Одноэтапная задача оптимального проектирования системы реакторов с вероятностными ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.01

Т. В. Лаптева, Н. Н. Зиятдинов, Д. Д. Первухин,

Г. М. Островский

ОДНОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ РЕАКТОРОВ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Ключевые слова: оптимизация, оптимальное проектирование, одноэтапная задача, вероятностные

ограничения.

При проектировании технических систем в условиях частичной неопределенности исходной физической, химической и экономической информации важной задачей является определение таких конструктивных и технологических параметров, при которых будет гарантировано выполнение всех ограничений (точно или с некоторой вероятностью) несмотря на изменение внутренних и внешних факторов во время стадии функционирования. В статье рассматривается одна из задач, которую приходиться при этом решать, а именно - одностадийная задача с вероятностными ограничениями. Прямое решение подобных задач требует многократного расчета многомерных интегралов на каждой итерации оптимизационной процедуры. Предложен подход к решению таких задач, основанный на преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные.

Keywords: optimization, optimal design, one-stage problem, chance constraints.

In a design of technical system under partial uncertainty ofphysical, chemical and economical data it is an important problem to obtain construction and control parameters which will satisfy all constraints (definitely or with some probability) despite of inner and outer influence during operation. This paper reviews one of such problems - one-stage problem with chance constraints. Proximate solution of a problem with probability constraints requires multiple calculations of multidimensional integrals on each iteration of optimization procedure. Authors propose an approach which is based on conversion of probability constraints in deterministic.

Задача оптимизации химико-технологических систем (ХТС) решается, как правило, в условиях некоторой неточности исходной физико-химической, технологической и экономической информации. В результате приходится решать задачу создания гибкой ХТС, система управления которой гарантирует: оптимальное значение некоторого показателя, оценивающего работу ХТС за весь этап функционирования; сохранение работоспособности ХТС (выполнение всех проектных ограничений - точно или с некоторой вероятностью) на этапе функционирования, несмотря на использование неточных математических моделей и изменение внутренних и внешних факторов. Решение такой задачи может проводиться в некоторой средней точке по неопределенным параметрам [1], а полученные оптимальные значения конструктивных параметров затем изменяются согласно опыту проектировщика. Мы рассмотрим метод решения одностадийной задачи оптимизации с мягкими ограничениями, когда ограничения должны выполняться с некоторой вероятностью. Пусть в качестве целевой функции используется математическое ожидание некоторого критерия оптимизации за весь период функционирования ХТС. Тогда задача имеет вид [2]

f * = min E [f (x,d)], (1)

xeX

Pr{g,(x,0) < 0}>aj, j = 1,..., m. (2)

Пусть все неопределённые параметры 0t, i = 1,.., n являются независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение N(E[^];af).

Было показано, что ограничение вида (2) эквивалентно следующей паре ограничений

Pr{0& Taj} >aj , (3)

Следует отметить, что условие (З) определяет не единственную область, а целое семейство областей Та .

U j

Сделаем замену ограничений (2) на (З), тогда задача примет вид

f * = min E [f (x,0)] (4)

x<=X Ja. eTa-aJ aJ

maxg:(x,0) < 0, j = І,...,m, (5)

OTaj

Pr{0eTa,} >aj , j = І,...,m . (б)

В данной формулировке мы ищем не только оптимальные значения переменных x , но и оптимальную форму и положение областей Ta . Однако, поиск оптимальной формы области

Ta - нетривиальная задача. Мы сузим класс возможных областей, предполагая, что области

Ta. имеют форму многомерного прямоугольника

Taj = {О :О^1 <О О,і = І,...,n}.

Тогда поиск оптимальной формы областей Ta. сводится к поиску оптимальных

значений ОL’j, , j, т.е. оптимальных размеров и положений многомерных прямоугольников.

Зная распределение параметров О , вероятность попадания величины О в интервал j < О < Ои,j равна [4]

j

/р(О)с»,=Ф(Ои' j ) -Ф(Ои )

/Оj

где Ф(^) — стандартное нормальное распределение и j, 6U'j имеют вид

6у 6L’j - E[6] 6j 6U’j - E[6 ]

/ 5 '

Поскольку все параметры 6 независимы, условие (6) в данном случае примет вид

[Ф(6и’j) - Ф(6j )][Ф(б2и’j) - Ф(^~>^’j)]- [Фб’j) - Ф(6j)] > aj

Добавим также пару очевидных условий (они обозначают Ta ^ T )

6L <e\’j, eU’j <6U, i = 1,..., n, j = 1,..., m .

