CC BY
1152
Получена: 3 марта 2017 / Принята: 15 марта 2017 / Опубликована online: 30 апреля 2017 УДК 614.2 + 303.4
ОДНОФАКТОРНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ STATISTICA И SPSS
Андрей М. Гржибовский 1-4, http://orcid.org/0000-0002-5464-0498 Сергей В. Иванов 5, http://orcid.org/0000-0003-0254-3941 Мария А. Горбатова 2, http://orcid.org/0000-0002-6363-9595
1 Национальный Институт Общественного Здравоохранения, г. Осло, Норвегия;
2 Северный Государственный Медицинский Университет, г. Архангельск, Россия;
3 Международный Казахско-Турецкий Университет им. Х.А. Ясави, г. Туркестан, Казахстан;
4 Северо-Восточный Федеральный Университет, г. Якутск, Россия;
5 "Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. акад. И.П. Павлова", г. Санкт-Петербург, Россия.
Резюме
В настоящей работе представлены общие сведения о выполнении однофакторного линейного регрессионного анализа данных с использованием программного обеспечения Statistica 10 и SPSS 20 и интерпретация полученных результатов статистической обработки данных. Настоящая статья призвана дать общие сведения об однофакторном линейном регрессионном анализе, и не заменяет прочтения специализированной литературы по статистике и клинической эпидемиологии. Ключевые слова: Statistica, SPSS, линейная регрессия.
Abstract
UNIVARIATE REGRESSION ANALYSIS USING STATISTICA AND SPSS SOFTWARE
Andrej M. Grjibovski 1-4, http://orcid.org/0000-0002-5464-0498 Sergej V. Ivanov 5, http://orcid.org/0000-0003-0254-3941 Maria A. Gorbatova 2, http://orcid.org/0000-0002-6363-9595
1 Norwegian Institute of Public Health, Oslo, Norway;
2 Northern State Medical University, Arkhangelsk, Russia;
3 International Kazakh-Turkish University, Turkestan, Kazakhstan;
4 North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia;
5 Pavlov First Saint Petersburg State Medical University, St. Petersburg, Russia.
In this paper we present basic concepts of simple linear regression analysis using Statistica and SPSS software. Special emphasis is given to interpretation of the outputs provided by software packages. The article provides general knowledge and practical advices regarding the use of simpla logistic regression in biomedical studies, but it does not substitute specialized literature on biostatistics. Keywords: Statistica, SPSS, simple linear regression.
Туйшдеме
STATISTICA И SPSS БАГДАРЛАМАЛЫК КАМСЫЗДАНДЫРУДЫ КОЛДАНУМЕН Б1РФАКТОРЛЫ СЫЗЫКТЫК РЕГРЕССИЯЛЫК ТАЛДАУ
Андрей М. Гржибовский 1-4, http://orcid.org/0000-0002-5464-0498 Сергей В. Иванов 5, http://orcid.org/0000-0003-0254-3941 Мария А. Горбатова 2, http://orcid.org/0000-0002-6363-9595
1 Когамдык Денсаулык сактау ¥лттык Институты, Осло к., Норвегия;
2 СолтYCтiк Мемлекетлк Медициналык Университетi, Архангельск к., Ресей;
3 Х.А. Ясави ат. Халыкаралык Казак - ТYрiк Университетi, Туркестан, Казакстан;
4 СолтYCтiк - Шыгыс Федералдык Университетi, Якутск к-, Ресей;
5 Академик И.П. Павлов атынд. бiрiншi Санкт-Петербург мемлекеттiк медициналык университетi, Санкт-Петербург к-, Ресей.
Осы жумыста Statistica 10 жэне SPSS 20 багдарламалы; ;амсыздандыруды ;олданумен бiрфакторлы сызыкктык; регрессиялы; талдауды орындау жэне мэлiметтердi статистикалы; еццеуден алынган нэтижелер интерпретация туралы жалпы мэлiметтер берiлген. Осы макала бiрфакторлы сызыкты; регрессиялы; талдау туралы жалпы мэлiметтер беруге талап еттген жэне статистика жэне клиникалы; эпидемиология бойынша мамандандырылган эдебиеттi окуды ауыстырмайды.
Негiзгi сездер: Statistica, SPSS, сызыцтын регрессия.
Библиографическая ссылка:
Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Однофакторный линейный регрессионный анализ с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS / / Наука и Здравоохранение. 2017. №2. С. 533.
Grjibovski A.M., Ivanov S.V., Gorbatova M.A. Univariate regression analysis using Statistica and SPSS software. Nauka i Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2017, 2, pp. 5-33.
Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Statistica жэне SPSS багдарламалы; ;амсындандыруды ;олданумен б1рфакторлы ^зы^ты; регрессиялы; талдау / / Гылым жэне Денсаулы; са;тау. 2017. №2. Б. 5-33.
Настоящая статья продолжает серию публикаций, посвященных статистическому анализу данных биомедицинских исследований [10, 15, 16, 17, 18, 19]. Высокое качество статистического анализа является обязательным условием востребованности результатов исследований международным научным сообществом [30, 1], поэтому задачами настоящей серии статей является формирование у начинающего исследователя базисных представлений о статистической обработке данных, приобретение практического опыта работы с современными статистическими пакетами программ и предупреждение типичных ошибок, возникающих в процессе анализа результатов исследования.
Авторы настоятельно рекомендуют читателю еще на этапе планирования научно-исследовательской работы ознакомиться с литературой по эпидемиологии [35, 26, 37], а также с практическими аспектами организации и анализа результатов различных типов научных исследований в здравоохранении (одномоментных, когортных, экологических, экспериментальных исследований и «случай-контроль»), которые представлены в статьях, опубликованных в 2015 году в журнале «Наука и Здравоохранение» [11, 12, 14, 20, 21].
Настоящая статья посвящена однофактор-ному линейному регрессионному анализу с использованием программного обеспечения Statistica 10 и SPSS 20. Перед изучением статьи авторы настоятельно рекомендуют
читателю ознакомиться с другим методом оценки связи между количественными переменными - корреляционным анализом, который представлен в предыдущей статье серии [13].
При проведении научных исследований в области медицины и общественного здравоохранения, направленных на оценку воздействия различных факторов, на изучаемую систему, одним из конечных результатов анализа является создание математической модели изучаемого явления или процесса. Математические модели позволяют решать широкий спектр задач, стоящих перед исследователем, к числу которых относятся [34]:
- Оценка характера изменения выходных параметров изучаемой системы при изменении входных параметров.
- Оценка степени влияния действующих на систему факторов на ее выходные параметры.
- Прогнозирование уровней выходных параметров системы при заданных значениях действующих факторов.
Основные методы статистического
Поиск оптимальных уровней факторов для получения требуемых значений выходных параметров.
- Оценка информативности параметров при заданной совокупности действующих на систему факторов.
Главная задача построения модели процесса или явления - помочь исследователю получить дополнительную, неочевидную информацию об изучаемой системе, то есть понять, какие скрытые от непосредственного наблюдения процессы в ней происходят, и понять закономерности, которые напрямую не следует из экспериментальных данных. Соответственно, для того, чтобы выполнить данную задачу, необходимо не только построить модель и получить описывающие ее количественные показатели, но и перевести математические результаты моделирования в понятные, имеющие практическую ценность выводы, понятные специалисту в предметной области и дающие ему новое понимание происходящих в системе процессов [5].
Основные статистические методы моделирования представлены в таблице 1 [2, 6, 25, 27, 29, 36, 38].
Таблица 1.
Метод Переменная отклика Факторный признак Примеры
1 2 3 4
Однофакторный регрессионный анализ Количественная переменная Один фактор, описываемый количественной переменной Изучение связи между гестационным возрастом и массой тела новорожденных
Многомерная линейная регрессия Количественная переменная 2 и более факторов, описываемых количественными переменными Изучение влияния концентрации оксида углерода и диоксида азота на заболеваемость населения болезнями дыхательной системы с коррекцией на конфаундеры при экологическом дизайне исследования
Однофакторный дисперсионный анализ Количественная переменная Один фактор, описываемый качественной переменной Изучение влияния степени ожирения на уровень систолического артериального давления пациентов
Многофакторный дисперсионный анализ Количественная переменная 2 и более факторов, описываемых качественными переменными Изучение влияния социальной группы, уровня образования и наличия сопутствующих заболеваний на показатель качества жизни
Продолжение таблицы 1.
