CC BY
51
УДК 534.1:539.3
ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ К ОЦЕНКЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ РАБОЧИХ КОЛЕС ТУРБОМАШИН
И.Н. Рыжиков1, О.В. Репецкий2, Нгуен Тьен Кует3
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Представлен один из подходов к оценке долговечности рабочих колес турбомашин с использованием численных методов. Описан математический аппарат, позволяющий исследовать рабочие колеса с расстройкой на основе одного сектора циклически симметричной конструкции. Достаточно подробно представлены этапы, предшествующие анализу долговечности рабочих колес с учетом расстройки параметров: 1) определение сил, возбуждающих колебания рабочих колес, на стационарных и переходных режимах их работы; 2) демпфирование колебаний; 3) исследование динамических напряжений от вынужденных колебаний; 4) исследование повреждаемости конструкций рабочих колес.
Ключевые слова: рабочие колеса; циклическая симметрия; гипотезы повреждаемости; колебания; долговечность.
AN APPROACH TO TURBOMACHINERY BLADED DISC DURABILITY ESTIMATION I.N. Ryzhikov, O.V. Repetsky, Nguyen Tien Quyet
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The paper deals with an approach to turbomachinery bladed disc durability, estimation which applies numerical methods. Mathematical tools allowing to study the mistuned bladed discs on the basis of one sector of cyclically symmetric structure are described. The stages preceding the durability analysis of the mistuned bladed disks are characterized with sufficient details: 1) identification of forces inducing vibrations of the bladed disks in their stationary and transient operation modes; 2) vibration damping; 3) study of dynamic stresses caused by forced vibrations; 4) study of bladed disk design damage.
Keywords: bladed disks; cyclic symmetry; hypothesis of damage; vibrations; durability.
В настоящее время численный анализ долговечности элементов конструкции роторов турбомашин сложной геометрии, испытывающих действие значительных статических нагрузок, силовой вибрации, высоких температур и неравномерного нагрева на стационарных и переходных режимах работы, связан со значительными трудностями. Это касается определения изменяющихся во времени напряжений, учета всех видов демпфирования, недостаточного использования теорий суммирования повреждений, неточности самих теорий и др. Особое внимание при этом необходимо уделять использованию алгоритмов и математических моделей, позволяющих повысить точность расчетов.
Наиболее совершенным является расчет, учитывающий все особенности колебательного процесса и условий нагружения. Такой расчет должен включать в себя следующие этапы [11]:
1. Расчет статических напряжений, собственных частот и форм колебаний.
2. Расчетное или расчетно-экспериментальное определение возбуждающих сил на стационарных и переходных режимах работы.
3. Оценка демпфирования в материале и других видов демпфирования.
4. Определение динамического отклика конструкции от силовой вибрации. Уточнение трехмерного анализа напряжений в местах концентрации напряжений.
5. Исследование повреждаемости и анализ долговечности на основе вышеперечисленных этапов, информации о кривых усталости материалов, гипотез повреждаемости и долговечности.
6. Получение численных значений ресурса в годах и циклах нагружения, при необходимости построение изолиний повреждаемости.
Рассмотрим основные этапы более подробно.
Анализ колебаний рабочих колес с расстройкой параметров
При анализе собственных частот и форм колебаний таких конструкций, как рабочие колеса турбомашин
1 Рыжиков Игорь Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры машиностроительных технологий и материалов, тел.: 89500610243, e-mail: rin111@list.ru
Ryzhikov Igor, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Machine-Building Technologies and Materials, tel.: 89500610243, e-mail: rin111 @list.ru
2Репецкий Олег Владимирович, доктор технических наук, профессор, президент Восточно-Сибирского института экономики и права, тел.: 89025108222, e-mail: repetskiy@vsiep.ru
Repetsky Oleg, Doctor of technical sciences, Professor, President of the East-Siberian Institute of Economics and Law, tel.: 89025108222, e-mail:repetskiy@vsiep.ru
3Нгуен Тьен Кует, аспирант, тел.: 89247179468, e-mail: cavoixanh@mail.ru Nguyen Tien Quyet, Postgraduate, tel.: 89247179468, e-mail: cavoixanh@mail.ru
необходимо учитывать отличия лопаток в геометрии, характеристиках материала, условиях закрепления лопаток в замках и бандаже, возникшие в результате погрешностей при изготовлении либо появившиеся в процессе эксплуатации. Данные отклонения от циклической симметрии рабочих колес получили название «расстройка параметров» или «mistuning». Эти отличия малы, однако их влияние на спектр частот и формы колебаний может оказаться весьма значительным. Как показывают исследования некоторых авторов, даже 1 -процентное отклонение в массе лопатки колеса может привести к увеличению динамических напряжений при колебаниях на 20% в результате локализации колебаний [13]. Показано также, что в подобном случае тот же набор лопаток можно разместить на диске таким образом, чтобы полностью исключить возможность возникновения подобных увеличений напряжений, которые могут существенно уменьшить долговечность. Данное обстоятельство диктует необходимость учета расстройки при анализе собственных частот и форм колебаний рабочих колес.
