Одна новая теорема существования решения нелинейного уравнения в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.853

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 3

С. Е. Михеев, Л. Т. Позняк

ОДНА НОВАЯ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1. Введение. Рассматривается классическая задача о существовании и локализации решения уравнения

д(х) — 0, х Е Б си, (1)

для нелинейного отображения д : Б —» в паре банаховых пространств [/, \У (5-пространств). Ей посвящена обширная литература, обзор которой и обширную библиографию можно найти, например, в [1, 2].

При определенных предположениях о свойствах отображения д решение этой задачи содержится в известных теоремах Л. В. Канторовича [3] и И. П. Мысовских [4] о методе Ньютона для уравнения (1) и М. К. Гавурина [5] о непрерывном аналоге этого метода. Из них наиболее богатая информация об отображении д требуется в теореме Мысовских (ТМ). Здесь показано, что такая информация позволяет получить более точные и в известном смысле неулучшаемые суждения о существовании и локализации решения уравнения (1), чем те, которые дают все упомянутые теоремы.

План статьи таков. В п. 2 приводятся вспомогательные результаты. Все они связаны с новым понятием полупроизводной отображения, которое оказалось весьма эффективным при решении рассматриваемой задачи. В п. 3 доказывается основная теорема А. Доказательство заключается в сведении уравнения (1) к абстрактной задаче Коши и последующем ее исследовании с помощью полупроизводной отображения. В п. 4 проводится количественное сравнение оценок удаленности решения уравнения (1) от заданной точки Жо € .О, полученных в статье и в теоремах Канторовича, Мысовских, Гавурина.

2. Полупроизводная и ее свойства. Пусть II, IV - В-пространства, М С С/ и имеется отображение А : М —]У.

Определение. Пусть х - не изолированная точка множества М и величина

ЬА(х) := Иш ||А(х + Д) - А(х)\\„/\\А\\и (2)

Д—>0

конечна. Назовем тогда ее полупроизводной отображения А в точке х. Здесь предел берется по таким Д, что х + Д € М.

Если М не имеет изолированных точек и полупроизводная ЬА(х) существует для всех х £ М, то формула (2) определяет на М функцию, которую будем именовать полупроизводной отображения А на множестве М. ■

Далее индекс нормы, указывающий на пространство, в котором она определена, опускается, поскольку это будет ясно из контекста.

Очевидно, если в точке ж существует полупроизводная ЬА(х),то ||Л(а:-|-Д)—А(ж)|| ^ 1/А(ж)||Д|| + о(||Д||,ж), т.е. А непрерывно в ж (о - бесконечно малая относительно

С. Е. Михеев, Л. Т. Позняк , 2006

первого аргумента). Отсюда же нетрудно установить, что если отображение А дифференцируемо во внутренней точке х из М по Фреше, то его полупроизводная есть

Если А : В С Л1 -> Л1 имеет в точке х конечные производные числа, то его полупроизводная ЬА(х) есть максимум из их абсолютных значений.

Если отображение А имеет на М - множестве без изолированных точек - константу Липшица Ь, то оно имеет на М полупроизводную, ограниченную сверху числом Ь. Для выпуклого множества верно и обратное.

Лемма 1. Пусть полупроизводная отображения А ограничена константой Ь в выпуклой области задания М: ЬА(х) < Ь \/х Е М. Тогда отображение А липшицево в М с константой Ь.

Лемма 2. Пусть / : [0,я] —> Я1 имеет на [0, в] полупроизводную Lf{s) ^ ¿{в), и - конечна, неотрицательна и суммируема по Лебегу па [0,?]. Тогда

1/00-Я0)1 < Гz(t)dt v*€[o,n

JO

Лемма 2 есть элементарное следствие леммы 3.8 из [6].

3. Существование и оценка решения. Будем полагать область задания В отображения д представимой в виде объединения открытой области В' и подмножества М' ее границы дВ'\ отображение д - непрерывным в В и имеющим в В' невырожденную производную Фреше 3 :— д'. Замкнутый шар {у ||у — ж|| «С обозначается здесь через 5(ж,<5).