1 2 3 4
Ковариационный Количественная 2 и более факторов, Изучение влияния пола,
анализ переменная описываемых и качественными, и количественными переменными возраста и индекса массы тела пациентов на уровень холестерина в крови
Логлинейный Качественная 2 и более факторов, Изучение влияния пола, степени
анализ переменная описываемых качественными переменными тяжести заболевания и наличия сопутствующих заболеваний на выживаемость пациентов в течение определенного периода
Бинарная Дихотомическая 2 и более факторов, Изучение влияния пола,
логистическая (бинарная) описываемых и возраста пациентов и степени
регрессия качественная качественными, и тяжести заболевания на факт
переменная количественными переменными возникновения определенного осложнения заболевания
Мультиномиальная Качественная 2 и более факторов, Изучение влияния пола,
логистическая переменная описываемых возрастной категории пациентов
регрессия качественными и ординальными переменными и степени приверженности к терапии на тип течения заболевания (в случае 3-х и более взаимоисключающих типов течения заболевания)
Порядковая Порядковая 2 и более факторов, Изучение влияния пола,
регрессия (ранговая) описываемых возрастной группы и степени
переменная качественными и ординальными переменными ожирения пациентов на степень артериальной гипертензии
Однофакторный линейный регрессионный анализ является относительно простым методом, наиболее предпочтительным для получения базовых представлений об основных принципах статистического моделирования. В последующих статьях серии будут представлены методы моделирования, наиболее часто встречающиеся в биомедицинских исследованиях - множественная (многомерная, многофакторная) линейная регрессия и логистическая регрессия.
С остальными методами моделирования читатель может ознакомиться самостоятельно в процессе прочтения специализированной литературы по статистическому анализу [5, 2, 6, 25, 27, 29, 36, 38].
Для получения наглядного представления об однофакторном линейном регрессионном анализе рассмотрим пример линейной связи между условным независимым параметром X
и зависимым параметром Y, представленным для 10-ти наблюдений (рисунок 1).
о о
о
о о
о
о
о
о
-1-1-1-1-1-г
X
Рис. 1. Скаттерограмма зависимости между параметрами X и У.
Линейный характер связи в данном случае очевиден, что позволяет использовать однофакторный регрессионный анализ для моделирования зависимости параметра У от параметра X. Так как связь носит линейный характер, она может быть описана уравнени -ем линейной функции вида У = а * X + Ь.
Но само по себе уравнение данного вида подходит только для случая, когда все точки располагаются на прямой, описываемой данным уравнением, то есть для случая функциональной, а не корреляционной связи между переменными.
На рисунке 1 видно, что точки не располагаются на одной линии, но зависимость между переменными наиболее точно может быть отражена с помощью прямой, расположенной таким образом, чтобы все точки располагались максимальной близко к данной прямой. Такая прямая представлена на рисунке 2, и значение параметра Y в зависимости от параметра X будет описано уравнением У = Ь * X + Ьо + £, где Ь -коэффициент модели, Ьо - константа модели, а £ - случайная ошибка модели. Если бы между зависимой переменной У и независимой переменной X не было бы никакой связи, то регрессионная прямая проходила бы параллельно оси абсцисс через среднее значение переменной У.
х
Рис. 2. Построение линии регрессии для параметров X и У.
Следует отметить, что связь между количественными переменными также можно оценить с помощью корреляционного анализа, используя коэффициент корреляции Пирсона
или Спирмена [13, 7, 34]. При этом однофакторный линейный регрессионный анализ в определенном смысле можно рассматривать как углубленный анализ взаимосвязи переменных, позволяющий прогнозировать значение одной (зависимой) переменной на основании другой (независимой) переменной.
На рисунке 2 представлена линия, описываемая данным уравнением регрессии У = Ь1 * X + Ьо + £ (пунктирными линиями указаны «остатки» - разница между фактическим и представленным на линии значением переменной Y).
Степень выраженности разброса наблюдений вокруг линии регрессии определяется показателем, который называется суммой квадратов остатков (вЭг).
ЭЭг отражает меру неточности модели, или, другими словами, меру изменчивости (вариации) зависимой переменной Y, которую невозможно объяснить независимой переменной X. Линия регрессии проводится таким образом, чтобы значение SSr оказалось наименьшим. Почему же для оценки точности модели используется не просто сумма значений остатков, а именно сумма квадратов остатков?
Дело в том, что остатки, расположенные выше линии регрессии, будут иметь положительный знак, а расположенные ниже -отрицательный, и сумма значений остатков так или иначе будет близка к нулю и не даст никакой информации о том, насколько далеко расположены фактические значения зависимой переменной от прогнозируемых (предсказанных) значений, расположенных регрессионной прямой. В данном случае именно сумма квадратов остатков позволяет оценить совокупную степень удаленности фактических значений от предсказанных, так как ликвидирует влияние знаков остатков.
Соответственно, качество модели определяется тем, насколько точно она способна предсказать значение зависимой переменной Y на основании независимой переменной X. Вариацию зависимой переменной Y, объясняемую построенной линейной регрессионной моделью, можно представить в виде формулы: 5Эт = - ЭЭг, где - общая сумма квадратов для всех
значений зависимой переменной Y (мера общей вариации переменной Y), а ЭБг -представленная выше сумма квадратов остатков [8].
Одним из главных показателей качества модели является доля вариации зависимой переменной, которую способна объяснить модель: чем ближе она к 100%, тем выше качество модели. Доля общей вариации, которую способная объяснить регрессионная модель, выражается в виде коэффициента детерминации (К2), который рассчитывается по формуле R2 = ЭЭт / ЭЭ^
На практике ни одна из моделей не имеет 100% точности, так как такая степень точности предполагает наличие функциональной связи между переменными, что не наблюдается в изучаемых в медицине и общественном здравоохранении процессах. Следует отметить, что оценка степени неточности проводится для всех моделей, построенных с использованием различных методов математического моделирования (таблица 1), но в каждом случае используется определенный способ оценки неточности модели. К тому же все методы моделирования чувствительны к объему выборки наблюдений - чем больше объем выборки, тем более высокое качество модели следует ожидать.
Построение регрессионной линии методом наименьших квадратов вручную и ручной подбор соответствующих коэффициента и константы для уравнения у = Ь * х + Ьо крайне затруднителен, поэтому
однофакторный регрессионный анализ, как и остальные методы статистического моделирования, проводится с использованием специального статистического программного обеспечения, о котором будет сказано ниже. Именно простота получения уравнений регрессии с помощью современных статистических программ делает регрессионный анализ доступными для большого числа исследователей, но данный факт часто играет негативную роль, так как простота построения модели часто несопоставима со сложностью практической интерпретации построенной модели, и поэтому исследователи часто допускают серьезные ошибки в именно на этапе интерпретации моделей [5, 22].
Как и любой другой статистического метод, однофакторный линейный регрессионный анализ имеет определенные условия применения [8]:
- Выборка из популяции должна быть репрезентативной.
- Зависимая переменная должна быть количественной.
- Независимая переменная должна быть количественной.
- Зависимость между переменными должна носить линейный характер (проверяется графически путем построения скаттерограммы).
- Наблюдения (и остатки) должны быть независимы друг от друга (проверяется с помощью критерия ОигЬт-^Шзоп).
- Остатки должны иметь нормальное распределение (проверяется графически путем построения гистограмм и квантильных диаграмм, а также с помощью критериев Колмогорова-Смирнова или Шапиро-Уилка). О проверке нормальности распределения подробно сказано в первой статье настоящего цикла публикаций [15].
- Остатки должны иметь одинаковый разброс на всем протяжении предсказанных значений (или независимой переменной). Данное условие проверяется путем построения скаттерограммы (в идеальной ситуации график должен представлять собой бессистемный разброс точек).
Первые четыре условия применения метода не требуют комментариев по причине очевидности, а остальные условия будет подробно описаны ниже, в процессе пошагового описания алгоритма анализа.
Следует обратить внимание
исследователей на первое условие применения однофакторного линейного регрессионного анализа, так как модель, удовлетворяющая всем остальным условиям и имеющая высокую внутреннюю валидность, может оказаться совершенно бесполезной в отношении применения на уровне генеральной совокупности, если выборка наблюдений не является репрезентативной.
Для того, чтобы читатель приобрел практические навыки выполнения однофакторного линейного регрессионного анализа, будет рассмотрен фрагмент данных,
которые были собраны в ходе исследования, направленного на изучение метаболического синдрома и его детерминант в условиях неблагополучной социально-экологической ситуации в Южном Казахстане [23, 24, 28, 32].
В ходе данного исследования были получены значения индекса массы тела (ИМТ) и окружности талии 277 пациентов.
Однофакторный линейный регрессионный анализ будет проведен с использованием программного обеспечения Statistica 10 [31, 3] и SPSS 20 [4], демонстрационные версии которого можно загрузить с официальных сайтов разработчиков ^w^stsoftcom и www.ibm.com соответственно).
Представленные ниже алгоритмы действий являются не более чем инструментом анализа данных, в то время как корректная интерпретация полученных результатов требует наличия базисных знаний в области биомедицинской статистики, которые могут быть получены только путем изучения специализированной литературы [5, 2, 6, 25, 27, 29, 36, 38].
Однофакторный линейный регрессионный анализ с использованием программы Statistica 10
Для начала работы необходимо открыть файл 8_Regression_STAT.sta, который потребуется загрузить с сайта журнала «Наука и Здравоохранение». В данном файле представлены 2 непрерывные количественные
переменные: ИМТ (переменная «BMI») и окружность талии (переменная «Waist_circum»).
