ОДНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ ХЛОПКА-СЫРЦА ПРИ СУШКЕ В СУШИЛЬНОЙ УСТАНОВКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Маматов Алишер Зулунович1, Рахманов Жамшидбек Турдалиевич2 Хамзакулов Эржигит Абдубашарович3, Абдусатторов Шахзод Жавлон угли3,

Хурозов Исломбек Жоникул угли4

ОДНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ ХЛОПКА-СЫРЦА ПРИ СУШКЕ В СУШИЛЬНОЙ УСТАНОВКЕ

1Tashkent Institute of Textile and Light Industry, 5, Shokhjakhon str., 100100, Tashkent, Uzbekistan

2Department of Mathematics, Gulistan state University of Uzbekistan, Uzbekistan

Аннотация: В статье рассматривается одна краевая задача параболического типа, состоящие из двух дифференциальных уравнений для определения температуры и влажности хлопка-сырца при сушки в сушильных установках. Получены приближенное решение рассматриваемой задачи по методу Бубнова-Галеркина, проведен сравнительный анализ с экспериментальными данными. Показано, что предлагаемая математическая модель и ее численный алгоритм адекватно описывают процесса сушки хлопка--сырца.

Ключевые слова: математическая модель, алгоритм, сушилка, температура, влажность, хлопко-сырец.

Введение. Основными недостатками существующий технологии сушки, приводящими к ухудшению качества волокна при предварительной обработке является неравномерность сушки, перегрев, пересушка волокна. Волокно становится хрупким и ломким, ухудшаются его структурно-механический свойства. При этом, немаловажное роль играют теоретические изучения тепло-влажностного состояния хлопка-сырца при её сушке в барабанных сушилках. [1-10]

В настоящей работе рассматривается одна краевая задача параболического типа для определения температурных и влажностных полей хлопка-сырца в процессе сушки.

Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим задачу сушки хлопка-сырца, когда сушильный агент с постоянной температурой воздействует на хлопок-сырец по длине сушильной установки. Предположим, что происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона между хлопка-сырцом и воздухом через боковой поверхностью, площадь и периметр которого равны и Р соответственно. Тогда для определения температуры и влажности хлопка-сырца при её сушке составим систему дифференциальных уравнений параболического типа в виде [11]:

парообразования, т- время сушки, I - длина установки.

Тогда можно записать следующую начально -краевую задачу параболического типа в виде:

(дТ д2Т , . ди

\Тг = а—т-а11(Т-ТВ) + а1*Тг

дт

с начальными

ди д2и р д2Т

— = ат—т + amö —

дх2

дх2

T(x,0)=To, U(x,0)=Uo (2)

и граничными условиями

= о,ди| = о

дх\х=0 дх'х=1

я^! =ол-1 =0(3)

д х х=0 д х х=

X Хт Ра £Г?1

где а = —,ат = —,а11 = —,а12 = —

Если сушильного установки рассмотрим, как цилидрическая труба с радиусом Я, тогда

алл = ■

cpR

дТ д2Т CPSTt = ÄS~2

д и

а Р(Т-Тв) +er21pS —

дт

(1)

V - mpS J; = +

,д2Т

' дХ2

где Т, Тв - соответственно температуры хлопка-сырца, сушильного агента (воздуха); V-влагосодержание хлопка-сырца; с,Х,р -соответственно теплоемкость, теплопроводность, плотность хлопка-сырца, а - коэффициент теплообмена между хлопка-сырцом и воздухом; -коэффициент фазового превращения, Г21 - теплота

Для решения данной задачи воспользуемся методом Бубнова-Галеркина. Выберем базисные функции и их обозначим через {$>}. От элементов базисных функций потребуем, чтобы они обладали второй производной.

Будем искать приближенные решения системы в виде [12-14]

Т = !кк=1 ск(т) ■ фк(х); и = £»к=1 йк(т) ■ фк(х) (4)

где коэффициенты с^(т), йь(т) требуются определения.

