Научная статья на тему 'ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА π-СВЕРТКИ'

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА π-СВЕРТКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
17
3
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОПЕРАТОР СЛОЖНОГО ТИПА / ОПЕРАТОР ТИПА СВЕРТКИ / ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЕРТКИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Саранчук Юрий Сергеевич

Экспоненциальные полиномы, удовлетворяющие однородному уравнению типа свертки, называются его элементарными решениями. Традиционное решение однородного уравнения типа свертки предполагает доказательство аппроксимационной теоремы, утверждающей плотность элементарных решений во множестве всех решений уравнения. В данной статье рассмотрены однородные уравнения типа π-свертки во пространстве аналитических функций на выпуклой области, обобщающие известные однородные уравнения типа свертки. Уравнения частного вида рассматривались ранее неоднократно. К ним относятся однородные уравнения: свертки, q-сторонней свертки, типа q-сторонней свертки и π-свертки. В статье исследованы свойства операторов типа π-свертки и доказана аппроксимационная теорема для однородного уравнения типа π-свертки в произвольной выпуклой области комплексной плоскости.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

HOMOGENEOUS EQUATIONS OF π-CONVOLUTION TYPE

Exponential polynomials satisfying a homogeneous convolution type equation are called its elementary solutions. The traditional solution of a homogeneous equation of the convolution type involves the proof of an approximation theorem that asserts the density of elementary solutions in the set of all solutions of the equation. This article considers homogeneous equations of the π-convolution type in the space of analytic functions on a convex domain, which generalize the well-known homogeneous equations of the convolution type. Equations of a particular form have been considered many times before. Such equations include homogeneous convolution equations, homogeneous q-sided convolution equations, homogeneous q-sided convolution type equations, and homogeneous-convolution equations. In the article the properties of operators of π-convolution type are investigated and an approximation theorem for a homogeneous equation of π-convolution type in an arbitrary convex domain of the complex plane is proved.

Текст научной работы на тему «ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА π-СВЕРТКИ»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1

Научная статья УДК 517.5+519.4

doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-109-119

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА п-СВЕРТКИ

Юрий Сергеевич Саранчук

Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия 89182859942@mail.ru

Аннотация. Экспоненциальные полиномы, удовлетворяющие однородному уравнению типа свертки, называются его элементарными решениями. Традиционное решение однородного уравнения типа свертки предполагает доказательство аппроксимационной теоремы, утверждающей плотность элементарных решений во множестве всех решений уравнения. В данной статье рассмотрены однородные уравнения типа п-свертки во пространстве аналитических функций на выпуклой области, обобщающие известные однородные уравнения типа свертки. Уравнения частного вида рассматривались ранее неоднократно. К ним относятся однородные уравнения: свертки, q-сторонней свертки, типа q-сторонней свертки и п-свертки. В статье исследованы свойства операторов типа п-свертки и доказана аппрок-симационная теорема для однородного уравнения типа п-свертки в произвольной выпуклой области комплексной плоскости.

Ключевые слова: оператор сложного типа, оператор типа свертки, однородное уравнение типа свертки в комплексной области

Для цитирования: Саранчук Ю. С. Однородные уравнения типа п-свертки // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 109-119.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).

Original article

HOMOGENEOUS EQUATIONS OF ^-CONVOLUTION TYPE

Yury S. Saranchuk

Kuban State University, Krasnodar, Russia 89182859942@mail.ru

Abstract. Exponential polynomials satisfying a homogeneous convolution type equation are called its elementary solutions. The traditional solution of a homogeneous equation of the convolution type involves the proof of an approximation theorem that asserts the density of elementary solutions in the set of all solutions of the equation. This article considers homogeneous equations of the n-convolution type in the space of analytic functions on a convex domain, which generalize the well-known homogeneous equations of the convolution type. Equations of a particular form have been considered many times before. Such equations include homogeneous convolution equations, homogeneous q-sided convolution equations, homogeneous q-sided convolution type equations, and homogeneous-convolution equations. In the article the properties of operators of n-convolution type are investigated and an approximation theorem for a homogeneous equation of n-convolution type in an arbitrary convex domain of the complex plane is proved.