Для краткости записи оператора, обратного к линейному оператору </(?/) : II —> IV, будем использовать вместо более корректного (^(у))-1-

Теорема А (ТА). Пусть и, IV - В-пространства, В С II, д : В -» V/, и выполняются следующие условия:

1) Ых0)\\ ^ 9о; 11^-1(®о)|| ^ го; 2) 7 липшицева в В' с константой Ц

3) ||3~1(х)\\ ^ гм Уж € В'-, 4) шар £(£0,^1) принадлежит В, где

(к

'dK 1 ^ 2Рь, PL < 1/2 АТМ) dK, Lr0

г J о - (Гм{Г0Т1)2, Pl Z 1/2 V {PL < 1/2 Л Тм < dK), < 2rML

rM - Го

(3)

PL := LtqOO, Тм:=

LrMr0

Тогда в шаре S(xo,di) существует решение а уравнения (1), которое является предельной точкой фазовой траектории решения задачи Коши

х = -J~1(x)g(x)/ || J-1(x)g(x)\\ =: F(x), х(0) = я0, (4)

а именно существует Т Е [0,di] такое, что решение этой задачи определено на [0,Т); непродолжимо вправо и Нт^т-оx(t) — а. Причем ||p(a;(i))|| монотонно убывает до 0 на [0,Т). Если оценка г0 огрубляется до гм, то условие 2) можно ослабить до локальной липшицевости J в В'.

*) Интегрирование задачи Коши х — -3 1{х)д(х), х(0) = жо, М. К. Гавурин [5] называл непрерывным методом Ньютона. Для него решение уравнения (1) достигается при Ь —► +оо.

Доказательство. Покажем сначала локальную липшицевость F в открытом множестве М := (S(xo,di) \ dS(xo,di)) \ {a|g(a) = 0}. Из условий теоремы следует, что в любом шаре из М операторы J(x) и J~1(x) липшицевы, ограничены. Поэтому таково же в нем будет и д{х). Произвольно фиксируем х € М, и рассмотрим шар S(x,u) столь малого радиуса и, что || J~1(y)g(y)\\ ^ || J~1(x)g(x)\\ /2 My 6 S(x,v). Поскольку числитель и знаменатель дроби F липшицевы в S(x, и), а знаменатель отделен от нуля, то, как нетрудно убедиться, и F липшицева в S(x, и). Ввиду произвольности х это означает локальную липшицевость F в М.

Поэтому, согласно, например, [7] (т. Г.8.3) задача (4) имеет на некотором интервале [0,Т) непродолжимое вправо решение x(t). Так как x(t) непрерывна и ||F(x)|| = 1 для любого х Е М, то для x(t) справедлива оценка

^\r-t\ Vr,ie[0,T). (5)

Следовательно, если Т < оо и ij -> Т при г —> оо, то последовательность {ж(£г)}о° фундаментальна и существует limt_>T x(t), который, согласно критерию продолжимости [7] (п. 1.8), не может быть внутренней точкой множества М. Обозначим этот предел через х(Т).

Если Т < di, то, положив в (5) t = 0 и устремив т к Т, получаем \\х(Т) — ж0|| < di и х(Т) £ S(xo,di) \ dS(xo,di). Следовательно, попадание на границу М эквивалентно равенству д(х(Т)) — 0.

Пусть теперь Г ^ dy. Рассмотрим поведение функции ||</(ж)|| на решении задачи (4). Пусть t, t + 8 Е (0,Т) и S столь мало, что отрезок, соединяющий x(t) и + лежит в М.

Обозначим x(t + 5) — x(t) через Д и будем понимать под о (6, •) и Oi (5, •) отображения, которые при фиксированном втором аргументе удовлетворяют соотношениям

1|шЮ!=ьМЙ=0. Тогда

<5->0 О ¿->0 0

1Ж-*(0Н

/ x(s) ds ^ /

\\x(s)\\ds

Mz{t + i))|| - ЫхШ\ = II$(*(«)) + J(x(t))A+d(6,xm\ - l!ff(*(0)ll

g(x(t))S

9Ш)

\\J-4x(t))g(xm\

\и-чх(Шхт\

Поделив на 5 и перейдя к пределу, получаем

-\\аШ)\\

+ J(x(t))o1(S,t) + o(5,x(t)) + o2(5,x(t)).

ш*т =

№(*(0)llt

\\J-i(x(t))g(x(t))\\

^ -l/ii j-'ixmi

(6)

следовательно, суперпозиция ||s(x(i))|| монотонно убывает, если x(t) - решение задачи Коши (4), что, конечно, верно и для случая Т < d\.