2а

Систему уравнений (2) умножим на координатную функцию и проинтегрируем в интервале [0, I]:

[1°т fl д2Т

J =а J —■ ф1(х)ах -

Г1 Г1ди

1J (г - тв) ■ ф (x)dx + а12 J — ^¿(x)dx

— (

£ д-Ц; ■ <Ь(х)ах = аш £ °-^-ф1(х)йх + ат.8 Ф1(х)йх (5)

Используя формулу интегрирования по частям и учитывая граничные условия, получим следующую систему обыкновенных

дифференциальных уравнений:

I д2и

T,k=1aikc'k + Ylk=iPikck + T,k=lYikdk = fli ^ Tik=làikd'k + Ylk=iPikck + T,k=lYikdk = Î2i

с начальными условиями

,?02(т),...,?0п (т) ) определяются из правой части системы (7).

Как известно, из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, при не вырожденности и положительной определенности матрицы, составленное из коэффициентов системы, задача (8) имеет единственное решение.

Для численного решения задач (8) используем метод разностных схем по временной переменной. Подбирая базисных функции таким образом и строя неявные разностные схемы на отрезке [0;1] получим систему алгебраическую уравнений.

Фп + ■С1п1 + спВп+1 = Р1п — (2пСп

GnCn

1+1 + (Qn + АтРп) ■ D^1 = F2n - QnDln

п Г0 = F ( )

Vn^n = r10

(Uk^aikCkW = L То(х)фк(х) dx

{ % (7)

{n=1aikdk(0) = ï0 ио(х)фк(х) dx

Где aik = J0ф1{х)фк{х) dx,

Системы (6) и (7) напишем векторном виде:

dÇnÇj)

dr dDn(t)

+ РпСп(т) + GnDn(T) = Рщ(т) + f>nDn(T) + GnCn(j) = F2n(T)(8)

™ dt QnCn(0) = Fw QnDn(0) = F20

где Qn=(atk), Pn=(Ptk), Gn=(/tk), Pn = (Î3ik)tân = (Yik)- квадратные матрицы размером (NxN);

Cn(T)=(Ci(T),C2(T),...,Cn(T))T, Dn(T)=(di(T),

QnD0=F2ol = 0,1,2,3,... M

Система алгебраических уравнений (9) решена методом Гаусса. Найденные значения Cj(), Dn() подставляя в (4) находим температуру и влажность хлопка-сырца в процессе сушки.

Экспериментальные исследования и анализ результатов.

Расчёты решения предложенного метода определения температуры и влажности хлопка-сырца проводились при следующих значениях параметров [15]: 0

=0,09 W/m-K; с=1700 J/(kg-°C ); =40 kg/m3; W„= 10,6«,22,3%,;

То=10°; Тв=100°,200°; =0,8; r2i=2082000 0 J/kg;

= 1,99 W /(m2 -°С).

искомые

d2(T),...,dn(T))T -

FUT^CfuOfnO,..,/^)/,

F2n( )) =(f2i(z),f22( )),...,f2n( r))T- заданные

элементы векторов Fio(z)=(foi(T),fo2(T),.

ля сравнения рачетных и экспериментальных данных воспользуемся результатами

экспериментальных исследований, которые проводились в барабанной сушильной установке типа 2СБ-10 . При проведении испытаний объектом переработки служил хлопок-сырец машинного сбора, 2,3 и 4 промышленных сортов с исходной влажностью 10,5%; 22,3 % .

Таблица 1

Изменения влажности хлопка-сырца по длине барабана

векторы;

векторы;

■ М)1

Длина барабана Влажность хлопко-сырца при Wh=10,5%, Тв=1000 Влажность хлопко-сырца при Wh =10,5%, Тв=2000 Влажность хлопко-сырца при Wh =22,3%, Тв=2000

0 10,5 10,5 22,3

2 10,27 9,82 21,41

4 9,3 8,75 20,46

6 8,8 7,98 18,83

8 8,35 7,21 17,12

10 7,74 (8,1- экспериментальный) 6,47 (6,8-экспериментальный) 16,32 (16,9-экспериментальный)

