Однозначная разрешимость нелокальной задачи для осесимметрического уравнения Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ГЕЛЬМГОЛЬЦА

© 2011 А.А. Абашкин1

Для вырождающегося эллиптического уравнения в полуполосе исследована нелокальная задача, краевые условия которой существенно зависят от изменения коэффициента уравнения при младшей производной. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.

Ключевые слова: нелокальная задача, уравнение Бесселя, базис Рисса, равномерная сходимость ряда.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

2р

Ьи = пхх + иуу + —иу - Ь2 и = 0 (1.1)

в полуполосе Б = {(х,у) | 0 < х < 1, у > 0}. Для уравнения (1.1) поставим следующую задачу.

Задача. Найти в области Б функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (1.1) и условиям

и(х,у) е С1(Б и{х = 0,у> 0}) П С2(Б);

i(0,y)= u(1,y), Ux(0, y) = 0, lim u(x,y) = 0,

lim y-1uy (x,y) = v(x), 2p < —1,

lim (V1 Uy(X,y)) = v(x), 2p = —1, y-o+ ^ ln(y) ) K h 1 '

lim y2puy(x,y) = v(x), 2p > —1.

1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

1.6)

Заметим, что в работе Е.И. Моисеева [1] для уравнения (1.1) исследована аналогичная задача, но условия (1.4)—(1.6) имеют другой вид.

1Абашкин Антон Александрович (samcocaa@rambler.ru), кафедра высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

Отметим также, что подобные задачи, но для уравнения

утихх + иуу — Ъ2ути = 0, Ъ > 0, т > 0

рассматривались в публикациях [1—3].

Настоящая работа выполнена в русле отмеченной тематики.

2. Единственность решения

Теорема 1. Если решение задачи для уравнения (1.1) с условиями (1.2)—(1.4); (1.2),(1.3),(1.5); (1.2),(1.3),(1.6) существует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть и(х, у) — решение какой-либо из этих задач. Рассмотрим функции

1 1

Му)=41и(х,у)^пх^ и0(у)=2!и(х,у)(1 -х)*х

о о

1

(у) = 4 J и(х,у)(1 — х) сов 2ппхйх.

1

иг,\У) = 4 У и

о

Так как и(х,у) удовлетворяет уравнению (1.1), то 1

/2р

(uxx + uyy +--uy — bu) sin 2nnxdx = 0. (2-1)

0

1

Рассмотрим интеграл 4 f uxx sin 2nnxdx, который дважды проинтегрируем по

0

частям, учитывая условия (1.3):

1 1

4 j uxx sin2nnxdx = —4(2 nn)2 j u sin2nnxdx = — (2nn)2vn. (2-2)

00

Из (2.1), (2.2) и определения функции уп(у) следует, что:

Уи(у)" + ~Уп(у)> — ((2пп)2 + Ъ2К(у) = 0. (2.3)

у

Из (1.4), (1.5) и (1.6) получаются условия на уп(у):

1

(х

о

1

lim y2pvn(y)' =4 v(x) sin 2nnxdx, 2p > — 1, (2-4)

J

0

1

lim y-1vn(y)' = 4 v(x) sin 2nnxdx, 2p < — 1, (2-5)

y^°+ J

0

1

lim ( y-| =4 í v (x) sin 2nnxdx, 2p = — 1. (2-6)

y^°+ V ln(y) JJ

Из (1.3) также следует, что

lim vn(y) = 0. (2.7)

yi<x

Проведем замену: Уп(у) = у р+ 2 Ш(Ь1у), где Ь\ = ^(2пп)2 + Ь2. Тогда для Ш уравнение (2.3) приобретет следующий вид:

1 (Р- 1 )2 Ш(Ь1у)" +— Ш(Ь1у)' — (1+^,2 2 )Ш(Ь\у) = 0.

Ь1у Ь1у

После замены переменной г = Ь1у и переобозначения р1 = р — 2 это уравнение принимает вид

1 р 2

Ш (г)'' + - Ш (г)' — (1 + р1 )Ш (г) = 0.

