ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И СЖАТИЯ В ПЛАСТИНАХ, ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПО КОНТУРУ УПРУГИМИ ТОНКОСТЕННЫМИ СТЕРЖНЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК539.3

ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И СЖАТИЯ В ПЛАСТИНАХ, ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПО КОНТУРУ УПРУГИМИ ТОНКОСТЕННЫМИ

СТЕРЖНЯМИ

Меликулов Нормат К.т.н., доцент СамГАСИ, (normat.meliqulov@,bk.ru)+998996265733

Кучк;оров Собиржон Каримжонович НамМКД Т.ф.ф.д PhD. qosobirjon@gmail.com +998941590032

Аннотация. В работе рассмотрена задача о сжато-изогнутой пластине, что края :: = ~ ■.'.. шарнирно уперты на жесткие опоры, а края у = :f упруго защемлены

с тонкостенными стержнями открытого профиля.

Annotation. In this article, free oscillation of the plate is considered when the sides of x = 0, a are hinged and other sides of y = ±b/2 are free. Free sides connected with thin, open profile rods.

Ключевые слова. Сжатая, Сжато - изогнутая, растянутая, пластина, упругое защемление, шарнирно-опертая, крутильные, изгибные, подкрепленных, неподкрепленных, края, жесткость.

Keywords. Compressed, Compressed-curved tension, plates, elastic pinching, hinged, torsional, bending, reinforced, unreinforced, edges, rigidity.

Рассмотрим задачу о сжато-изогнутой пластине, что края .

шарнирно оперты на жесткие опоры, 1 ъ а края у = ±- . жестко скреплены с

упругими тонкостенными стержнями открытого профиля (рис.1).

Рнс.1. Сжато-изогнутая пластина

Пусть нагрузка Их приложена к краям х = 0,а . Уравнение задачи при

этом имеет вид

DV^ + N/^^qfry) (1)

Решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

шарнирного опирания краев имеет известную форму

II * £ : 2™= СУ) яп = ™ (2)

Поперечную нагрузку q(x,y) представим в виде ряда Фурье по з1пЛпх

■ : V = Г=_:.; (3)

где коэффициенты этого ряда .; -у; = - I ' .;:. V у; -г.-'л \ у (4)

Подставляя (2) и (3) в (1) получим уравнение для определения функции

В дальнейшем, для простоты, примем q = сопя£, тогда из (4) получим

Решение уравнения (5) зависит от вида корней характеристического

I вариант. Пусть Nx < А\Ъ тогда все корни характеристического

уравнения, составленного для (5), будут вещественными, и поэтому

решение можно записать в форме

/„(у) = С^сЬапу + С2*капу + С3ск(1пу + С4*кРпу + /ч.р

_

где частное решение имеет вид

/ч.и

(6) (7)

В (6) обозначено

я.

= А,

71

II. вариант. Пусть теперь N2 > Я" О, тогда одна пара корней характеристического уравнения будет вещественной, а вторая - мнимой. В

этом случае решение уравнения (5) имеет вид

у:.у; = у - ^:■■:.-■ у - С: у - = - У:. (9)

Частное решение f4iV и параметр ап даются формулами (7), (8).

III вариант, когда, Nx — Ä~2D отдельно не рассматривается, ибо к нему

можно сколь угодно близко подойти из I, либо II вариантов.

Граничные условия упругого защемления и упругого опирания краев

I Ъ

v = + -:

Условия упругого защемления на краях у = + ^ :

(13)

где

1пР ИТТ

А = 1 (

* я-^-к-а- {

еЬкп-!

йв

2СеЛИго—1)- колЬЬ-л

-■ - , = :.. = : (13а)

Условия упругого опирания на краях у = + -:

где

и , - Кф -1

ЛЬ'

= 1 при"

¿л*

= 0,а> О,

Л, = 1

16+ 3( —1)

при^- 1,= 0,о

= О

(14)

(15)

(16) (16а)

Подчиним теперь каждую из функций /„(у) по (6) и (7)

граничным условиям (11) и (14). Для упрощения решения используем

симметрию задачи и положим С2 = С4 = 0 .В результате придем к следующим

уравнениям относительно констант С1( С3

I вариант

(17)

(18)

II вариант

+ -С3(Впим17 + 21кф2т,з1т]) =

С±{Ьи-ф*сЪ£ - 2Сп^ЬО + СзС^4отя7 - ЗД^Ь?) =

В (17), (18) введены следующие обозначения

Найдя из (17) и (18) постоянные С±,С3 можно выражение для прогиба (2) представить в окончательной форме I вариант (-'■",:

4 М

4 аЪ V 51пЛ„х

(19)

где

В1 = (Ц2 - +

В, = - 2[Ц2 - (2 -

= : - : - :.: - . :\

(21)

II вариант ¿-¡0): Он сводится к формуле (20) заменой в

последней выражения в фигурных скобках следующим выражением

где В- = + ¿м^г)еоя7 -+ 2^ф2т}ятт),

В6 = Ь^сощ - 2[4т;2 + (2 -(23)

Рассмотрим частные случаи, когда пластина шарнирно прикреплена к

упругим подкрепляющим стержням, т.е. ^ = 0,0 < Ьи < со

Формулы для прогибов (20) (22) для этого случая примут вид

I вариант

х(1

II вариант

■' (25)

