 0,

г =

ф0 - г)

1 + ух

- dy - е = F при у > 0

XW + w =

или г = 0 & F > 0

0 при г = 0 & F < 0,

Г 0 при х < х0

\Вг(2г0 - г)(х + Рх2) при х > х0.

Параметрами системы являются коэффициенты эффективности указанных процессов и используемые в них пороги. В этих уравнениях х0 - порог чувствительности организма к инфекции, х - временная задержка дополнительного иммунного ответа, г0- предельное значение потенциала организма, г0 > г > 0, обращение г в ноль трактуется как полное истощение организма, ведущее к его гибели. Модель содержит 4 переменных и 14 параметров.

Аналитическими и численными методами была исследована упрощенная модель с двумя переменными х и у, полученная из исходной при условиях г=const и х = 0 [2]. Исходная

модель достаточно сложна для исследования традиционными методами. Далее приводятся результаты огрубленного исследования этой модели методами распознавания образов, основанными на применении аппарата оптимальных тупиковых нечетких тестов с построением син-дромальных решающих правил распознавания.

0

2.1.2. Краткое изложение основных результатов исследования модели

Какие возможности для анализа предоставляют результаты огрубленного численного исследования математической модели? Прежде всего, выделенное множество аттракторов отвечает всем возможным исходам заболеваний. Фазовый портрет при заданных значениях параметров позволяет определить как возможные исходы заболевания (аттракторы), так и зависимость исхода заболевания от численности инфекции и исходного состояния организма (области притяжения аттракторов). Кроме того, путем анализа траекторий любого аттрактора (построить их легко, зная область его притяжения) определяются варианты течения заболеваний (например, выздоровление при постепенном подавлении инфекции или выздоровление через обострение, когда на некотором этапе заболевания наблюдается увеличение численности х). Параметрический портрет дает представление о зависимости течения и исхода заболеваний от характера инфекции и общего состояния организма, его способности противодействовать инфекции.

Перейдем к краткому изложению основных результатов исследования модели. Огрубленное численное исследование велось с заданной статистической достоверностью р0 = 0.99. Конечный результат исследования - огрубленный параметрический портрет, полученный для заданных ограниченных областей фазового и параметрического пространств. Границы областей выбирались на этапе предварительного исследования исходя из требования диссипативности системы в заданной области. Огрубленный параметрический портрет состоит из областей параметров, соответствующих выделенным 87 фазовым портретам. Каждая из областей описывается набором синдромов (параллелепипедов). Как уже было сказано в [1], фазовые портреты различаются видом и числом составляющих их аттракторов. В исследуемой модели выделены устойчивые состояния равновесия, многообразия устойчивых состояний равновесия и предельные циклы. Хаотических и стохастических аттракторов в системе не обнаружено. Особенностью данной задачи является то, что аттракторы одного и того же типа дополнительно различаются и по их расположению в фазовом пространстве в том случае, если они отвечают разным исходам заболевания. Например,

наличие устойчивого состояния равновесия

* * * *,

(х , у , г , w ) может свидетельствовать о совершенно разных исходах заболевания в зависимости от конкретных предельных значений фазовых переменных:

- х = 0, у > 0, г Ф 0, w > 0 означает выздоровление с полным уничтожением инфекции;

-х = х0, у > 0, г Ф 0, w > 0 соответствует выздоровлению, с сохранением численности инфекции на уровне порога чувствительности организма к инфекции (бациллоносительство);

* ^ ^ ^ ^ * /л

- х > х0, у ф 0, г Ф 0, w Ф 0 отвечает

хроническому заболеванию;

* * г\ * п * п

- х > х0, у = 0, г = 0, w = 0 означает

летальный исход от интоксикации;

- х* = 0, у = 0, г = 0, w = 0 - летальный исход в связи с полным истощением организма.