Теперь мы можем переписать задачу в следующем виде

?(Ц = min E[f (x,6)] (7)

xeX6j fiU,j

maxgj(x,6) < 0, j = 1,.,m, (8)

6iTaj

[Ф(6иj) - Ф(6j)]- [Ф(6,j) - Ф(6j)] > ay, j = 1,., m, (9)

6L <ej-J, 6UJ <6U, <ви^, i = 1,..., n, j = 1,., m .

Поскольку мы сузили класс возможных форм областей Ta , то решение задачи (7) будет не лучше, чем решение задачи (1). Поэтому выполняется неравенство

f * < f(1).

Следовательно, решение задачи (7) даёт верхнюю оценку решения задачи (1).

Задача (7) - обобщение задачи полубесконечного программирования, в которой области допустимости задач максимизации Taj в ограничениях (8) являются переменными. Для ее

решения методом внешней аппроксимации сделаем замену [3] в ограничениях (8)

6 = 6L,j + 6 - 6й )wi, 0 < Wi < 1, i = 1,..., n .

Тогда задача (7) примет вид

f(1) = min E[f (х,О)] (10)

хєх eL1 eU,J

maxgj(x,eLj + (0U,j -ej-j)w,) < 0, J = l,...,m, (11)

w^w

[ФО*j ) - ФО^j)]- [Ф(Оиj) - ФО^j)] > aj, j = 1,..., m, eL О, eU7,1 <eU, e/L’j О, i = l,...,n, J = 1,.,m, Tw = w : 0 < wt < 1, І = 1,...,n}.

Это уже стандартная задача полубесконечного программирования.

Для уточнения получаемой верхней оценки будем проводить на каждой итерации дробление некоторых областей Ta на подобласти. Пусть на к -ой итерации каждому

ограничению будет соответствовать своё множество Tj(k) областей Tj(lk) , где l — номер подобласти во множестве Tj(k). Обозначим как N(jk) число областей Tj(lk) в множестве Tj(k) . Области Tj(lk ) будем строить по правилу:

T(k) n J =0, J = 1,..., m, l = 1,..., N jk), q = 1,..., N(k), l * q.

Тогда справедливо

Prjk) и - и rjNki,} = Pr{Tjik)}+-+Prj,} > a.

Для выбора областей, подлежащих разбиению, будем использовать следующее эвристическое правило: на k -ой итерации будем разбивать подобласти, для которых соответствующие ограничения (11) в точке решения задачи (10) являются активными, т.к. удаление активного ограничения, как правило, улучшает оптимальное значение целевой функции.

Введем совокупность S(к) областей T(q), q є S(k), в результате дробления которых на предыдущих ( к -1 )-ой итерациях образовалась область Tj(k). Каждая область Tj(q) получается из предыдущей области Т-^ (r < q ) разбиением её с помощью некоторой гиперплоскости

eі =ej (q),

fq fq

т.е. получается из неё добавлением либо ограничения

eujSjq <ef),

jq jq

либо ограничения

eL,jsJq > ej(q)

jq jq

где Sq есть номер области Tj(q), которая получается после дробления.

Итак на k -ой итерации задача будет иметь следующий вид

f(k) = m in u,,E[f(X,О)] (12)

хєХ e eL ,1J fiU,f l

... j,l -(eu,j,l -eL,j

wJl єТ*'

N jk >

2№(~u") - Ф^^1')]- m~uJ') - Ф^1 ,r)] > a,, J = 1.....................................m,

r=1

euj^ < e/'(q), q є S(k), eL'j^ > e/'(q), q є S(2),

ijq ijq J1 fq ijq J 2

mlax gj (x, eLjJ + (0u,j7 - eL,j7 )wjl) < 0, J = 1,., m, l = 1,..., N(k),

6і <в\?г, <в", і = 1,..., п, ? = 1,..., т, г = 1,..., М(к),

ГЩ? = [ш ? : 0 < ш? < 1, і = 1, ...,п}.