В (24) (25) введены обозначения

В7 = (4^ - В3 = (4?/2 - [мрг)сЬ] , Вэ = (4т}2 + (26)

На рис.2 по формулам (24) и (25) постр< оен график зависимости прогиба в

центре пластины от величины . При построении принято

а = Ь, и = 1, Р = 0, /л = 0,3. Сплошные линии относятся к случав, когда

учитывается деформация сдвига при изгибе подкрепляющих стержней

штриховые линии построены без учета сдвига (к2а = от) .Из

графика следует, что различия в граничных условиях на концах : стержней

(шарнир вое опирание, т.е. тН II та 3 или жесткое защемление, т.е. (^ =1—

существенно сказывается на величине прогибов.

В4В7 В2Вв

5тАпх

¿-> 5 Л «Г" \

Л'

N3

0,8

06

0.4

0,2

С,= ю

___" "" г зг V е.-к 1

1 i 1 / / ____ L

J f ^ \ к >

V/ /

0.2

дР4

щ( а/2,0)

Рис.2. График зависимости прогиба в центре пластины от величины Л\ .

Так, на рис.2 видно, что для достижения одной и той же величины относительного прогиба в центре пластины (например, 0,2 ) при шарнирном закреплении и защемлении концов подкрепляющих стержней, надо в последнем случае увеличить сжимающую силу примерно в 2 раза.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бейлин Е.А., Меликулов Н. М. Об устойчивости прямоугольных пластин, подкрепленных тонкостенными стерженями. -В кн: Стротельная механика и расчет сооружений: Научно-технический журнал. М.Изд-во литературы по строительству. 1980, №5.с.38-42

2.Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.Физматгиз. 1959.

3.Броуде Б.М. Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций М.Машстройиздат. 1949.

4. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.Физ.мат.гиз.1967

5.Меликулов Н.М. Исследование устойчивости и жесткости пластин, подкрепленных тонкостенными стержнями, при различных случаях нагружения,- В кн: Стротельная механика сооружений. Межвуз.Темат.сб.тр-Л.ЛИСИ,1980. С. 76-85

6.Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.Гостехиздат, 1955.

7.Muszkowska H. Plyty prostokatne o dwoch krawedziach przeciwleglych swobodnie podparnech i pozostalech sprezyscie zamocowanech. Prace Naykowe Insnytutu Budownictwa Politechniki Wroclawskcy.1973,Nr.11.

8.Ferachian R.H. Back ling of biaxial le compressed long rectangular plates elastically restrained along the long edges and simply supported along the short edges. Proc. Inst. Engrs. Part 2. Montreal, 1975

9.Melikulov N,. Khodjabekov, М. U.Imatova D. M. Otaqylov A. FREE VIBRATIONS OF THE PLATE WITH THE ACCOUNT OF INFLUENCE OF LONGITUDINAL FORCES PERCEIVED BY THE REINFORCING RODS. European Journal of Research. volume 5, issue 8 2020 pages 20- 25

10.Melikulov N, Otaqylov A. Unloaded plates free vibrations, supported by elastic thin-walled rods. INTERNATIONAL JOURNAL ON ORANGE TECHNOLOGIES www.journalsresearchparks.org/index.php/IJOT Volume: 02 Issue: 11 | November 2020

11.Melikulov N. Stability of Elongated Plates Reinforced along the Contour with Thin-Walled Rods International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 8, Issue 12 , December 2021

12.Melikulov N., Shodmonkulova N. U. Free Vibrations of a Plate Stretched along the Reinforced Sides International Journal of Innovative Analyses and Emerging Technology Volume: 1 Issue: 5. 2021

13.Melikulov N,. Khushvaktov U Stability of Long Plates with Non-Symmetric Reinforcement of the Edges withThin-Walled Rods .MIDDLE EUROPEAN SCIENTIFIC BULLETIN [Middle European Scientific Bulletin, VOLUME 19 Dec 2021

14. Ismayilov K,.Karimova K Application of used automobile tires granules for road construction in uzbekistan. Journal of Critical Reviews, 2020. 7, t, number 12,p. 946-948. DOI: 10.31838/jcr.07.12.165

15. Ismayilov K. Critical strains and critical stresses in the steel rod beyond the elastic limit. European science review. 2018 number № 5-6, p-291.

16.M. M. Mirsaidov, O. M. Dusmatov and M. U. Khodjabekov, "Stability of nonlinear vibrations of plate protected from vibrations". Journal of Physics: Conference Series, 1921, (2021), https://doi.org/10.1088/1742-6596/1921A/012097

17.M. M. Mirsaidov, O. M. Dusmatov and M. U. Khodjabekov, "The problem of mathematical modeling of a vibration protected rod under kinematic excitations" in Proceedings of VII International Scientific Conference Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education, November 11-14, 2020, Tashkent, https://doi.org/10.1088/1757-899X/1030A/012069

18. M. Mirsaidov, O. M. Dusmatov and M. U. Khodjabekov, Mode shapes of transverse vibrations of rod protected from vibrations in kinematic excitations, Lecture Notes in Civil Engineering. 170, 217-227 (2022). doi.org/10.1007/978-3-030-79983-0_20