То же самое можно сказать и о многообразиях устойчивых состояний равновесия. Отметим, что наиболее часто встречаются многообразия вида

(х*=0,у е [ у;П1 ,утах],г е [г;П1 ,гтах], ^=0), (х*=°

Г* * 1 * /Л * /Л \

у е [утт , утах ], г Ф 0, = 0Х (х = 0, у е

е [ ут^ ymax], г*=o, w*=0). Первые два из

них отвечают выздоровлению с полным подавлением инфекции, когда конечное состояние организма зависит от его начального состояния, а последнее многообразие означает летальный исход вследствие истощения организма, причем все эти многообразия являются линейными. Среди предельных циклов следует особо выделить циклы с изменением по х в некоторой окрестности порогового значения х0

(х0 -Д1 < х < х0 +Д2), что соответствует рецидивирующему заболеванию.

С учетом отмеченных особенностей выделения аттракторов в состав всех фазовых портретов входят в общей сложности 19 аттракторов. Построенные фазовые портреты включают в себя от 1 до 6 аттракторов: 6 портретов с одним аттрактором, 22 - с двумя, 32 - с тремя, 21 имеют по 4 аттрактора, 4 - по 5 и лишь 2 портрета имеют по 6 аттракторов. Конкретизируя сказанное, приведем примеры полученных фазовых портретов и их представление в параметрическом портрете динамической системы.

2.1.3. Примеры огрубленных фазовых портретов

Для представления огрубленных фазовых портретов модели иммунного ответа организма на вторжение инфекции выберем фазовые портреты с достаточно большим числом аттракторов, которых не наблюдалось в упрощенной модели, описанной в [2], а именно: фазовые портреты с 3 и 4 аттракторами. С целью облег-

чения визуального анализа данных и для простоты изложения при описании областей фазового пространства (области притяжения аттракторов) или пространства параметров (область существования фазового портрета) параллелепипедами, полученными путем построения син-дромальных решающих правил, мы ограничимся лишь одним наиболее представительным синдромом.

Примером огрубленного фазового портрета с 3 аттракторами является портрет с многообразием устойчивых состояний равновесия типа (x* = 0,y e[y*- ,y* ],z e[z*. ,z ],w* = 0) и дву-

v > J vj mm ’ у L mm ’ max J ’ ' ^ J

мя устойчивыми состояниями равновесия вида (x* Ф 0, y* Ф 0, z* Ф 0, w* Ф 0). Для состояния организма, характеризуемого значениями параметров А, = 0.25, a = 1.0, а = 1.0, е = 0.01, b = 6.0, т = 1.0, B = 1.0, z0 = 1.0, Р = 0.1,

x0 = 1.0, с = 1.0, у = 1.0, d = 0.05, е = 0.01,

фазовый портрет указывает на три возможных исхода заболевания:

- многообразие устойчивых состояний равновесия (x* = 0; 0.539 < y < 16.322; 0.174 < z <

< 0.963; w* = 0) соответствует выздоровлению с полным подавлением инфекции, причем конечное состояние организма определяется его начальным состоянием;

- состояние равновесия (x* и 3.985;y* и 1.049; z* и 0.688; w* и 5.031) отвечает хроническому заболеванию;

- состояние равновесия (x* и 22252;y* и 0.638;

z* и 0.026; w* и 3.663), когда z очень мало, а

x велико, означает тяжелую форму хронического заболевания с большой угрозой для жизни.

С заданной степенью статистической досто-

верности p0 = 0.99 можно указать области фазового пространства, для которых имеют место приведенные выше исходы заболевания (части областей притяжения аттракторов):

- выздоровление достоверно наблюдается при

0 < х < 0.521, 2.901 <у <8.777, 0.536 < 7 <

< 0.901, 0 < w < 1.273;

- хроническое заболевание - при 0.988<х<6.800,0 <у <3.918, 0.506<7<0.990,

0 < w < 8.840 ;

- угроза жизни существует при численности инфекции 5.989 < х < 22.258 и начальном состоянии организма 0.04 < у < 9.850,

0 < г < 0.462, 0.180 <w < 11.655.

Как конечный результат исследования, на основе полученных данных на рис. 1 этот фазовый портрет представлен в проекции на плоскость хг. Отрезки фазовых траекторий, стремящихся к трем разным аттракторам, изображены линиями с различными символами (треугольниками отмечены траектории, принадлежащие линейному многообразию, а звездочками и окружностями - траектории, стремящиеся к двум устойчивым состояниям равновесия).

