Одноэтапная задача проектирования оптимальной системы биологической очистки сточных вод с вероятностными ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.01

Т. В. Лаптева, Н. Н. Зиятдинов, Д. Д. Первухин

ОДНОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

БИОЛОГИЧЕСКОЙ ОЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Ключевые слова: вероятностные ограничения, оптимизация, оптимальное проектирование, одноэтапная задача, система

биологической очистки сточных вод.

При проектировании химико-технологических систем (ХТС) обычно приходится учитывать наличие неопределенности исходной информации. Игнорирование возможности изменения неопределенных параметров может привести к нарушению требований, предъявляемых к ХТС. В статье приводится пример подобной ситуации для задачи проектирования системы биологической очистки сточных вод. Для получения решения учитывающего неопределенность информации была сформулирована и решена одноэтапная задача оптимального проектирования с вероятностными ограничениями.

Keywords: probabilistic constraints, optimization, optimal design, one-stage problem, biological wastewater treatment system.

Chemical process design usually has to take account of initial information uncertainty. Ignoring possible changes of uncertain parameters may lead to system's requirements violation. This article shows an example of this kind of situation in biological wastewater treatment system design problem. To obtain solution which takes into account uncertainty of information one-stage optimal design problem with probabilistic constraints has been formulated and solved.

Задача оптимизации ХТС решается, как правило, в условиях некоторой неточности исходной физико-химической, технологической и экономической информации. Однако полученная система должна быть работоспособной в процессе функционирования несмотря на неточности в исходной информации. Один из вариантов учета неопределенности - решение задачи в некоторой средней точке по неопределенным параметрам [1], а затем корректировка полученных значений согласно опыта проектировщика - не гарантирует ни оптимальности итогового решения, ни выполнения требований, предъявляемых к проектируемой ХТС.

Мы будем учитывать возможные изменения неопределенных параметров с помощью математического ожидания критерия в качестве целевой функции. Для каждого ограничения потребуем (его) выполнение с заданной вероятностью на области неопределенности. Такая задача имеет вид [2]

*

1 = тт Е[V(х,в)\, (1)

хеХ

Рфу (х,в) < 0^>ау , у = 1,...,т . (2)

Если все неопределённые параметры в/,/ = 1,..,п являются независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение

2

М(Е[в ];ст;. ), то можно получить верхнюю оценку

задачи (1)-(2) в следующем виде (на к -ой итерации) [3]:

1(к) = тт Е [V (х,в)] (3)

хеХ ,в- у,/ у,/

max wjl

gj( x,

i ’ i L,j,1 + qu,j,1 -ql, j,1 )wjl

)wJI) < 0,

j = 1,...,m, l = 1,...,N(jk),

<,)[O(01U,j,r)-0(QL,j,r)]... ^ .

7 ~ ~ , j = 1,.,m,

r=1...[O(0nU,j,r) - o(^nL,;,r)] j

ДU, j,sjq < Q Ш q e j Q1, j,sjq ^ Q Ш j1 ljq

ljq

ljq

ljq

(k)

j 2

в- < в- у,г, в/U, У,г < ви , / = 1,...,п, у = 1,...,т, г = 1,...,N(к),

Т^ = [мУ : 0 < н/У < 1, / = 1,...,п}

Для вычисления Е[1 (х,в)] воспользуемся приближением, основанном на разбиении области неопределенности на подобласти и разложении 1 (х,в) в ряд Тейлора по в [4]. В (3) также учтено

дробление некоторых областей Т^ _ на подобласти

на каждой итерации для уточнения получаемой

у в- ‘ - Ев 1

оценки.

Здесь

Щ

qu,j j - EQ ]

Щ

E[Q ] и щ - математическое

ожидание и дисперсия в/ е [вв- ], Ф(^) _ функ-о нормального распределения; левая и правая границы (по каж-

ция стандартного нормального распределения;

в-,},г и ви,уг

дой из неопределенных величин) г -ой подобласти т(к) (их Nyiк) штук на к -ой итерации) области неопределенности для у -ого ограничения; совокуп-

ность Бук) содержит в себе центральные точки об-

й -г(к)

ластеи '.