© Саранчук Ю.С., 2022

Keywords: shift type operator, convolution type operator, homogeneous convolution type equation in the complex domain

For citation: Saranchuk Yu.S. Homogeneous Equations of n-Convolution Type. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1): 109-119. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Выберем произвольный многочлен к(\) е C[\] степени q > 1. Целая функция g(\) называется целой симметричной, если она представляется в виде композиции g(\) = {f ° к)(\), где f (А) - целая функция. Для любой целой функции g(\) имеет место единственное симметричное представление g(\) = g0(£) +... + \q-1gq_i(\), где go(\),...,gq_i(4) - целые симметричные функции [1]. Пусть ao(\),...,aq_i(\) - набор элементов кольца C[\], не все из которых равны нулю. Считаем, что степень полинома ap (\) не превосходит p. Эндоморфизм A пространства целых функций, действующий по правилу

A: g(\) ы ao(4)go(4) +... + aq_i(\)gq_i(4), (1)

называем порождающим. Пусть Q с C - односвязная область; O(Q) - пространство аналитических в области Q функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Линейный

ж A(eh4)(n)(0)

дифференциальный оператор ATh : f (z) ы V-(Dnf )(£), порождаемый непрерывно n!

ным эндоморфизмом (1), называем оператором к -сдвига. Далее выберем произвольный линейный непрерывный функционал So на пространстве O(Q). Линейный оператор

AMS : f So, ATh(f)} называем оператором к -свертки. Порождающий эндоморфизм (1)

является непрерывным (предложение 6) и при любом s > 0 выполняется неравенство

i

lim 1

A(4n )(4)

exp\\

< — (предложение 7). se

По свойствам аналитических функционалов можно считать, что функционал непрерывен на пространстве О(Оо), где сО - односвязная область, удовлетворяющая условию Оо + ие с О при некотором е >0 , где и£ - открытый круг с центром в начале радиуса е . По [2, предложение 11] оператор типа сдвига ЛТк действует из пространства О(О) в пространство О(Оо), а по [2, предложение 13] оператор типа свертки ЛМ8 действует из пространства

О(О) в пространство О(и£). Операторы ЛТЬ : О(О) ^ О(О0) и ЛЩ : О(О) ^ О(ие) - непрерывные (предложения 9, 10). Значит, оператор ЛТИ : О(О) ^ О(Оо) является оператором ^-сдвига, а оператор ЛМ5 : О(О) ^ О(и£) - оператором ^-свертки [3].

Предложения 6, 7, 9, 10 будут доказаны ниже.

Уравнение ЛМ8 (/) = 0 , / е О(Оо) называем однородным уравнением ж -свертки. Уравнения частного вида рассматривались ранее неоднократно. К ним относятся однородные уравнения: свертки [4], д -сторонней свертки [5], ж -свертки [6], обобщенной д -сторонней свертки [7, 8]. Экспоненциальные полиномы, удовлетворяющие однородному уравнению типа свертки, называются его элементарными решениями. Традиционное решение однородного

n

уравнения типа свертки предполагает доказательство аппроксимационной теоремы, утверждающей плотность элементарных решений во множестве всех решений уравнения.

Линейный непрерывный оператор (1) называется оператором симметризации, если существуют такие полиномы к0,к1 е С[£], что А(к0(£)) = к0(£) и А(С[£]) = . Справедлива следующая

Теорема. Если область Qç C - выпуклая и непрерывный эндоморфизм (1) - оператор симметризации, то для однородного уравнения к -свертки AM^ ( f ) = 0 , f е O(Q0) , справедлива аппроксимационная теорема, т.е. любое решение этого уравнения можно аппроксимировать элементарными решениями в топологии пространства O(Q).

Предварительные сведения

Симметризация. Выберем произвольный многочлен к е С[£] степени q > 1. Отображение к : С ^ С | £ ^ к(£) определяет аналитическое накрытие (С, к, С). Для любого £ е С символами £),...£-1 обозначаем элементы слоя к_1(Х), где X := к(£). Если X - критическая точка аналитического накрытия (С,к,С), то отдельные элементы упорядочения £),...£-1 совпадают. Точнее, каждая точка £j из слоя к1 (X) в этом перечислении встречается столько раз, какова ее кратность.

Множество U ç С называется симметричным, если U = к-1 ° к(и) . Комплексная функция g, определенная на симметричном множестве U, называется симметричной, если она представляется в виде композиции g = g о к , где g - комплексная функция, заданная на образе V := к(и). Если g = g о к и функция g локально аналитична на множестве V, то функцию р называем локально аналитической симметричной функцией. Если U = С и g - целая функция, то симметричная функция g = g о к называется целой симметричной. Символом Ок (U) обозначим семейство всех локально аналитических симметричных функций на открытом симметричном множестве U с топологией равномерной сходимости на компактах.

