Одномерное стационарное течение газа при подводе энергии в конечной области Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том VIII 1977

№ 1

УДК 534.222.2

ОДНОМЕРНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ПРИ ПОДВОДЕ ЭНЕРГИИ В КОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ

А. Н. Кучеров

Получено решение для одномерного стационарного течения газа при подводе энергии в конечной области по заданному закону. В рамках уравнений Навье — Стокса построено непрерывное вместе с первыми производными решение при числах Рейнольдса Ие—1(М~Кп), 1?е->0(М-*0, Кп —фиксировано), Ие -* оо(Кп -► О, М— фиксировано). Выполнены расчеты для случая подвода энергии с постоянной интенсивностью и с интенсивностью, распределенной по продольной координате по гауссову закону.

1. Рассмотрим однородный равномерный, поток газа, характеризующийся плотностью р^, скоростью и^, давлением р00, энтальпией и коэффициентом динамической вязкости Пусть перпендикулярно потоку распространяется интенсивный параллельный пучок электромагнитного излучения. В первом приближении взаимодействие излучения с газом можно характеризовать энергией, поглощаемой единицей объема за единицу времени. В общем случае эта энергия является некоторой функцией координат и времени

д1

Я (•*> У, г, 0 = — ¿7 .

где

/(*, у, г, = У, 0, ¿)ё~'иг есть интенсивность луча, распространяющегося по направлению г в среде с коэффициентом поглощения ос. Для газов в нормальных условиях коэффициент поглощения а, как правило, очень мал (для электромагнитного излучения с длиной волны, равной 10,6 мкм, коэффициент поглощения а в воздухе равен 10 «-^-10 7 м~1). Таким образом, если I есть некоторый характерный размер в направлении г, то при а1 < 1 с погрешностью О(с^) можно пренебречь зависимостью функции g (х, у, г, <) от координаты г ^ (х, у, г, ¿) = а/{х, у, 0, ¿) [1 + О (а/)]), т. е. считать течение двумерным. Примем, что газ является термодинамически совершенным и поглощение энергии не вызывает изменения физических постоянных газа (числа Прандтля о, коэффициента поглощения а, показателя адиабаты г. и т. д.).

2. Ограничимся рассмотрением одномерной задачи о подводе энергии по заданному закону g (х) в некотором конечном слое толщиной й, перпендикулярном направлению течения газа. Для этого предположим, что поперечное сечение луча представляет собой вытянутый прямоугольник с продольным (по направлению течения газа) размером, значительно меньшим поперечного. В пределе поперечный размер можно считать бесконечно большим. Пусть, кроме того, интенсивность луча изменяется только вдоль координаты .V, направленной по потоку газа.

Переходя к безразмерным переменным, за характерную длину примем толщину слоя й, а в качестве характерной интенсивности выделения энергии возь-

й

мем среднее значение функции £ (х) в зоне подвода энергии §°= —J g{x)йx,

„ о

В качестве других характерных величин выберем параметры невозмущенного-

потока

Рое’

оо'

рж. Безразмерные уравнения Навье — Стокса для рас-

сматриваемого одномерного течения имеют вид:

йи

йх

р (х)и(х) = 1 йр 4

й

хМ2 йх ЗИе йх

йи

йх

йх йх 2

зИе

й_

йх

йк

йх

(*-1)

М2

Яе

й

йх

й

йх

Здесь Не

?оо‘

g^x)=0 при

П‘°; 1/2 < ш < 1

• < 0 либо х^> I.

(<>

М

-V

| Раз

■ поток энер-

^00 ' Роо«00«00

гии в газ вследствие поглощения излучения, отнесенный к потоку энтальпии невозмущенного газа.

Согласно известной оценке, число Рейнольдса связано с числом М и числом Кнудсена Кп = Х/й (X — длина свободного пробега молекул в невозмущенном газе):

Ие ~ М/Кп.

Оставаясь в рамках применимости уравнений Навье — Стокса, примем, что число Кп является малой величиной. Тогда для режимов, на которых число М больше по порядку, чем число Кп, число 1?е будет велико. С погрешностью порядка 1/Ие течение будет описываться невязкими уравнениями. Пренебрегая в уравнениях (1) членами, учитывающими вязкость газа, нетрудно получить следующее решение:

Ре(х)= 11ие(х); 1

Ре (-*) = 1 + [1 — ае (*)];

>ге (х) = ие (х) {* + [1 — ие (х)

/

ие (х) =

X + 1

№

0(х) =

2(*+1 М2/ V ' М»(1 -

при х < О,

\QGjx)

■ 1 /М2)2_

<2>

йх приО<Л<1,

1 при х > 1. .

