CC BY
9
УДК 517.54; 514.144.14
С. В. Мациевский
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия sergei.matsievsky@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2022-53-8
Одна геометрическая модель дробно-линейных преобразований
Представлена модель дробно-линейных преобразований комплексной плоскости в виде точек комплексного трехмерного проективного пространства без линейной «запрещенной» квадрики. Представлена модель вещественных дробно-линейных преобразований комплексной плоскости в виде точек вещественного трехмерного проективного пространства без линейной «запрещенной» квадрики. Найдено геометрическое разделение точек, соответствующих параболическим, гиперболическим и эллиптическим вещественным дробно-линейным преобразованиям с помощью «параболического» конуса, касающегося запрещенной квадрики. Найдены некоторые свойства точек модели, соответствующих вещественным дробно-линейным преобразованиям, а также преобразованиям фундаментальных групп двусвязных областей комплексной плоскости.
Ключевые слова: дробно-линейное преобразование, комплексная плоскость, трехмерное проективное пространство, запрещенная квадрика, параболический конус, фундаментальная группа
1. Введение. Неподвижные точки дробно-линейного преобразования
Дробно-линейным преобразованием (отображением), или дробно-линейной функцией, называется преобразование (отображение) расширенной комплексной плоскости С :
Поступила в редакцию 03.06.2022 г. © Мациевский С. В., 2022
С. В. Мациевский
0 , 1 т . . х г + х
м = Ц г): г ^
2 , 3
х г + х
где ха е С, 2 е С , х0х3 -х1х2 * 0, а = 0, 1, 2, 3. Если же
0 3 12 _г\
Л. Л. Л. Л. — У^ у
то дробно-линейное преобразование сводится к постоянной, то есть отображает расширенную комплексную плоскость в одну точку [1—5].
Дробно-линейное преобразование также называют преобразованием Мёбиуса, проективным преобразованием, билинейным преобразованием, спиновым преобразованием (теория относительности) [5].
х 3
Формула не задает преобразование при ъ = да и 2 = —2-.
х2
Доопределим преобразование по непрерывности [3—4]:
х0 ( -3 ^
т да )= -т,т да у да при х2=о, т
х
х
V Л
= да.
Если Ь(и) = и, то точка и е С называется неподвижной. Множество неподвижных точек дробно-линейного преобразования определяется квадратным уравнением
х2и2 + (х3 - х0)и - х1 = 0
и состоит из двух элементов: и1 и и2 [1—2]. Возможны следующие четыре случая [1]. (1) и1 Ф и2. Имеем:
= к£-Ц±., к е С .
м - и2 г - и2
(1а) к е И , то есть к вещественно, — гиперболическое преобразование.
(1б) модуль |к| = 1 — эллиптическое преобразование.
(1в) к й И , \к\ ф 1, — локсодромическое преобразование.
(2) и1 = и2 — параболическое преобразование.
2. Группа дробно-линейных преобразований и запрещенная квадрика
Как известно, описанные выше преобразования образуют группу дробно-линейных преобразований [1—4; 6—9]. Эта группа изоморфна полной линейной группе СЬ(2, С) невырожденных квадратных матриц второго порядка над полем комплексных чисел С:
¿2 (Ц(*)) =
( 0 Л ( 0 Л
XX
У У
2 3
чУ У У
23
уХ Х у
Введем на группе СЬ(2, С) следующее отношение эквивалентности е:
(X0, X1, X1, X2)~(у0, у\ у1, у2) тогда и только тогда, когда
ЗЯе С/{0}:ха =Луа , а = 0, 1, 2, 3.
В итоге получим
АиС = СЬ(2, С)/е,
где Аи С — группа всех конформных автоморфизмов расширенной комплексной плоскости [5].
Множество-носитель группы СЬ(2, С) можно интерпретировать как множество аналитических точек трехмерного проективного пространства над полем С с исключенной из него невырожденной линейчатой квадрикой Q, которая определяется квадратным уравнением
0 3 1 2 , п
хх - хх Ф 0 .
С.В. Мациевский
Множество-носитель группы Ли! С есть тогда множество точек трехмерного проективного пространства Р3(С) над полем комплексных чисел С, исключая квадрику Q. Такую квадрику назовем запрещенной квадрикой группы дробно-линейных преобразований. Очевидно, что точка Е=(1, 0з 0, 1) проективного пространства Р3(С) представляет собой единицу этой группы (рис. 1)1 [5].