Пример

В системе биологической очистки сточных вод (БОСВ) (рис.1) сточная вода (поток №1), после предварительнои очистки от механических примесей и нейтрализации, подается на вход аэротенка. Далее очищенная вода (поток №2) поступает во вторичный отстойник, откуда осветленная вода (поток №3) после обеззараживания выводится в водоем. Поток уплотненного ила из вторичного отстойника (поток №4) разделяется, и часть его передается в регенератор активного ила и далее поступает на вход аэротенка (поток №7). Часть потока №4 - избыточный ил (поток №5) идет на дальнейшую переработку. Обозначения объектов на рис. 1 приведены на рис. 2.

▲ ▲ ▲

У t t

Рис. 1 - Система биологической очистки сточных вод

0

©

о

аэротенк

регенератор

вторичный

отстойник

делитель

смеситель

Рис. 2 - Условные обозначения

В моделях аппаратов технологической схемы БОСВ учтена многокомпонентность загрязнений, основными загрязнениями являются фенолы, СПАВы, гликоли. Обобщенный показатель загрязнений характеризуется химическим потреблением кислорода (ХПК). В моделях учтены процессы отмирания, автолиза биомассы и ее окисление, что позволяет связать работу аэротенка, вторичного отстойника и регенератора в единую систему [5].

В качестве модели гидродинамической структуры потока в коридоре была выбрана ячеечная модель с учетом неоднородностей в виде обратного перемешивания и застойных зон.

Математическая модель аэротенка имеет следующий вид:

• уравнение материального баланса по биомассе V/-1х/-1 - у/х/ + V1'(х/ +1 - х/) +

г _1

+ v (х7 - х/ ) = (к1х/ - М/ х/ )У/

• уравнение материального компонентам субстрата

+

баланса по

,с/

^ ст8ст + у/-18/ — - у/8 і

+ /[ 8/+1 - 8І ] + V2 - 8/ | =

с

1

1—7 с/

= а1 и- ------- -----------------л,у,

/ Кс + с/ 1 + й • у/

х/№ /

баланса

по

по

• уравнение материального неактивной биомассе

v/-1У/-1 - V/У/ + ^ (у/+1 - У/)+

+ ^ {Уг - У/ Ь (к2 х/У/ - к1х /) Ь/

• уравнение материального баланса

растворенному кислороду

V/-1c/-1 ^/с/ + ^ {у+1 - с /Ь +

+ Vг (с2 - с /) = К-а/ (НРг / - с /) -_1

- «02 М х№/

• уравнение материального баланса по кислороду в газовой фазе

6 / РГ Уг0 - г/ Ь =

= К-а(НРг/ - сI) • 10-3

г г

где V /, V , V - объемный расход потока: поступающего в -ую ячейку, обратного перемешивания и обмена с застойной зоной соответственно, м3/ч; V/

- объем -ой ячейки, м3; / - доля потока сточной воды в / -ю ячейку; Vст - расход сточной воды в аэротенк, м3/ч; 6/ - объемный расход воздуха, подаваемого в / -ю ячейку, м3/ч; х , У, с - концентрация активной, неактивной биомассы и растворенно-

1 У

го кислорода соответственно, мг/л; 5 , ^ - концентрация обобщенного загрязнения, мгО2/л, и у -го компонента загрязнения, мг/л; у = 1 (ХПК), 2 (фенолы), 3 (СПАВы), 4 (гликоли), соответственно; г/

- остаточная концентрация кислорода в воздухе в -ой ячейке, мг/л; г0 - концентрация кислорода в