В результате статистического анализа данных будет построена линейная регрессионная модель зависимости ИМТ от окружности талии пациентов с метаболическим синдромом. Таким образом, переменная «BMI» выступает в роли зависимой переменной, а переменная «Waist_circum» является независимой переменной (переменной-предиктором).
На начальном этапе обработки данных требуется построить скаттерограмму, чтобы визуально определить, носит ли связь между переменными линейный характер.
Для этого войдем в меню «Graphs» в верхней части экрана и выберем раздел «Scatterplots...». В появившемся окне «2D Scatterplots» (рисунок 3) нажмем на кнопку «Variables» и выберем переменные, значения которых будут отложены по осям абсцисс и ординат, как это показано на рисунке 4. Выбор подтвердим нажатием на кнопку «ОК» и в открывшемся окне «2D Scatterplots» снова нажмем на кнопку «ОК».
В результате наших действий программа сформирует скаттерограмму зависимости между переменными «BMI» и «Waist_circum» (рисунок 5). Видно, что скаттерограмма отражает линейную зависимость и в достаточной мере гомоскедастична: разброс значений одной переменной практически не зависит от разброса другой переменной.
Рис. 3. Окно «2D Scatterplots» программы Statistica 10.
Рис. 4. Окно «Select Variables for Scatterplot» программы Statistica 10 (выбор переменных «Waist_circum» и «BMI»).
m
50
45
40
35
30
25
20
15
..... 0 о О О О
О О 0 О я
" 8 О OD ° § § а ° О 0 оё § О n.^ün 0_0 п Оо °
& ° ° QO О8 0О° 8° ° 0 о п о ОООÖÖ о °я о 0 о
Л о ? О <# а,0 о og 0
„о о 8 8 & ео8 о 88 ° ° 8 ЭГ>п Я @ОЙ1 О
о О ООО о о
60
70
80
90 100
Waist circum
110
120
130
Рис. 5. Скаттерограмма зависимости переменной «BMI» от переменной «Waist_circum» (программа Statistica 10).
На следующем этапе обработки данных «Statistics» (в верхней части рабочего для проведения однофакторного линейного пространства программы) и входим в раздел регрессионного анализа выбираем меню «Multiple Regression» (рисунок 6).
Рис. 6. Выбор раздела «Multiple Regression» меню «Statistics» программы Statistica 10.
1 v li^sa^J
_ Multiple Linear Regression: Regression_STAT
Quick Advanced |
Pol Variables )
Dependent: none Independent: none
OK
Raw Data
Input file:
</ Advanced options (stepwise or ridge regression)
Review descriptive statistics, correlation matrix m Extended precision computations
Batch processingAeporting Print/report residual analysis
Specify ail variables for the analysis; additional models {iraJep..'dep. vars) can be specified later. For stepwise regression etc. check the advanced options check box.
Cancel
j]S Options
Оjjen Data
«Ё>
Weighted —: moments
DF =
<S) W -1
N-1
See also the General Regression Models (GRM) module.
MD deletion ® Casewise Pairwise Mean substitution
Рис. 7. Окно «Multiple Linear Regression» программы Statistica
Программа откроет окно, в котором выберем переменную «BMI» как зависимую (поле «Dependent var. (or list for batch)»), а переменную «Waist_circum» - как независимую (поле
«Independent variable list»), подтвердив выбор нажатием на кнопку «OK» (рисунок 8).
В открывшемся окне сразу переключаемся на вкладку «Advanced» и отмечаем галочками позиции «Advanced options (stepwise or ridge regression)» и «Extended precision computations», которые в дальнейшем откроют возможность углубленного анализа. Далее нажимаем на кнопку «Variables», чтобы выбрать переменные для анализа (рисунок 7).
5ис. 8. Окно «Select dependent and independent variable lists» программы Statistica 10 (выбор переменных «BMI» и «Waist_circum»).
0
Программа вернется к окну «Multiple Linear Regression» (рисунок 7), в котором нажмем на кнопку «OK», после чего откроется окно «Model Definition», в котором снова нажмем на кнопку «OK» (рисунок 9). Данное окно позволяет задавать параметры модели, но, так как мы рассматриваем самый простой вариант линейной регрессионной модели - с одним независимым фактором, внесение изменений в изначальные настройки модели не требуется.
Далее программа откроет окно «Multiple regression results», с помощью которого мы будет пошагово выводить результаты моделирования и проверять степень соответствия построенной модели фактическим данным.
В окне «Multiple regression results» переключимся на вкладку «Advanced» (рисунок 10) и нажмем на кнопку «Summary:
Regression results» для вывода основных показателей модели (рисунок 11).
Рис. 9. Окно «Model Definition» программы Statistica 10.
Рис. 10. Вкладка «Advanced» окна «Multiple regression results» программы Statistica 10.
□ Workbookl* - Regression Summary for Dependent Variable: BMI (Regression_STAT)
Workbookl* G3 i_jjf Multiple Regression t_jr Regression resul | Summary St; Regression S
в lueJ
N=277
Intercept
Waist circum
Regression Summary for Dependent Variable BMI (Regression_STAT) R= .85705243 R?= .73453887 Adjusted R?= ,73357355 F(1.275)=760,93 p<0,0000 Std Error of estimate: 3.0387_
b*
Std Err of b*
Std Err. of b
t(275)
p-value
-8 60319 1 401966 -6 13652 0 0000001 0 857052" 0 031069 0.39360 0.014269 27.58502 0 000000|
Рис. 11. Общие сведения о линейной регрессионной модели, описывающей связь между зависимой переменной «BMI» и независимой переменной «Waist_circum».
На рисунке 11 представлены следующая информация о модели:
1. Статистическая значимость модели, проверяемая с помощью критерия Фишера (F): Fi, 275 = 760,93, p < 0,0001. Так как p < 0,0001 (программа указывает «p < 0,0000»), то нулевую гипотезу об отсутствии взаимосвязи между переменными «BMI» и «Waist_circum» можно отвергнуть, то есть статистически подтверждено наличие связи между изучаемыми переменными.
2. Коэффициент детерминации модели: R2 = 0,734.
3. Значения константы (bü) и коэффициента регрессии (b1) уравнения линейной регрессии y = bi * x + ba b0 = -8,603 (графа «b», первая строка), bi = 0,394 (графа «b», вторая строка). Программа также с помощью коэффициента Стьюдента проверяет нулевую гипотезу о равенстве нулю значений коэффициента и константы. В данном случае значения коэффициента Стьюдента (графа «t(275)») позволяют отвергнуть нулевую гипотезу как в отношении константы, так и в отношении коэффициента регрессии (представленные в графе «p-value» уровни статистической значимость меньше 0,05 как для константы, так и для коэффициента регрессии).
Таким образом, модель статистически значима, зависимость значения переменной «BMI» от значения переменной «Waist_circum» описывается уравнением Ybmi = -8,603 + 0,394 * Xwaist_circum, и доля вариации зависимой переменной «BMI», которую способна объяснить модель на основании независимой переменной «Waist_circum», составляет 73,4%.
Значение коэффициента регрессии (b1) показывает, насколько увеличится значение зависимой переменной при увеличении независимой переменной на единицу. Для данного примера ИМТ увеличивается на 0,394 кг/м2 при увеличении окружности талии на 1 см. Существует также стандартизованный коэффициент регрессии, который показывает, на сколько стандартных отклонений увеличится значение зависимой переменной при увеличении независимой переменной на одно стандартное отклонение (но на практике стандартизованные коэффициенты
используются нечасто). Константа (b0)
показывает, в какой точке регрессионная прямая пересечет ось ординат, то есть показывает значение зависимой переменной, если значение независимой переменной равно нулю. Для приведенного примера константа не имеет практического смысла, так как ИМТ не может равняться -8,603 кг/м2, да само по себе прогнозирование ИМТ для ситуаций, когда окружность талии стремится к нулю, является абсурдным. Рассмотренная ситуация наглядно показывает, что прогнозировать значения зависимой переменной следует только для того диапазона независимой переменной, на основании которого было построено уравнение регрессии. Так, в данном примере прогнозировать ИМТ пациентов с помощью вышеприведенного уравнения целесообразно только при значениях окружности талии от 68 до 127 см, несмотря на то, что регрессионную прямую можно провести далеко за пределы имеющихся данных в оба направления. Следует отметить, что подобное экстраполирование является довольно частой ошибкой исследователей, когда проводится прогнозирование значения зависимой переменной по значениям независимой переменной, которые не входили в исследование. Хотелось бы предостеречь начинающих и опытных исследователей от таких прогнозов, так как построенная линейная модель совершенно не гарантирует сохранения линейного характера зависимости на всем протяжении регрессионной прямой.