При анализе рабочих колес с расстройкой стоит проблема резкого увеличения компьютерных ресурсов (памяти, машинного времени), так как требуется рассматривать полную модель колеса со множеством лопаток, каждая из которых смоделирована с большой точностью. Здесь анализ конструкции с поворотной симметрией на основе лишь одного ее сектора в том виде, как он проводился ранее, не может быть применен. Поэтому необходимо разрабатывать методы, позволяющие снизить требуемые объемы памяти и уменьшить время анализа систем с расстройкой [4, 6, 8, 10, 12].
Уравнение свободных колебаний идеальной системы с поворотной симметрией в матричной форме может быть записано как:
([^ ]-ш\Ы ]){4} = 0,
где со - собственная частота колебаний системы; [K], [M] - матрицы жесткости и масс.
Для циклически симметричной системы зависимость между перемещениями на левой и правой границах сектора задается уравнением (Repetski 1999):
= eM {4}s , ц = Ижгп / N,
где i = V-1 ; s = l,...N; N - число секторов (лопаток); m = 0,1,2,...,N/2 для четных N и m = 0,1,2,...,(N-1)/2 для нечетных N ; m - число форм колебаний.
Для анализа циклически симметричных систем с расстройкой в данной работе используется метод внесения расстройки, описанный в работе (Wei & Pierre 1988). Для случая свободных колебаний в соответствии с этим методом мы имеем уравнение:
{q} + œ2B[A\{q} = 0,
[A] =
1+ 2R2 + А/ -R2
-R2
О
-R1 1 + 2R2 + А/ -R2 О
О
-R
О -R2 1+ 2R2 + А/М
где & - номинальная собственная частота лопатки без расстройки; & - собственная частота колебаний i-й лопатки; & - частота системы; R2 = &Cl& - безразмерный коэффициент; А/ = (&2-&2)l&2 - расстройка i-й лопатки.
& }* = & }+А& } + аС &}.
Собственное значение системы с расстройкой может быть получено как:
Ь Г=Ь
где /=1,...Д О - вектор частот лопатки без расстройки (для идеальной конструкции); Л{®,} - вектор увеличения частоты первого порядка; Л2 {с} - вектор увеличения частоты второго порядка.
Для получения собственного значения системы с расстройкой можно использовать уравнение (Wei & Pierre 1988):
{4 }* = {4 } + Л{4} + Л2 {4},
где \=1,...,№, - вектор перемещений лопатки без расстройки; А {£,.} - вектор увеличения перемещений первого порядка; А2 {£,.} - вектор увеличения частоты второго порядка.
Определение возбуждающих сил на стационарных и переходных режимах работы
Рабочее колесо вращается с переменным угловым ускорением, в результате каждая лопатка по длине возбуждается в зависимости от времени сопловой решеткой через число г сопел. При проходе каждого сопла рабочая лопатка подвергается силовому воздействию потока внутри р-й части сопла шириной в, пока (э-^-я часть свободна от нагрузки (рис. 1).
Рис. 1. Воздействие потока на вращающуюся лопатку
Это переменное распределение давления - результат действия на лопатки нестационарных аэродинамических сил, а именно: подъемной силы Г, силы сопротивления О' и момента М'. Эти силы в общем виде можно обозначить как и выразить через ряд Фурье:
ivwt v e
где П, П - угловая скорость вращения.
