Сборник включает статьи по современным вопросам фундаментальной и прикладной математики. В статьях сборника рассматри-
наются различные актуальные проблемы общей топологии, функцио-
нального анализа, теории вероятности, теории чисел, математической теории кодирования.
Сборник предназначен для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов физико-математических специальностей вузов.
The Issue includes papers concerning problems of pure and applied mathematics. Some modern problems of general topology, functional analysis, probability theory, number theory and
mathematical theory of coding are considered.
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета
Редакционная коллегия:
Мюлляри А.А. (секретарь), Платонов С.С. (отв. редактор), Старков В.В.
м ТЕЩЦТРЗЗ'^1-93 © Издательство Петрозаводского
государственного университе-ISBN 5-230-08954-7 та,1993
Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.
УДК 519 Гогин Н.Д.
ОДНО ТОЖДЕСТВО ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕСОВЫХ СПЕКТРОВ ДУАЛЬНЫХ КОДОВ
Известны тождества Мак-Вильямса, связывающие весояые спектру взаимно дуальных кодов с помощью полиномов Кравчука. В настоящей работе устанавливаются взаимно обратные соотношения для коэффициентов весовых спектров взаимно дуальных кодов, для которых связывающими элементами являются числа Фибоначчи. Получено также комбинаторное тоздество, связывающее числа Фибоначчи со значениями полиномов Кравчука е целых точках.
Цель настоящей рас и ты - вывод тождеств (20) и (21), связывающих весовые коэффициенты взаимно дуэльньи кодов с помощью чисел Фибоначчи.
Следуя монографии [1], мы определяем двоичный (сообщенный) код длины п как элемент групповой алгебры
(п Раз)*
т.е. К8К функцию К. Множество этих функций образует п-
мерное евклидово пространство относительно скалярного произведения <г,в)= 2 Г(У)8(У).
у*У„
Для каждого обобщенного кода Г его дуальный код Г опре-
деляется формулой
Г(и)- £ (-1) П * Г(у), и « V , (1)
п
П
где |и V) - вес Хемминга покоординатного произведения (пересе-
чения) двоичных векторов и и у. Легко устанавливается, что
Г=2П1\ (Г,в)*2-п(Г,в). (2)
Весовым спектром кода 1 называется набор чисел
8т(Г)= Е Г(У)=(Г,фт), ш-0,1............п, (3)
IV1 =т
где фт - индикаторная функция множества векторов имеющих
вес ш:
IVI =т,
|у|*ш. (4)
(0.
Спектры взаимво дуальных кодов связаны тождествами МакВильямса (11:
3«(Ь» С Бк(Г) Р^П)(Ю. (5)
)£
где р£п) (а)= Е (-1)* С*СГ~1 - многочлены Кравчука порядка п,
ш ^=0 г п-г
имеющие в качестве производящей функции полином
т)=(1+г)п"г <1-0** е р‘п)(г) г®. (в)
т«0
Отметим, что
Р<п)(1и1)4т(и), и « V ; Р<п)(кы-1)к Р<а2(к). (7)
Ш ГО П ГО П—ГО
Пусть теперь Р0,У1(Р2^,.. - последовательность чисел Фибоначчи:
V0' V1’ ?Г41=/Г+ГГ-1' г > *• имеющая производящую функцию 1;/(1-1;-1г). Используя (8) в форме • определим обычным образом эту последовательность и для отрицательных значений индексов, тогда
У_г=(-1)Г+1РГ. г в л. (9)
Нам потребуется следующая
Леюда. Имеет место тождество:
£ <4 с-2)1 Кч_1= <-1>к Гч_3к. (Ч » оь (10)
Доказательство. Проведем индукцию по q. При я=0 в силу (9) оказывается необходимым доказать тождество
Е с£ 21 V рзк * (11)
к £
1*0
Это можно сделать так: положим для краткости ак=*3к.;
эо=0, 3^2. В силу известной формулы
г-э * <‘2)
аи+1=Р31с+Э=2?31с-1+ЗГЗк *
Ч-^Зк-З^Зк-! -ЗРЗк и, вычитая, находим, что
8к+1=4ак*\-1’ К * *• (13)
и отсюда
Вк= — [(2+ ЛГ )к-(2- I? )к]. к. > 0. (14)
Я
к
С другой стороны, полагая Ьк= £ С* 21 Р1, имеем Ьо=ао,
1=0
Ь1=а1 и, используя формулу Бине
(-1)
І5 -1 ^ +1
(и£-иГ), и =------------, ш =------------, г ? О, (15)
с 1 1 о с 9
' к
находим, что
Ь. х £ С? 21 — ((-<!),)1-(-<і)1)1)= -М(1-2о) ^-(1-20), )к]=
к і-0 {5 ' ЛГ
= — (<2+І5)к-(2- Й)к]=а. .