3. Вещественные дробно-линейные преобразования и структура вещественной запрещенной квадрики
Рассмотрим фуксову подгруппу С группы Ли! С, оставляющую на месте верхнюю полуплоскость плоскости С, то есть
а п 0 3 1 2 _ п
х е К, хх - хх > 0.
Множество-носитель Ли! С можно интерпретировать как множество точек О (вместе с Е = (1, 0з 0, 1)) трехмерного проективного пространства Р3(И), ограниченных запрещенной
1 Рисунки в статье весьма условны.
невырожденной линейчатой квадрикой Q [5]. Прямые, проходящие через точку Е и касающиеся квадрики Q, образуют конус параболических преобразований К, касающийся квадрики Q по эллипсу (рис. 2).
Рис. 2. Запрещенная квадрика и конус К
Обозначим через 5 эллипс пересечения квадрики Q и плоскости Т:
х0 + х3 = 0 .
Точка X + ХЕ тогда и только тогда принадлежит квадрике Q, когда
02|0,0, 3ч, 03 12 р.
Х + Х х + х )+ хх - хх = 0. Детерминант этого уравнения
Д = (х0 -х3)2 + 4хгх2 совпадает с детерминантом уравнения неподвижных точек
2 2 3 0 1
х и + х - х щ - х = 0.
Поскольку вещественные гиперболические преобразования имеют вещественные неподвижные точки, а эллиптические — комплексно-сопряженные:
С. В. Мациевский
— то параболическим вещественным дробно-линейным преобразованиям соответствуют точки пространства Р3(И), лежащие на конусе К, исключая вершину E и эллипс
— гиперболическим — внутри К;
— эллиптическим — вне К, но внутри квадрики Q [5].
Локсодромические преобразования отсутствуют.
В дальнейшем не будем различать точку из множества G и соответствующий ей элемент группы С .
4. Точки вещественной запрещенной квадрики
1. Рассмотрим внутри квадрики Q точку
X = X0 .X1 ,х2 ,х3 ;, X й Т , X Ф Е .
Тогда прямая (ЕХ) пересечет плоскость Т в точке
0 3 3 0 0 3
ХТ =
X - X 1 2 X - X -, X , X , -
2 2
V У
= X - Е .
2
1 3 12 0
Обозначим через X- = ( X , X , X , X 0 ) преобразование, обратное к Х. Тогда точки (Хт, Е; X, X-1) образуют гармоническую четверку [5].
2. Рассмотрим внутри квадрики Q точку
X = X0, X1 ^2 ^3 X е Т .
Поскольку X 1 = X, то такие точки, и только они, имеют порядок 2 в группе С [5].
3. Если три точки Е, X, У, У Ф X-1, расположенные внутри квадрики Q, коллинеарны, то
У = X + ХЕ, X0 + X3 +ХФ 0,
а: 1X2 -X0X3 X • У = XX + ХЕ) = X + ^4—Е .
X0 + X3 + Х
Таким образом, если три точки E, X, Y группы С коллине-арны, то также коллинеарны четыре точки E, X, Y, XY. В общем случае четыре точки E, X, Y, XY не компланарны [5].
5. Вещественные дробно-линейные преобразования и геометрия Лобачевского
Верхняя полуплоскость плоскости С с группой преобразований С реализует плоскость Лобачевского. Будем рассматривать верхнюю полуплоскость как евклидову плоскость. Угол на ней есть инвариант группы С и сохраняет свое евклидово значение на плоскости Лобачевского. Введем дифференциальный инвариант группы С , заменяющий в геометрии Лобачевского евклидов линейный элемент:
ds
da =-,
Imz
где ds — евклидов линейный элемент на верхней полуплоскости. Длина произвольной кривой l на плоскости Лобачевского равна интегралу линейного элемента da вдоль этой кривой [1]:
г ds Imz
С помощью конформного преобразования метрику Лобачевского можно перенести с верхней полуплоскости почти на
любую область комплексной плоскости С . А именно, любую
область D комплексной плоскости С, имеющую более двух граничных точек в естественной топологии, можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость [3].
Такое конформное преобразование и>(г) в случае многосвязной области D многозначно. Отсюда возникает понятие группы автоморфизмов конформного преобразования т(г) —
подгруппы группы С , которая изоморфна фундаментальной группе пг(0) многосвязной области D.
С.В. Мациевский
В частности, группа %(О) автоморфизмов конформного преобразования произвольной «-связной области В на верхнюю полуплоскость есть свободная группа с образующими в количестве (п- 1) [3].