Со статистической достоверностью р0 = 0.99 аналогичный фазовый портрет наблюдается и в области параметров: 0.333 <^< 0.351, 1.061 < а < 1.132,

0.917 <а< 1.080, 0.008 <е< 0.010,

5.755 <Ь <6.267, 0.901 <т<0.953,

1.162 < гп < 1.208,

0.923 < хп < 1.016.

1.047<В < 1.117,

0.089 <р< 0.094,

0.917 < с < 1.006, 0.861 < у < 1.025,

0.045 < d < 0.047, 0.011 < е < 0.012.

Другой пример огрубленного фазового портрета - портрет с четырьмя аттракторами: линей-

Рис. 1. Фазовый портрет с 3 аттракторами в проекции на плоскость xz

ные многообразия устойчивых состояний равновесия виДа (X* = ° У е [у;т, у^, 7 е ^ 2^ ,

м* = ^ (х* =o, уе[ у;^ у^д2*=0, м*=0) и

(хеХтп,х^],у* = 0,2* = 0,м" = 0), а также устойчивый предельный цикл. Для состояния организма, характеризуемого значениями параметров Х = 0.2, а = 1.0, а = 1.0, в = 0.001, Ь = 4.0, т = 1.0, В = 1.0, 20 = 1.0, р = 0.1,

х0 = 1.0, с = 1.0, у = 1.0, d = 0.5, е = 0.01, фазовый портрет указывает на четыре возможных исхода заболевания:

- выздоровление с полным подавлением ин-

фекции (многообразие устойчивых состояний равновесия с изменением по переменным X* = 0, 0.279 < у < 17.807, 0.0996 < 2 < 0.976,

м* = 0);

- рецидивирующее заболевание (предельный цикл с изменением по переменным 0.957 < х < 1.117, 0.192 < у < 0.565, 0.931 < 2 <

< 0.946, 0.214 < w < 1.162);

- летальный исход вследствие полного истощения организма (многообразие устойчивых состояний равновесия с изменением по переменным X* = 0, 20.227 < у < 579.395, / = 0, м* = 0);

- смерть от интоксикации (многообразие устойчивых состояний равновесия с изменением по переменным 199.980 < х < 200.0, у* = 0,

2* = 0, м>* = 0).

Этот фазовый портрет в проекции на плоскость х2 представлен на рис. 2 (с логарифмиче-

ским масштабом по оси х). Треугольниками отмечены траектории, характеризующие процесс полного выздоровления, окружностями - траектории, соответствующие переходу к рецидивирующему заболеванию, а квадратами и звездочками отмечены траектории, характеризующие течение заболеваний с летальным исходом (квадраты - смерть от истощения, звездочки -смерть от интоксикации).

Со статистической достоверностью р0 = 0.99 аналогичный фазовый портрет наблюдается в области параметров: 0.1814 < X < 0.2321, 1.0196 < а < 1.1244,

0.9476 < а < 1.0762, 0.0006 < в < 0.0023 ,

3.1998 < Ь < 4.0140, 1.0095 < т < 1.1026,

1.0241 < 2„ < 1.1194,

0.9108 < х < 1.0906,

0.9570 < В < 1.1149,

0.0669 <р< 0.1774,

0.9632 < с < 1.0540, 0.9392 < у < 1.1166,

0.3644 < d < 0.5224 , 0.0137 < е < 0.0251.

2.1.4. О перспективах использования математической модели

Самое главное в результатах такого исследования - это возможности прогнозирования и выбора методов профилактики и лечения заболеваний. В идеале при автоматизации исследования процесс лечения может быть реализован путем управления этой динамической системой с целью возвращения в состояние здоровья и его поддержание.

2.2. Модель экологической системы, состоящей из двух пар «хищник-жертва»

Эта модель описывает взаимодействие видов, при котором животные (хищники) поддерживают свое существование, поедая растения

(жертвы), а растения, в свою очередь, потребляют в процессе жизнедеятельности какое-то вещество, запасы которого ограничены. Расход этого вещества компенсируется за счет распада и животных, и растений после их гибели. Уравнения модели содержат 4 переменных и 13 параметров:

х х2 , „ х х0 х1 = —В1 х1 - ум 1 2 + рм \ 0 ,

1 + ах1 1 + Ьх0

х, х2

х2 = —в 2 х2 + у 2 —

1 + ах1

Хз х4 Хз х0

Х3 =-Єз Хз-Y3T^^ + Р 30

1 + ax3 1 + bx0 ’

.Х4 =-s 4 Х4 + y 4

1 + ax,

где si - коэффициенты смертности, у; - коэффициенты потребления, Р; - коэффициент^! фотосинтеза, а и b - коэффициенты насыщения, x0 - количество биогенного элемента, x1 и x3 - содержание биогена в жертвах, x2 и x4 -содержание биогена в хищниках, при этом

Z4

x. = M = Const. Полное описание модели

i=0 ‘

можно найти в работе [3].