Оценим полупроизводную функции 1 /p(t), где pit) := ||J_1(a;(i))||. Пусть t,t + 8 G [0,Т). Используя элементарные оценки и неравенство (5), имеем

|1 /p(t + 6)- l/p(t)\ ^ [p(t + 5)p(t)]~1\\ J-\x(t + 5)) - J-1(®(0)ll =

= [p(t + S)p(t)]-1\\J-\x(t))[J(x(t + 6)) - J(x(t))]J-1 (x(t + 6))|| ^ < II J(x(t + 5)) - J(x(i))|| ^ L||z(f + 6) - s(t)|| ^L\S\. После деления на | переходя к верхнему пределу, находим L1/p(t) ^ L. Далее по лемме 2 имеем \l/p(t) - 1//?(0)| ^ Lt, откуда pit) ^ "

1 - Lroí

Кроме этой оценки, согласно условию 3), должно быть ^ гм У t Е [0,Т). Един-

Го

ственныи момент совпадения оценок легко вычисляется из уравнения г м =

относительно t: Тм :— --. Для более поздних моментов лучше априорной оценки

LrMr0

p(t) ^

1 rM, t ii Тм.

1 - Lroí

:ов лучше априорно гм для р нет. Таким образом, ^ е [0,Т), где

(7)

I-

Усилим (6) с помощью (7): (||<7||)£ ^ — 1/у>(£). Отсюда

Г1 - <3т _

/ -т-т+50, te[0,T). (8)

/о ¥>{т)

Модуль подынтегральной функции ограничен снизу величиной 1 /гм > 0, поэтому правая часть (8) монотонно стремится к — ос, когда £ —> +оо. Единственным корнем ее, как нетрудно убедиться, является (1\. Так же, как для случая Т < (11, показывается, что существует Ит^^-о х(Ь) =: а и ||ж0 — а|| ^ ¿х-

Переходя в неравенстве (8) к пределу при t —— 0 и учитывая непрерывность д в получим ||<?(а)|| ^ 0, т.е. что а - корень отображения д. Ясно, что

Г = с?1, так как при t<T <?(ж(г)) ф 0.

Как видно из предыдущего, если го огрублено до гм, т. е. информация о ,/_1(хо) не используется, то <¿1 = гм9о независимо от величины Ь. В этом случае, как явствует из предыдущих рассуждений, условие 2) можно ослабить, потребовав лишь локальной липшицевости ,7 в Б'.

Замечание. Теорема А точна в том смысле, что для любого набора входных параметров можно указать функцию, на которой достигается оценка удаленности ¿1. Действительно, пусть имеются конкретные входные параметры - положительные числа д0,г0, Ь,гм (гм ^ г0). Согласно им, вычисляем, как в ТА, параметр Тм и задаем скалярную функцию / следующим образом:

m = <

90-t/r0 + Lt2/2, te[-оо,Т,

MJ)

Тм-t -

—-+ 90 - Тм/г0 + ЬТЦ2, t > Тм.

Очевидно, в любом сегменте из Л1 функция / липшицева с константой Ь и |/(£)|-1 ^ гм. Несложно найти ближайший к £о = 0 корень /. Это как раз ¿1.

Таким образом, для применения ТА к / необходимо, чтобы область задания Б содержала [—(¿1, = 5"(0, ¿х). ■

4. Сравнение с известными результатами. Наличие максимайзера удаленности (9) означает, что не существует суждения о ближайшем к хо решении уравнения (1)

с произвольным отображением д, основанного на том же наборе входных параметров 9o,ro,rM,L, которое давало бы меньшую оценку удаленности от хо, чем d\ - корень максимайзера. "Упомянутые в п. 1 теоремы Гавурина, Канторовича, Мысовских используют либо те же параметры, либо часть из них, поэтому не могут давать лучших оценок, чем d\. Представляет интерес, насколько они хуже, чем d±.

Для удобства сравнения с ТА приведем часть ТМ (ЧТМ) относительно существования и удаленности решения [4, теорема 1] в наших обозначениях *).

_^ 2 k_^ _

ЧТМ. Положим H(h) ^2k=0(h/2)) ~ и dM := r0g0H(h). Пусть выполнены

условия 1)-3) теоремы А и, кроме того, 4) h := rMr0Lg0 < 2; 5) S(x0,dM) С D. Тогда решение уравнения (1) принадлежит S(xo,dM).

В [4] условие 2) немного сильнее: \\J'(x)\\ ^ L Va: е D. Переход к липшицевости, однако, не сложен. Его можно найти, например, в версии ТМ у Ортеги [1].