В работе [8] реализованы два случая распределения нагрузки при переходе лопатки через сопло - прямоугольное и трапециевидное. Однако при входе лопатки в сопло и ее выходе на лопатку также действуют силы от кромочных следов. В работах [2, 5] приведены зависимости для приближенного определения этих сил. Их величина значительно меньше величины сил от парциального подвода газа, однако их периодический характер действия может оказывать влияние на вынужденные колебания лопаток и на их усталостную прочность. Поэтому представляется важным учитывать эти силы при анализе долговечности.
Демпфирование
При учете демпфирования, как правило, применяется упрощенная математическая модель, учитывающая вязкое демпфирование в материале конструкций, всегда имеющее место при колебаниях системы по причине рассеивания энергии, происходящего из-за пластических деформаций, нагрева, диффузии, колебаний кристаллической решетки и пр. [8, 14]. Логарифмический декремент затухания при этом имеет вид:
^ = ьА.
где А„, А„.1 - амплитуды колебаний в начале и конце периода; £ =0...1.
При этом относительное рассеивание энергии можно вычислить как:
т а = 2ж(\- (в>2/ гА2))(д(ЭА),
где w - частота возбуждения; - собственная частота системы, соответствующая резонансной амплитуде, численно равной А; ЭА - сдвиг фаз.
Однако в реальной конструкции трение в замке и бандаже оказывает существенное влияние на колебания (так называемое конструкционное демпфирование (рис. 2)). Этому виду демпфирования посвящены работы [3, 9, 15]. Приближенно конструкционное демпфирование можно считать вязким в смысле равенства рассеянной в материале энергии [8]. Однако наиболее точная картина влияния конструкционного демпфирования на колебания лопаток может быть получена с помощью математической модели контактного взаимодействия лопаток с диском и между собой.
а)
б)
Рис. 2. Различные виды конструкционного демпфирования: а - активное демпфирование; б - демпфирование элементами трения
В лопатках, особенно в компрессорных, значительная роль принадлежит аэродинамическому демпфированию. Источником возбуждения колебаний рабочих колес является воздействие пара или газа. Воздействие потока в первом приближении можно описать с помощью возмущающих гармонических сил и сил аэродинамического демпфирования. Силы аэродинамического демпфирования можно представить в виде:
L Г=1/2&р^Ь, D г=1/2СГогчг2Ь, M г=1/2СМргуг2Ь,
где рг - плотность невозмущенного потока; уг - скорость невозмущенного потока; Ь - хорда; С ,СМ - безразмерные аэродинамические коэффициенты, линейно зависящие от поступательных перемещений и поворота профиля относительно некоторой фиксированной точки.
Определение динамического отклика конструкции от силовой вибрации
Основные математические модели описываются уравнением движения Лагранжа, в общем случае нагруже-ния конструкции имеют вид:
где - вектор внешних сил; С - матрица демпфирования; М - матрица масс конструкции; К - матрица жесткости конструкции; 3- вектор перемещений конструкции; 8- вектор скоростей; ¿-вектор ускорений.
При работе двигателя сила, действующая на всю структуру, может быть получена как сумма конечного числа гармоник Фурье для каждой подструктуры. Сила Рк1 действует в направлении к-й степени свободы ]-й подструктуры конечно-элементной модели рабочего колеса в момент времени I и записывается в виде конечного ряда Фурье [7]:
N
(?) =£ Арк С) • , (1)
где Арк(1) - текущее значение р-й рассматриваемой гармоники Фурье от сил, соответствующих константе р волнового распространения; N - число подструктур.
Уравнение (1) соответствует распределению сил, действующих на структуру. Из него имеем:
Арк(г) = (1/Ю)-¿^(?)-е-,<ч>ц . (2)
к=1
Каждая из рассматриваемых гармоник Фурье приобретает в соответствии с уравнением (2) изменение на каждой лопатке. В итоге уравнение силовой вибрации ]-й подструктуры для конкретных гармоник Фурье для переходных режимов имеет вид:
мр • % (о+ср ■ и+кр • < и=Ар со,
где р=1,2,...^, а Мр, Ср и Кр - матрицы масс, демпфирования и жесткости подструктуры для р-й гармоники соответствующих сил и & - вектор перемещений подструктуры. Вектор А (г) включает все значения Ам (г).