Модель исследовалась лишь для случаев, когда изменялись 2 параметра, а остальные 11 были фиксированы. Классическое исследование этой модели как динамической системы путем построения фазовых и параметрического портретов в зависимости от всех 13 ее параметров проведено впервые.

Эта модель интересна разнообразием движений в фазовом пространстве системы. Среди аттракторов системы встречаются и состояния равновесия типа «узел» и «фокус», и многообразия устойчивых состояний равновесия, и устойчивые периодические движения, и разнообразные хаотические аттракторы. С учетом локализации аттракторов в фазовом пространстве в системе обнаружен 71 аттрактор, входящий в состав 271 фазового портрета. Фазовые портреты различаются числом входящих в них аттракторов: 49 фазовых портретов включают по одному аттрактору, 72 - по 2, 59 - по 3, 42 - по 4, 16 - по 5, 13 - по 6, 6 - по 7, 10 - по 8, 2 - по 9,

1 - по 10, 1 - по 12. Из 71 аттрактора только 14 отвечают сосуществованию полного набора растений и животных экологической среды. Из таких аттракторов состоят лишь 40 (из 271) фазовых портретов.

2.3. Математическая модель сообщества «производители-упр авленцы-пр одукт»

В работе [2] представлена простая математическая модель сообщества «производители-

управленцы-продукт». Упрощенный вариант этой модели был исследован аналитически, частично подтвержден, а частично дополнен небольшим численным исследованием, возможности которого оказались весьма ограничены для системы с 15 параметрами. Но даже те неполные результаты, что были при этом получены, оказались весьма любопытными, были проанализированы историком, подтверждены фактами из истории развития мирового сообщества и вызвали заинтересованный отклик читателей. Эти результаты оказались особенно актуальны в наше время, когда мир переживает очередной экономический кризис, существование которых предсказывает и рассматриваемая модель. И в силу нового интереса к этой теме, и в силу появившихся новых возможностей численного исследования многомерных динамических систем с большим числом параметров мы решили вернуться к этой модели, но уже в ее полном исходном варианте.

2.3.1. Краткое представление модели Исследуется модель изолированного сообщества «производители (те, кто непосредственно производят продукт) - управленцы (продукт не производят, но способствуют его производству)

- продукт (все, что нужно для жизни человека, что он потребляет и чем он пользуется)». Величины х, у, г — это численность производителей, управленцев и количество накопленного сообществом продукта. Взаимодействие между ними описывается (в весьма грубом приближении) следующей простой моделью в виде системы трех дифференциальных уравнений: х = (а - Ьх - 1у + сг)х,

У = (-d - тх - еу + 7у,

„ 1 + є1 у цх

г = g----1--------пх - ку, если г > 0

1 + є 2 у 1 + Sz

rnnz = 0 & F > 0

0, если г = 0 & F < 0.

Эта модель отражает факт объединения конкурирующих людей в общество для более эффективного производства, необходимого для жизни продукта. Модель содержит 15 параметров, отражающих

- уровень развития технологии g;

- уровень управления производством в1, в 2;

- характеристики ц, 8 , учитывающие увеличение трудности производства с ростом его объема и амортизации;

- перераспределение произведенного продукта между производителями и управленцами

с, /, К, к ;

- конкуренцию внутри каждой из групп а,Ь и

<е;

- давление одной группы на другую 1,т.

Х3 Х4

Подробное описание модели можно найти в работе [2]. Качественное исследование модели как динамической системы сводится к изучению установившихся движений, фазовых портретов системы и зависимости их от параметров.

