Одномерные уравнения мелкомасштабной турбулентности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ju. A. Bychkov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" S. V. Scherbakov

Pskov polytechnic institute - Saint-Petersburg state polytechnic university filial V. G. Mitropolsky

Velikje luky factory "Transneftemash"

Build-up features of phase trajectories of nonlinear nonautonomous electric circuits on the basis of the integral-differential form of their dynamical description

The build-up computing algorithm of phase trajectories of nonlinear nonautonomous electric circuits circumscribed by the equations in the integral-differential form is offered. The analytical-numerical method calculating scheme is put in a algorithm basis.

Nonlinear nonautonomous circuits, dynamical equations, Taylor series, conjugate system, calculation step, phase trajectories

Статья поступила в редакцию 30 октября 2002 г. УДК 532.517.4

А. М. Балонишников, В. Л. Горохов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Одномерные уравнения мелкомасштабной турбулентности

Для практических расчетов турбулентных течений в различных устройствах и приборах Куэтта в развитой турбулентности предлагается схема редукции уравнений Навье-Стокса к системам уравнений с понижением числа степеней свободы.

Аэрокосмические изображения, уравнения турбулентности, турбулентные течения, фронтальные течения, принцип подчинения Хакена

В развитой турбулентности проблема редукции уравнений Навье-Стокса к системам уравнений с понижением числа степеней свободы исключительно важна не только с теоретической точки зрения, но и для практических расчетов турбулентных течений в различных устройствах и приборах, например в приборе Куэтта [1]. Другим возможным применением подобного подхода является исследование явлений турбулентного перемешивания, генерируемого фронтальными течениями. Устойчивость фронтов во многом обеспечивается тем, что турбулентное перемешивание стремится поддержать границу между соприкасающимися водными массами. Энергию для турбулентного перемешивания поставляют большие градиенты скорости [2]. В местах резщлвыР АжШШйиЩани цыгврЩих 03 34

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1

речных вод происходит разрыв в поле горизонтального перемешивания: фронт как бы является барьером для последнего. Подобные явления хорошо видны на аэрокосмических изображениях [3]. Они представляют большой интерес для экологов, гидробиологов и гидрологов. Это связано с тем, что фронты - зоны повышенного продуцирования фито- и зоопланктона, которые хорошо регистрируются методами спектрозонального зондирования и, возможно, методами радиолокации с системами апертурного синтеза. Для тематического дешифрирования подобных изображений требуется достаточно детальная интерпретация этих явлений.

Особенно большое число степеней свободы приходится на мелкомасштабную часть турбулентности - от энергосодержащих вихрей до элементов масштаба диссипации. Современные физические подходы к описанию мелкомасштабной турбулентности содержатся в [1], [2], [4].

Один из подходов в построении крупномасштабных моделей турбулентности несжимаемой жидкости состоит в разложении полей скорости и давления на крупномасштабную часть и мелкомасштабные части (пульсации). Если уравнения для мелкомаш-табных компонентов решаются хотя бы приближенно, то подстановкой полученных решений в уравнения для крупномасштабных компонентов будут получены уравнения и для таких уравнений. До сих пор подобный подход был реализован только с использованием концепции "случайных сил" [5], [6] в линейном приближении, корреляционные характеристики которых задаются дополнительно.

В настоящей статье, насколько известно авторам, впервые предлагается подход, который хотя и не позволяет явно выразить пульсационные составляющие через крупномасштабные поля, однако делает задачу "замыкания турбулентности" квазиодномерной, а не трехмерной. Исходным для анализа служит уравнение для Фурье-компонент поляризационных составляющих пульсаций скорости [7]:

(dt + vk2 ) v^ = J^v^ + (B-1 ^ £ Ф^Р (Bv)a (p, t) (Bv)e (q, t), (1)

a,P,p+q=k

Л Л /

где dt - операция взятия частной производной по времени, в частности Qtv = dv /dt; верхние поляризационные индексы (a, р, у, ц, X) принимают значения 1 и 2; v - коэффициент кинематической молекулярной вязкости; v1, v2 -составляющие двухмерного поляризационного вектора скорости v (k, 6, n, t), определяемого в сферической системе ко-

