CC BY
74
1УДК 536.758 ББК 22.317
ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ПО СКОРОСТЯМ МОЛЕКУЛ»
Э. В. Доброхотов
В рамках классической модели идеального газа выводится распределение Максвелла по скоростям. Предполагается, что газ представляет собой изотропную однородную среду, в котором число частиц в каждом выделенном объеме фиксировано, но очень велико. При отсутствии внешних воздействий на систему в силу изотропии направления скоростей молекул в пространстве являются совершенно случайными. При этом модули величин скоростей изменяют свои значения от нуля до бесконечности, но функция распределения имеет характерный максимум для тех скоростей, когда кинетическая энергия молекул сравнима с температурой газа. Предложенный вывод распределения Максвелла может быть полезным как преподавателям, читающим молекулярную физику и термодинамику в курсе общей физики в вузе, так и преподавателям школы в классах с углубленным изучением физики.
Ключевые слова: идеальный газ, распределение Максвелла, концентрация, вероятность.
ONE APPROACH TO THE STUDY OF THE TOPIC "PHYSICAL MODEL OF IDEAL GAS AND MAXWELL DISTRIBUTION OF MOLECULAR VELOCITIES"
E. V. Dobrokhotov
The Maxwell velocity distribution is derived in framework of a classical model of an ideal molecular gas. The gas is considered to be an absolutely homogeneous and isotropic environment in which the number of particles in each selected volume is supposed to be very large and fixed. When external impact on the system is absent the directions of molecular velocities are fully random. Modules of the velocities may vary from zero to infinity but the distribution function has a characteristic maximum for those velocities of molecules for which the kinetic energy of the molecules is comparable to the temperature of the gas. The proposed method of obtaining the Maxwell distribution can be useful both for college teachers who teach molecular physics and thermodynamics, and for school teachers in classes with profound study of physics.
Keywords: ideal gas, the Maxwell distribution, concentration, probability.
Модель идеального газа
Изложение раздела, посвященного выводу распределения молекул идеального газа по скоростям (распределения Максвелла) в традиционных учебниках по физике, требует серьезного предварительного изучения основ теории вероятности [1-3]. В соответствии с учебным планом изучение теории вероятности происходит позднее молекулярной физики. Поэтому основы теории вероятности в значительном объеме приходится излагать в часы, отведенные на изучение предмета. Кроме того, такие понятия, как вероятность, плотность вероятности, не всегда адекватно воспринимаются студентами (особенно это касается вечернего отделения). Все это значительно услож-
няет восприятие студентами самого предмета -статистического распределения Максвелла молекул газа по скоростям.
Нами предлагается нетрадиционное изложение данного материала, когда такие понятия, как плотность вероятности, возникают естественным образом в процессе чтения лекции или на семинарском занятии. Предварительно студентам вводится понятие вероятности и формулируются теоремы о сложении и умножении вероятностей. Этим можно ограничиться и приступить к изложению основного материала.
Концептуальной основой такого представления является четко сформулированная модель идеального газа.
1. Идеальный газ - это газ, который подчиняется уравнению Клаузиуса - Клапейрона.
2. В идеальном газе отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. Внутренняя энергия газа определяется только кинетической энергией и зависит от температуры и = ЩТ). (Для реального газа внутренняя энергия определяется и = Е + Е , для идеально-
1 т кин пот т т
го газа - и = Е ).
кин
3. Размеры молекул занимают столь малый объем, что идеальный газ можно рассматривать как систему невзаимодействующих материальных точек.
4. В идеальном газе, помещенном в замкнутый сосуд, происходят упругие столкновения молекул со стенками сосуда и упругие столкновения молекул между собой.
Следует напомнить, что модель идеального газа - это всего лишь идеализация, которая для сильно разреженных газов дает неплохие результаты. Вероятность одновременного столкновения более двух молекул ничтожна, поэтому мы учитываем только парные столкновения молекул.