Пусть U - открытое симметричное множество в С. Выберем произвольную функцию g е O(U) и рассмотрим функцию (symg)(£) := g(£0) +... + g(£q-1), где £е U и £0,-,£q-1 -

упорядочение слоя к_1(к(£)). Эта функция является локально аналитической симметричной, т.е. принадлежит пространству Ок{Ц) [1, предложение 2.2]. Образ (symg)(£) называется симметризацией функции g (на множестве U ). По определению симметричной функции симметризация symg произвольной функции g е O(U) представляется в виде композиции g о к, где g является локально аналитической на открытом множестве V := к(У).

Пусть £е U, X := к(£) еV и £0,...,£q-1 е U - произвольное упорядочение слоя к_1(Х). Если функция f является симметричной на U , то

1 q-1 1 q-1

(symfg )(£) := - £ f (£) g (£ ) = f (£) - £ g (£ )

l qj=0 y

q-1

= f (£)(symg )(£).

=0

Значит, справедливо

Предложение 1. Если g е 0(и) и / - симметричная функция на и, то для любого £ е и имеем (symfg )(£) = / (£)(5т )(£).

Обозначим символом 8п (£) симметризацию (^ут2п )(£) одночлена 2п , п е Z+ (на множестве С). Элементарные оценки убеждают в справедливости следующего утверждения.

Предложение 2. Функция sn(4) e является многочленом, степень которого не пре-

восходит n . Для любого n e {0,...,q -1} функция sn(4) - константа.

Оператор O(U) ^ O(V)\ g ^ g обозначаем тем же символом sym. Отличаем в обозначениях этот оператор от оператора симметризации O(U) ^ O^(U)\ g ^ symg лишь указанием

другой переменной ( symg )(A), AeV. Символом sym m обозначаем композицию Dm о sym , где D - оператор дифференцирования (или частного дифференцирования) по переменной AeV, т.е. (sym{m) g)(A) = g (m)(A).

Симметричные представления

Для любой функции g (4) e O(U ) имеет место единственное симметричное представление

q-1

g(4)= Yu4Pgp(4), gp(4) e OK(U). (2)

p=0

При этом если 4 - обыкновенная точка аналитического накрытия (C, л, C), то симметричный коэффициент gp (4) представляется в виде разностного отношения

A p (i,...,g (4),...,4q-1)

gp(4) =-A(1V..¿q-1)-, p e{0,-,q -1}, (3)

где Ap (1,...,g(4),...,4q-1) - определитель, полученный из определителя Вандермонда

заменойр-го столбца (4p,...,4p-1)T на столбец (g(40),...,g(4q-1))T. Символ a ^ a

означает оператор транспонирования матрицы a [1, теорема 2.1; 9].

Отметим, что из предложений 1 и 2 вытекает, что симметризация произвольной функции g(4) e O(U) допускает представление

q-1

(symg \.4) = Z spgp(4) sp := sym 4 e C, (4)

p=0

показывающее, что оператор симметризации коммутирует с оператором дифференцирования по параметру. Точнее, пусть Uо - открытое множество в C ; O(UxUq) - семейство всех локально аналитических функций g = g (4, z) на декартовом произведении U x Uq ; D - оператор частного дифференцирования O(UxU0) ^O(UxU0) по переменной z eU0 . Справедливо

Предложение 3. Если g = g(4,z) e O(UxU0), то для любого (4,z) eUxU0 имеет место равенство (D о sym)(g)(4,z) = (sym о D)(g)(4, z).

Доказательство. Пусть g e O(U xU0) и g := Dg e O(U x Uq) . При фиксированном z eU0

функции 4 ^ g(4, z) и 4 ^ g (4, z) принадлежат пространству O(U). Воспользуемся симметричными представлениями этих функций. В обыкновенных точках 4 e U аналитического накрытия (C,n, C) симметричные функции gp (4, z) и g p (4, z) представляются в виде

A p (1,...,g (4 z),...,4q-1) A p (\,...g (4, z),...,4q-1) n . -A(i çq-1)-' -A(i -. Замечаем, что Dgp4z) = g p4z). при

этом в силу соотношения (4) для всех 4 eU n C* и всех z eUo выполняются равенства

q-1

(D о sym)(g)(4,z) = Zspgp (4, z) = (sym о D)(g)(4,z).

p=0

Из соображений непрерывности вытекает, что доказываемое равенство выполняется для всех 4 e U и всех z eUo . Предложение доказано.