2.3.2. Классическое исследование модели путем построения фазового и параметрического портретов

При численном исследовании динамических систем путем построения фазовых и параметрического портретов с использованием методов распознавания образов конкретное содержание исследуемой модели учитывается лишь при анализе аттракторов и области их локализации в фазовом пространстве системы. Приведем результаты такого исследования (с вероятностью р0 > 0.99) для представленной выше модели.

Аттракторы системы. Аттракторы, или установившиеся движения в фазовом пространстве системы при заданных значениях параметров, соответствуют возможным устойчивым сообществам. Среди аттракторов системы - состояния равновесия (стабильные сообщества) и периодические движения (нестабильные сообщества). Обнаружено всего три вида возможных устойчивых состояний равновесия типа (х*, у*, z ): O(х* ^ 0, у* ^ 0, z* ^ 0) - устойчивое сообщество «производители-управленцы-продукт», Оу (х* ^ 0, у* = 0, z* ^ 0) - устойчивое сообщество «производители-продукт» и Oyz (х* ^ 0, у* = 0, z* = 0) - устойчивое сообщество «производители». Устойчивые периодические движения, когда все три переменные периодически изменяются в интервале значений х < х < х у < у < у z ■ < z < z

mrn max ? S min S S ma^ min max ?

представлены чуть шире, но чаще всего встречаются тоже три типа циклов:

Г( хшт > 0, У min > 0 zmin > 0) , Гг (хтт > 0, Ушт > 0,

zmin = 0) и ryz ( хш1п > 0 У min = 0, zmin = 0) . Моменты достижения переменными нулевых значений рассматриваются как кризисные явления. В этой модели нет ни хаотических движений, ни многообразий устойчивых состояний равновесия.

Фазовые портреты системы. Огрубленные фазовые портреты динамической системы дают представление о том, какие устойчивые сообщества могут существовать в обществе, характеризуемом определенным набором параметров. Если таких устойчивых сообществ несколько, каждое из них имеет в фазовом пространстве свою область притяжения в виде начальных условий для траекторий, принадлежащих каждому из аттракторов, образующих фазовый портрет. Проведенные исследования по-

казали, что в системе могут существовать фазовые портреты с одним аттрактором, это три вида состояний равновесия Оу2, Оу, О и все возможные циклы, а также портреты с двумя аттракторами: Оу2 & О, Оу2 & Г, Оу&О , Оу& Г, О&Г.

Отметим, что переход от сообществ Оу2 к Оу и от Оу к О или Г всегда сопровождается увеличением доли произведенного продукта на

одного члена общества

z

* *

поэтому появ-

х + у

ление сообщества «производители-управленцы-продукт» (стабильного или нестабильного) можно рассматривать как прогрессивное явление.

Для установившихся движений модели был построен параметрический портрет, а в наиболее интересных случаях проведено уточнение параметрического портрета путем построения бифуркационного портрета для заданного аттрактора и выбранного сечения относительно небольшой размерности в пространстве параметров. При поиске бифуркационных значений (линий, поверхностей) обучающая выборка формировалась на основе равного представительства разделяемых образов в виде «почти граничных» значений параметров, когда в ходе эксперимента по каждому из выбранных направлений параметры изменялись до появления значений, отвечающих другому распознаваемому образу.

2.3.3. Исследование проблемы эволюции человеческого общества методами распознавания образов

Изучение зависимости аттракторов и фазовых портретов исследуемой модели от параметров - это исследование возможных путей эволюции сообщества при тех или иных условиях, описываемых параметрами. Круг вопросов, на которые можно получить ответы с помощью модели, весьма широк, в частности, нас заинтересовало такое направление исследований: о возможностях существования и путях развития глобально устойчивого бескризисного общества в условиях технического прогресса. В математических терминах эта задача звучит следующим образом: при каких значениях параметров существует фазовый портрет с единственным устойчивым состоянием равновесия типа (х , у , 2 ), координаты которого монотонно растут с увеличением параметра g. Стандартная процедура построения огрубленного параметрического портрета с поиском области в пространстве параметров, отвечающей фазовому портрету О , не давала ответа на поставлен-

*

ные вопросы, поэтому дальнейшее исследование велось путем постановки и решения нестандартных, но интересующих нас проблем.