Для того, чтобы решать задачу (12), необходимо указать способ вычисления математического ожидания Е[У(х,в)]. Мы будем вычислять его приближение, основанное на

разбиении области Т на подобласти Т( и линейном приближении по переменным О функции V(х,0) в каждой подобласти с помощью линейной части разложения в ряд Тейлора [5]

п0 Ж( У О1)

Е,„ V(У,0); Т ] = в V(х,0) + ^^001 (ЕО;Т, ] - в,01).

/.1 оО,

Пример. Рассматривается задача проектирования системы реакторов [6],

представленной на рис. 1.

Рис. 1 - Система из двух реакторов

В реакторе 1 протекают реакции превращения вещества А в вещество В со скоростью к1 и, далее, в вещество С, со скоростью к3. В реакторе 2 протекают реакции превращения

вещества А в вещество В со скоростью к2 и, далее, в вещество С, со скоростью к4. Математические модели реакторов имеет вид

Реактор 1 Реактор 2

СА1 + к1СА1^1 = 1 ; СА2 _ СА1 + к2СА2^2 = 0 ;

СВ1 + СА1 + к3СВ1^1 = 1 ; СВ2 _ СВ1 + СА2 _ СА1 + к4СВ2^2 = 0 ;

к = кюв; к2 = кюв-Е1*Т2;

кз = к20в-Е2'*т ; к4 = к20в-Е2'*Т2.

Здесь СА1, СВ1, СА2, Св2 - концентрации веществ А и В в реакторах 1 и 2, соответственно (моль/м3), V1, У2 - объемы реакторов 1 и 2 (м3), Т1, Т2 - температуры в реакторах (К), к10, к20 - предэкспоненциальные множители в уравнениях Аррениуса скорости реакции превращения вещества А в вещество в и реакции превращения вещества В в вещество С, соответственно, Е1, Е2 - энергии активации реакции превращения вещества А в вещество в и реакции превращения вещества в в вещество С , соответственно (Дж/моль ), R - универсальная газовая постоянная (Дж/(моль • К)).

В качестве неопределенных параметров выбраны 0 = {Е1;Е2; к10; к20} . Диапазоны изменения неопределенных параметров представлены в таблице 1. Область неопределенности будем представлять в виде Т = {0м -8 <0 <0м + 8}. Будем предполагать, что неопределенные параметры являются независимыми и подчиняются нормальному закону распределения.

Целевая функция представляет собой капитальные затраты

Таблица 1 - Характеристика неопределенных параметров

Параметр вы 8

Е1 6665,948 200

Е 2 7985,248 240

к10 0,715 0,0215

к 20 0,182 0,0055

Ограничения имеют вид:

о < Са1 < 1;

0 < Са2 < 1;

0 < Св1 < 1;

0 < Св 2 < 1;

СВ2 - С^2 . (13)

Будем предполагать, что все ограничения, кроме (13), должны выполняться безусловно, а ограничение (13) должно выполняться с заданной вероятностью, то есть ограничение примет вид

Р {Св 2 - С3В2} -а. (14)

В качестве поисковых переменных выберем: конструктивные переменные - объемы реакторов 1 и 2 - V,, У2; режимные переменные - температуры в реакторах 1 и 2 - Т1, Т2. Диапазоны изменения поисковых переменных имеют следующий вид:

0 < V, < 16;

0 < У2 < 16;

601.4 < Т < 661.53;

541.26 < Т2 < 601.4.

Таким образом задача оптимального проектирования системы двух реакторов с учетом неопределенности в исходной информации, заданной неопределенными параметрами О = {Е1;Е 2; к10; к20} и областью неопределенности, приведенной в табл. 1, примет вид

V = т1п Е/М.ЦДЛ.О)] (15)

У1’V2>'1 >' 2

Са,(Ц V , Т ,Тг , О) + к„е-Е'1^'СаМ V , Т„ Т2 , 0)У,= 1;

Св,(Ц, V, , Т ,Т, , 0) + Са.М , и2 , 71, гг , 0) + к 20е-Е2 Rr'Cв,(v1 у , Т, Т , 0)4= 1;

Са2 (VI,V!,7,,T!,0) - СаМУ^ТТ ,0) + к,0еЕ ^гС а 2 ,0у = 0;

Св 2 (V|,V,,T|,T,,0) - Cв|(V|,V2,7|,T2,0) + Са2 (У|,У2,Т|,Т2 ,0) -- Са|(У|,У2,Т|,Т2 ,0) + к 20е^'-Св 2 (У|,У2,Т|,Т2,0)У! = 0; 0 < СмУУТ,Т2_,0) < 1; 0 < Са2 УУТ'Т ,0) < 1; 0 < Св,(У,,У2,7|,T,,0) < 1; 0 < Св2(V|,V',T|,T',0) < 1;

Р{Св2(V|,V',7|,T',0)- С%}-а.