Функция <3 (х) обращается в единицу на задней границе зоны подвода энергии в силу выполненного обезразмеривания. При этом суммарное количество подведенной в газ энергии характеризуется параметром у.

Решение (2) известно в теории детонации и горения (см работы [1, 2]). Однако в отличие от рассматриваемых там задач функция О {х) в нашем случае известна для произвольного сечения х внутри зоны подвода энергии. Для сверхзвукового набегающего потока наряду с режимом детонации [нижний знак , — * в решении (2)] в данной задаче реализуется так называемый режим »быстрого горения“ [верхний знак „ + * в решении (2)], В процессах горения этот режим, как правило, не реализуется. На режиме .быстрого горения“ параметры потока (скорость, плотность и т. д.) изменяются непрерывным образом во всем поле течения.

3. Рассмотрим случай малых значений числа М. Когда число М соизмеримо с числом Кп, число Ие будет иметь значение порядка единицы. Для таких режимов нельзя пренебрегать членами, учитывающими вязкость газа, в исходных уравнениях (1). В этом случае будем строить решение в виде ряда по малому параметру М3:

Р (■*) = Ро (.х) + Мз р, (*)+.. . р (х) =р0(х) + . . .

и (х) = «о (*)+.. . Л (*) = Л0 (х) + ....

Для основного приближения из уравнений (1) получаем соотношения Ро Мо = 1; Ро — 1 і Йо = Мої

Сі ¿Л0

dx

dx

(3)

g(x) = 0 ири ;c<0 либо x< 1 при следующих граничных условиях:

h0(x)~* 1 при х -* — ос, Л0 (.*)-¡-1 + Q при х + оо. (4)

Дл» построения полного решения в нулевом приближении необходимо решить дифференциальное уравнение из системы (3) с граничными условиями (4).

Вне зоны подвода энергии это уравнение является однородным, ему удовлетворяет, прежде всего, тривиальное решение Л0 (х) = const. Кроме этого, в указанных областях течения при значениях показателя степени <о = 1 и 1/2 рассматриваемое уравнение имеет следующие нетривиальные решения:

х = С2 +

о Re

[ho (х) + Сх In I h0 (x) — Ci |] при co=l;

x — Co

1

a Re

2У h0(x) + Ci\n

VCt-Vho(x) l^Cj 4- У hg (x)

при

_1_

2

(5)

где С] = 1 при л: С 0, Cj = 1 + Q при х >• 1.

Соотношения (5) не справедливы при х = •+- со для конечной функции h0(x), равной 1 + Q. Поэтому остается принять, что за зоной подвода энергии энтальпия h0(x) тождественно равна постоянной 1 +Q и, следовательно, скорость а0(х) равна 1 + Q, плотность р0(а:) = 1/(1Q). При х =—оо соотношения (5) выполняются. Постоянная С2 определится из условия сопряжения с решением внутри зоны подвода энергии.

Рассмотрим простейший случай подвода энергии с постоянной интенсивностью g(x) = const. В силу сделанной нормировки эта константа равна единице. Интегрируя дифференциальное уравнение из системы (3) один раз, получим:

= a Re (ho (х) — Qx— 1)/А“ (а:). (6)

Здесь постоянная интегрирования определена из условия сопряжения с тривиальным решением h0(x) = 1 + Q за зоной подвода энергии. При этом выполнены условия непрерывности функции h0{x) и ее первой производной при х=1.

Пусть о>=1. Тогда уравнение (6) с помощью подстановки x = t — —i-, ho = tz

V

можно привести к виду с разделенными переменными. В результате интегрирования находим:

t(z) =

С3ехр .

a Re

]/4QjRe — (aRe)3

arctg j^.

2z — 0 Re

У4Qo Re — (aRe)2

Y z2 — ® Re Z a Re Q

при о Re<4Q,

C3exp

2 Q

2 Q

2 Q

a Re

C* z — z, 2(г,-га)

г - z2

где z12 =

Y\z2 — 0 Re z + Qa Re I - (0 Re ± Vi? Re)3 — 4Qa Re).