ГЇГ
Таким образом, тождество [11] доказано.
Теперь индукция по я проводится легко, если заметить,что в
силу (12) ^35:-1^я ^Зк^я-1 ^ ’
Имеем:
і?о <_2)1 х?о Сі (_2)1 Го-1+
',£„СІ (-2)1 ї,,.,)-!* 1-1)к <ї3к-1Г,-РЗкГч-1>*
1=0
Н-1)к ОГзк-Л-гЬЛ-а»- ‘-,)к
что и завершает доказательство леммы.
Определим теперь функцию К:7п -* и по п]
?(7)=Г,„| , V «£ •/ ,
т>- Е Г, ,« I г Е (-1)1^1 ф (у);
V т=0 т V го
= 2 ^тр1п)(|и,^= Е *ю М)к Р<а2(к>-
т=0 т т т=0 т п_т
(-1 Г СоеГГ
п
( г(1П)п‘к (1-г)к ]
I 1-^2 г
где СоеГГп означает коэффициент при ^ в разложении этой рациональной функции в ряд по степеням I. Этот коэффициент оказывается равным
(-1)к
— (и£ г<о)2)) ,
Ь
где *и) из (6), в ш,, м2 из (15). Поскольку
Г10), )*(1-ко1 )п"к(1-0)1 )к=(-1 )п~к ш^_к(2+и)1 )к=
= (-1)п-к| С^2к-г^-к+г г=0 ^
и аналогично для *(и>г), то
• •
?(ц)= ( (-1 )п_к е сГ 2к_Г о£п'к*г-
I г=о 2
- <? Ц <! <-*>- ^.№.г).
Полагая 1=к-г, имеем в силу доказанной выше леммы
Г(и). ^ о; (-г^^с-п* Ргп_з„. -?зк_гв, т.е. ?(и)* - *з|и|-гп= “ р1и1-г1йс
Для произвольного кода I найдем теперь скалярное произведение (Г,?), используя формулы (2):
(Г,*)*(?, Е Р «Ц,)- 2 5.(1) I (18)
к*0 К * к^О * *
С другой схроны, используя (17), имеем:
(16)
(17)
Тождество для коэффициентов весовых спектров 7
---------------7------------------------—-------------------------
Приравнивая правые части (18) и (19),получаем тождество для коэффициентов весовых спектров взалмно дуальных кодов
А V1' V -2'" £ \(Ь Г3к-г„ «0) к=0 к=0 К п
и, заменяя Г на Г, с учетом (2) имеем:
і0 3*‘Ь - - к|0 Vі) гзк..г„- (21)
Тождества (20) и (21) по форме аналогичны известным тождествам для биномиальных моментов весового спектра кода, а также тождествам Плесс [11.
Отметим в заключение, что попутно нами получено комбинаторное тождество для многочлена Кравчука:
т^0 Рт (К^ = '^Зк-гп* к=0*-«'*п. (22)
которое тоже, по-видимому, является новым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мак-Вильямс Ф.Д., Слойн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.