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1

Если g(\) - многочлен, то коэффициенты gp (\) симметричных представлений (2) и (4) тоже являются многочленами. Точнее, справедливо

Предложение 4. Если g(\) - многочлен степени n, то коэффициент gp (\) является многочленом, степень которого не превосходит n — p.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что q >1 и многочлен g(\)

является одночленом \n, n е Z+. Пусть s >1 и \ - обыкновенная точка аналитического накрытия (C—, C) ; со - циклический биголоморфизм из * Deck(С*—). Если \ := С \, j е {0,...q — 1}, то при достаточно большом R >0 вне круга \\ < R выполняются неравенства

\ <s\\, j = i е {0,..q — 1}. (5)

С другой стороны, по свойствам многочленов Arg\q = Arg\q + о(1), . Значит, мы

вправе считать, что вне круга |z| < R выполняются еще и неравенства

I I i i я

\ — \ >\Щsin-, j = i е {0,..q — 1}. (6)

II q

Неравенства (5) и (6) позволяют оценить коэффициенты (\п ) симметричного представления одночлена \п вне круга \\ < R . Действительно, сумма 1 +... + (p — 1) + n + (p +1) +... + (q — 1) равна m :

2

iq—1

■ —1) - p + n. Значит, вне множества C, n {£ : Щ < R} выполняются оценки

A p (1,...,% ,...,%-1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p

<

%

о

1%

0

-1 -1

q-1

< q\sm%m, а в силу (5)

n

\m+p-n

A(1,...¿q-1) = П \$J>Щsin-

0<i< J<q-1 V q J

Значит, вне множества C* n {z : z < R} для всех целых n > 0

(% ) p

A p %n % q -1)

A(1, ...%q-1)

< q\

\q(q-1)

. n

sm —

n\r\n-p

1%

(7)

q ;

Из этой оценки вытекает, что коэффициент ) является многочленом, степень которого не превосходит п — р. Предложение доказано.

Порождающий эндоморфизм целых функций

Пусть а0(£),...,ад—\(£) - произвольный набор многочленов, не все из которых равны тождественному нулю. Считаем, что степень полинома ар (£) не превосходит р . Рассмотрим линейный оператор А, действующий из пространства О(С) в пространство О(С) по правилу

д—1

A : g%) w X аР %)gp (%),

(8)

p=0

где g0(£),...,gq—1(£) - симметричные коэффициенты представления (2) (на и = С). Исследуем свойства эндоморфизма А: О(С) ^ О(С).

s

S

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Предложение 5. При любом целом n > 0 образ A(4n ) является многочленом, степень которого не превосходит n.

Доказательство. Степень полинома ap (4) не превосходит p по определению. При этом по

предложению 4 симметричный коэффициент (4n )р симметричного представления одночлена

4n является многочленом степени < n - p . Значит, образ A(4n ) является многочленом, степень которого не превосходит n . Предложение доказано.

Предложение 6. Эндоморфизм A : O(C) ^ O(C) является непрерывным.

Доказательство. Выберем произвольную последовательность целых функций g ((k\4), сходящуюся к нулю в пространстве O(C), и воспользуемся симметричным представлением этих функций. Симметричные функции g p\4) представляются в виде определителя

\]g(k) шъ(k)

[ïoiï9-1

ШН4-1

••• Ш~4Ччк■■■ ШЩ-М"-1

[1, предложение 2.1]. Элементами этого определителя являются разделенные разности порядка < Ц -1, которые представляют собой аналитические функции переменной (\0,...,4д"1). Достаточно показать, что все элементы р-го столбца определителя стремятся к нулю на любом компакте. Выберем произвольный компакт dZ С. Отображение т: С ^ С является собственным,

значит, прообраз d := т- ° п(й) - симметричный компакт в С и 4 с 4 . Выберем Я >0 и ее (0, Я) так, чтобы выполнялось неравенство тах\е4' Щ\ < Я При фиксированных 40,...,4Ч-1 е 4' для разделенной разности ) справедливо интегральное представле-

г г г 1 (к) 1 г g ^к)(Щ)4Щ ние д0ъ\..ЩIЖ =-I -, где Ь - положительно ориентированная граница кру-

7 2т ^ Щ-Щ0)...Щ-4])

га Щ< Я [10, гл. 1, §4]. Если Ще 4 , то т- ° т(Щ):= {Щ0,...,ЩЦ-1} с 4 ', и из указанного инте-

грального представления следует оценка

40&\ ]g

(k )

R

-max

• I ша.