при a Re = 4Q,

при oRe>4Q,

Постоянная интегрирования С3 находится из условия сопряжения с решением за зоной подвода энергии. Например, для случая а Ие = 4(? постоянная С9 равна С3 = — (1 + (?)ехр2.

Таким образом, внутри зоны подвода энергии получено решение в параметрическом представлении. Параметром является г. Составив таблицу значений вспомогательной функции t (г) для конкретных значений параметров подобия о йе и <3, в конечном итоге получим значения энтальпии Л0(х) в любом сечении зоны подвода энергии. Тогда из условия непрерывности энтальпии Л0(л) на фронте зоны подвода энергии (х =0) легко определить постоянную С2 для решения (5) до зоны подвода энергии. Соотношение (6) показывает, что при

_____________ 9 = 1; 0=0,72 :$(Х)= 7_______________

Яе=0,7;ш = 7 7?е = 7; ш = 7^ ■^п0(х) /

7?е=7; ш=0,5 Олрих ^0 х » Osx^l 7 >> х«7

7?e=70¡ ш = 7 /1

/

-г -7 О 7 X

Фиг. 1

4=7;в=0,72;ш = 7

Фиг. 2

этом будет непрерывна и первая производная от энтальпии dh0¡dx на фронте зоны подвода энергии. Таким образом, получено непрерывное вместе с первыми производными решение во всем поле течения.

На фиг. 1 приведены результаты расчетов. Для случая, когда показатель степени о> в законе зависимости коэффициента вязкости от температуры равен 1/2, расчеты выполнены путем численного интегрирования. Полученное решение справедливо не только для чисел Re порядка единицы, но и для Re 0. Вследствие теплопроводности возмущения распространяются вверх по потоку на расстоянии порядка I/Re. Предельный переход Re оо будет рассмотрен ниже.

На фиг. 2 показаны результаты численного расчета для случая подвода

энергии по гауссову закону g(х) = . g-4*3. Численные постоянные здесь

V л

выбраны таким образом, что характерной длиной является расстояние между сечениями, в которых значения функции интенсивности подвода энергии g(x)

X

в е раз меньше максимального ее значения g0. Функция G (х) = J g(z)-dx

— ОО

нормирована к единичному значению при х = + оо. Результаты расчета качественно соответствуют случаю равномерного подвода энергии в конечной области (см. фиг. 1).

4. Рассмотрим случай больших значений числа Рейнольдса. Обратимся вновь к невязкому решению (2). Это решение обладает следующей особенностью: если функция g (х) разрывна в масштабе толщины зоны подвода энергии на границах этой зоны [g^x) = 0 при л:<0 либо *>1; go^S))Ф^ и ¿Г (1) 0], то

разрывны будут производные решения (2) и, следовательно, такие характеристики потока, как напряжение трения и тепловой поток, не определены. Для устранения этой особенности необходимо построить асимптотически сращиваемое решение в узких вязких слоях на границе зоны подвода энергии. Приравнивая по порядку вязкие и инерционные члены, находим, что масштаб этих областей равен 1/Ие. Чтобы на таких длинах было справедливо условие сплошности среды, число М должно быть по порядку меньше единицы: кх ~ ~

Ие

~ > Кп при Кп < М <£ 1. Предельный переход Ие -> со можно осуществить,

зафиксировав число М и устремив число Кп к нулю.

Относительно функции g (х) необходимо сделать следующее замечание. В реальных случаях функция g{x) будет непрерывной в некотором масштабе е(е« 1), если она разрывна в масштабе толщины зоны подвода энергии. Зададимся для примера следующим законом сглаживания функции £■(*):

>(■*)=■

g (0)

2 У т.

£(1)

2/я

Пусть параметр е равен 1 /Ие. В этом случае, хотя решение (2) является гладким в масштабе 1/Не, оно не справедливо в этом масштабе, так как получено без учета вязких членов.

Для построения внутреннего решения в вязком слое на передней границе зоны подвода энергии введем новую независимую переменную X = д:Ие. Исходя из внешнего невязкого решения (2), получаем следующие краевые условия для внутренней задачи: при X -у — оо

при X ->■ + со 1

и 1 -f- ■ А-»- 1 +.