к

п

К

Таблица 2

Изменения температуры хлопка-сырца по длине барабана_

Длина барабана Температура хлопка-сырца при Wh=10,5%, Тв=2000 Температура хлопка-сырца при Wh =10,5%, Тв=1000 Температура хлопка-сырца при Wh =22,3%, Тв=2000

0 10 10 10

2 28,4 13,8 16,8

4 36,7 18,7 23,7

6 47,1 22,9 32,9

8 51,9 26,1 45,2

10 57,1 (58 -экспериментальный) 29,2 (30- экспериментальный 51,8 (53-экспериментальный)

ВЫВОД

Сравнение экспериментальных данных изменения влажности и температуры хлопка-сырца в барабанной сушилке 2СБ-10 и расчетные по приближенному решению показывают, что относительная погрешность составляет не более 5% (Таблицы 1,2). Это позволяет использование данного алгоритма для вычисления температуры и влагосодержания хлопка-сырца в процессе сушки.

Список литературы:

1. Parpiev A.P., Kayumov A.H., Pardayev H. «Effect of temperature of steady heating components of cotton-seed at drying process», European science review, vol.7-8, pp.205-207, 2016.

2. Parpiyev A.P., Kayumov A.H., Akhmatov N. «Definition of area of soft temperature drying condition», European science review, vol.7-8, pp.208211, 2016.

3. Parpiyev A.P., Kayumov A.H., «Analytical review of the applied temperature in the process of drying raw cotton», Scientific and Technical Journal of FerPI, Vol.1, pp.29-34. 2017.

4. Mamatov A., Parpiyev A., Kayumov A., Об одной задачи теплопереноса в комке хлопка-сырца, Ж.Ту^имачилик муаммолари.-2018.-№1, Б.4-9

5. Mamatov A., Parpiyev A., Kayumov A., Analysis of Heat Heat Transmission of Cotton-Raw Components, International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology, Vol. 5, Issue 12, December 2018.Р.7534-7542

6. Mamatov A., Parpiyev A., Kayumov A., Mathematical models of the heat and mass exchange process during pneumo-transportation of cotton-raw// International Scientific Journal Theoretical & Applied Science , p-ISSN: 2308-4944 (print) e-ISSN: 24090085 (online) , Year: 2020 Issue: 11 ,Volume: 91 Р.508-513.

7. Mamatov, A., Parpiev, A., Shorakhmedova, M. Mathematical model for calculating the temperature field of a direct-flow drying drum Journal of Physics: Conference Seriesthis link is disabled, 2021, 2131(5), 052067

8. Mamatov, A.Z., Usmankulov, A.K., Abbazov, I.Z., Norboyev, U.A., Mukhametshina, E.T. Determination of Temperature of Components of Cotton-Raw Material in a Drum Dryer with a Constant. IOP Conference Series: Earth and Environmental Sciencethis link is disabled, 2021, 939(1), 012052

9. Mamatov, A., Bakhramov, S., Narmamatov, A. An approximate solution by the Galerkin method of a quasilinear equation with a boundary condition containing the time derivative of the unknown function. AIP Conference Proceedingsthis link is disabled, 2021, 2365, 070003

10. Mamatov, A.Z., Pardaev, X.N., Mardonov, J.S.H., Plekhanov, A.F. Determining of the heat-moisture stateof raw cotton in a drum dryer. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii, Seriya Teknologiya Tekstil'noi Promyshlennostithis link is disabled, 2021, 391(1), С. 46-49

11. Лыков А.В. Тепломассообмен (справочник). M.: Энергия, 1978. - 480с.

12. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.-М.: Наука.1966, -432с.

13. M.V.K.Charis, J.Salon. Numerical Methods in Electromagnetism.Variational and Galerkin methods.-2000, Pages 143-187

4. M.V.K.Charis, J.Salon. Numerical Methods in Electromagnetism. Variational and Galerkin methods.-2000, Pages 143-187

15. Schekoldin M.N. «Heat moisture state of raw cotton»,State Gizlegprom Publishing House. 74 p., 1958.