Возвращаясь к окнам программы Statistica 10, следует отметить, что в дальнейшем для просмотра результатов анализа, появляющихся при выполнении пошагового алгоритма, переключаться между окнами вывода данных можно с помощью дерева каталогов в левой части рабочего окна (рисунок 11), а возвращаться к процессу анализа следует путем нажатия на вкладку «Multiple Linear Regression» в нижнем левом углу рабочего поля программы.
Итак, нажмем на вкладку «Multiple Linear Regression» для возврата к процессу вывода результатов анализа. Программа откроет окно «Multiple regression results» (рисунок 10), в котором выберем вкладку
«Residuals/assumptions/prediction» (рисунок 12) и нажмем на кнопку «Perform residual analysis».
Рис. 12. Вкладка «Residuals/assumptions/prediction» окна «Multiple regression results»
программы Statistica 10.
Программа откроет следующее окно на вкладку «Advanced» и нажмем на кнопку «Residual Analysis», в котором переключимся «Durbin-Watson statistic» (рисунок 13).
Рис. 13. Вкладка «Advanced» окна « Residual Analysis» программы Statistica 10.
Результаты расчета критерия Durbin-Watson представлены на рисунке 14. Данный критерий проверяет условие независимости наблюдений друг от друга - обязательное условие применения однофакторного линейного регрессионного анализа. Допустимые значения для данного критерия -от 1 до 3. Если данный критерий имеет
значение менее 1 или более 3, это означает, что условие независимости наблюдений не соблюдается, и прогнозирование зависимой переменной с помощью однофакторного линейного регрессионного анализа не может считаться корректным [8]. В нашем случае данное условие соблюдено, так как значение критерия Durbin-Watson близко к 2.
3nfWorkbook2* - Durbin-Watson d (Regression_STAT)
J Workbook2* H-Ll* Multiple Regression Pl4 j? Regression resul i I Summary St Regression S Ь !_|f Regression resid Durbin-Wats
Estimate
Durbin-Watson d (Regression_STAT) and serial correlation of residuals
Durbin-Watson d
1 934426
Serial Corr.
0.032720
Рис. 14. Результаты расчета критерия Durbin-Watson.
Далее снова нажмем на вкладку «Multiple 13), в котором нажмем на вкладку «Residuals»,
Linear Regression» в нижнем левом углу после чего нажмем на кнопку «Histogram of
рабочего поля программы. Программа Residuals» для вывода гистограммы
вернется к окну «Residual Analysis» (рисунок распределения остатков модели (рисунок 15).
Рис. 15. Вкладка «Residuals» окна «Residual Analysis» программы Statistica 10.
В результате наших действий программа представит гистограмму распределения остатков модели (рисунок 16). Мы видим, что гистограмма имеет колоколообразную форму, близкую к нормальному распределению. Построение гистограмм является только одним из способов проверки распределения, другие способы включают в себя построение
квантильной диаграммы и расчет значений критерией Колмогорова-Смирнова и Шапиро-Уилка [15,9,33]. Итак, на основании гистограммы распределения мы можем сделать вывод о том, что остатки модели имеют распределение, близкое к нормальному, то есть данное условие применения однофакторного линейного регрессионного анализа соблюдено.
Рис. 16. Гистограмма распределения остатков модели (программа Statistica 10).
Далее вернемся к окну «Residual Analysis» и атипичных наблюдений (рисунок 17). По переключимся на вкладку «Outliers» для умолчанию программа считает «выбросами» анализа «выбросов» - имеющихся в выборке все значения, отклоняющиеся от среднего
более чем на 2 стандартных отклонения («Standard residual (> 2 * sigma)»). Нажатие на кнопку «Casewise plot of outliers» запустит вывод таблицы с перечнем «выбросов» (рисунок 18).
Согласно определению нормального распределения, количество подобных атипичных наблюдений не должно составлять более 5% от объема выборки. В нашем случае количество наблюдений, для которых остатки имеют значения либо менее 2, либо более 2 стандартных отклонений, составило 9 единиц,
то есть 9/277 = 3,2% от общего объема выборки, что укладывается в ожидаемые 5%. Следует отметить, что количество наблюдений с большими отрицательными остатками должно быть приблизительно равно количеству наблюдений с большими положительными остатками, что говорит о симметричности распределения остатков. В нашем случае это условие не соблюдается, но относительно незначительное количество «выбросов» (3,2% от объема выборки) нивелирует данное несоответствие.
Рис. 17. Вкладка «Outliers» окна «Residual Analysis» программы Statistica 10.
Рис. 18. Результаты анализа «выбросов» в выборке.
В том случае, если в выборке имеется большое количество наблюдений с остатками более 3 стандартных отклонений, это факт может свидетельствовать о большом разбросе данных вокруг регрессионной прямой, то есть о недостаточном соответствии модели имеющимся данным. А в том случае, если большинство из атипичных остатков имеют один и тот же знак, данный факт может говорить о наличии кластера наблюдений, которые не описываются построенной моделью.
Далее вернемся к анализу, и в окне «Residual Analysis» выберем вкладку «Save» и нажмем на кнопку «Save residuals & predicted» для отображения таблицы с прогнозируемыми значениями переменной «BMI», остатками и другими расчетными параметрами по каждому наблюдению выборки (рисунок 19).
В открывшемся окне «Select variables to save with predicted/reside» ничего не выбираем и нажимаем на кнопку «OK».
Рис. 19. Вкладка «Save» окна «Residual Analysis» программы Statistica 10
Программа представит таблицу (рисунок 20), в которой нас, в первую очередь, интересуют прогнозируемые на основании модели значения переменной «BMI» (графа «1 Predicted»), остатки (графа «2 Residuals»),
стандартизированные прогнозируемые
значения и стандартизированные остатки (графы «3 StandardPredicted» и «4 StandardResidual» соответственно).
Data: Spreadsheeffi* (8v by 277c) Ы
Regression STAT _I
1 Predicted 2 Residuals 3 StandardPredicted 4 StandardResidual 5 StdErrorPredicted 6 MahalanobisDistance 7 DeletedResidual 8 CookDistance □
1 28.79 0,55 -0.19 0.18 0.19 0.04 0.55 0.00
2 33.12 -3.72 0.67 -1.22 0.22 0.45 -3.74 0.00
3 32.72 -3.50 0.59 -1.15 0.21 0.35 -3,52 0.00
4 29.58 1.20 -0.03 0.40 0.18 0.00 1.21 0,00
5 22.88 3.09 -1.36 1,02 0.31 1,85 3.12 0.01
6 26,43 -1,99 -0,66 -0.65 0.22 0.43 -2.00 0.00
7 28.79 -2.93 -0.19 -0.96 0.19 0,04 -2.94 0,00
я 1Л RQ Л GQ n QR 1 П 9G П QG Л G9 П П1
U< ►
Рис. 20. Таблица прогнозируемых, на основании модели значений переменной «BMI», остатков, стандартизированных прогнозируемых значений и стандартизированных остатков.
С помощью данной таблицы проверим последнее условие применения однофакторного линейного регрессионного анализа, согласно которому остатки должны иметь одинаковый разброс на всем протяжении предсказанных значений.
Для этого войдем в меню «Graphs» в верхней части экрана и выберем раздел «Scatterplots...» так же, как при построении скаттерограммы для оценки линейного характера связи между переменными.
В появившемся окне «2D Scatterplots» (рисунок 3) нажмем на кнопку «Variables» и выберем переменные, значения которых будут отложены по осям абсцисс и ординат, как показано на рисунке 21. Выбор подтвердим
нажатием на кнопку «ОК» и в открывшемся окне «2D Scatterplots» снова нажмем на кнопку «ОК».
Рис. 21. Окно «Select Variables for Scatterplot» программы Statistica 10 (выбор переменных «StandardPredicted» и «StandardResidual»).
В результате наших действий программа сформирует скаттерограмму зависимости между стандартизированными
прогнозируемыми значениями переменной «BMI» и стандартизированными остатками (рисунок 22). Видно, что скаттерограмма представляет собой бессистемный разброс
точек, то есть остатки имеют примерно одинаковый разброс на всем протяжении предсказанных значений. Таким образом, можно сделать вывод о том, что последнее условие применения однофакторного линейного регрессионного анализа соблюдено.
^^VVorkbook2* - Scatterplot of StandardResidual against StandardPredicted
L^ Workbook2*
S I -Ö-
Ö-i_jf Multiple Regression Regression resul Summary St. fi [ Regression S Ö--L$ Regression resid Ц Durbin-Wat! ф Distribution Standard Res B-E|f 2D Scatterplots (Spr Scatterplot of St
Scatterplot of StandardResidual against StandardPredicted Spreadsheet6 8v*277c StandardResidual = -2,6763E-9+3,2125E-8*x
-2
-3
о о
о о
0 0 о 43 ° с О о ° 0 п, о 0° о„ „о да о» о о „ о о
0 о о _ оО о°оо<Ь ВЬ° у 0 ° ° 9 ° °° ¡ЛЧв
о о и о О1* О ОО °о § о о О °8> goC 0^ Ü 0« Г&в о ОО 8 о
о о ag> а о 0 о 0° о ®о"0°5 °°°° ° Or, о о 000 о
о 0
-3
-1 0
StandardPredicted О U >
^ Scatterplot of StandardResidual against StandardPredicted
Рис. 22. Скаттерограмма зависимости между стандартизированными прогнозируемыми значениями переменной «BMI» и стандартизированными остатками (программа Statistica 10).