г г2

Это модифицированное уравнение Бесселя [4, с. 13], как известно [5, с. 245], общее решение этого уравнения имеет вид:

Ш (г) = С1/Р1 (г) + С2 КР1 (г), где 1и(г) и Ки(г) — модифицированные функции Бесселя. Из этого следует, что Уп (у) = С\у-Р11р1 (Ь1у) + С\у-Р1 Кр1 (Ь1у). (2.8)

Поскольку (г) имеет на бесконечности порядок ^, то, учитывая (2.7), необходимо потребовать, чтобы С1 = 0. Так как при г ^ 0 [5, с. 246]

V ( ) Г(|^|) /о ОА

К(г) ~ ¥-ЙХЙ, (2.9)

то, учитывая формулу [4, с. 91]

[у-К„ ]' = у-Ки+1 (2.10)

и

v,

(y)' = Cb y-pi Kpi + l(bly), (2.11)

nW - Up!

найдем ylim+ y2pvn(y)' = C261 ^l+li.

При 2p > — 1 условие (2.4) нам дает представление для C2:

1

2-pi bpi ¡' C2 = ^-Лг 4 v(x) sin 2nnxdx.

Г(Р1 + 1) J

o

А тогда формулу (2.8) перепишем в виде

1

2-pi+2i,Pl }

vn(y) = r(pi + 1) J v (x)sin2nnxdxy pi Kpi (biy). (2.12)

o

При 2p < —1, учитывая (2.9) и (2.11), найдем

lim y-1vn(y)' = C2bi lim y-pi-1Kp1+i(biy) = C2bpi+22-pi-2r(—pi — 1).

yi0+ yi0+

Согласно условию (2.5), имеем следующее:

о i

2pi+2b-pi-2 г C2 = —;-1-— v (x)sin2nnxdx,

2 Г(— pi — 1) J K } '

0

о 1

2Р1+25-Р1-2 /■

vn(y) = ^-t-1—тг v(x) sin2nnxdxy-piKPi (biy). (2.13)

r(-P1 - 1) J

0

При 2p = -1, учитывая, что при z ^ 0 [5, с. 246]

Ko(z) ~ ln(-) (2.14)

z

и опираясь на формулу (2.11), получим

y-1vn(y)'\ _ „ , f y-íyKo(biy)\_ .. ln ъЦ - lnУ

li^ ^ = C2b1 lim -—, ^ = C2b1 lim \ —^- = -C2b1.

y^o+ \ ln(y) J y^o+ y ln(y) J y^o+ \ ln y I

1

На основании (2.6) будем иметь C2 = -4b-1/ v(x) sin2nnxdx, а vn(y) прини-

1o

мает вид

1

vn(y) = -4b-1J v(x)sin2nnxdxyK-1(b1y). (2.15)

o

Тем же методом, что и для vn(y), получаем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять uo(y):

uo(y)" + —uo(y)' - b2uo(y) = 0. (2.16) y

Из (1.4), (1.5) и (1.6) получаются условия на uo(y):

lim uo(y)=0, (2.17)

у^ж 1

y"ruo(y)' = 2 v(x)(l - x)

lim y2puo(y)' = 2 v(x)(1 - x)dx, 2p > -1, (2.18)

J

o

1

lim y-1uo(y)' = 2 v(x)(1 - x)dx, 2p < -1, (2.19)

J

о 1

у1^ ( =2 /ФК1 — х)^ 2Р = -1. (2.20)

о

После замены ио(у) = у-Р1 Ж(Ъу) уравнение (2.16) примет вид:

Ж (Ъу)" + - Ж (Ъу)' — (1 + ^ (Ъу) = 0. (2.21)

у Ъ2 у2

Если в качестве аргумента рассмотреть Ъу, то уравнение (2.21) — это модифицированное уравнение Бесселя [4, с. 13]. Его решение

Ж (Ъу) = С11Р1 (Ъу) + С2КР1 (Ъу).

Тогда

ио(у) = С1у-Р11р1 (Ъу) + С2 у-Р1 Кр1 (Ъу). Так как при г ^ ж 1и(г) имеет порядок ^, то необходимо положить С1 =0. Подобно, как для уп(у), найдем С2, используя условия (2.18)—(2.20).