3 1 _у

воздухе, кг/м ; м , М - удельные скорости роста активной биомассы по обобщенному загрязнению и окисления у -го компонента загрязнения соответственно, 1/ч; индексы: / - номер ячейки, г - обратное перемешивание, г - застойная зона, ст -сточная вода; Кс - коэффициент полунасыщения по кислороду, мг/л; d - коэффициент ингибирования роста микроорганизмов неактивной биомассой, л/мг; к1 - коэффициент скорости гибели биомассы,

1/ч; а

1

а

- стехиометрические коэффициенты,

к2 - коэффициент окисления неактивной биомассы, л/(мг-ч), К-а - объемный коэффициент массо-передачи, 1/ч; Н - растворимость кислорода,

мг/(л-атм); Р - давление воздуха, подаваемого в аппарат, атм.

В результате идентификации модели кинетики по лабораторному эксперименту [6] в качестве удельной скорости роста активной биомассы по обобщенному загрязнению была выбрана модель Мозера

й1 = к-

81ІБ1_

1 + І^/Бі

для удельной скорости окисления основных загрязнений взята степенная модель

=к•5п.

Также были определены значения: коэффициента ингибирования роста микроорганизмов неактивной биомассой d = 0,0001, л/мг , коэффициента скорости отмирания активной биомассы к1 = 0,0038, 1/ч, коэффициента окисления неактивной биомассы к2 = 0,0001, л/(мг-ч). Для удельной скорости роста биомассы по ХПК коэффициенты были определены равными: к = 0,074,

5- = 220 , п = 2,7, т = 3,25 . В степенной модели для удельной скорости покомпонентного окисления коэффициенты к = 0,0006 и п = 1,5 (для фенолов), к = 0,00007 и п = 1,2 (для СПАВ), к = 0,0002 и п = 1,5 (для гликолей).

Значение объемного коэффициента массо-передачи К-а вычисляется по формуле

К-а = к- • а, где к- - коэффициент массопереда-чи, а - удельная поверхность контакта фаз. Коэффициент массопередачи рассчитывается по модели Хигби [7]:

кі = 2

йж • • а

6 • п

где йж - коэффициент молекулярной диффузии кислорода, м2/с; - скорость свободного всплы-

тия пузыря воздуха, м/с. Для определения удельной поверхности контакта фаз используется зависимость, предложенная Кальдербанком [8]:

= К (р • п • д)0,4 р0,2 ^0,6

а = К-

,0,5

где К - эмпирический коэффициент, К = 1,44 ; р -плотность жидкости, г/см3; а - поверхностное натяжение жидкости, дин/см; П - приведенная скорость воздуха, м/с, вычисляется из соотношения П = 65, где 6 - объемный расход воздуха в аппарат, м3/с; 5 - площадь поперечного сечения аппарата, м2.

Математическая модель регенератора отличается от модели аэротенка значениями коэффициентов d = 0,0001, л/мг; к1 = 0,0018, 1/ч;

к2 = 0,008 , л/(мг-ч).

В основу модели вторичного отстойника положена теория лимитирующего потока Дика [9].

Математическая модель вторичного отстойника включает уравнения:

• уравнение для расчета потока уплотненного ила:

V з = Б^о (Ь -1

Ьх1

л

Ь

У - 1)хз.

• баланс по расходу потоков:

V1 = V 2 + V з

• баланс по биомассе учитывает процесс отмирания клеток активного ила

V1X1 - k1XзV = V2 х2 + V з хз

• баланс по неактивной биомассе:

VзУз = V1У1 + k1XзVот - V2У2 где 5 - площадь поперечного сечения отстойника, м2; ,0 - начальная скорость осаждения, ,0 = 2,27 м/ч; Ь - коэффициент модели, Ь = 12,2; Vот -объем отстойника, м3; V/, х/, У/ - объемный расход / -го потока, концентрации биомассы и продуктов автолиза соответственно; / = 1 - для входного потока, 2 - потока осветленной жидкости, 3 - потока уплотненного ила; к1 - коэффициент скорости гибели активной биомассы, к1 = 0,01 1/ч; у - номер загрязнения.