Распределение молекул газа Максвелла по скоростям
Пусть в состоянии термодинамического равновесия находятся N молекул в объеме V. Полагаем, что все молекулы газа тождественны. Поскольку отсутствуют внешние силы, распределение молекул не зависит от положения в пространстве (то есть координат). Иначе об-
Рис. 1. Распределение векторов скоростей в изотропном пространстве
стоит дело с численными величинами скоростей Vу, V). С одной стороны из условия изотропности пространства и тождественности частиц все направления скоростей равновероятны. С другой - возможные значения V, заключенные в пределах от нуля до бесконечности, отнюдь не равновероятны. Очевидно, что вероятность бесконечной скорости, так же как и нулевой, равна нулю. Отсюда следует, что модули скорости молекул группируются около некоторых значений, соответствующих среднему и наиболее вероятному из них. Пусть кон-
N
центрация молекул равна п0 = — - количество
молекул в единице объема. Если мы возьмем единичный объем V = 1, то п0 = N. Задачу затем можно легко обобщить на число молекул в произвольном объеме. Необходимо найти скорость V и концентрацию молекул dnv в интервале скоростей V, V + dv. Возьмем произвольную точку 0 в пространстве скоростей и отложим векторы скоростей всех п0 молекул в момент времени I и осуществим их параллельный перенос в выбранную точку. Концы этих векторов образуют систему скоростных точек в момент времени г. Проведем из точки 0 декартовы координатные оси (ух уу уг). В силу изотропности пространства направление осей координат ух, уу уг можно взять произвольным. Предположим, скорость в момент времени I равна v(t) = = у у, уг). В следующий момент времени t + dt скорость будет v(t + dt) = v(t) + dv, где dv(dуx, dуy, dvz). Построим в пространстве скоростей малый параллелепипед объемом dQ = dуx • dуy • • dуz с началом в точке v(vx, уу уг) (рис. 1). Если п(у) - число молекул, скорость которых v(t), то
вероятность такого события Р(у) = п(у). По-
по
скольку Р(у) ~ п(у), то по правилу сложения вероятностей
dn(v) = n(v)•dП. (1)
- будет пропорционально вероятности попадания скоростных точек в интервал ух + dvx , уу + dvy , у2+dvz. С другой стороны, по определению концентрация молекул, скорость которых лежит в интервале v, v + dv.
Поскольку в состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей равновероятны, то интерес представляет распределение скоростей по модулю. Модули всех
Рис. 2. Сферически симметричное распределение скоростей по абсолютному значению их величин
векторов у и у + ¿у образуют сферический слой объемом
с1П = 4Пу2^У (2)
Соотношение (1) принимает вид ^п(у) = я(у)аЮ = п(у>4луМу (рис. 2). Движение молекул хаотично, что обусловлено попарными столкновениями молекул. Из условия тождественности частиц при упругих столкновениях происходит обмен скоростями. Пусть в сферическом слое dQ сталкиваются попарно п молекул имеющих модуль скорости V! с п молекулами, имеющими модуль скорости
Учитывая вероятностный характер и независимость происходящих событий, вероят-
Рис. 3. Распределение зерен проса, соответствующее распределению Максвелла по модулю скоростей
ность столкновения молекул со скоростями v1 и v2 будет пропорциональна п^)п^2) = = п^з)п(^) - как произведение вероятностей, где v3 и ^ - модули скорости молекул после столкновения = ^ = v1). Для нас неважно направление скоростей, поэтому заменим модули v1 на ^, v2 на v3 и т. д. Тогда
п( ^ )п( v2) = п( Vз2 >п( v 2) (3)
Для абсолютно упругих столкновений выполняется закон сохранения энергии:
пы:
3
- +
3
3
+
nv
3
(4)
v3 = v3 + v3 - v3.
Прологарифмируем соотношение (3): \пп(у\) + \пп(у\) = 1пп(у\) + 1пп(у^ ). (3')
Возьмем от обеих частей (3') производную по ¿(м]):
1 Сп(у2) 1 Сп(у2)
п(у?) сС(у]) п(у2) С(у2) и производную по <3(у22):
1 ¿п{у\) = ёп(у\)
П(У2)' ¿(У2) П(У2) ' ¿(У2)
(4')
(4'')
тей:
1
Отношения в (4') и (4'') не зависят от скорос-ёи(у2)
и(У2) ¿(У2)
= -а, где а - положительная кон-
станта.
После разделения переменных и интегрирования получим:
п^) = п>3) = С-е . (5)
Воспользуемся соотношением (1) для сферического слоя:
ёп(у) = С е-^2• 4п-у2ёу.
Если проинтегрируем это выражение по всем значениям скоростей от 0 до да, то получим концентрацию п0:
л/Л 1
п0 = \С- е~ш2 - 4п- v3dV = 4С
4 а
/■ \3/2
а
откуда С= п
ёп(у) = п
(6)
л \3/2
а
• 4п • у2еау^у. Наука и Школа № 4'2015
I/
Получили распределение Максвелла по величине скоростей в интервале у, v + dv для концентрации молекул газа.
В лаборатории физических демонстраций Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского создана уникальная демонстрационная модель двумерного распределения Максвелла. Используется система ячеек в виде коаксиальных цилиндров, в которые случайным образом насыпаются зернышки проса (рис. 3) [4].
Чем больше количество зерен проса, тем ближе их распределение к распределению Максвелла по модулю скоростей.
Далее получим распределение Максвелла в проекциях по скоростям на оси декартовых координат. При переходе к проекциям необходимо учитывать знаки величи н скоростей. Запишем распределение по скоростям ап(ух , у^) в интервалах скоростей (V , V + dvx ; vy , ^ + dvz ; у;, , V;, + dvz ), учитывая соотношения dn(v) = = я^-аЮ, т. е. (1) и (5), тогда
dn(Уx ,уу ,у,) =
, (7)
= п
а
-а(уХ+уУ+у;)
су „ - СУ у - СУ г
= п
г л372 'а ^
'ёуж ¡е"* ёуу ¡еаУ> у
тогда
dn(Уx) = п
и далее по аналогии
I а -а-уX л.
