CC BY
11.здесь Q — проектор на линейную оболочку корневых функций задачи (9), (10) вдоль пространства, порожденного обобщенными собственными функциями фс(%), с € [—1; 1]. При этом оператор Ш является
интегральным оператором с ядром б(г-г') — ^ ' г ^ ^ ; г()е ¿(^ %>^ Д) — решение уравнения (8),
отвечающего задаче (9), (10).
Автор приносит благодарность С.А. Степину за полезное обсуждение результатов работы и научному руководителю Д.В. Георгиевскому.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластических тел // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. Вып. 39. 3-81.
2. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // Прикл. матем. и механ. 1943. 7, вып. 2. 109-130.
3. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: Изд-во УРСС, 1998.
4. С'тепин С.А. Несамосопряженная модель Фридрихса в теории гидродинамической устойчивости // Функц. анализ и его прил. 1995. 29, № 2. 22-35.
5. Степин С.А. Гидродинамическая задача Рэлея: теорема разложения по собственным функциям и устойчивость плоскопараллельных течений // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. 60, № 6. 201-221.
6. Георгиевский Д.В. О единственности исследуемых на устойчивость решений некоторых задач МСС // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 48-52.
7. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969.
8. Ладыженская О.А, Фаддеев Л.Д. К теории возмущений непрерывного спектра // Докл. АН СССР. 1958. 120, № 6. 1187-1190.
9. Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1964. 73. 292-313.
10. Фаддеев Л.Д. К теории устойчивости стационарных плоскопараллельных течений идеальной жидкости // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1971. 21. 164-172.
11. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
Поступила в редакцию 02.04.2008
УДК 539.3
ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНКИ С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Г. З. Шарафутдинов1
Приведены некоторые кинематические характеристики геометрически нелинейного процесса деформирования, полученные в эксперименте при одноосном растяжении пластинки с круглым отверстием, изготовленной из высокоэластичного материала. Наряду с экспериментальными данными представлены полученные при помощи метода геометрической линеаризации расчетные характеристики рассматриваемого процесса деформирования.
Ключевые слова: конечные деформации, эксперимент, метод геометрической линеаризации, комплексные потенциалы, перемещения, сравнение расчетных и экспериментальных данных.
Some kinematic characteristics of a geometrically nonlinear deformation process obtained experimentally at uniaxial tension of a plate with a round hole are given. The plate is made of
1 Шарафутдинов Геннадий Зиатдинович — доктор техн. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: sharaf@imec.msu.ru.
a highly elastic material. The geometric linearization method is used to study the deformation process numerically. The numerical results are compared with experimental data.
Key words: finite strains, experiment, geometric linearization method, complex potentials, displacements, comparison of numerical results and experimental data.
1. Экспериментальное исследование. Развитие методов исследования процессов геометрически нелинейного деформирования является одной из актуальных проблем механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Большое значение в этой связи имеют экспериментальные исследования, особенно в теории конечных и больших деформаций ввиду геометрической, а чаще всего физической нелинейности.
Один из наиболее простых и наглядных экспериментов в МДТТ, подходящих для анализа процессов нелинейного деформирования, связан с одноосным растяжением пластинки с круглым отверстием [1]. В таком эксперименте, несмотря на возникающую в пластинке неоднородность напряженно-деформированного состояния, достаточно просто и с большой надежностью можно регистрировать необходимые для анализа кинематические и динамические параметры.
В экспериментальном исследовании использовалась пластинка, изготовленная из прозрачного в оптическом диапазоне органического стекла — полиметилметакрилата. Размеры пластинки: длина — 300 мм, ширина — 146 мм, толщина — 6,1 мм. В центре пластинки было вырезано отверстие диаметром 15,3 мм. Кроме того, на одну из лицевых поверхностей пластинки было нанесено при помощи мягкой краски несколько точек.