11 22

ординат, использованной в [8]; J =^1, J =^2 - элементы диагональной матрицы собственных чисел J; фуав = -/kmsY (k)(p)s^ (q) - коэффициенты при нелинейных членах; k = k (cos 9 cos n sin 9 cos n sin n) - вектор, определяемый в той же координатной

системе, что и v; p, q - волновые векторы; в1,2 - два поляризационных единичных вектора, перпендикулярных вектору k:

£ = (sin 9 - cos 9 0), £ = (cos 9 sin n sin 9 sin n - cos n) ;

1

2

столбцами матрицы B = [bj b2 ] служат собственные векторы матрицы A линейной части уравнений для поляризационных компонент скорости (без вязких членов) Abj = ^jbj, Ab2 = ^2b2 [7], [9], элементы матрицы A определяются соотношением

На диагонали матрицы I стоят собственные числа ^ 2 линеаризированных уравнений:

где n = k/ k; S - тензор скорости деформации крупномасштабной скорости

скорости); tr - след матрицы; Q = rot U - вектор завихренности.

В приведенной математической модели (1), (2) предполагается постоянство крупномасштабной скорости при рассмотрении динамики мелкомасштабной скорости, в отличие от [5], где постулируется линейность крупномасштабной скорости. Именно поэтому уравнения для мелкомасштабной скорости получаются разными в двух предложенных подходах.

Согласно принципу подчинения Хакена [10], неустойчивые моды, являясь параметрами порядка, подчиняют устойчивые моды. Можно пойти дальше этого принципа, предположив, что наибольший вклад дают наиболее неустойчивые моды, которые нужно описывать с наибольшей точностью, т. е. осуществлять проекцию на эти наиболее быстро растущие моды. В [10] кроме того предполагается, что для стабилизации неустойчивых мод необходимы кубические члены, а выделение наиболее неустойчивых мод осуществляется оператором типа лапласиана. В отличие от этого подхода, в настоящей статье предлагается использовать более простой метод, состоящий в использовании разложения всех переменных (как зависимых, так и независимых) в ряды Тэйлора по двум угловым переменным около точек, соответствующих наиболее быстро растущим Фурье-гармоникам скорости, а также ограничиться рассмотрением течения типа Куэтта, в котором у тензора градиента скорости имеется лишь одна отличная от нуля переменная:

S = d]U2. В этом случае имеем Xi = (S/2) sin (29) cos2 n, ^2 = 0. Величина Ai достигает максимального значения в точках 9i = п/ 4, ni = 0 и 92 = 5п/ 4, П2 = 0. Ограничиваясь несколькими членами ряда Тэйлора вблизи этих точек, имеем

__ло^д тт.

J-L с. j£-mumv j .

(2)

компоненты вектора крупномасштабной

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1

Соответственно, разложение элементов матриц B и B-1, составленных из собственных векторов исходной матрицы A, имеет вид

Ъц = 1, ¿22 = 1 (выбор матрицы B в этом случае несколько произволен);

Ъц =-(л-л3/б) [1+2 (е-е,)], ¿12 =-(п-п3/б) [i - 2 (е-е,)]; Ъ-i1 = 1 + п2, ъ-2 = 1 + п2,

b-2 =

п +(7/6)п3 [1 -2(e-e,)], b-í = n + (7/6)n3 [1+2(e-e,)].

В исходное уравнение (1) для модифицированных поляризационных компонент v входят (под знаком суммы) волновые векторы q = k - p. Легко показать, что в сферической системе координат, используемой здесь, как и в [9],

tg 0q = (k sin 0£ sin r\h - P sin 0p cos Пp )/ (k cos 0£ cos r\h - P cos 0p cos Пp ),

sin nq = (k sin nk - psin П p )/ q,

2 2 2 i \ lili где q > 0, q = k + p - 2kp cos Пк cos np cosí 0k-0p) - 2kp sin щ sin np ; p = |p|, q = |q|, а

индексы q, k, p указывают на компоненты соответствующих векторов. Тогда разложения 0q и nq вблизи углов 0, и п, имеют вид

0q = 0, + [k/(k - p)] (0k - 0, ) + [p/(p - k)] (0p - 0 ) , nq = (k/|k - p|)Пk - (p/|k - p|)Пp .