£J+1 \4\=R

g(k)(4)

Так как max4=r

g(k )(4)

^ 0

то max d

[404\..-4j ]g(k ) ^ 0. Отсюда вытекает, что g p) ^ 0

равномерно на d для любого p e {0,...,q -1}. Следовательно,

A( g « ï)

q-1

1 Z P ( g(k ))

A

p=0

q-1,

< Z

p=0

g (k ) p

^ 0 равномерно на d . В силу произвольности выбо-

ра компакта d Z С оператор А является непрерывным эндоморфизмом пространства О(С). Предложение 7. При любом е >0 выполняется неравенство

lim —

A(4" )(4)

exps\4\

<

1

(9)

se

Доказательство. Достаточно показать, что для любых е >0 и е0 е (0,е) найдутся такие N е N и Я >0, что для всех п > N вне круга Щ\ < Я выполняется неравенство

A(4n)(4) < ( П ]

\ )

(10)

p

n

n

e

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1

Пусть 0 < £q < S\< s. В силу (7) при достаточно больших R >0 и C >0 вне множества

С* п {|: || < Я} для всех целых п > 0 справедливо неравенство |(|п)р(|) чит, при достаточно больших Я >0 вне множества С* п {|: || < Я} имеем

( Лп

< C

\so у

1*1

п— p

Зна-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

q—1

A(*n )(*) <Х ap (*)(*n )p (*)

p=0

< C

( q—1

\£o У

*n z p=0

ap

В силу предложения 5 степень полинома ар (|) не превосходит р. Значит, при достаточно

больших R >0 и C >0 вне множества C* n {Щ : Щ < R} имеем А(ЩП )(Щ)

< C

( \n

У£о У

*п . С дру-

гой стороны, функция г ^ г е 1 в точке г := — принимает свое максимальное на луче г > 0

значение

i \п п

f у

. Значит, вне множества С* п {|: || < Я} для всех целых п > 0 выполняются

неравенства

A(*n)(*)

( Л"

< C

I*п < C

/ \» п

\ьо У

f 1*1

f у

Отсюда следует, что при некотором Я > 0 для всех целых п > 0 вне множества С* п {|: || < Я} выполняется неравенство (10). Так как критическое множество аналитического накрытия (С, п, С) является конечным, то это неравенство выполняется для всех целых п > 0 вне круга {|: || < Я}. Предложение доказано.

Пусть и - открытое множество в С. Функция (Н, |) ^ ек^ является локально аналитической на декартовом произведении и х С. Обозначим через О оператор частного дифференцирования О(и х С) ^ О(и х С) по переменной Н е и, п(О) - соответствующий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Справедливо

Предложение 8. Для любых Н е и и | е С имеет место равенство

п(О) о А(еН|) = п(|) А(еН|).

Доказательство. Зафиксируем Н е и и воспользуемся симметричным представлением по-

казательной функции *^ е

h*

По определению оператора

A имеем

А(еН|) := ае(|)(еН|)е +... + а^Ке^)^. При этом п(О)(еН^)р = паХе^)р . Значит,

д—1 д—1

п(О) о A(eН|) = п(О) Xар(|)(eh|)p = Xар(|)п(О)(еН|)р = р=0 р=0 д—1 д—1

= X ар апКе^) р = п(|) X ар |)(еН|) р = п(|) А(еН|). р=0 р=0 Предложение доказано.

Однородное уравнение п -свертки

Определение оператора п -сдвига. Пусть О0,0 - односвязные области в комплексной плоскости. Будем считать, что при некотором £ >0 выполняется включение О0 + ие сП, где иЕ - круг {Н: |Н| < £}. Пусть А - некоторый непрерывный эндоморфизм пространства целых функций. Дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, действующий из пространства О(О) в пространство 0(00), называется оператором А -сдвига (на шаг Н), если он

непрерывен и его характеристическая функция совпадает с образом А(еН|) [3].