Таким образом, построенная статистическая модель, описывающая зависимость ИМТ от окружности талии пациентов с метаболическим синдромом, имеет достаточную внутреннюю валидность, о чем можно судить на основании значения коэффициента детерминации, равного 0,734, и соблюдении всех условий применения однофакторного линейного регрессионного анализа. Модель также имеет достаточную внешнюю валидность, так как имеющаяся выборка наблюдений является сплошной.
Следует отметить, что регрессионное уравнение модели Yвмl = -8,603 + 0,394 х Xwaist_circum позволяет прогнозировать только среднее значение ИМТ: например, среднее значение ИМТ пациентов с метаболическим синдромом, имеющим окружность талии 100 см, будет равно 30,8 кг/м2.
В программе Statistica 10 предусмотрена возможность расчета 95% доверительных интервалов для среднего прогнозируемого значения зависимой переменной. Для этого потребуется вернуться к процессу анализа и с помощью нажатий на кнопку «Cancel» вернуться к окну «Multiple regression results», вкладка «Residuals/assumptions/prediction» (рисунок 12). Далее нажмем на кнопку «Predict dependent variable», после чего программа откроет окно для ввода значения независимой переменной, на основании которой будет рассчитано значение зависимой переменной и ее 95% доверительный интервал (рисунок 23). Введем значение переменной «Waist_circum», равное 100, и нажмем на кнопку «OK» для вывода результатов расчета значения зависимой переменной «BMI» (рисунок 24).
Xf ^(п-2) ' Se
i
1 + - + n
1 (X, -X)2
X«,-X
i=1
Xf + t(n-2) ■ se
i
1+1+ (Xff-X)'
n
,-X
Predicting Values for (Regression_STAT
variable: В VII
b-Weight Value b-Weight
Variable * Value
Waist circum 0.393599 100.0000 39.35988
Intercept -8.60319
Predicted 30,756691
-95,0%CL 30.39002
+95.0%CL 31.12336
■■■I
Рис. 23. Окно «Specify values for indep. vars» программы Statistica 10.
Таким образом, для значения окружности талии, равного 100 см, среднее значение ИМТ пациентов с метаболическим синдромом будет с 95% вероятностью находиться в пределах от 30,39 до 31,12 кг/м2 (строки «-95,0%CL» и «+95,0%CL»). Но это совершенно не значит, что при окружности талии, равной 100 см, ИМТ будет с 95% надежностью находится в указанных пределах -рассчитанный доверительный интервал относится только к среднему значению ИМТ. Соответственно, прогноз среднего значения, даже если рассчитать его 95% доверительный интервал, не имеет весомой практической ценности. С практической точки зрения гораздо важнее оценить, в каком интервале будут находиться значения ИМТ отдельных пациентов с метаболическим синдромом (разумеется, данный доверительный интервал будет шире доверительного интервала для среднего прогнозируемого значения ИМТ). Для этого необходимо рассчитать нижнюю и верхнюю границы предсказательного интервала, в который попадет 95% всех значений ИМТ пациентов из генеральной совокупности, согласно формулам:
Рис. 24. Результаты расчета значения ИМТ на основании значения окружности талии, равного 100 см.
где Y. является спрогнозированным средним значением, рассчитанным по уравнению YbmI = -8,603 + 0,394 X XWaist_circum, под выражением t(n-2) подразумевается значение t для n-2 степеней свободы (поскольку выборка достаточно большая (n = 277), можно использовать значение 1,96, как для классического нормального распределения), а Se представляет собой стандартное отклонение остатков. Se можно рассчитать с использованием программных средств Statistca 10 на основании значений переменной «Residuals» таблицы, представленной на рисунке 20 («Statistics» - «Basic Statistisc/Tables» - «Descriptive Statistics» - «Summary: Statistics») [15], либо вручную по формуле:
i=1
Однофакторный линейный регрессионный анализ с использованием программы SPSS 20
Для начала работы необходимо открыть файл 8_Regression_SPSS.sav, который потребуется загрузить с сайта журнала «Наука и Здравоохранение». В файле представлены те же вариационные ряды, что и в файле данных программы Statistica: ИМТ («BMI») и окружность талии («Waist_circum»).
На начальном этапе анализа необходимо построить скаттерограмму для подтверждения линейного характера связи между переменными.
n
n
Для этого войдем в меню «Graphs», раздел «Legacy Dialogs», подраздел «Scatter/Dot» (рисунок 25).
В открывшемся окне «Scatter/Dot» выберем простую скаттерограмму «Simple Scatter» и нажмем на кнопку «Define» (рисунок 26).
"Regression_SPSS.sav [DataSetl] - IBM SPSS Statistics Data Editor
File Edit View Data Transform Analyze Direct Marketing Graphs Utilities Add-ons Window Help
ЁЭ Ы M ИЗ к- ai йй Chart Builder И Graphboard Template Chooser... i
1 : Legacy Dialogs Bar... [¡33 3-D Bar... H Line... ¡¿¡] Area... S Pie. £3 High-Low... >r
BMI Waist circum var var var var var
1 29.34 95.00
2 29.40 106.00
3 29,22 105.00
4 30.78 97.00
5 25,97 80.00
G 24.44 89.00 § Boxplot... EJ Error Bar... Population Pyramid...
7 25.86 95.00
8 39.28 30.48 110.00
9 99.00
10 29.75 104.00 □ Scatter/Dot... Q Histogram...
11 25,81 86.00
Рис. 25. Выбор подраздела «Scatter/Dot» меню «Graphs» программы SPSS 20.
Рис. 26. Окно «Scatter/Dot» программы SPSS 20.
В открывшемся окне «Simple Scatterplot» с помощью стрелок между полями перенесем переменную «Waist_circum» в поле «X Axis», а переменную «BMI» - в поле «Y Axis» и нажмем на кнопку «OK» (рисунок 27).
В результате программа сформирует скаттерограмму, представленную на рисунке 28. Данный график соответствует скаттерограмме на рисунке 5.
Рис. 27. Окно «Simple Scatterplot» программы SPSS 2G.
Далее выполним однофакторный линейный регрессионный анализ, который в программе SPSS 20 потребует значительно меньшего количества манипуляций по сравнению с
программой Statistica 10. Для этого войдем в меню «Analyze», раздел «Regression», подраздел «Linear» (рисунок 29).
Рис. 28. Скаттерограмма зависимости переменной «BMI» от переменной «Waist_circum» (программа SPSS 20).
*Regression_SPSS.sav [DataSetl] - IBM SPSS Statistics Data Editor File Edit View Data Transform Analyze Direct Marketing Graphs Utilities Add-ons Window Help
a y m из *
1 :
BMI
Waist cir
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
29.34 29,40 29.22 30,78 25.97 24.44 25.86 39.28 30.48 29.75 25.81 29,75 27.01
26.42 26.84 28,73 28.80
23.43 27,53 24.30 40.15
Regorts
Descriptive Statistics Tables
Compare Means
General Linear Model
Generalized Linear Models
Mixed Models
Correlate
Regression
Loglinear
Neural Networks
Classify
Dimension Reduction Scale
Nonparametric Tests
Forecasting
Survival
Multiple Response Missing Value Analysis... Multiple Imputation Complex Samples Quality Control gj ROC Curve..
var var var
П Automatic Linear Modeling...
¡¿¿¡Linear...
И Curve Estimation.
\Щ Partial Least Squares...
Binary Logistic...
И Multinomial Logistic...
Й Ordinal
Ш Probit..
0 Nonlinear...
Weight Estimation
H 2-Stage Least Squares..
Optimal Scaling (CATREG)...
izrmr
Рис. 29. Выбор подраздела «Regression» - «Linear» меню «Analyze» программы SPSS 20.
Откроется окно «Linear Regression», в котором с помощью стрелки между полями необходимо перенести переменные «BMI» и «Waist_circum» из левого поля в соответствующие правые поля для зависимой («Dependent») и независимой
(«Independent(s)») переменных (рисунок 30).
Далее потребуется пошагово настроить параметры вывода результатов анализа.
Рис. 30. Окно зависимой
Linear Regression: Statistics
Regression Coefficients Й Estimates 0 Confidence intervals Level(%): I95
□ Covariance matrix
Residuals
S? Durbin-Watson H Casewise diagnostics ® Outliers outside: O All cases
Continue
Cancel
Help
«Linear Regression» программы SPSS 20 (выбор переменной «BMI» и независимой переменной «Waist_circum»).