Из физических соображений q = |k - p| > 2л/L, где L - масштаб, разделяющий пульсации и крупномасштабное движение. В моделировании больших вихрей под L можно подразумевать шаг разностной сетки. Из вида последних разложений можно предположить, что указанный подход будет описывать взаимодействие вихрей существенно разных масштабов не очень точно. Следуя принципу подчинения Хакена [10], можно положить

устойчивые и нейтральные (в рассматриваемом случае) v = 0. Вблизи самых неустойчивых направлений, определяемых углами 0,, п,, наибольший вклад дадут нелинейные

члены с коэффициентами

Ф111 = ik[p/(p-k)](0k-0p), Ф112 =-ik[(k/|k-p|)nk -(p/|k-p|)Пp-nk. Следуя работе [9], при L можно перейти от суммы к интегралу по волновым числам в (2): (2л/L)3 ^k (') ^ J(')dk1dk2<dk3 . Используя ранее полученные разложения в ряд Тэйлора, получим следующее приближенное уравнение для неустойчивых мод мелкомасштабной скорости v1 :

да —п/ 2

(dt +vk2)v1 = 11vl + ik(L/2n)3 J p2dp | cosnpdnp J d0pZv1 (p)v1 (q), (3)

2п/ L —п/2 (unst)

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1===============================

где (unst) - углы, соответствующие неустойчивым модам; 0р е [0, п/2] и [п,3п/2];

Я.1 = (S/2) 1 -2(0-0j)2 -(n-nj)

, j = 1, 2;

Z =

í \ P

к - p

í \ P

( 0k-0 j ) -k-p( 0 P-e j ) +

|k - p|

Лк

/ л P

\k - p\

Лр -Лk

|k - p|

k

f \ p

\k - p\

Л;

Метод решения интегрального уравнения разложением ядра и неизвестной функции в ряд Тэйлора около некоторой точки известен (см., например, [11]), хотя применялся, по-видимому, достаточно редко. Здесь этот метод применяется для интегрально-дифференциального уравнения и лишь для части независимых переменных (в рассматриваемом случае - только для угловых переменных).

В предположении, что в (3) значения функции V1 совпадают тождественно в предполагаемых точках максимума, являющихся максимумами ^1, главные члены ряда Тэйлора будут иметь вид

V1 (к, 0£, пк, X) = г (к, X) + с (к, X) (0к - 0,- )2 + Л (к, X) + / (к, X) щ (0£ - 0г-) .

Соответственно,

V1 (q, Bq, nq, t) = r (q, t) + c (q, t) (©p) +

p - k

í \ p

+d ( q, t)

\2

гЛк

к - p k - p

+f (q, t)

p - к

f к Л p - к

к

(©к -©i)

+

pT (© p -©i) + (©к -B1)

p - к

кПк- pn

к - p

Подставляя разложения в ряды Тэйлора в приближенное уравнение (3), выполнив необходимые интегрирования по угловым переменным и приравняв коэффициенты при

степенях угловых переменных Пк и (0к -®1), получим интегрально-дифференциальные

уравнения относительно неизвестных функций г (к, X), с (к, X), Л (к, X), / (к, X) (из уравнения для / следует, что / = 0):

dt + ук2 - -

л ,L х3 ®

xr

(I к - p|)

r = 21к

+

2п

í dp'

m

na i

2 r (p) + aiPic(p) + n22d(p)

(к - p)2 (к - p)4

(|к - p\) [aiPir (p) + aiP2c (p) + a2pid (p)]

+

+

(к - p )

d(|к - p|)

r (p)+pi« 2c (p)d (p)

(4)

x

x

2

x

2

4

6

c

6

S

dt +vk2 - S

. t 2 у

C + Sr =

= 2ik3

2n

\3 ®

J dp

(k - p )4

-с (I к - p\)

na i

2 r (p) + «iPic(p) + n22d(k)

dt + vk2 - S t2

S

d +— vn = 2 0

(5)

= 2ik3

n/2

2n

N3 ®

J dp

m

(k - p )

V 2

d (J k - p|)

^с (p)+aiPic (p)d (k)

(6)

где a

i = J n2i cosndn ; Pi = J ( 9-Я

\2i

4

d0, откуда а^ « 0.93; а2 ~ 0.96; аз « 1.29;

V 4

-я/2 0

Р1 « 0.32; Р2 ~ 0.12; m = (2п/L)-\/3 - модуль наименьшего волнового числа.