Условие 4) ЧТМ требует малости зависимого от выбора начальной точки произведения г о.7 о = h/(rML), что придает ЧТМ полуглобальный характер. ТА в этом смысле - глобальная.

Сравним теперь количественно оценки удаленности di и dM при выполнении условий

у / _^ _ ^_^

ТМ. Обозначим гм/г0 через г. Тогда Рь = h/z, Тм ~~- = g0r0------1 и

LrM h

- 1 - VI - 2Рь 1 - у/1 - 2ф 2г0д0 dк = ---Го 9 о = г050-г--- = --, .

Рь Н 1 + у/1 - 2]ф

Отсюда при условиях £ ^ 1, Рь < 1/2 <=> г > 2/г следует

¿к <С Тм г - у/1 - 2/1/2) ^2-1 г у/1 - 2/г/г ^ 1

г2 -2}гг-1^0 г ^ И + лД + /г2.

Последнее условие сильнее двух первых. Таким образом, три условия в переменных сводятся к одному в переменных /г, г, и оценка dl предстает в виде

, = { 2/(1 + ^1-2/1/^), О^ + ч/Г+Т?, 1 ° ° Ц2Л* - (г - 1)2]/(2/г), 1 < г < /г + уТ+7?,

что в диапазоне И е (0, 2) приводит к расчетным формулам

(1м = Г(1 + у/1 - 2Н/г)Н(к)/2, z^h + Vl + h2, d1 ~ \2НН(К)/[2Нг - {г- I)2], 1 «С 2 < Л + ч/ТТТ?.

График этой зависимости представлен на рис. 1. Линия стыковки двух поверхностей, соответствующих двум случаям расчетной формулы, показана на нем жирной линией. Поскольку ряд Н(2) расходится, график построен для диапазона /г 6 [0, 1,95).

Теперь приведем часть теоремы Канторовича (ЧТК) относительно оценки удаленности решения уравнения (1) от начальной точки, следуя [8].

ЧТК. Пусть область задания О непрерывного отображения д есть замкнутый шар Б(хо, Я) и д имеет производную 3 в его внутренних точках, липшицеву с константой Ц Ц(жо)^(жо)11 ^ Т1о', Рь '■=■ гйЬщ ^ 1/2; Я(х0,В.) Э 5(ж0,с?к),

где dк := -—^ Тогда уравнение (1) имеет решение в шаре 5(х

*) Условия ТМ и ЧТМ совпадают.

Рис. 1. Зависимость отношения оценки йм к от л, Н.

Рис. 2. Зависимость отношения оценки ц^ к д,\ от Рь.

Замечание 1. В приведенной формулировке сделано небольшое уточнение сравнительно с [8] (теорема 11.3), где ничего не говорится о замкнутости используемых шаров, хотя далее (теорема 12.2) те же обозначения относятся к открытому шару. Данное уточнение извлечено непосредственно из доказательства теоремы 11.3. У самого Канторовича оба шара замкнуты и еще выставлено дополнительное требование существования производной на границе 35(жо, К). Упомянутое доказательство, однако, в этом не нуждается.

Замечание 2. Приведенная формулировка ЧТК позволяет легко видеть, что упоминание о шаре 3(хо,К) можно вообще изъять, не усилив и не ослабив теорему. Таким образом, можно будет говорить, что ТК применяется к непрерывному отображению, заданному в Б, имеющему липшицеву производную в Б \ дБ с константой Ь. и оценками в начальной точке: го ^ Щ ^ И^-1 (хо)<?(хо)||. В [3] замечена

возможность упрощения последней оценки за счет некоторого огрубления (замечание 1 к теореме 6, п. 1, гл. XVIII), а именно использования вместо г/о величины Го(/о- Этот вариант теоремы мы и будем сравнивать с ТА. ■

Интересно, оказывается, когда г ^ 4, всегда найдется такое Рь ^ 1/2, что ЧТК, использующая меньшее количество информации об отображении д, дает гарантии существования решения, а ЧТМ - нет. ТА немного проясняет эту коллизию.

В ТК сравнительно с ТА и ТМ не хватает одного входного параметра: гм. Прочие параметры совпадают. Поэтому оценка в условиях ТК не может быть меньше точной оценки, доставляемой ТА, т. е. <¿1 ^ с1к. Непосредственно же из формул видно, что когда Рь ^ 1/2 и гм (см. (3)) достаточно велико, имеет место (1\ — йк. Это объясняется тем, что, в силу непрерывности в малой окрестности начальной точки, величина

||</-1(а:)|| не достигает своего порогового значения гм.