При 2p > —1

1

2-pi bPi г C2 = —;--2 v (x)(1 — x)dx,

2 r(pi + 1) J У A > '

0

а uo(y) в этом случае имеет вид

1

2-Pi + 1bPi г

uo(y) = Г(р1 + 1) J v(x)(1 — x)dxy-piKpi (by). (2.22)

0

При 2p < —1

1

2Pi+2 b-Pi-2 j' C2 = -=r,-7^2 v(x)(1 — x)dx.

r(—p1 — 1) J

0

Для uo(y) в этом случае получаем следующее представление:

1

2Pi+3b-Pi-2 Г

uo(у) = Т?-n v(x)(1 — x)dxy-PiKpi (by). (2.23)

r(—p1 — 1) J

При 2p = —1

1

C2 = —2b-1J v(x)(1 — x)dx.

o

Функция uo(y) в этом случае принимает вид:

1

1

uo(y) = —2b-1J v(x)(1 — x)dxyK-1(by). (2.24)

o

Тем же методом, что и для vn(y), получаем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять un(y):

un(y)" + —un(y)' — ((2nn)2 + b2)un(y) = —Anuvn(y). (2.25) y

Из (1.4), (1.5) и (1.6) получаются следующие условия на un(y):

lim un(y)=0, (2.26)

y^ix

1

lim y2Pun(y)' = 4 v(x)(1 — x) cos 2nnxdx, 2p > —1, (2.27)

J

o

1

lim y-1un(y)' = 4 v(x)(1 — x)cos2nnxdx, 2p < —1, (2.28)

J

n

o

1 ^ 1

lim (y u"(y ) =4 f v(x)(1 — x)cos2nnxdx, 2p = —1. (2.29) y^o+ V ln{y) ) J

o

Уравнение (2.25) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение, его решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное уравнение совпадает с уравнением (2.3), его решение имеет вид (2.8).

Частное решение уравнения (2.25) будем искать в виде Су"К^(Ъ1у), где С, V и — параметры, подлежащие определению. Подставляя его в уравнение (2.25), получаем, что для того чтобы Су"К^(Ъ1у) было частным решением (2.25), необходимо, чтобы V = —р1 + 1, = р1 — 1 и, при 2р > —1

1

2-р1+2ъР1-1 г

С = —р-1пп---v(x) sin2пnxdx, (2.30)

Г(Р1 + 1) ]

о

при 2р < —1

при 2р = —1

о 1

2Р1+2ъ-Р1-3 г

С = р-1пп—--1-— V(х) sin2пnxdx, (2.31)

Г(—Р1 — 1) .]

о

1

С = р-1пп4Ъ-2 1 V(х) вш 2пnxdx. (2.32)

о

Таким образом, общее решение для (2.25) выглядит следующим образом:

ип(у) = С\у-Р11Р1 (Ъ1у)+ С\у-Р1 КР1 (Ъ1у) + Су-Р1 + 1КР1-1(Ъ1у), (2.33)

где С удовлетворяет (2.30), если 2р > —1; (2.31), если 2р < —1; (2.32), если 2р = = —1.

По рассуждениям, аналогичным приведенным для уп(у) и ио(у), необходимо положить С1 = 0.

Так же, как для уп(у), найдем С2, используя условия (2.27)—(2.29). В случае 2р > —1

1

2-Р1Ъ?1 [ С2 = —-г4 V(х)(1 — х) сов 2пнхс1х

Г(р1 + 1) ]

о

Тогда формула (2.33) принимает следующий вид:

1

2-Р1+2ЪР1

ГрТПУ

ип(у) = —-V I v(x)(1 — x)cos2пnxdxу Р1 КР1Ъу) —

о

1

2-Р1+2 ьи-1 г р-1пп---V(х) sin2пnxdxу-Рl+1КР1_ 1(Ъ1у).

Г(р1 + 1) ]

(2.34)

Г(р1 + 1)

В случае 2р < —1

С2 =

2Р1+3 ь-Р1-1

Г(—р1 — 1)

1

J V (х)(1 — x)cos2пnxdx+

2-Р1+3ЪР1

+р пп

о

1

2

Г(р1 + 1)

о

(—р1 ) / V(x)sin 2пnxdx,

а для ип(у) получается следующее представление:

1

2Р1+3Ъ-Р1-1 ?