е

Выберем произвольный набор многочленов a0(Ç),...,aq_i(Ç) e C[Ç], не все из которых равны

тождественному нулю. Считаем, что степень qp полинома ap не превосходит p . Зафиксируем

произвольное h eUe и рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

ATh : f (z) w X ALA-J°l(Dnf )(Ç), (11)

n=0 n!

где z ëQ, Ç eQ0 и линейный оператор A : O(C) ^ O(C) действует по правилу (8). Из предложений 6 и 7 вытекает, что при любом f (z) ë O(Q) ряд (11) сходится равномерно по (Ç, h) на компактах из бицилиндра Qo х Ue [2, предложение 11]. Это означает, что образ ATh (f) является аналитической функцией по переменной (Ç, h) на бицилиндре Qo х UЕ при любом f ë O(Q). Отсюда следует, что линейный оператор ATh действует из пространства O(Q) в пространство O(Qo). Оператор ATh : O(Q) ^ O(Qo), определенный по правилу (11), назовем оператором к -сдвига (на шаг h).

Пусть O* (Q) - сильное сопряженное к пространству O(Q) ; P(Q) - интерпретация пространства O* (Q) в терминах преобразования Лапласа Lq , которое каждому функционалу S ë O* (Q) ставит в соответствие его характеристическую функцию <p(Ç):= (S, e^j. Оператор

# * —1 АТ* : Р(Ц0) ^ Р(Ц) | g ^ Ьа о АТ* о /ц (g) называется дуальным по отношению к оператору

5|< 5|< 5|< 1

АТ*. Здесь АТ* : О (Ц0) ^ О'(О) - сопряженный оператор к оператору АТ*; ¿п - обратный оператор к оператору Лапласа /ц : О*(Ц0) ^ Р(Ц0). Из [2, лемма 1] для любого g из РЩ) имеем АТ*(g) = Ьп о АТ* о (g) = gA(ehz).

Предложение 9. Оператор АТ* является оператором А -сдвига и допускает представление

ю *п

АТ* : /(г) ^ X ^А(гп )(Б)(/)(4), (12)

п=0 п!

в котором ряд при любом /(г) е О(Ц) сходится равномерно по (4, *) на компактах из бицилиндра Ц0 х ие.

Доказательство. По определению оператора АТ* его характеристическая функция совпадет

с образом А(е*^). При этом в силу предложения 8 для любого е >0 выполняется неравенство (9). По [2, предложение 12] для любого /(г) е О(Ц) образ АТ*(/) представляется в виде ряда (12). При этом ряд (12) сходится равномерно по (4,*) на компактах из бицилиндра Ц0 хие. Оператор АТ* : О(Ц) ^ О(Ц0) является непрерывным. Действительно, по [2, предложение 10] дуальный оператор АТ*: g ^ gA(e*z) - непрерывный, значит, и сам оператор АТ* является непрерывным [2, п. 2.3]. Согласно определению оператора А -сдвига, оператор л -сдвига АТ* является оператором А -сдвига, где непрерывный эндоморфизм А : О(С) ^ О(С) действует по правилу (8). Предложение доказано.

Из предложения 9 вытекает, что при любом / е О(Ц) образ АТ*(/) лежит в пространстве О(Ц0 х ие). Говорим, что оператор АТ* перестановочен с дифференциальным оператором л(В), если на пространстве О(Ц) выполняется соотношение л(В) о АТ* = АТ* ол(В). Слева оператор л(В) действует по переменной * в пространстве О(Ц0 х ие), справа - по переменной г в пространстве О(Ц).

Предложение 10. Оператор ATh перестановочен с дифференциальным оператором п(D). Доказательство. По предложению 8 п(С) о A(e^) = п(£)A(eH). Значит,

(п(D) о A(eht)}n) = (п(£>A(eht)]n) = h (ПХ{п~<A(eh^)(j). При этом

j=0\j )

» A(ehï){n\0) D n = f f n(n -j )(0) A(eh^jj )(0^ n =

0 h n! Пг=0H j'(n - j)!

= f A(e^jj)(0) f K{n-j)(0)Dn_ y A(eh^jj)(0^7

h j! h (n - j)! h j! ( )-

Следовательно, tt(D) о ATh = ATh о tt(D) . Предложение доказано.