Для решения уравнения (2) для к-й подструктуры с изменением времени I получаем:
для N - четного
N/2
d (t) = SJ (t) + 2 ■ X[Re(sJ(t)) • Cos(k - J) • (Inp / N) + Im (SJ(t)) • Sin(k - J) • {2жр / N)J ; (3)
p=i
для N - нечетного
N/2-1
dk (t) = SJ (t)+(-1)k-1 ■ SNд(0 + 2 ■ЦЯе (Sp (t) )■ Cos(k - J) ■ (2xp / N) + Im (SJ «)■ Sin(k - J) ■ (2^p / N) ], (4)
p=i
где б() - общий вектор перемещений к-й подструктуры в момент времени I.
Из этих уравнений общее решение для силовой вибрации на переходных режимах получается из выражений (3) и (4) при соответствующих значениях р=0,1,2,..,(Ы-1)/2 для N - нечетного и р=0,1,2,...Ы/2 для N - четного. Для требуемого числа групп т уравнение движения примет вид:
р,+ 2-g, ■т1 ■ pl + cof pt =f,(t) , где pt = p,(t); « = a,(t) , l=1,2,..m; *- модальный коэффициент демпфирования.
Для силы f0, действующей в течение периода At, отклик системы (модальные перемещения) имет вид:
p, = e~*aAt • (С, • Cosa, J(1 -*) •At + C2 • Sin« J(1 -*) •At + (F0 / af)) ,
где
(5)
C1 =
X о - (Fq / a>f )
C2 =
Vo •(X0-(Fo/™f)
»1V (i-^f)
а Х0 и У0 - модальные перемещения и скорость в начале периода А1, £ - модальный коэффициент демпфирования.
Модальные силы возбуждения 1 имеют вид [14]:
Г, (?) = 3Тр1 • Ар (?). (6)
Реальные перемещения получаем из выражения:
S(t) = • p(t), l=1,2,..m.
(7)
Модальный отклик подструктуры (перемещения, напряжения) определяется из уравнения (5). Общий отклик полной системы определяется в соответствии с уравнениями (6) и (7).
Исследование повреждаемости и анализ долговечности рабочих колес
Для численной оценки повреждаемости и долговечности в наиболее нагруженных местах конструкций необходимо суммарные статические и динамические напряжения систематизировать с помощью классификационных методов и получить кривую усталости детали. Полученную расчетную кривую усталости исследуемой конструкции необходимо сравнить с экспериментальной кривой усталости образца из соответствующего материала с учетом температуры, асимметрии цикла и других факторов.
Среди множества классификационных методов выделяют «Метод пересечения границ» (Level crossing counting) и «Метод дождя» (Rain-flow-cycle counting). «Метод пересечения границ» является однопараметрическим, т.е. при выделении классов используется только один параметр - амплитуда. «Метод дождя» в отличие от «Метода пересечения границ» является двухпараметрическим - оцениваются амплитуды и средние напряжения каждой величины колебаний. Суть методов состоит в разложении диаграммы «напряжения - время» на отдельные величины (классы) и представлении этого распределения доступным для применения гипотез накопления напряжений. После классификационных методов получаются различные общности статических и динамических напряжений с различной повреждаемостью. При сложном напряженном состоянии условие прочности может быть выражено с помощью одной из теорий прочности. После разделения напряжения на классы с помощью теорий повреждаемости рассчитывают повреждения на каждом уровне и производят их суммирование.
В настоящее время существует большое количество различных теорий повреждаемости как линейных, так и нелинейных, основанных на идее суммирования повреждений, полученных за весь срок службы изделия [1, 9, 14]. Однако применяемые до сих пор многими авторами линейные гипотезы (Palmgren-Miner, Haibach и Cor-ten-Dolan) не могут с большой степенью достоверности оценить долговечность детали, кроме того, расчеты, выполненные на основе этих гипотез, не всегда приемлемы для широкого спектра нестационарных режимов нагру-жения. Причиной этого является неучет ряда существенных факторов, таких как условия нагружения (последовательность и продолжительность воздействий нагрузок различного уровня), свойства материала, возможность нелинейных процессов зарождения и развития трещины. От всех перечисленных недостатков свободна гипотеза С.С. Мэнсона, получившая название Double-Linear Damage Rules (DLDR). По Мэнсону, процесс разрушения состоит из 2-х этапов: 1 - зарождение трещины и 2 - ее развитие. При этом кривые повреждаемости представляются в виде двух линейных участков, соответствующих вышеперечисленным этапам (рис. 3).
i=1
ék
Рис. 3. Кривые выносливости двухуровневого нагружения
Основным достоинством теории Мэнсона является простота расчета долговечности при неограниченном количестве уровней нагружения и минимальном объеме входной информации, не требующем проведения дополнительных экспериментальных исследований. В силу перечисленных достоинств данной теории предлагается применять ее для оценки долговечности деталей роторов турбомашин.