В модели приняты допущения: 1) концентрация продуктов автолиза в осветленной жидкости равна ее концентрации во входном потоке У2 = У1 ; 2) процесс массопередачи кислорода и рост биомассы отсутствуют, = э2 = $з; 3) выходная концен-

трация кислорода в потоке уплотненного ила принята равной 1 мг/л.

Предполагаемый объемный расход сточных вод составляет V = 17з,75 м3/ч. При этом концен-

1

трации загрязнителей равны 5 = 707,81 мгО2/л

2

(для ХПК общ.), 5 = 5,64 мг/л (для фенолов),

5з = 10,98 мг/л (для СПАВ) и 54 = 192,45 мг/л (для гликолей). Очевидно, что невозможно гарантировать точное соответствие этим значениям действительных параметров сточной воды в процессе эксплуатации БОСВ. Поэтому концентрации фенола, СПАВ и гликолей в сточных водах, расход сточных вод были выбраны в качестве неопределенных параметров системы. Также неопределенными были выбраны коэффициенты к = 0,074 и т = з,25 удельной скорости роста биомассы по ХПК. Область неопределенности при этом задается в виде интервала изменения неопределенных параметров на некоторую величину относительно номинального значения. Диапазон изменений был выбран: +5 для

2 з 4

V, +5 для 5 , +9 для 5 , +9 для 5 , +5 для к , +5

для т .

Поисковые конструктивные величины в задаче - это VaЭр, Vрег, Vотс (объемы аэротенка,

регенератора и вторичного отстойника). Управляющие параметры - расход воздуха 6

п

(в - оаЭр + врег) и доля потока уплотненного ила в регенератор крец . Таким образом, критерий оптимальности имеет вид:

У V Сотс/отс +

''аэр ,урег ,уотс ,в,Лрец

^ Саэр/аэр ^ Срег/рег ^

^ Свозд (ваэр ^ врег ) ^ СреиУб

(4)

3

где Сотс, СаЭр, Срег - приведеные стоимости м объема отстойника, аэротенка и регенератора, соот-

3

ветственно; Свозд - стоимость М воздуха; У6 -расход потока уплотненного ила, передающийся в регенератор активного ила, Срец - стоимость перекачки 1 М3 этого потока.

Требования технологического регламента, включающие и требования, предъявляемые к качеству очистки, определяются ограничениями:

• на содержание загрязнения в сбрасываемой в водоем очищенной воде:

4 - 5П ДК 14 0

(5)

где 5;і

концентрация загрязнении в очищеннои

воде, 5р|дК - предельно допустимая концентрация по содержанию загрязнений в очищенной воде:

5П ДК = 90

мгО2/л, ,4

о

5ПДК = 0’009 мг/л,

5ПДК - 0,61 мг/л, 5пдк - 0,57 мг/л

• на максимальную концентрацию активной биомассы в потоке уплотненного ила:

X < хтах ,

хтах - 12 г/л.

на расход воздуха:

ваэр + врег - в

тах

в1 > вт|П,

і = аэр, рег . тах

(6)

(7)

(8)

Верхняя граница в равна максимальному расходу воздуха, который могут обеспечить все воздуходувки, задействованные в системе

БОСВ. Нижняя граница Ст|П связана с необходимой степенью перемешивания среды в аэрируемых аппаратах.

В задаче (4)-(8) все неопределенные параметры независимы. Предположим, что они имеют нормальное распределение. Воспользуемся преобразованием задачи вида (1)-(2) к оценочной задаче (3), потребовав выполнения ограничения (6) с вероятностью «1 и ограничений (5), (7) и (8) с вероятностью «2 . Результаты решения задачи при разных значениях требуемой вероятности выполнения ограничений приведены в таблице 1. Легко заметить логичную связь между требуемой вероятностью выполне-

ния ограничений и значением критерия: чем больше вероятность, тем больше значение критерия. При этом вероятность выполнения ограничения надо понимать следующим образом: чем больше вероятность, тем больше размер той области, на которой требуется выполнение ограничения.