Определение оператора п -свертки. Пусть Q0, ^ - односвязные области в комплексной плоскости C и Q0 + Us œ Q при некотором s >0 . Выберем произвольный оператор сдвига ATh : 0(Q) ^ 0(^0), произвольную функцию f е 0(Q) и произвольный линейный непрерывный функционал 50 на пространстве 0(Q0), - характеристическая функция функционала S0 . По предложению 9 функция h » (S0, ATh ( f )) принадлежит 0(Us) и называется п -сверткой функции f и функционала 50. При фиксированных 50 и s линейный оператор AMS : O(Q) ^ 0(Us)| f »( S0, ATh (f)} называем оператором п -свертки. Оператор

AMS : O(Q) ^ 0(Us) называется оператором A-свертки, если он является непрерывным [3].

В силу предложения 7 для любого s >0 выполняется неравенство (9). Значит, из [2, предложение 13] вытекает

Предложение 11. Оператор п -свертки AMS является оператором A -свертки. Говорим, что оператор AMS перестановочен с дифференциальным оператором п(D), если для любого f е O(Q) выполняется соотношение n(D) о AMS = AMS о n(D) . Слева оператор

п(D) действует по переменной h в пространстве 0(Us), справа по переменной z - в пространство O(Q). Из предложения 10 вытекает

Предложение 12. Оператор п -свертки AMS перестановочен с дифференциальным оператором п(D).

По предложению 11 оператор AMS является непрерывным. Значит, ядро Ws этого оператора

является замкнутым подпространством в пространстве 0(Q). Следовательно, по предложению 12 ядро Ws оператора AMS является замкнутым п(D) -инвариантным подпространством в 0(Q).

Однородное уравнение свертки. Уравнение

AMs^ (f ) = 0, f е 0(Q), (13)

называется однородным уравнением п -свертки. Целая функция Я» ^0(1):= ^S0, e^^j называется характеристической функцией уравнения (13). Пространство решений f е 0(Q) однородного уравнения п -свертки совпадает с ядром Ws оператора свертки AMS и по предложению

12 является замкнутым п(D) -инвариантным подпространством в 0(Q). Экспоненциальные полиномы, удовлетворяющие уравнению (13), принято называть элементарными решениями этого уравнения. Линейный непрерывный оператор (8) называется оператором симметризации (в обобщенном смысле), если существуют такие полиномы d (z),r (z) е C[ z ], что A(d (z)) = d (z), A(C[ z]) = d ( z)C[r ( z)]. Справедлива

Теорема. Если область Qç C - выпуклая и непрерывный эндоморфизм (8) - оператор симметризации, то для однородного уравнения к -свертки (13) справедлива аппроксимацион-ная теорема, т.е. любое решение этого уравнения можно аппроксимировать элементарными решениями в топологии пространства O(Q).

Доказательство проводится по следующей схеме. Пусть Q - выпуклая область и р е P(Q). Рассмотрим произвольное однородное уравнение к -свертки (13) и предположим, что A - оператор симметризации. Индикатором уравнения (13) называется упорядоченное множество PA := {P0,--,Pv~\}, определенное по правилу pk е pA « pk е {0,1,...,q -1}, degapt (z) = pk.

Говорим, что индикатор pA декомпозиционно периодичен, если выполнены условие перио-

a0( z) aq-1( z)

дичности pk+1 -pk = q0, pv= p0 + q и условие декомпозиции K(z),-,...,-е C[r(z)\ .

ap0 (z) ap0 ( z)

Здесь qo - степень полинома r(z) е C[z\. На первом шаге показываем, что A является оператором симметризации тогда и только тогда, когда индикатор pA декомпозиционно периодичен. Если pA декомпозиционно периодичен, то полином к(z) допускает декомпозицию к(z) = к(г(z)), где к(z) - некоторый полином из кольца C[z\ ; v - степень полинома к(z) и Що = q. При этом полином ap ^ (z) является наибольшим общим делителем d (z) системы многочленов ao(z),...,aq-i(z) и для любого p е{0,1,...^ -1} имеет место представление ap (z) = ap^ (z)ap (r(z)), где ap (z) - тоже некоторые полиномы из кольца C[z\.

v-1

На втором шаге рассматриваем линейный оператор A : O(C) ^ O(C) | g ( z ) ^ ^ a p (z ) g ( z),

k=0

где gk (z) - коэффициент ~ -симметричного представления целой функции g(4) и a„ (z )

a (z)

apt (z) = g (4(z)), k е {0,1,...,v-1}.