В первую очередь нажмем на кнопку «Statistics» и в открывшемся окне отметим галочками позиции
«Estimates», «Confidence intervals», «Model fit», «Descriptives», «Durbin-Watson» и «Casewise diagnostics», а в поле «Outliers outside» поменяем значение с 3 на 2 стандартных отклонения, после чего нажмем на кнопку «Continue» (рисунок 31). Данные действия позволят вывести в результатах анализа все необходимые параметры модели
И Model fit
□ R squared change Й ¡Descriptives!
□ Part and partial correlations О CoMinearity diagnostics
standard deviations
Рис. 31. Окно «Linear Regression: Statistics» программы SPSS 20.
Программа вернется к окну «Linear Regression», в котором нажмем на кнопку «Plots», и в открывшемся окне перенесем переменную «*ZPRED» в поле оси X, а переменную «*ZRESID» - в поле оси Y, после чего отметим позиции «Histogram» и «Normal probability plot» и нажмем на кнопку «Continue» (рисунок 32). Представленные действия
позволят вывести в результатах анализа скаттерограмму разброса стандартизованных остатков в зависимости от стандартизованных
прогнозируемых переменной, а распределения распределению.
значений также оценить остатков
зависимой соответствие нормальному
Рис. 32. Окно «Linear Regression: Plots» программы SPSS 20.
Далее в окне «Linear Regression» нажмем кнопку «Save» и отметим галочками позицию «Unstandardized» в областях «Predicted Values» и «Residuals», позиции «Mean» и «Individual» в поле «Prediction intervals», подтвердив выбор нажатием на кнопку «Continue» (рисунок 33). Эти действия создадут в исходной таблице данных новые переменные, соответствующие прогнозируемым значениям зависимой переменной и остатков для каждого наблюдения, а также границы 95% доверительного интервала для среднего прогнозируемого значения зависимой переменной и 95% доверительного интервала для значения зависимой переменной в генеральной совокупности.
Рис. 33. Окно «Linear Regression: Save» программы SPSS 20.
Далее нажатием на кнопку «Continue» в окне «Linear Regression» запустим анализ.
Программа SPSS 20 выводит результаты моделирования в виде последовательности таблиц и графиков, основные из которых будут рассмотрены ниже. Представленные результаты однофакторного линейного регрессионного анализа не отличаются от тех, которые были описаны при рассмотрении
алгоритма работы с программой Statistica 10, и не требуют дополнительных пояснений.
В таблице 2 программа представляет значение коэффициента корреляции Пирсона для переменных «BMI» и «Waist_circum», равное 0,857 (строка «Pearson Correlation») и достигнутый уровень его статистической значимости: p < 0,001. (строка «Sig. (2-tailed)»).
Таблица 2.
Результаты расчета коэффициента корреляции Пирсона для переменных «BMI» и «Waist_circum».
BMI Waist_circum
Pearson Correlation BMI 1,000 ,857
Waist circum ,857 1,000
Sig. (1 -tailed) BMI Waist circum ,000 ,000
N BMI 277 277
Waist_circum 277 277
В таблице 3 представлены значения Square») и критерия Durbin-Watson модели коэффициента детерминации (графа «R (графа «Durbin-Watson»).
Таблица 3.
Значения коэффиц иента детерминации и критерия Durbin-Watson модели.
Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Durbin-Watson
1 ,857a ,735 4 3 ,7 3,03856 1,935
a. Predic tors: (Constant), Waist_circum
b. Dependent Variable: BMI
В таблице 4 главным является значение критерия F (графа <^») и уровень его статистической значимости (графа «Sig.»),
программа также представляет сумму квадратов модели (графа «Sum of Squares»).
Результаты проверки модели с помощью критерия F
Таблица 4.
Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.
1 Regression 7025,943 1 7025,943 760,973 ,000b
Residual 2539,033 275 9,233
Total 9564,976 276
a. Dependent Variable: BMI
b. Predictors: (Constant), Waist_circum
В таблице 5 программа представляет значения константы модели (графа «B», строка «(Constant)»), коэффициента регрессии (графа «B», строка «Waist_circum»), результаты проверки нулевой гипотезы об их равенстве нулю
(графы «t» и «Sig.»), а также в соответствующих строках верхнюю и нижнюю границы 95% интервала для константы и коэффициента регрессии (графа «95,0% Confidence Interval for В», подразделы «Upper Bound» и «Lower Bound» соответственно).
Значения константы и коэффициента регрессии модели.
Таблица 5.
Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. 95,0% Confidence Interval for B
B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound
^ (Constant) Waist_circum -8,602 1,402 -6,136 ,000 -11,362 -5,843
,394 ,014 ,857 27,586 ,000 ,366 ,422
a. Dependent Variabe: BMI
В таблице 6 представлены результаты анализа «выбросов» (соответствуют представленным на рисунке 18).
Таблица 6.
Case Number Std. Residual BMI Predicted Value Residual
14 -2,074 26,42 32,7244 -6,30085
106 3,739 45,27 33,9052 11,35999
107 3,165 46,87 37,2507 9,61716
172 3,566 45,53 34,6924 10,83694
186 -2,047 31,23 37,4475 -6,22058
243 2,125 43,71 37,2507 6,45719
247 2,008 40,01 33,9052 6,10277
263 2,285 46,36 39,4154 6,94386
268 -2,150 23,44 29,9693 -6,53180
a. Dependent Variable: BMI
Программа также выводит гистограмму распределения остатков модели (рисунок 34) и квантильную диаграмму. Данная гистограмма
распределения отличается от представленной на рисунке 16 только количеством интервалов, на которые программа разбивает выборку.
Regression Standardized Residual
Рис. 34. Гистограмма распределения остатков модели (программа SPSS 20).
На рисунке 35 представлена скаттерограмма зависимости между стандартизированными прогнозируемыми
значениями переменной «BMI» и стандартизированными остатками,
ответствующая представленной на рисунке 22.
Рис. 35. Скаттерограмма зависимости между стандартизированными прогнозируемыми значениями переменной «BMI» и стандартизированными остатками (программа SPSS 20).
Следует отметить, что программа SPSS позволяет рассчитать 95% доверительные интервалы как для среднего значения зависимой переменной, так и для значения зависимой переменной в генеральной совокупности (рисунок 36). Программа создает переменные LMCI_1 и UMCI_1, показывающие нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для среднего прогнозируемого значения ИМТ для каждого значения окружности талии, включенного в данное
исследование. Переменные для верхней и нижней границы предсказательного интервала значения ИМТ в генеральной совокупности сохранены в виде переменных LICI_1 и UICI_1 соответственно. Например, 95% пациентов с метаболическим синдромом в генеральной совокупности с окружностью талии, равной 106 см, согласно представленным расчетам, будут иметь ИМТ от 27,12 до 39,12 кг/м2 (вторая строка таблицы, представленной на рисунке 36).
(Q *Regression_SPSS.sav [DataSetll - IBM SPSS Statistics Data Editor
File Edit View Data Transform Analyze Direct Marketing Graphs Utilities Add-ons Window Help
13 Ы © 13 ^ Ш iffl^ ж Ш ü
BMI Waist circum PRE 1 RES 1 LMCI 1 UMCI 1 LICI 1 UICI 1
1 29.34 95.00 28.78854 ,55150 28.42276 29.15431 22.79557 34.78150
2 29.40 106.00 33.11801 -3,72179 32.68526 33.55076 27.12058 39.11544
3 29,22 105.00 32,72442 -3,50388 32.30667 33.14218 26,72806 38,72079
4 30.78 97.00 29.57571 1.20519 29.21611 29.93532 23,58312 35.56831
5 25,97 80.00 22,88471 3,08541 22.27762 23.49179 16.87219 28.89723
6 24.44 89.00 26.42700 -1,98520 25.99678 26.85723 20.42976 32.42425
7 25.86 95.00 28.78854 -2.92402 28.42276 29.15431 22.79557 34.78150
8 39,28 110,00 34,69236 4.58603 34,18833 35.19640 28,68937 40,69536
9 30.48 99.00 30.36289 .12027 30.00075 30.72504 24.37014 36.35564
10 29,75 104.00 32,33083 -2,57809 31.92667 32.73500 26,33540 38.32627
11 25,81 86.00 25,24624 ,56021 24,76453 25.72795 19.24508 31,24740
12 29,75 98.00 29.96930 -.21724 29.60952 30.32908 23,97670 35.96191
13 27,01 101,00 31.15007 4,14494 30,77685 31,52329 25.15664 37.14349
14 26,42 105.00 32.72442 -6.30085 32.30667 33.14218 26.72806 38.72079
15 26.84 83.50 24.26227 2,57638 23,73121 24.79332 18.25695 30.26759
16 28,73 109.00 34,29878 -5,56703 33,81402 34.78354 28.29737 40,30018
17 28.80 97.00 29.57571 -.77130 29.21611 29.93532 23.58312 35.56831
18 23,43 75.00 20.91676 2.51716 20,19171 21.64181 14,89119 26.94234
Рис. 36. Таблица прогнозируемых на основании модели значений переменной «BMI», остатков и 95% доверительных интервалов для среднего значения переменной «BMI» и значения переменной «BMI» в генеральной совокупности.