Таблица 1 - Решение номинальной задачи и одноэтапной задачи при разных вероятностях выполнения ограничений

Вид задачи Уаэр Урег Уотс в

Номинал 2055,4 2225,6 1112,8 1037,2 2158,7

ап = 0,75 ап = 0,75 2111,5 2388,6 1194,3 900,8 2317,5

аП = 0,75 ап = 0,99 2130,4 2425,4 1212,7 891,3 2353,2

аП = 0,95 ап = 0,99 2149,9 2458,1 1229 892,4 2384,9

аП = П ап = 1 2152 2458,1 1229 899,3 2384,9

В таблице 1 также приведено решение номинальной задачи, решение которой проводилось в средней точке по неопределенным параметрам. Однако, как видно из таблицы 2, найденное решение номинальной задачи не гарантирует выполнение ограничений при росте объема сточных вод и концентрации фенолов.

Таблица 2 - Материальный баланс потоков в оптимальной точке номинальной задачи

№ У 5 П 5 3 4 со X У

Номинальная нагрузка

1 174 707,0 5,64 11,0 192 0 0,0

2 597 71,95 0,0078 0,56 0,39 8274 7,57

3 183 71,95 0,0078 0,56 0,39 15 7,57

4 414 71,95 0,0078 0,56 0,39 11881 61,25

5 0,02 72,29 0,0079 0,56 0,40 11924 60,23

6 423 72,29 0,0079 0,56 0,40 11924 60,23

7 423 68,59 0,0011 0,18 0,36 11927 0,022

Увеличенная нагрузка

1 182 707,0 5,92 11,0 209 0 0,0

2 634 75,69 0,0094 0,65 0,43 8015 7,56

3 192 75,69 0,0094 0,65 0,43 15 7,56

4 441 75,69 0,0094 0,65 0,43 11453 56,06

5 0,02 76,05 0,0095 0,66 0,44 11486 55,13

6 451 76,05 0,0095 0,66 0,44 11486 55,13

7 451 72,24 0,0013 0,19 0,39 11489 0,024

Литература

1. Зиятдинов Н.Н., Рыжов Д.А., Лаптева Т.В., Курбатов В.А. Поиск энергосберегающих режимов работы установки разделения изоамилен-изопреновой фракции производства изопрена. Вестник КТУ, 6, 249-258 (2009).

2. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями. Доклады Академии наук, 425, 1, 63-66 (2009).

3. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями. ТОХТ, 44, 5, 507-515 (2009).

4. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д. Подходы к аппроксимации критерия в одноэтапной задаче оптимального проектирования с учетом неопределенности. Вестник КТУ, 12, 216-219 (2012).

5. Шарифуллин В.Н., Зиятдинов Н.Н., Конончук Р.М. Моделирование системы аэробной биоочистки сточных вод. - Биотехнология, 5, 55-60 (1999).

6. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Первухин И. Д. Оценка гибкости химико-технологических систем. ТОХТ, 41, 249-261 (2007).

7. Кафаров В.В. Основы массопередачи: Учебное пособие для вузов. М., Высшая школа, 1972. 496 с.

8. Calderbank P.H. Mass transfer in Fermentation Equipment in Blakebrougn. - Biochemical and Biological Eng. Sci., London, Academic Press, 1, 101-108 (1967).

9. Вавилин В.А., Васильев В.Б. Математическое моделирование процессов биологической очистки сточных вод активным илом. М., Наука, 1978. 119 с.

© Т. В. Лаптева - к.т.н., доц. каф. системотехники КНИТУ, tanlapteva@yandex.ru; Н. Н. Зиятдинов - д.т.н., проф., зав. каф. системотехники КНИТУ, nnziat@yandex.ru; Д. Д. Первухин - асп. той же кафедры, avylon@kstu.ru.