Из физических соображений из области интегрирования должна быть удалена область - p| < m, соответствует крупномасштабному движению.

Решение системы уравнений (4)-(6) требует гораздо меньшего компьютерного времени из-за одномерности задачи в пространстве волновых чисел даже для очень больших

сеточных чисел Рейнольдса Яе¿ = Ж2/V . Полученные интегрально-дифференциальные

уравнения преобразованиями K = кИ,, T = tS|L, D = d|SL, V(K) = vo|SL, C(K) = c|SL

можно свести к безразмерному виду.

Если дополнительно ввести новые переменные G = ^k4 , Q = C^k4 , F = V/k2 , то можно избавиться от волновых чисел в знаменателях подынтегральной функции (из-за громоздкости и очевидности преобразований полученные уравнения не приводятся). Расчетом нестационарных одномерных уравнений модели и сравнению с экспериментальными спектрами турбулентности будет посвящена отдельная работа.

Библиографический список

1. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1, 2. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. 740 с.

2. Монин А. С. Турбулентность и микроструктура в океане // УФН. 1973. Т. 109. Вып. 2. С. 333-354.

3. Экспериментальная обработка радиолокационных изображений высокого разрешения, полученных при помощи системы с синтезируемой апертурой / К. Я. Кондратьев, Г. А. Ефремов, А. А. Бузников, В. Л. Горохов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 317, № 1. С. 70-77.

4. Frisch U. Turbulence. The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 643 p.

5. Скворцов Г. Е., Тимохов Л. Е. К теории турбулентности // Вест. ЛГУ. 1980. № 13. С. 106-119.

6. A dynamic subfilter model for plane parallel flows / B. Dubrulle, J. P. Laval, S. Nazarenko, N. K.-R. Kevla-han // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13, № 7. P. 2045-2054.

7. Балонишников А. М. Турбулентная вязкость и крупномасштабная завихренность в моделировании большими вихрями // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 1. C. 33-38.

4

m

4

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1======================================

8. Lee J. The triad-interaction representation of homogeneous turbulence // Journ. of Mathem. Phys. 1975. Vol. 16, № 7. P. 1359-1366.

9. Брюно М. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 255 с.

10. Хакен Г. Синергетика / Пер с англ. М.: Мир, 1980. 404 с.

11. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ. пособие. Киев: Наук. думка, 1986. 369 с.

A. M. Balonihnicov, V. L. Gorohov

The За'т1-Ре1егзЬигд state electrotechnical university "LETI"

The One-Dimensional Equations of Small-Scale Turbulences

A method for approximation of the Navier-Stokes equations to equations system with reduction of the freedom degrees number is offered for practical calculation of the turbulent flows in different devices and Couette instrument in developed turbulence.

Aerospace image, turbulence model, turbulent flow, frontal currents, Haken's slaving principle

Статья поступила в редакцию 30 января 2003 г. УДК 621. 396.62

В. М. Кутузов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Исследование информативности оценок фазочастотных спектров авторегрессионных моделей

Приводятся результаты исследования оценок фазочастотных спектров, полученных на основе использования авторегрессионных моделей. Показана их высокая информативность при решении задачи оценивания частот узкополосных и гармонических сигналов на фоне аддитивного шума. Получены соотношения для расчета авторегрессионных оценок фазочастотных спектров. Приведены результаты экспериментальных исследований на примере оценивания доп-леровских спектров в загоризонтных РЛС декаметрового диапазона.

Спектральное оценивание, авторегрессия, параметрические модели

Модельно-параметрические методы оценивания спектральной плотности мощности (СПМ) на основе авторегрессионных (АР) моделей широко применяются в различных приложениях для обработки данных во временной, в частотной и пространственной областях [1]. Они являются разумной альтернативой традиционным методам, основанным на преобразовании Фурье (ПФ) в тех случаях, когда на ограниченной выборке требуется

© В. М. Кутузов, 2003