Фундаментальная группа %(О) состоит только из параболических и гиперболических дробно-линейных преобразований верхней полуплоскости (группу п1(О) и изоморфную ей группу автоморфизмов конформного преобразования различать не будем), то есть таких, которые не имеют неподвижных точек в верхней полуплоскости и осуществляют параллельный перенос на плоскости Лобачевского [3].
Вернемся к геометрической интерпретации группы С на проективном пространстве (см. рис. 2). Если В — двусвязная область, то преобразования группы п1 (О) лежат на одной прямой, проходящей через точку Е. Действительно, тогда группа %1 (О) порождается одной точкой X, а все точки вида Xй при п е Ъ лежат на прямой (EX) [5]:
1 2 - 0 3
X • X = X + ^ 0- X 3 X Е .
X + X
Группы п1(О) с параболическими преобразованиями суть составляющие параболического конуса К, с гиперболическими — полностью лежат внутри этого конуса, то есть преобразования групп п1(О) полностью заполняют конус.
Список литературы
1. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т. 1 : Основные понятия и принципы / пер. с рум. И. Берштейна. М., 1962.
2. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1 : Начала теории. 2-е изд., испр. и доп. М., 1967.
3. ЕвграфовМ.А. Аналитические функции : учеб. пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М., 1991.
4. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. М., 1976.
5. Needham T. Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts. Princeton, N.J., 2021.
6. Kisil V. V. Geometry of Möbius Transformations: Elliptic, Parabolic and Hyperbolic Actions of SL(2, R). L., 2012.
7. Olsen J. The Geometry of Möbius Transformations. Rochester, 2010.
8. Tsai M. Ch., Gu D. W. Robust and Optimal Control. L., 2014. Part 4 : Linear Fractional Transformations. Р. 65—97.
9. Arnold D. N., Rogness D. Möbius Transformations Revealed // Notices of the AMS. 2008. Vol. 55, № 10. P. 1226—1231.
10. Мациевский С. В. Дробно-линейные преобразования и геометрия Лобачевского. Калининград, 1982. Рукопись.
-/Т\-(ПРЕДСТАВЛЕНО ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ
¿аавшия "ицензии creativecommonsattributionicc by)(http://creativecommons.org/licenses/by/4.o/)
MSC 2010: 14N99, 30C99, 51N15, 53A20
S. V. Matsievsky Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia sergei.matsievsky@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-53-8
A geometric model of linear fractional transformations Submitted on June 3, 2022
A model of linear fractional transformations of the complex plane in the form of points of the complex three-dimensional projective space without a linear "forbidden" quadric is presented. A model of real linear fractional transformations of the complex plane in the form of points of the real three-dimensional projective space without a linear "forbidden" quadric is presented. A geometric separation of points corresponding to parabolic, hyperbolic and elliptic real linear fractional transformations by a "parabolic" cone touching the forbidden quadric is found. Some properties of model points corresponding to real linear fractional transforma-
C.B. MaL|neBCKni
tions are found. Some properties of model points corresponding to fundamental groups transformations of biconnected domains of the complex plane are found.
Keywords: linear fractional transformation, complex plane, three-dimensional projective space, forbidden quadric, parabolic cone, fundamental group
References
1. Stoilow, S.: Teoria functiilor de o variabilä complex. Vol. 1. No-tiuni §i principii fundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Romane (1954).
2. Markushevich, A. I.: Theory of Analytic Functions. Vol. 1. Beginning of theory. Moscow (1967).
3. Evgrafov, M. A.: Analytic Functions. Moscow (1991).
4. Shabat, B. V.: Introduction to Complex Analysis. Vol. 1. Moscow (1976).
5. Needham, T.: Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts. Princeton, NJ, 2021.
6. Kisil, V.V.: Geometry of Möbius Transformations: Elliptic, Parabolic and Hyperbolic Actions of SL(2, R). London (2012).
7. Olsen, J.: The Geometry of Möbius Transformations. University of Rochester (2010).
8. Tsai, M. Ch., Gu, D. W. Linear Fractional Transformations. Robust and Optimal Control. London (2014).
9. Arnold, D.N., Rogness, D.: Möbius Transformations Revealed // Notices of the AMS, 55:10, 1226—1231 (2008).
10. Matsievsky, S. V.: Linear Fractional Transformations and Loba-chevsky Geometry. Kaliningrad (1982). The manuscript.
-(J)-1 SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNDER THE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE
I^MKbJ COMMONS ATTRIBUTION (CC BY) LICENSE [HTTPJ/CREATIVECOMMONS 0RG/LICENSES/BY/4.0/)