Ответы на поставленные вопросы были получены путем последовательного решения следующих задач распознавания:

1. Распознавание фазовых портретов с глобально устойчивыми сообществами типа «производители» и «производители-продукт» (дискриминантный анализ фазовых портретов Оу2 и

Оу от всех остальных).

2. Распознавание фазовых портретов, содержащих только устойчивые сообщества типа «производители-управленцы-продукт» (дискриминантный анализ фазовых портретов (Оуг V Оу) & (О V Г) от фазовых портретов

О& Г, О, Г, Гг, Гуг,...).

3. Распознавание фазовых портретов, которые в условиях технического прогресса (рост параметра g) становятся и остаются глобально устойчивыми стабильными сообществами типа «производители-управленцы-продукт» (дискриминантный анализ фазовых портретов ФОГ, содержащих аттракторы О или Г , для которых Нтфог (g) = О).

g

Таким образом, задача отыскания условий существования и стабильного развития сообщества «производители-управленцы-продукт» в условиях технического прогресса свелась к построению иерархического решающего правила распознавания такого сообщества в параметрическом пространстве математической модели. В основу решающего правила положены разделяющие бифуркационные поверхности, каждая из которых строилась на базе выбранных информативных признаков путем отыскания аппроксимирующих полиномов с использованием универсальной рекуррентной формы метода наименьших квадратов [4].

Описание иерархического решающего правила. Условие Ь/ — ст > 0 является необходимым для существования устойчивого сообщества «производители-управленцы-про-дукт». При выполнении этого условия такое сообщество может появиться при любом уровне развития технологии. Но при низком уровне g, когда g < К , это сообщество существует только в составе фазового портрета Оуг& (О V Г). При среднем уровне развития

рета О & (О V Г). В обоих случаях обязательно

7 ^ П

технологии п < g < — Ц

(

1 + 8

ат + Ьё

\

такое со-

bf - ст

общество существует в составе фазового порт-

єі і ^ п

— > 1. При g > —

1+8

ат + Ьё bf - ст

\

независимо

от значения — в фазовом пространстве систе-

в2

мы существуют только устойчивые сообщества типа «производители-управленцы-продукт» в виде фазовых портретов О & Г,О,Г,Г2, Гу2,.... С ростом g условие существования глобально устойчивого стабильного сообщества типа О выражается неравенством I/ — се < 0.

Итак, согласно построенному иерархическому решающему правилу одновременное выполнение условий Ь/ — ст > 0 и I/ — се < 0, кото-

I с Ь

рые можно записать в виде — < — < — , а также

е / т

* п

условия g > g > —

ц

(

1+8

ат + Ьё

\

является не-

Ь/ — ст

обходимым и достаточным для существования и стабильного развития изолированного сообщества «производители-управленцы-продукт».

*

Причиной появления g в последнем неравенстве является возможность возникновения нестабильности (периодического движения) при увеличении параметра к, которая исчезает с ростом g. И чем больше увеличивается к, тем больший прирост g необходим для возвращения общества в стабильное состояние. Заметим, что при выполнении неравенства I/ — се > 0 нестабильное сообщество нельзя таким путем перевести в стабильное состояние: ни технический прогресс, ни рост эффективности управления производством не приводят к бескризисному развитию общества. Только изменение параметров, характеризующих распределение произведенного продукта и уровень развития самого общества (конкуренция и взаимодействие между группами), может привести к стабильному развитию в условиях технического прогресса.

Еще раз подчеркнем, что изложенные выше результаты исследования относятся к изолированному обществу и не учитывают особенностей взаимодействия различных сообществ. Но и такие результаты дают повод к размышлениям.

2.4. Замечания к результатам исследования математических моделей

Говоря о возможностях исследования математических моделей методами распознавания образов, мы оставляем в стороне вопрос об адекватности исследуемых моделей (это дело специалистов из соответствующих областей знаний). Хотя следует заметить, что наши исследо-

ц

2

вания дают дополнительный материал для оценки значимости модели. Но приведенные выше результаты, с нашей точки зрения, подтверждают широкие возможности применения методов распознавания в исследовании математических моделей, особенно моделей с большим числом параметров, - проблемы актуальной, но в общем случае практически нерешаемой.