—е гау,
dn(уy ) = п0Л ае аУусУ у V п
dn(Уz ) = п \— ее"-"'2сСу2. V п
Рис. 4. Распределение зерен проса в выделенном направлении, соответствующее распределению Гаусса
У ■
г
ух1е
х
Определим концентрацию молекул газа dn(vx) в интервале уx , узс + dуx , а уу , уz от -да до +да , т. е. любые:
dя(vx ) =
(8)
На доске Гальтона [4] аналогичным образом демонстрируется распределение зерен проса в выделенном направлении, например, вдоль оси х. Полученное распределение зерен проса близко к нормальному распределению Гаусса. Остается выразить константу а через газовые параметры: температуру Ти массу т. Для опре-
ъ
Рис. 5. Давление моноатомного газа при упругом соударении молекул со стенкой сосуда, в который помещен газ
деления константы а воспользуемся модельным исследованием давления идеального газа на стенку сосуда в котором он находится.
Давление идеального газа
Вычислим давление моноатомного газа с массой одной молекулы т и температурой Т на стенки сосуда (рис. 5). Для этого выберем площадку dS, лежащую в плоскости стенки сосуда, перпендикулярную оси х, построим параллелепипед с основанием dS и высотой уx-Дt ^ = 1с), где vx - компонента скорости частицы вдоль оси х.
При упругом столкновении изменение импульса частицы вдоль оси х равно 2тузс. Сила связана с изменением импульса известным соотношением по второму закону Ньютона:
ДР =
а
Модуль силы, приходящийся на единицу
площади и есть давление р =—. Обозначим
ёБ
ёХ - число ударов в единицу времени (1 с) о площадку dS:
ёХ = ёя^) - vx - dS. Если dS - единичная площадка = 1), тога _ 2
да ёХ = V-dn(vx), и тогда ёХ = ц. —у eа'УxcУ .
V п
Все молекулы, ударившиеся о площадку dS (dS = 1), имеют изменение импульса за единицу времени, равное силе Е, а сила, деленная на
ёР
dS, - это и есть давление, то есть Е = — , dt = 1,
Г ё
dS = 1, "Зё=Р. Тогда получаем давление
Р = | 2шухух ёи (у) = 1ёи (ух) =
иг 2 , m
= 2mn0j-j^ =2a-«о,
л/Л 1
так как fv2e aVxdv =---—. Таким образом,
J0 x x 4 a3/2
m m
p = — n0, n0- концентрация,p = — ' «0 = n0-kT;
следовательно константа равна a =
Выводы
2a 0 0
m
2kT
Предложенный подход позволяет оптимальным образом получить распределение по модулю скоростей (6) и по их проекциям (8) и сделать его понятным для среднего студента.
1. Введение силового поля для максвел-ловского распределения позволит легко получить распределение Больцмана и ввести понятие фазового пространства координат и скоростей, поскольку в этом случае появляется зависимость распределения молекул не только от скорости, но и координаты.
2. Мы полагаем, что предложенный метод будет полезен всем преподавателям, читающим молекулярную физику и термодинамику в курсе общей физики в вузе, учителям школы в классах с углубленным изучением физики, а также студентам и всем интересующимся физикой.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики [Текст] / Д. В. Сивухин. - М.: Физматлит МФТИ, 2005. - Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. - 544 с.
2. Матвеев, А. Н. Курс общей физики в 5 т. [Текст] / А. Н. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1981. - Т. 2. Молекулярная физика. - 400 с .
3. Иродов, И. Е. Физика макросистем. Основные законы [Текст] / И. Е. Иродов. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2001. - 198 с.
4. Методические указания к лекционным демонстрациям по физике (гидродинамика и аэродинамика, молекулярная физика и термодинамика, элементы статистики) [Текст]. - Горький: ГГУ, 1978. - 22 с.
REFERENCES
1. Sivukhin D. V. Obshchiy kurs fiziki. Moscow: Fizmatlit MFTI, 2005. Vol. 2. Termodinamika i molekulyamaya fizika. 544 p.
2. Matveev A. N. Kurs obshchey fiziki. In 5 vol. Moscow: Vysshaya shkola, 1981. Vol. 2. Mole-kulyarnaya fizika. 400 p.
3. Irodov I. E. Fizika makrosistem. Osnovnye zak-ony. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2001. 198 p.
4. Metodicheskie ukazaniya k lektsionnym demonstratsiyam po fizike (gidrodinamika i aerodinamika, molekulyarnaya fizika i termo-dinamika, elementy statistiki). Gorkiy: GGU, 1978. 22 p.
Доброхотов Эдуард Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент Нижегородского государственного университета e-mail: [email protected]
Dobrokhotov Edward V., PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Nizhny Novgorod State University e-mail: [email protected]