Эксперименты производились в термостате с прозрачными окнами при температуре 120 ° C на испытательной машине кинематического типа. Установлено, что при этой температуре материал обладает высокоэластическими свойствами и является несжимаемым. Зависимость между напряжениями и деформациями вплоть до значений деформаций по логарифмической мере порядка 0,35-0,4 не имеет гистерезиса, и ее можно задать при помощи закона Гука со значением модуля Юнга, равным 24 кг/см2.
В модельном эксперименте к пластинке вдоль ее узкой стороны прикладывалась распределенная нагрузка, суммарное значение которой постепенно доводилось до значения 36 кг. При достижении значения силы 9, 18, 27 и 36 кг испытуемая модель фотографировалась по всему полю. На рис. 1 приведены фотографии, показывающие положения нанесенных на лицевую поверхность точек и дающие представление об изменении формы контура от начала нагружения и до достижения максимальной нагрузки. Фотографии
были сделаны при комнатной температуре непосредственно перед нагревом (рис. 1, а) и после охлаждения до комнатной температуры при заданной степени вытяжки модели (рис. 1, б). Нагрузка прикладывалась вдоль горизонтального направления.
Видно, что первоначально круговой контур приобрел эллипсовидную форму. Будем считать, что деформированный контур является эллипсом и может быть охарактеризован значениями его полуосей a и b, которые измеряются непосредственно по фотографиям, например, при помощи компаратора. Таким же способом определяются положения точек на лицевой поверхности пластинки. Необходимые измерения в процессе эксперимента проводились при помощи катетометра.
Экспериментально определенные размеры полуосей эллипса для указанных значений растягивающей силы приведены в табл. 1, а координаты положения нанесенных точек — в табл. 2. Индексом 0 отмечены значения начального положения точек, индексом э — экспериментально определенные значения, соответствующие максимальному значению силы, и индексом р — аналогичные расчетные значения. В табл. 2 первая цифра двузначного числа в первом столбце означает номер сечения, вторая — номер точки в данном сечении.
Размеры пластинки в процессе деформирования существенно изменяются. В частности, ширина пластинки в ее центральной части после деформирования уменьшилась до 122 мм, а толщина на краях
Рис. 1
Таблица 1
Нагрузка, кг «э Ьэ a. р ьР
0 7,8 7,6 — —
9 9,0 7,3 8,8 7,2
18 10,4 6,9 9,9 6,7
27 12,0 6,6 10,9 6,3
36 13,7 6,4 12,1 6,0
Номер точки х0 Уо хэ Уэ Хр Ур
11 9,0 0,0 14,3 0,0 14,5 0,14
12 17,6 0,0 23,2 0,0 24,0 0,15
13 26,5 0,0 34,2 0,0 34,6 0,16
21 0,0 8,7 0,0 7,7 0,0 6,8
22 9,0 8,7 11,5 7,9 12,7 7,4
23 17,6 8,7 22,5 8,1 23,3 7,8
24 26,5 8,7 33,9 8,2 34,2 7,9
31 0,0 17,7 0,0 15,4 0,0 14,6
32 9,0 17,7 10,6 15,6 11,5 14,9
33 17,6 17,7 22,1 16,3 22,5 15,2
34 26,5 17,7 33,8 16,5 33,7 15,3
Таблица 2 модели — до 5,6 мм. На этом основании заключаем, что номинальное значение напряжения в конце нагружения составляет 5,27 кг/см2. Именно из этого значения растягивающего напряжения будем исходить при проведении расчетов в следующем разделе.
2. Метод геометрической линеаризации.
Предположим, что либо к границе некоторого деформируемого тела приложены внешние усилия, либо заданы перемещения точек границы или их комбинация. Будем считать, что задаваемые усилия и перемещения являются функциями некоторого параметра например времени.
Поскольку при конечных или больших деформациях форма контуров границы тела может существенно измениться, то это неминуемо приведет к необходимости коррекции краевых условий в процессе решения, что в силу возникающей при этом неопределенности весьма затруднительно. Один из возможных способов решения этой проблемы состоит в следующем. Исходная задача, в которой реализуются конечные или большие деформации, разбивается на ряд последовательных этапов, на каждом из которых рассматривается геометрически линейная задача для малых деформаций.