ип(у) = [—-1-г- V(х)(1 — х) соб2ппх^,х+

Г(—р1 — 1) .]

2-Р1+ЛЩ1-2 [

+p nn---—pi) v(x)sin2nnxdx]y P1KP1 +

r(pi + 1) J

Г(Р1 + 1) 2P i+2b-p1-3

0

i

2P i+2 b-pi-3 Г _ +

+p nn-r(--—J v(x)sin2nnxdxy Pl Kp 1-1(b1y). (2.35)

Г(—Pi — 1)

0

При 2p = —1

i

i

C2 = —4b-ij v{x){1 — x)cos2nnxdx.

0

Формула (2.33) в таком случае имеет вид

i i „W = —4-j v — — n,,b-2J v

00

(2.36)

Из формул (2.12), (2.13), (2.15), (2.22), (2.23), (2.24), (2.34), (2.35), (2.3б) следует, что если v(x) = 0, то un(y) = 0 и vn(y) = 0, но тогда u(x,y) = 0, в силу полноты системы

{4sin2nnx}™=i, {2(1 — x)}, {4(1 — x) cos2nnx}™=i,

что завершает доказательство теоремы.

3. Существование решения

Теорема 2. Если v(x) G C[0,1], то решения задач (1.3), (1.4); (1.3), (1.5); (1.3), (1.6) для уравнения (1.1) существуют и представимы в виде суммы ряда

u(x, y) = uo + un cos 2nnx + vnx sin 2nnx (3.1)

n=i n=i

где при 2p > —1 uo, vn, un определяются соответствено формулами (2.12), (2.22), (2.34), при 2p < —1 uo, vn, un определяются формулами (2.13), (2.23), (2.35) и при 2p = —1 uo, vn, un определяются формулами (2.15), (2.24), (2.36). Доказательство. Поскольку системы функций

{4sin2nnx}™=i, {2(1 — x)}, {4(1 — x) cos2nnx}™=i,

{x sin2nnx}'^=i, {1}, {cos2nnx}'^=i (3.2)

образуют базис Рисса в L2 [6], то ряд (3.1) сходится для каждого y G L2(0,1). Если мы докажем его равномерную сходимость, то этот ряд будет являться разложением по базису Рисса (3.2) для своей суммы. Таким образом, в той области, где ряд (3.1) сходится равномерно, его сумма будет удовлетворять уравнению (1.1) и условиям (1.3).

Рассмотрим ряд из абсолютных значений коэффициентов при cos 2nnx, то есть из \un\ при y ^ S > 0. Из формул (2.34), (2.35), (2.36) следует, что в слагаемых,

входящих в un при любом p, присутствуют четыре типа множителей, зависящих i i от n: 1) bi, 2) J v(x)(1 — x) cos2nnxdx, 3) f v(x)sin2nnxdx и 4) Kv(biy). Рассмот-

o o

рим их при n ^ ж.

bi л. \J (2nn)2 + b2 2 lim — = lim -= 2п.

n—n n—n

Поэтому bi ~ 2nn при n ^ ж, а значит, b\ ~ (2nn)l и Kv(h\y) ~ Kv(2nny). При z ^ ж Kv (z) ~ , откуда следует, что

e-2nny

Kv(biy) ~ ^=== n ^ж. (3.3)

Осталось рассмотреть множители типа 2) и 3), а они будут убывать при n ^ ж как коэффициенты ряда Фурье.

Поскольку по формулам (2.34), (2.35), (2.36) все слагаемые в каждом un имеют множитель типа Kv(biy), который по формуле (3.3) убывает экспоненциально, а остальные множители, зависящие от n, как показано выше, имеют степенной

характер в бесконечности или убывают, то ряд \un\ сходится равномерно.

n=i

Аналогично доказывается равномерная сходимость ряда \vn\.

n=i

Из равномерной сходимости \un\ и \vn\ следует равномерная сходимость

n=i n=i

ряда (3.1) для y ^ 5 > 0.