X

Re (1— М*)

Q (1-%М*)*(0)

Re (1—М2)

и, р, h, р -* 1;

I <?*Ма*(0)

* +

1

Re (1— М2)

, 1 <?*(0)

Re (1 — М2)

(7)

(8)

I/Re:

Решение в вязком слое будем искать в виде ряда по малому параметру

и = 1 + Re Mi +

р = 1 + 1 Re /><(*) +

Л = 1 + 1 Re h (X) +

1

Р = 1 + Re pi(*) + •

И = 1 + 1 Re <oA, (ЛГ) +

(9)

Подставив разложения (9) в уравнения (1), получим для первого приближения следующие уравнения;

Рт + И1 — 0; А) — р1 щ)

йих 1 йрх 4 й.г и1 1ПГ+ ~хШ йХ = Т ЧЖ

йкл йи1 1 ¿2Л, 4 И]

+ !>М2 "Ж" = + ~ ~ЗЖ + (х~ 1)М2Т ¿X* ' • ■

(10)

При Л" С 0 в последнем уравнении следует заменить ^(0) на <р (X) =

= ^(0)—1—е_

2 (я)

С помощью подстановок и однократного интегрирования уравнений (¡0) приходим к следующей краевой задаче для функции и1 (X):

щ 0 при X

йщ

ИХ'

■ оо; Ц[ -*

6«, (Х) = /(Х);

<?г(0)

( I — М2)

Л" при А' -» -|- оо.

Здесь

я =1да(1 -*М*--|-«М*

Т^МГ<*-«*>).

/(*) =

4 хМ2

при

-00

где

Т" Ж ^(0) [* + /] 5 ЬВ°(*+

о

рти

В0 =

| г (') Л.

(1 — М2) ’

—СО

Остальные функции системы (10) определяются соотношениями

4 йщ

Р1

= хМ2

3 лх

Щ , Лх =5 + И,.

(П)

Общее решение уравнения (II) с учетом краевых условий будет иметь следующий вид:

«,(*)=

где

„А. х

С0 + •

/М

Л

Л.Х

| /Ц)е~^сИ при *<0,

£г0е*^+Д0^+В0(/

а

кх =

ь I при ^>0, — а — X

(12)

; Х= Уф — 46;

Зо /

—оо

, В0 { ак

-¡2+ I

Аналогичным образом можно построить решение в вязком слое на задней границе зоны подвода энергии:

3

X = (х — 1) Re; а --

4хМ»ц?и,(1>

[-Р«(1)-гМ*М1)]; Bt =

ре(\) - №ие(\) + ;

Qg(l)___________

4 хМ*

— а 4* '

«1 (Х) =

о,

ЛЩХ

| e"n%t dt

те

—nt t

D1en'x + BtX + Bx ^1 X

-ij'/w 0

Bt / , a% \ Bt / , ant \

— 5 («2 — 1 — a j - Ci - s y1»~ 1 jT j :

dt;

}(t) = bBl

t-\- j“ ф (t) dx

. о .

при

t<Qr / (t) = bBt j* ? (t) dx при i>0.

(13)

Решения (12) и (13) применимы также и в случае, когда параметр е меньше по порядку, чем 1/Re. Для этого нужно положить функцию у (х) тождественно равной нулю: 9 (х) = 0. Если параметр, е больше по порядку, чем масштаб вязкой зоны (1/Re), то можно применять решение (2) со сглаженной функцией интенсивности подвода энергии. При этом непрерывны производные от этого решения.

Решения (12) и (13) дают качественно верный результат и для чисел М, сравнимых по порядку с единицей, хотя уравнения Навье — Стокса в этом случае, строго говоря, несправедливы.

На фиг. 3 представлены примеры расчета решений (12) и (13) для случая <?(х) = 0. Следует отметить, что в предельном случае М 0 решения (12) и (13) имеют всюду непрерывную первую производную, т. е. напряжение трения и тепловой поток имеют определенные значения в точках разрыва функции g (де) интенсивности подвода энергии.

В заключение автор приносит благодарность В. В. Михайлову за руководство при выполнении работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М , Гостехиздат, 1954.

2. Зельдович Я. Б., КомпанеецА. С. Теория детонации.

М., Гостехиздат, 1955.

Рукопись поступила 22[ХН 1975 г.