Наиболее простой путь — это разбиение краевых условий на соответствующие приращения с точным соблюдением их временных (в общем случае назовем их параметрическими) диаграмм [2]. При этом решение задачи на каждом этапе дает возможность установить форму границ деформируемого твердого тела и скорректировать при необходимости краевые условия для решения задачи на последующем этапе. Текущие значения деформаций определяются их суммированием [3-5].
Будем считать, что в процессе деформирования на первом этапе первоначальная форма контура — окружность радиуса А — превращается в эллипс. Будем считать также, что на втором и последующих этапах происходит лишь изменение формы эллипса, а именно размеров его полуосей. Для получения решений на каждом из этапов будем использовать комплексные потенциалы [6-9]. Таким образом, в общем случае рассматривается бесконечная пластинка со свободным эллиптическим отверстием, подвергаемая одноосному растяжению на бесконечности.
В данной геометрически нелинейной задаче о растяжении тонкой пластинки толщиной 2Н со свободным круглым отверстием оси ОХ\ и ОХ2 прямоугольной декартовой системы координат ОХ1Х2Х3 расположим в плоскости пластинки, а третью ось — перпендикулярно к ней. Введем цилиндрическую полярную систему координат (т,9,Хз) и выпишем исходные краевые условия:
О11= Р
•\т=Л — ° °тв\т=Л — О33\х3=±к —
(1)
Допустим, что в процессе деформирования величина растягивающего напряжения на бесконечности постепенно увеличивается и к концу процесса достигает значения Р. Для упрощения разделим весь процесс на N этапов, на каждом из которых растягивающее напряжение получает приращение
Доц\и — Р — P/N.
(2)
Таким образом, на каждом этапе имеем задачу теории упругости [6] относительно приращений напряжений т^ — Доу, деформаций — Д£ц и перемещений щ — Дщ, содержащую уравнения равновесия, совместности, определяющие соотношения и краевые условия относительно указанных величин, приводить которые здесь нет необходимости.
Задача легко решается при помощи функций комплексного переменного г — Х1 + Х с использованием как двух комплексных потенциалов [6], так и трех комплексных потенциалов [8, 9]. При этом применяется конформное отображение внешности единичной окружности на внешность эллиптического отверстия с полуосями эллипса а, Ь
г = со(0 = к(( + ^
где К — (а + Ь)/2, т — (а — Ь)/(а + Ь).
Приведем выражения для трех комплексных потенциалов, ния (3) и учета краевых условий (1) и (2) запишем в виде [8, 9]
(3)
которые после применения отображе-
Ф1 (С) —
Р
4(1 + V)
1 + 2
т — е2гв С2 — т
(4)
Ф1(0 =
Р
2((2 - т)
1 - С е
2е—2гв
+
т — е
2гв
(2 — т
2(1 + шС2)С2 (1 + т2-т)\
1 — т(2 +
т — е2гв
1 + V у ' £2 — т /' где в — угол между направлением действия растягивающей силы и осью ОХ1,
(5)
(6)
^ (С)
Ф1 (С)
/1(С ) = / (г).
Потенциалы (4)—(6) при необходимости можно выразить и через переменную г при помощи соотношения _
г + л/ х2 — АтВ2 ^ ~ 2Я '
При определении компонент вектора перемещений на каждом этапе воспользуемся его комплексным представлением [7]
4цБ(г, г) = 4ц(^ + V) = /(г) — 2 ф) + гу'(г) + ф(г) Дифференцируя последнее соотношение, имеем
, дБ
4/х -—- = 2/х
ох
ди\ дь>2 .(дь>2 ди\ дх\ дх2 \дх\ 8x2
=2
гу'' (г) +ф'( г)
, дБ
4/х — = 2ц
дг
дих ди2 .(ди2 дь>\ дх\ дх2 \дх\ 8x2
= Пг)-2 уф)+уф)
Принимая во внимание равенства [6]
/1 (С)
Ф1(С)
получим следующие выражения
2ц
др\ ди2 .(ди2 9р\ дх\ дх2 \ctei 9x2
=2
"'(С)
МС)
Ф1(С ) + Ф1(С)
2ц
ди1 ди2 (ди2 ди1 \
= (с) — 2 Ф1(С) + Ф1(С)
Из этих равенств, выделяя действительные и мнимые части, находим выражения для производных ди1/дх1, ди2/дх2, ди1/дх2, ди2/дх1,.