2. О возможностях статистического описания экспоненциально неустойчивых движений

При качественном исследовании динамических систем наряду с основной задачей - выявлением всех видов установившихся движений и возможных бифуркаций в системе - представляет интерес изучение и самих установившихся движений, в особенности - хаотических аттракторов. Наиболее известными методами исследования хаотических движений являются метод точечных отображений, вычисление показателей Ляпунова, определение размерности и энтропии стохастического аттрактора, а также количественное описание движений с помощью таких статистических характеристик, как распределение вероятностей, корреляционная функция, спектральная плотность. Причем такие исследования для систем большой размерности представляют собой весьма непростую задачу.

Огрубленное исследование конкретных многомерных и многопараметрических динамических систем методами распознавания образов дает возможность распознать хаотические движения, выделить хаотические аттракторы и описать их расположение в фазовом пространстве с помощью набора параллелепипедов, сфер или эллипсоидов, а также отыскать и хотя бы частично с заданной степенью статистической достоверности описать области притяжения выделенных странных аттракторов. Подчеркнем, что распознавание странных аттракторов и дискриминантный анализ по отношению к другим видам установившихся движений (устойчивые состояния равновесия и периодические движения) проводится на основе признаков глобального сжатия и локальной устойчивости (состояния равновесия, циклы) или неустойчивости (хаос) для временных интервалов, ограниченных некоторой величиной Тпах, т е. речь идет о распознавании типов установившихся движений в пределах введенных для исследуемой системы понятий малых и больших пространственно-временных величин. Выделение и описание областей хаотических движений - это именно тот результат, который является основой для дальнейшего изучения хаотических

движений в каждом из аттракторов и их эволюции с изменением параметров системы. При этом следует отметить, что все последующие выводы основываются на данных вычислительных экспериментов в предположении, что вычислительный эксперимент по изучению поведения хаотических и стохастических траекторий достаточно адекватно отражает особенности реального эксперимента.

3.1. Моделирование хаотических движений с помощью однородной марковской цепи

Выделенную область хаотического аттрактора Н всегда можно покрыть множеством сфер Sk, к = 1,2,...,N, одного радиуса так, что

UN

^к . Выбираем радиус, а тем самым и

количество сфер N так, чтобы при минимальном N с заданной статистической достоверностью р0 все точки из Sk принадлежали либо выделенному аттрактору, либо его области притяжения. Построенные сферы позволяют смоделировать хаотическое движение в изучаемом аттракторе в виде однородной цепи Маркова с конечным числом состояний А„ А2,..., AN:

Л

А = -1, А = -V [У (- п ^)

к = 2,3,...,N.

Главная характеристика марковской цепи -стохастическая матрица Р вероятностей перехода ру из состояния Аі в состояние Ау за

один шаг. Такую матрицу, аппроксимирующую результаты численного эксперимента, легко построить для исследуемого аттрактора. По этой матрице можно судить о существовании предельных переходных вероятностей, а тем самым и предельных абсолютных вероятностей нахождения системы в каждом из N состояний после п шагов, когда п ^ да , а также найти эти предельные вероятности и оценить скорость сходимости [5,6]. Если стационарные вероятности пребывания в каждом из N состояний существуют, то эта важная характеристика странного аттрактора позволяет еще и проанализировать степень его неоднородности.

Дополнительные данные о хаотическом аттракторе можно получить путем отыскания таких статистических характеристик марковской цепи, как среднее (и, соответственно, дисперсия) время возвращения в состояние Аі,

і = 1,2,...,N, среднее время обхода всех состояний и др. Все эти характеристики поддаются качественной интерпретации исходя из конкретного содержания исследуемой системы и могут

і=1

Рис. 3. Примеры характеристик «разбегания» локально неустойчивых траекторий

быть интересны не только для математиков, но и для специалистов в конкретной области знаний.