ap0 (z )

Эндоморфизм А порождает свой оператор ~ -сдвига и свое однородное уравнение ~ -свертки

АЫ, (/) = 0, / е О(П), (14)

где So - линейный непрерывный функционал на пространстве О(О) с характеристической

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

функцией фо (z) := ар^ (г)фо (z). Показываем, что эндоморфизм А удовлетворяет условиям

А(1) = 1, А(С[г]) = С[£(г)], т.е. является оператором г -симметризации (в традиционном смысле). Из [2, теорема 2] следует, что аппроксимационная теорема для уравнения (14) выполняется.

На третьем шаге показываем, что уравнения (13) и (14) равносильны, т.е. множество решений уравнения (13) совпадает с множеством решений уравнения (14). Для этого рас-

0 Ьо

сматриваем дуальные аннуляторы I? , I, с Р(О) подпространств 1¥? с О(О) . По пред-

0 "о 0 "о

ложению 12 дуальные аннуляторы I? и I, совпадают с замыканием в топологии простран-

0 "о

ства Р(&) множества функций вида р(г)ар> (г)фо(г), р(г) е С[г(г)]. Из ^0 = I, следует = . Этим доказательство завершается.

Список источников

1. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559-1588.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1

2. Шишкин А.Б. О непрерывных эндоморфизмах целых функций // Мат. сб. 2021. Т. 212, № 4. С. 131 — 158.

3. Шишкин А.Б. Экспоненциальный синтез в ядре оператора симметричной свертки // Записки науч. семинаров ПОМИ. 2016. Т. 447. С. 129-170.

4. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 87 (129), № 4. С. 459-489.

5. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 828-848.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 23-46.

7. Tatarkin A.A., Saranchuk U.S. Elementary solutions of a homogeneous q-sided convolution equation // Iss. Anal. 2018. Vol. 7, № 25. Р. 137-152.

8. Татаркин А.А., Шишкин А.Б. Синтез в ядре оператора трехсторонней свертки // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее приложения : тематич. обзор. 2021. Т. 193. С. 130-141.

9. Shishkin A.B. Symmetric representations of holomorphic functions // Iss. Anal. 2018. Vol. 7, № 25. P. 124-136.

10. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Физматгиз, 1959. 400 с.

References

1. Krasichkov-Ternovsky I.F. Spectral synthesis in the complex domain for a differential operator with constant coefficients. I. The duality theorem. Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 1991;182(11):1559-1588. (In Russ.).

2. Shishkin A.B. On continuous endomorphisms of entire functions. Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 2021;212(4):131-158. (In Russ.).

3. Shishkin A.B. Exponential synthesis in the kernel of the symmetric convolution operator. Zapiski nauch. seminarov POMI = Journal of Mathematical Sciences. 2016;447:129-170. (In Russ.).

4. Krasichkov-Ternovsky I.F. Invariant subspaces of analytic functions. I. Spectral synthesis on convex domains. Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 1972;87(4):459-489. (In Russ.).

5. Shishkin A.B. Spectral synthesis for an operator generated by multiplication by a power of an independent variable. Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 1991;182(6):828-848. (In Russ.).

6. Krasichkov-Ternovsky I.F. Spectral synthesis in the complex domain for a differential operator with constant coefficients. IV. Synthesis. Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 1992;183(8):23-46. (In Russ.).

7. Tatarkin A.A., Saranchuk U.S. Elementary solutions of a homogeneous q-sided convolution equation. Iss. Anal. 2018;7(25):137-152.

8. Tatarkin A.A., Shishkin A.B. Synthesis in the kernel of the three-way convolution operator. Results of science and technology. Modern mathematics and its applications. Thematic overview. 2021;193:130-141. (In Russ.).

9. Shishkin A.B. Symmetric representations of holomorphic functions. Iss. Anal. 2018;7(25):124-136.

10. Gelfond A.O. Calculus of finite differences. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1959. 400 p. (In Russ.).

Информация об авторе

Ю.С. Саранчук - аспирант, кафедра теории функций, факультет математики и компьютерных наук.

Information about the author

Y.S. Saranchuk - Postgraduate Student, Department of Function Theory, Faculty of Mathematics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 01.07.2022; одобрена после рецензирования 20.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 01.07.2022; approved after reviewing 20.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.