0 < V, < 16;

0 < У2 < 16;

601.4 < Т, < 661.53;

541.26 < Т2 < 601.4.

Номинальная оптимизация без учета неопределенности в исходной информации и вероятности выполнения ограничения (14) при использовании в качестве поисковых переменных только объемов реакторов дала значения критерия, представленные в таблице 2. Значения режимных параметров были зафиксированы в значениях 1НТ = 5181, НТ2 = 4765 .

Таблица 2 - Результаты решения номинальной оптимизации при поисковых конструктивных переменных Ц, Ц2

О. Со со о V: Ц2 Г НТ Т2 СС

0,50 3,224 2,811 3,472 5181 4765

0,52 3,453 3,413 3,706 5181 4765

В статье [6] при использовании в качестве поисковых только объемов реакторов получены практически такие же значения критерия оптимальности и конструктивных параметров (они помечены как DT в табл. 3).

Таблица 3 - Результаты, полученные авторами статьи [6]

г^ЭР СВ 2 а Ц2 f

БТ DT БТ DT БТ DT

0,50 0,90 3,301 3,222 3,266 2,814 3,624 3,472

0,50 0,95 3,497 3,245 3,671

0,52 0,90 3,808 3,452 3,795 3,416 3,899 3,706

0,52 0,95 3,854 4,001 3,963

Напомним, что при решении номинальной задачи и задачи оптимизации авторами [6] значения параметров 1НТ и НТ2 являлись постоянными и были равны: 1НТ = 5180,869, НТ2 = 4765,169.

При решении задачи оптимизации на основе предлагаемого подхода в число поисковых параметров задачи оптимизации кроме конструктивных параметров Ц, Ц2 были включены режимные параметры (температуры Т1 и Т2 ). Полученные результаты представлены в табл. 4.

Таблица 4 - Результаты решения задачи оптимизации предложенным подходом

с^эр СВ 2 а Ц V2 Н 2 Г

0,50 0,90 2,1824 2,1824 10000 10000 2,9546

0,50 0,95 2,3546 2,3546 10000 10000 3,0689

0,52 0,90 2,6245 3,8432 10000 6615,33 3,5805

0,52 0,95 3,2312 4,1355 7812,91 6202,12 3,8285

Из сравнения результатов решения задачи (15) способом, предложенным в [6], и подходом, предложенным в данной статье, видно, что предлагаемый подход решения задачи проектирования оптимальных ХТС в условиях неопределенности исходной информации дает

лучшее значение критерия и конструктивных параметров, что демонстрирует его эффективность в решении таких задач.

Литература

1. Зиятдинов, Н.Н. Поиск энергосберегающих режимов работы установки разделения изоамилен-изопреновой фракции производства изопрена / Н.Н. Зиятдинов, Д. А. Рыжов, Т.В. Лаптева,

B.А. Курбатов // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2009. - № 6. - С. 249-258.

2. Лаптева, Т.В. Нижняя оценка одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями / Т.В.Лаптева и др. // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т. 14, № 7. - С. 218-224.

3. Островский, Г.М. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями / Г.М. Островский и др. // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 425, № 1. -

C. 63-66.

4. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. - М.: РХД, 2003. - 648 с.

5. Островский Г. М. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями / Г.М. Островский и др. // Теоретические основы химической технологии. - 2009. -Т. 44, № 5. - С. 507-515.

6. Wendt, M. Nonlinear Chance-Constrained Process Optimization under Uncertainty. / Moritz Wendt, Pu Li, Gunter Wozny // Ind. Eng. Chem. Res. - 2002. - № 41. - P. 3621-3629.

© Т. В. Лаптева - канд. техн. наук, проф. каф. системотехники КГТУ, tanlapteva@yandex.ru; Н. Н. Зиятдинов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. системотехники КГТУ, nnziat@yandex.ru; Д. Д. Первухин - асп. той же кафедры; Г. М. Островский - д-р техн. наук, проф. каф. системотехники КГТУ, ostralex@yandex.ru.