Когда Рь > 1/2, гарантия существования решения и оценка его удаленности есть в ТА, но нет в ЧТК (при выполнении остальных условий в этих теоремах).

Когда Тм < а Рь ^ 1/2, оценка в ТА меньше оценки в ЧТК. Рассмотрим отношение йк/(1\ в данном случае. Имея представления

dK

У^Ж -

—ñ-го9о,

di

z —

(z-iy

2 zP,

r09 о,

получаем двупараметрическую зависимость

dк di

1,

2z

1 - уТ - 2 PL

о (1 - 2PJ"1/2, z<{l-2PL)~1'2.

График этой зависимости представлен на рис. 2.

В сравнении с теоремой Гавурина (ТГ) интерес представляет также содержащийся в формулировках метод получения решения, поэтому изложим ее полностью, следуя [5] (теорема 1), но с учетом замечания 2 к ЧТК.

ТГ. Пусть выполнены условия 1),3) теоремы А и, кроме того,

2) производная Гато «/' ограничена в некоторой окрестности каждой точки х € В']

4) 5(^0,¿г) С В, где dГ := гм%.

Тогда задача Коши х = х(0) — хо, имеет решение х(Ь),

определенное для всех £ ^ О и х{1) Е Б(х о,с?г); предел Нш^оо существует и является решением уравнения (1).

Частный случай ТА, когда гм = го, есть небольшое усиление ТГ. Действительно, из условия 2) ТГ и формулы конечных приращений следует липшицевость 7 в некоторой окрестности каждой точки из В'. Но липшицевость <7 в некоторых окрестностях всех точек из В' только и требуется в ТА.

В случае, когда г Е (1, /г + л/1 + Л2) и известна для <7 константа Липшица в В,

ТА доставляет лучшую оценку, чем ТГ: dГ — ¿1

(Гм/го - I)2 - Ог-1)2 ъ

— 9оГо—^- > и.

2 гмЬ и 2Л

Оценка удаленности от точки хо до dr - решения уравнения (1) - в ТГ формально получается из аналогичной оценки dм в ЧТМ заменой Н(К) на г. Поэтому та же

Рис. 3. Зависимость отношения оценки <1г к (1\ от г, И.

замена в отношении йм/й\ приводит к расчетным формулам для отношения б,г/<1\ в диапазоне Н € (0, оо) вида

^ _ / (1 + V1 ~ 2Л/Ф/2> + +

di

{2hz/[2hz — (z — l)2], 1 ^z<h + VlTh?.

Линия стыковки двух поверхностей, соответствующих двум случаям расчетной формулы (10), отмечена на рис. 3 жирной линией.

Помимо оценок удаленности решений уравнения (1), ТА и ТГ указывают возможный способ его нахождения путем решения некоторой задачи Коши. С практической стороны интегрирование задачи (4) не дольше, чем до конечного момента d\, выглядит предпочтительней интегрирования задачи Коши из ТГ на полубесконечном промежутке [0,+оо). (Решение уравнения (1) есть ж(+оо).)

Summary

Miheev S. Е., Pozniak L. Т. A new theorem of existence of nonlinear equation solution in Banach' spaces.

For nonlinear equation g(x) = 0, g : D С U W in Banach' spaces U, W an existence of the solution in a ball from D under assumption partly unknown before is proved. The radius of the ball is expressed via known quantity characteristics of the reflection g in D and in the center of the ball. It is shown that in the definite sense the gained results can not be improved. They are compared with the analogical results of the known theorems of L. V. Kantorovich, I. P. Mysovskih, M. K. Gavurin theorems about Newton's method.

Литература

1. Ортега Дж., Рейиболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

2. Schwetlick Н. Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Berlin: Deutscher Verl. der Wiss. (Mathematik für Naturwissenshaft und Technik. Bd 17), 1979. 346 S.

3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

4. Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича решения функциональных уравнений и его применениях // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, №4. С. 565-568.

5. Гавурип М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итерационных методов // Изв. вузов. 1956. № 5 (6). С. 18-31.

6. Михеев С. Е. Нелинейные методы в оптимизации. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 276 с.

7. Картан А. Дифференциальное исчисление, дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392 с.

8. Красносельский М.А., Вайпикко Г.М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г.