В соответствии с предложенной методикой определения текущих значений деформаций [3-5] на каждом из этапов строится матрица
Бк = \\5гз + 0и(к)/0х31|,
где г,] = 1, 2; к — номер этапа. Последовательное умножение этих матриц дает нам итоговую матрицу Б для некоторой фиксированной точки деформируемого тела: Б = БкБк—1... Б2Б1. Определяя затем главные значения и направления оператора Б = уО^Е), при помощи логарифмической меры деформации находим текущие компоненты тензора деформации.
Текущие значения координат выбранного заранее дискретного множества точек на лицевой поверхности пластины получим путем последовательного суммирования соединяющих их отрезков. С этой целью рассмотрим некоторый отрезок, имеющий в исходном состоянии координаты (Дх1°, Дх2°). В результате
деформирования его длина и положение изменятся. На первом этапе они, очевидно, будут определяться его новыми координатами
Ах(1) = ( 8гз +
ди}
(1)
дх^
Ах
(0)
Аналогичным способом находится изменение координат второго элементарного отрезка, началом которого является конец первого элементарного отрезка, и т.д. При этом начало первого отрезка следует помещать в точке, положение которой в процессе деформирования каким-либо образом контролируется. В рассматриваемом случае в качестве таких точек были выбраны концы большой и малой полуосей эллипса. Указанный подход сохраняется на втором и последующих этапах при реализации метода геометрической линеаризации.
При определении текущих размеров полуосей эллипса их значения устанавливались после прохождения четверти контура от точки (аи, 0) до точки (0, ) исходя из проекций концов полуосей с учетом суммарных изменений их размеров. На основании этих изменений на каждом этапе производился сдвиг начала системы координат в центр эллипса. Положения нанесенных на лицевую поверхность пластины точек также находились с учетом суммарных изменений составляющих элементарных отрезков начиная от конца одной из полуосей. Для сравнения с определенными экспериментально значениями в табл. 1 представлены расчетные размеры полуосей, в табл. 2 — расчетные положения точек.
Приведем также сведения об изменении положения точки с координатами (0; 73) (в мм). Эта точка находится на оси ОХ2, на краю внешнего контура пластинки (в эксперименте). После деформирования при максимальной нагрузке непосредственное измерение (при комнатной температуре) дает (0; 61), а в расчете — (0; 64).
,__Распределения компонент тензора деформаций
э х2 (кривая 1) и £22 (кривая 2) вдоль сечения Х1 =0 пред-
ставлены на рис. 2. По оси абсцисс указано расстояние от центра эллипса, и зависимости приводятся для текущего состояния начиная от контура эллипса. На этом же рисунке знаками "+" отмечены смещения (уменьшенные в 10 раз) обозначенных на рисунке текущих точек вдоль оси абсцисс относительно того положения, которое они занимали в исходном, недеформированном состоянии. Их от-Рис- 2 рицательные значения свидетельствуют о том, что проис-
ходящие в результате деформирования смещения выбранных на этой координатной оси точек направлены к центру координатной системы.
Компоненты тензора напряжений в рассматриваемом случае (033 = 0, V = 0,5) находятся из равенств
0,6
0,3
-0,3
-0,6
-0,9
1
10
20.
.30.
Л—Д.
011
4Е/ £22
1Т11 + т
022
4Я / £И
Непосредственное вычисление показывает, что вдоль оси ОХ2 напряжение а 12 =0 и 022 при выходе на контур отверстия в соответствии с граничным условием обращается в нуль.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.
2. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
3. Шарафутдинов Г.З., Демин В.А. Метод геометрической линеаризации в технологических задачах нелинейного деформирования // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2001. 452-453.
4. Демин В.А., Шарафутдинов Г.З. Метод геометрической линеаризации в задачах нелинейного деформирования // МесЬашка. В1а1у81ок: Dzial -»у4а,»шс1'» 1 ро^гаШ. 2001. N 24. 123-127.
5. Шарафутдинов Г.З. Теория деформаций // Изв. МГИУ. 2008. № 1 (10). 92-111.
6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
7. Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости // Прикл. матем. и механ. 2000. 64, вып. 4. 659-669.
8. Шарафутдинов Г.З. Напряжения в бесконечной пластинке со свободным эллиптическим отверстием // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2002. № 5. 108-119.
9. Шарафутдинов Г.З. О некоторых применениях интеграла типа Коши в задачах деформирования тонких пластинок // Прикл. матем. и механ. 2008. 72, вып. 5. 798-809.
Поступила в редакцию 14.09.2009
УДК 681.5.01
ЗАДАЧА НАВИГАЦИИ ВНУТРИТРУБНОГО ДИАГНОСТИЧЕСКОГО СНАРЯДА
А. А. Панев1, Н. Б. Вавилова2
Приводится алгоритм навигации внутритрубного диагностического снаряда. В качестве основной привлекается высокочастотная первичная информация бесплатформенной инерциальной навигационной системы, корректирующими измерениями служит информация о координатах реперных точек и данных одометра. Приводятся результаты обработки экспериментов.
Ключевые слова: внутритрубные диагностические снаряды, постобработка, бесплатформенная инерциальная навигационная система, фильтр Калмана.
A navigation algorithm for a pipeline inspection system is described. High-frequency source data received by a strapdown inertial navigation system are used as a basis for this algorithm. The reference point coordinates and the odometer readings are used as correcting measurements. Some results of experimental data processing are given.
Key words: pipeline inspection systems, post-processing, strapdown inertial navigation system, Kalman filter.
Введение. Задача навигации внутритрубного диагностического (инспекционного) снаряда (ВДС) возникает в связи с необходимостью определения координат обнаруженных дефектов нефте- и газопроводных труб. Снаряд заключается в трубу (диаметром около 1 м) и перемещается в ней, движимый потоком. Характерная скорость движения снаряда в нефтяном потоке 1-5 м/с, время движения может достигать нескольких суток. Внутри трубы ВДС функционирует автономно, что накладывает ограничения на возможность применения точных навигационных датчиков. К таковым относятся инерциальные датчики: датчики угловой скорости (ДУС), ньютонометры, а также одометры. На базе инерциальных датчиков строится бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС). Возникающая навигационная задача решается в режиме постобработки. В качестве корректирующей информации привлекается позиционная информация о координатах реперных точек (маркеров).
Данная навигационная задача имеет следующие характерные особенности:
небольшой объем внешней позиционной информации: маркеры располагаются на расстоянии 2-4 км;
вынужденное использование инерциальных датчиков низкого и среднего класса точности из-за ограничения по габаритам и энергопотреблению;
большие интервалы времени работы: длительность прогона может составлять более суток.
Задача навигации ВДС ставится как задача коррекции БИНС в постобработке. Для ее решения используется информационный подход [1]. С точки зрения такого подхода информация делится на основную (инерциальную) и дополнительную (внешнюю по отношению к инерциальной), которая применяется для оценки вектора состояния погрешностей БИНС. Поскольку время функционирования БИНС значительно, а инерциальные датчики не обладают достаточной точностью, то возникающую коррекционную задачу необходимо решать в так называемом варианте введения обратных связей в навигационное счисление [1], базируясь при этом на известных линейных моделях уравнений ошибок БИНС.
1 Панев Алексей Анатольевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: apanyov@navlab.ru.
2 Вавилова Нина Борисовна — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nb-vavilova@yandex.ru.