3.2. Исследование хаотических движений с помощью одномерных временных рядов

В результате исследований была установлена возможность изучения движений в фазовом пространстве системы с помощью описания фазовых траекторий х^) - многомерных временных рядов

X = {х1 = х(^ + Ш) /1 = 0,1,..., N}, где х1 = (х1, х2,..., х'п) (п - размерность фазового пространства системы, N - длина временного ряда) - одномерными временными рядами

Y = {уі/і = 1,2,..., N}, у,. =

Е(*Т - х)

)=1

представляющими собой изменение со временем расстояний между соседними точками исходного временного ряда. Именно такое описание позволило решить задачу распознавания типа фазовых траекторий, а тем самым и выделения хаотических и стохастических аттракторов. Рассматривая временной ряд У как реализацию случайного процесса, можно построить его количественные характеристики. Исследо-

вание показало, что информативными являются такие классические описания временных рядов, как авторегрессионная модель и функции взаимного спектра и взаимной корреляции для одномерных временных рядов, соответствующих исходной x(t, t , х ) и возмущенной х(^ t , х + о)

. * * .

траекториям, где ^ , х ) и, соответственно, ^ , х + 5) - начальные условия.

Интересные результаты дали и нетрадиционные, специфические для нашей проблемы, методы анализа одномерных временных рядов, а именно: исследование локальной устойчивости движений в фазовом пространстве. Такое исследование проводится на основе изучения временных рядов Y1 и Y2, отвечающих, соответственно, траекториям х1^) = х(^ t , х ) и х2^) = х^, {, х* + 5). Если посмотреть на ряды Y1 и Y2 как на дискретную реализацию параметрически заданной функции Y2(Y1), то для устойчивого периодического движения эта функция - отрезок биссектрисы в первом квадранте координатной плоскости, а для хаотических движений - кривая, отклоняющаяся от биссектрисы в процессе движения на угол

- % - а - ^4 . Для иллюстрации на рис. 3

приведены такие функции для некоторых хаотических движений конкретных динамических систем.

«Разбегание» двух траекторий с близкими начальными условиями можно, в частности, описать однородной цепью Маркова с конечным числом 5 состояний, определяемых разбиением первого квадранта плоскости Y1-Y2 на 5=2к-1 равных углов, где к-й угол содержит биссектрису. Изучение процесса «разбегания» может быть проведено совершенно аналогично описанному в разделе 3.1, начиная с построения матрицы вероятностей перехода из одного состояния в другое за один шаг и дальнейшего ее исследования.

Заключение

Цель данной работы - не столько продемонстрировать то, что мы уже умеем делать, сколько указать на широкие возможности применения методов распознавания образов в решении прикладных задач. Новый подход к численному исследованию динамических систем развивается,

и, надеемся, у него есть будущее, особенно при условии практической реализации метода огрубленного статистического исследования в виде автоматизированной системы. Только на базе

такого исследования возможно глубокое изучение математических моделей с извлечением новых знаний об изучаемых событиях, процессах, явлениях.

Эта большая статья - дань нашей памяти, благодарности, уважения Неймарку Юрию Исааковичу, замечательному Учителю, великому Ученому, необыкновенному Человеку, сочетавшему в себе глубокие знания и потрясающую интуицию со смелостью и широтой мышления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №08-01-00248, №11-01-00379).

Список литературы

1. Неймарк Ю.И., Котельников И.В., Теклина Л.Г. Огрубленное статистическое исследование прикладных динамических систем методами распознавания образов (часть I) // Вестник ННГУ. 2012. № 5(2). (В печати)

2. Неймарк Ю.И. Математические модели в естествознании и технике. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2004.

3. Alekseev V.V., Komilovsky A.N. Ecosystems Stochasticity Model // Ecological Modelling. 1985. V. 28. P. 217-229.

4. Неймарк Ю.И., Теклина Л.Г. Новые технологии применения метода наименьших квадратов. Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2003.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

6. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

COARSENED STATISTICAL STUDY OF APPLIED DYNAMICAL SYSTEMS USING PATTERN

RECOGNITION METHODS (PART II)

\Yu.I. Neimark, I. V. Kotel’nikov, L. G. Teklina

The possibilities of using pattern recognition methods (PRMs) to study mathematical models with a large number of parameters are discussed. In addition to the coarsened statistical study of the dynamical systems by constructing phase and parametric portraits, the possibilities are considered of using PRMs to study the problems arising from the specific content of the model. PRM possibilities in the study of dynamical systems are illustrated by the example of three mathematical models.

Keywords: dynamical systems, numerical methods, pattern recognition method (PRM).