Как видно из расчетов, разброс предсказанных индивидуальных значений достаточно велик даже при относительно высоком коэффициенте детерминации модели и относительно узком доверительном интервале для среднего. При прогнозировании индивидуальных значений зависимой переменной для тех значений независимой переменной, которые не вошли в исследование, можно воспользоваться вышеприведенными формулами для нижней и верхней границ 95% доверительного интервала для прогнозируемого значения ИМТ.
Литература:
1. Аканов А.А., Турдалиева Б.С., Изекенова А.К., Рамазанова М.А., Абдраимова Э.Т., Гржибовский А.М. Оценка использования статистических методов в научных статьях медицинских журналов Казахстана // Экология человека. 2013. №5. С. 61-64.
2. Банержи А. Медицинская статистика понятным языком: вводный курс. М. : Практическая медицина, 2007. 287 с.
3. Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов. СПб. : Питер, 2003. 688 с.
4. Бююль А., Цефель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ
статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. СПб. : ООО «ДиаСофтЮП», 2005. 608 с.
5. Вараксин А.Н., Панов В.Г., Казмер Ю.И. Статистические модели с коррелированными предикторами в экологии и медицине. Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та. 2011. 92 с.
6. Гланц С. Медико-биологическая статистика. М. : Практика, 1998. 459 с.
7. Гржибовский А.М. Корреляционный анализ // Экология человека. 2008. №9. С. 5060.
8. Гржибовский А.М. Однофакторный линейный регрессионный анализ // Экология человека. 2008. №10. С. 55-64.
9. Гржибовский А.М. Типы данных, проверка распределения и описательная статистика // Экология человека. 2008. №1. С. 52-58.
10. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Анализ номинальных и ранговых переменных данных с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS // Наука и Здравоохранение. 2016. № 6. С5-39.
11. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Исследования типа «случай-контроль» в здравоохранении // Наука и Здравоохранение. 2015. № 4. С. 5-17
12. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Когортные исследования в здравоохранении // Наука и Здравоохранение. 2015. № 3. С. 5-16.
13. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Корреляционный анализ данных с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS // Наука и Здравоохранение. 2017. № 1. С. 7-36.
14. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Поперечные (одномоментные) исследования в здравоохранении // Наука и Здравоохранение.
2015. № 2. С. 5-18.
15. Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Описательная статистика с использованием пакетов статистических программ Statistica и SPSS: проверка распределения // Наука и Здравоохранение.
2016. № 1. С. 7-23.
16. Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Сравнение количественных данных двух независимых выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии // Наука и Здравоохранение. 2016. № 2. С. 5-28.
17. Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Сравнение количественных данных двух парных выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии // Наука и Здравоохранение. 2016. № 3. С. 5-25.
18. Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Сравнение количественных данных трех и более независимых выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии// Наука и Здравоохранение. 2016. № 4. С. 5-37.
19. Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Сравнение количественных данных трех и более парных выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии // Наука и Здравоохранение. 2016. № 5. С. 5-29.
20. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Экологические (корреляционные) исследования в здравоохранении // Наука и Здравоохранение. 2015. № 5. С. 5-18.
21. Гржибовский А.М., Иванов С.В. Экспериментальные исследования в здравоохранении // Наука и Здравоохранение. 2015. № 6. С. 5-17.
22. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. 3-е изд. М. : Издательский дом «Вильямс», 2007. 912 с.
23. Жунисова М.Б., Шалхарова Ж.С., Шалхарова Ж.Н., Гржибовский А.М. Типы пищевого поведения и абдоминальное ожирение // Медицина. 2015. №4. С. 92-95.
24. Жунисова М.Б., Шалхарова Ж.С., Шалхарова Ж.Н., Нускабаева Г.О., Садыкова К.Ж., Маденбай К.М., Гржибовский А.М. Психоэмоциональный стресс как предиктор типа пищевого поведения в Казахстане // Экология человека. 2015. №5. С. 36-45.
25. Зайцев В.М., Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. Прикладная медицинская статистика. СПб. : Фолиант, 2003. 428 с.
26. Зуева Л.П., Яфаев Р.Х. Эпидемиология : учебник. СПб : ООО «Издательство Фолиант», 2008. 752 с.
27. Лакин Г.Ф. Биометрия. М. : Высшая школа, 1990. 351 с.
28. Маденбай К.М., Шалхарова Ж.С., Шалхарова Ж.Н., Жунисова М.Б., Садыкова К.Ж., Нускабаева Г.О., Гржибовский А.М. Оценка связи между площадью подкожной жировой ткани и показателями электронейромиографии // Экология человека. 2015. №7. С. 58-64.
29. Петри А., Сэбин К. Наглядная статистика в медицине. М. : ГЭОТАР-Мед, 2003. 140 с.
30. Рахыпбеков Т.К., Гржибовский А.М. К вопросу о необходимости повышения качества казахстанских научных публикаций для успешной интеграции в международное научное сообщество // Наука и Здравоохранение. 2015. №1. С. 5-11.
31. Реброва О.Ю. Статистический анализ медицинских данных. Применение пакета прикладных программ STATISTICA. М. : МедиаСфера, 2002. 312 с.
32. Садыкова К.Ж., Шалхарова Ж.С., Нускабаева Г.О., Садыкова АД, Жунисова М.Б., Маденбай К.М., Гржибовский А.М. Распространенность анемии, ее социально-демографические детерминанты и возможная связь с метаболическим синдромом в г.
Туркестан, Южный Казахстан // Экология человека. 2015. №8. С. 58-64.
33. Субботина А.В., Гржибовский А.М. Описательная статистика и проверка нормальности распределения количественных данных // Экология человека. 2014. №2. С. 51-57.
34. Унгуряну Т.Н., Гржибовский А.М. Корреляционный анализ с использованием пакета статистических программ STATA // Экология человека. 2014. №9. С. 60-64.
35. Флетчер Р. Клиническая эпидемиология. Основы доказательной медицины: пер. с англ. / Р. Флетчер, С. Флетчер, Э. Вагнер. М. : Медиа Сфера, 1998. 352 с.
36. Юнкеров В.И., Григорьев С.Г. Математико-статистическая обработка данных медицинских исследований. СПб :ВМедА, 2002. 266 с.
37. Beaglehole R., Bonita R. Basic epidemiology. World Health Organization, Geneva, 1993.
38. Cleopas T.J. et al. Statistics Applied to Clinical Trials. 4th ed. Springer, 2009.
References:
1. Akanov A.A., Turdalieva B.S., Izekenova A.K., Ramazanova M.A., Abdraimova, Grjibovski A.M. Otsenka ispolzovania statisticheskih metodov v nauchnih statyakh Kazakhstana [Assesment of use of statistical methods in scientific articles of the Kazakhstan's medical journals]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2013, No.5, рр. 61-64. [in Russian]
2. Banerzhi A. Meditsinskaya statistika ponyatnym yazykom : vvodnyy kurs [Medical statistics in plain language : an introductory course ]. M. : Prakticheskaya meditsina , 2007.. 287 р. [in Russian]
3. Borovikov V. STATISTICA. Iskusstvo analiza dannikh na kompyutere: dlya professionalov [STATISTICA. The art of data analysis using computer: for professionals]. SPb. : Piter, 2003. р. 688.
4. Buhl A., Zofel P. SPSS: isskustvo obrabotki informatsii. Analiz statisticheskih daanikh i vosstanovlenie skritikh zakonomernostey [SPSS: the art of information analysis. Statistical data analysis and hidden regularities identification]. SPb. : OOO «DiaSoftUP», 2005. 608 р. [in Russian]
5. Varaksin A.N., Panov V.G., Kazmer Yu.I. Statisticheskiye modeli s korrelirovannymi prediktorami v ekologii i meditsine [Statistical models with correlated predictors in ecology and medicine]. Yekaterinburg : Izd - vo Ural. un-ta. 2011. 92 р. [in Russian]
6. Glants S. Mediko-biologicheskaya statistika [The biomedical statistics]. M. : Praktika, 1998. p. 459. [in Russian]
7. Grjibovski A.M. Korrelatsionniy analiz [Correlation analysis]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, No.9, pp. 50-60. [in Russian]
8. Grjibovski A.M. Odnofaktornyy lineynyy regressionnyy analiz [Simple linear regression analysis]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, No.10, pp. 55-64. [in Russian]
9. Grjibovski A.M. Tipy dannikh, proverka raspredeleniya I opisatelnaya statistika [Types of data, distribution estimation and descriptive statistics]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, No.1, pp. 52-58. [in Russian].
10. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Analiz nominalnykh I rangovykh peremennykh dannykh s ispol'zovaniyem programmnogo obespecheniya Statistica i SPSS [Analysis of nominal and ordinal data using Statistica and SPSS software]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2016, № 6, pp. 5-39. [in Russian].
11. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Issledovaniya tipa sluchay-kontrol v zdravoohranenii [Case-control studies in health sciences]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2015, 4, рр. 5-17 [in Russian].
12. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Kogortnie issledovaniya v zdravoohranenii [Cohort studies in health sciences]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2015, 3, pp. 5-16. [in Russian].
13. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Korrelyatsionnyy analiz dannykh s ispol'zovaniyem programmnogo obespecheniya Statistica i SPSS [Correlation analysis using software Statistica and SPSS]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2017, 1, PP. 7-36. [in Russian]. [in Russian].
14. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Poperechnie (odnomomentnie) issledovanoya v zdravoohranenii [Cross-sectional studies in health sciences]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2015, No2, PP. 5-18. [in Russian]
15. Grjibovski A.M., Ivanov S.V., Gorbatova M.A. Opisatel'naya statistika s ispol'zovaniyem paketov statisticheskikh programm Statistica i SPSS I proverka raspredeleniya [Descriptive statistics using Statistica and SPSS software]. Nauka i Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2016, 1, pp. 7-23 [in Russian].
16. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Gorbatova M.A. Sravneniye kolichestvennykh dannykh dvukh nezavisimykh vyborok s ispol'zovaniyem programmnogo obespecheniya Statistica i SPSS : parametricheskiye i neparametricheskiye kriterii [Comparing the quantitative data of two independent groups using the software Statistica and SPSS: parametric and nonparametric tests]. Nauka i Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2016, 2, pp.5-28 [in Russian].
17. Grjibovski A.M., Ivanov S.V., Gorbatova M.A. Sravneniye kolichestvennykh dannykh dvukh parnikh viborok s ispol'zovaniyem programmnogo obespecheniya Statistica i SPSS : parametricheskiye i neparametricheskiye kriterii [Comparing the quantitative data of two dependent variations using the software Statistica and SPSS: parametric and nonparametric tests]. Nauka i Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2016, 3, pp. 5-25. [in Russian].
18. Grjibovski A.M., Ivanov S.V., Gorbatova M.A. Sravneniye kolichestvennykh dannykh trekh i boleye nezavisimykh vyborok s ispol'zovaniyem programmnogo obespecheniya Statistica i SPSS : parametricheskiye i neparametricheskiye kriterii [Comparing of the quantitative data of three or more independent samples using Statistica and SPSS software: parametric and nonparametric methods]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2016, 4, pp. 5-37. [in Russian].
19. Grjibovski A.M., Ivanov S.V., Gorbatova M.A. Sravneniye kolichestvennykh dannykh trekh i boleye parnikh vyborok s ispol'zovaniyem programmnogo obespecheniya Statistica i SPSS : parametricheskiye i neparametricheskiye kriterii [Comparing of the quantitative data of three or more dependent samples using Statistica and SPSS software: parametric and nonparametric methods]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2016, 5, pp. 5-29. [in Russian].
20. Grjibovski A.M., Ivanov S.V. Ekologicheskiye (korrelyatsionnye) issledovaniya v zdravoohranenii. [Ecological (correlational) studies in health sciences]. Nauka i
Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2015, 5, pp. 5-18. [in Russian].
21. Eksperimentalnye issledovaniya v zdravookhranenii [Experimental studies in health sciences]. Nauka i Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2015, 6, pp. 5-17. [in Russian].
22. Dreyper N., Smit G. Prikladnoy regressionnyy analiz [Applied regression analysis]. 3-ye izd . M. : Izdatel'skiy dom "Vil'yams", 2007. 912 p.
23. Zhunissova M.B., Shalkarova Zh.S., Shalkarova Zh. N., Nuskabayeva G.O., Sadykova K. Zh., Madenbay K.M., Grjibovski A.M. Tipy pischevogo povedeniya i abdominalnoe ozhirenie [Eating behavior types and abdominal obesity]. Meditsina [Medicine]. 2015, No.4. pp. 92-95. [in Russian].
24. Zhunissova M.B., Shalkarova Zh.S., Shalkarova Zh. N., Nuskabayeva G.O., Sadykova K. Zh., Madenbay K.M., Grjibovski A.M. Psykhoemotsionalniy stress kak predictor tipa pischevogo povedeniya v Kazakhstane [Psychoemotional stress and eating behavior in Kazakhstan]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2015, No.5. pp. 36-45. [in Russian]
25. Zaytsev V.M., Liflyandskiy V.G., Marinkin V.I. Prikladnaya meditsinskaya statistika [Applied medical statistics] . SPb . : Foliant , 2003. P. 428. [in russian]
26. Zueva L.P, Yafaev R.H. Epidemiologiya: uchebnik [Epidemiology: the textbook]. SPb : OOO «Izdatelstvo Foliant», 2008. P. 752. [in Russian].
27. Lakin G.F. Biometria [Biometrics]. M. : Viscshaya shkola. 1990. P. 351. [in Russian].
28. Madenbay K.M., Shalkarova Zh.S., Shalkarova Zh. N., Zhunissova M.B., Sadykova K. Zh., Nuskabayeva G.O., Grjibovski A.M. Otsenka svyazi mezhdu ploshadyu podkojnoy jirovoy tkani I pokazatelyami electroneyromiografii [Assesment of the relationship between subcutaneous fat tissue an results of electromyoneurography]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2015, No.7, pp. 58-64. [in Russian].
29. Petri A., Sebin K. Naglyadnaya statistika v meditsine [Demonstrative statistics in medicine]. M. : GEAOTAR-Med, 2003. p. 140. [in Russian].
30. Rakhypbekov T.K., Grjibovski A.M. K voprosu o nedhodimosti povisheniya kachestva
kazakhstanskih nauchih publicatsiy dlya uspeshnoy integratsii v mezhdunarodnoe nauchnoe soobschestvo [The need for improvement of the quality of Kazakhstani publications for successful integration in the international research community]. Nauka i Zdravoohranenie [Science & Healthcare]. 2015, No.1, pp. 5-11 [in Russian].
31. Rebrova O. Yu. Statisticheskiy analiz meditsinskih daanikh. Primenenie paketa prikladnikh program STATISTICA [Statistical analysis of medical data. Using of STATISTICA software]. M. : MediaSphera, 2002. P. 312 [in Russian].
32. Sadykova K.Zh., Shalkharova Zh.S., Shalkharova Zh.N. Nuskabaeva G.O., Sadykova A.D., Zhunissova M.B., Madenbay K.M., Grjibovski A.M. Rasprostranennost' anemii , yeye sotsial'no - demograficheskiye determinanty i vozmozhnaya svyaz' s metabolicheskim sindromom v g. Turkestan , Yuzhniy Kazakhstan [Prevalence of anemia, its socio-demographic determinants and potential association with metabolic syndrome in residents of Turkestan, Southern Kazakhstan]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2015, No.8, pp. 58-64. [in Russian]
33. Subbotina A.V., Grjibovski A.M. Opisatelnaya statistika I proverka normal'nosti raspredeleniya kolichestvennih dannikh [Descriptive statistics and normality testing for quantitative data]. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2014, No.2, pp. 51-57. [in Russian].
34. Unguryanu T.N., Grjibovski A.M. Korrelatsionniy analiz s ispol'zovaniyem paketa statisticheskikh programm STATA [Correlation analysis using STATA] Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2014, No.9, pp. 60-64. [in Russian].
35. Fletcher R. et al. Klinicheskaya epidemiologiya. Osnovy dokazatel'noi meditsiny [Clinical epidemiology. Basics of the evidence-based medicine] / R. Fletchtr, C. Fletcher, E. Vagner. M.: Media Sphere, 1998. 352 p. [in Russian].
36. Yunkerov V.I., Grigoryev S.G. Matematiko-statisticheskaya obraboka daanikh meditsinskih issledovaniy [Mathematical and statistical analysis of medical research data]. SPb : VMedA, 2002. P. 266. [in Russian]
37. Beaglehole R., Bonita R. Basic epidemiology. World Health Organization, Geneva, 1993.
38. Cleopas T.J. et al. Statistics Applied to Clinical Trials. 4th ed. Springer, 2009.
Контактная информация:
Гржибовский Андрей Мечиславович - доктор медицины, магистр международного общественного здравоохранения, Старший советник Национального Института Общественного Здравоохранения, г. Осло, Норвегия; Заведующий ЦНИЛ СГМУ, г. Архангельск, Россия; Профессор Северо-Восточного Федерального Университета, г. Якутск, Россия; Профессор, Почетный доктор Международного Казахско-Турецкого Университета им. Х.А. Ясяви, г, Туркестан, Казахстан; Почетный профессор ГМУ г. Семей, Казахстан.
Почтовый адрес: INFA, Nasjonalt folkehelseinstitutt, Postboks 4404 Nydalen, 0403 Oslo, Norway. Email: Andrej.Grjibovski@gmail.com
Телефон: +4745268913 (Норвегия), +79214717053 (Россия), +77471262965 (Казахстан).