Из всего вышесказанного наименее проработанными в настоящее время остаются вопросы, связанные с анализом влияния расстройки параметров на вынужденные колебания, а также исследование повреждаемости и оценка долговечности рабочих колес с учетом расстройки параметров. Решение данных задач в ближайшей перспективе позволит на этапе проектирования турбомашины с достаточной степенью достоверности оценить долговечность разрабатываемого изделия, либо при наличии необходимой диагностической информации определить остаточный ресурс конструкции, находящейся в эксплуатации.
Статья поступила 13.04.2015 г.
Библиографический список
1. Буй Мань Кыонг. Разработка численных методов и программного обеспечения для прогнозирования усталостной прочности деталей турбомашин: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. Иркутск, 2011. 220 с.
2. Воробьев Ю.С., Цыба А.Н. Расчет вынужденных колебаний рабочих лопаток турбомашин в потоке // Тр. Центрального инст. авиац. моторостроения. 1981. № 953. С. 144-155.
3. Горбунов Р.Н., Репецкий О.В. К проблеме математического моделирования демпфирования и динамических нагрузок при оценке усталостной прочности деталей турбомашин // Известия Иркутской государственной экономической академии (Байкальский государственный университет экономики и права). 2012. № 1. [Электронный ресурс]. URL: http://eizvestia.isea.ru/ (13 февр. 2015).
4. До Мань Тунг. Численный анализ влияния расстройки параметров на динамические характеристики рабочих колес турбомашин: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. Иркутск, 2014. 192 с.
5. Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин. М.: Машиностроение, 1982. 264 с.
6. Нгуен Динь Дыонг, Рыжиков В.И. Исследования влияния расстройки параметров рабочих колес турбомашин на их свободные колебания // Вестник ИрГТУ. 2010. № 4 (44). С. 22-27.
7. Нгуен Динь Дыонг, Рыжиков В.И. Ресурсная оптимизация деталей газотурбинного двигателя // Вестник ИрГТУ. 2010. № 3 (43). С. 12-17.
В. Репецкий О.В. Компьютерный анализ динамики и прочности турбомашин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1999. 301 с.
9. Репецкий О.В., Буй Мань Кыонг. Численное исследование влияния скорости разгона и величины демпфирования на долговечность рабочей лопатки турбомашины // Вестник Байкальского союза стипендиатов DAAD. 2010. № 1. С. 25-2В.
10. Репецкий О.В., Рыжиков И.Н., Schmidt R. Исследования влияния различных видов расстройки параметров на колебания и долговечность рабочих колес турбомашин // Вестник Байкальского союза стипендиатов DAAD. 2010. № 1. С. 18-23.
11. Рыжиков И.Н. Оценка и возможные способы увеличения долговечности элементов роторов ГТД // Вестник ИрГТУ. 20 07. № 1 (29). С. 155-15В.
12. Рыжиков И.Н. Экспериментальные исследования расстройки параметров моделей рабочих колес газотурбинных двигателей // Вестник ИрГТУ. 2014. № 12 (95). С. 53-57.
13. Ewins D.J. Vibration of bladed disks, PhD Thesis, Cambridge University, 1966. 224 p.
14. Irretier H., Repetski 0., Sainchkowski K. Zu Empfindlich-keitsanalyeen, instationaren Schwingungen und Lebensdauernberechnungen von Turbinenschaufeln und Laufradern bei transienten und stationaren Betriebsbedingungen. Kassel: Kassel Universi-tat, Institut fur Meohanik, 1994. 26 p.
15. Panning L., Sextro W., Popp K. Design of Friction Dampers for Mistuned Bladed Disks. PAMM Proa APPL. Math. Mech., 3. 2003. Р. 118-119.