Осталось доказать то, что сумма этого ряда удовлетворяет условию (1.4), если 2p > -1, (1.5), если 2p < -1, и (1.6), если 2p = -1. Для этого исследуем на равномерную сходимость ряд (3.1), почленно продифференцируемый по y, то есть ряд

u0 + un cos2nnx + vn x sin2nnx. (3.4)

n=i n=i

Его коэффициенты при 2p > -1

1 i

2-pi+2bPi + i r

v'„ = ^-^— I v(x) sin 2nnxdxy-P1 KPl + i(biy), (3.5)

r(pi + 1) i

j v(x)(1 — x) cos2nnxdxy-P1 KPl+i(biy)— (3.6)

2-P1+2 bPl+i

^лПТ

0

0 i

при 2p < —1

i

2Pi+2b-Pl-i f

b1

vn=

r(-pi - 1) J

0

v(x)sln2nnxdxy PlKPl+i(biy), (3.7)

i

2Pl+3 b-Pl

2Pl+3 b-Pl f

ui, = \—-- v(x)(1 — x) cos2nnxdx+

n T(-pi - 1) J

T(-pi - 1)

0

i

_i 2-Pl+3bPl-i

+p-i nn rp +i1) (-pi) J v(x)sln2nnxdx]y-Pl Kp1 + i+ (3.8)

r(p i + 1)

0

о i 2P1 +2b-Pl-2

+p Vn—--—1) I v(x) sln2nnxdxy Pl+iKPl (by)

u

при 2р = — 1

1

у'п = V(х)ът2ппхё,хуК0(Ъ1у), (3-9)

1

и'п = V (х)(1 — х) сов2ппхАхуКо — ппБЪ-1 J V (x)sin2пnxdxy2K-l(Ъly). (3-10) о о

Из формул (3.5)—( 3-10) следует, что коэффициенты при сов2ппх и х ^т2ппх у ряда (3-4) имеют такую же структуру, как и для ряда (3-1), то есть являются суммами, в которых все слагаемые имеют множители, зависящие от п, тех же четырех видов- И каждое слагаемое также имеет множитель вида К^(Ъ1у)-А значит, ряд (3-5) сходится равномерно по тем же соображениям, что и ряд (3-1)-Из равномерной сходимости следует, что его сумма является частной производной по у от суммы ряда (3-1)- Следовательно, сумма ряда (3-1) удовлетворяет условию (1-4), если 2р > —1, (1-5) если 2р < —1 и (1-6), если 2р = —1, что завершает доказательство теоремы-

1

Литература

[1] Моисеев Е-И- О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Диф-ференц- уравнения- 2001- Т- 37- № 11- С- 1565-1567-

[2] Валитов И-Р- Решение нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной научной конференции- Уфа: Гилем, 2003- Т- 1- С- 100-110-

[3] Сабитов К-Б-, Сидоренко О-Г- Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной научной конференции- Уфа: Гилем, 2003- Т- 1С- 213-219-

[4] Бейтмен Г-, Эрдейн А- Высшие трансцендентные функции- М-: Наука, 1973Т- 2- 296 с-

[5] Олвер Ф- Асимптотика и специальные функции- М-: Наука, 1990- 528 с-

[6] Моисеев Е-И- О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференц- уравнения- 1999- Т- 35- № 8- С- 1094-1100-

Поступила в редакцию 27/IV/2010;

в окончательном варианте — 20/ VI/2011-

ONE-VALUED SOLVABILITY OF A NONLOCAL PROBLEM FOR THE AXISYMMETRIC HELMHOLTZ

EQUATION

© 2011 A.A. Abashkin2

A nonlocal boundary value problem for degenerate elliptic equation is considered. Boundary value of this problem considerably depend on low derivative coefficient changes. Existence and uniqueness of a solution are proved.

Key words: non-local problem, Bessel equation, Riesz basis, uniform convergence of series.

Paper received 27/IV/2010. Paper accepted 20/ VI/2011.

2Abashkin Anton Alexandrovich (samcocaaarambler.ru), Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russian Federation.