ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI UCHUN CHIZIQLIMAS CHEGARAVIY MASALANI YECHISHNING CHIZIQLASHTIRISH USULI Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ОСНОВНОЙ РАЗДЕЛ

Abdusaidov S. U. Assistant Jizzax Politexnika institute

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI UCHUN CHIZIQLIMAS CHEGARAVIY MASALANI YECHISHNING CHIZIQLASHTIRISH USULI

Annotatsiya : Ushbu maqolada ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglama uchun chiziqlimas chegaraviy masalani qaraymiz.

Kalit so'zlar: Differensial tenglama, chegaraviy shartlar, Lagranj formulasi, kvadratikyaqinlashishi, iteratsion jarayon , segment.

Abdusaidov S.U. Assistant

Jizzakh Polytechnic Institute

A LINEARIZATION METHOD FOR SOLVING A NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF ORDINARY

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abstract: In this article, we consider a nonlinear boundary value problem for a second-order ordinary differential equation.

Keywords: Differential equation, boundary conditions, Lagrange's formula, quadratic approximation, iterative process, segment.

Xususiy holda ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglama uchun,chiziqlimas chegaraviy masalani qaraymiz:

x" = f (t, x, x), (0 < t < l) (1)

Bu differentsial tenglamaning chiziqlimas chegaraviy shartlari quyidagichadir:

gi(xo, xo ) = 0, gr (xt x/) = 0 (2)

(1)-(2) chegaraviy masalani chiziqlilashtirishga asoslangan iteratsion jarayonni ko'ramiz: Faraz qilaylik,masala yechishning qandaydir xk -yaqinlashishi ma'lum bo'lsin.U holda:

x = xk +Axk (3)

bu yerda x* -masalaning aniq yechimi: (l)-yechimni (2) va (3) larga qo'yib quyidagini topamiz:

(xk+Лxk*)"=f [t,xk +Лxk t,(xk +Лxk*) '] (4) Lagranj formulasiga asosan quyidagini yoza olamiz:

* ' ' ' ' ' ' * i (xk +лxk )И = f (t'xk'xk ) + fx (t' 4k, h )(xk — xk) + fx(t4[(x ) — xk

e ^k ) (5)

4 — nuqta nomalum bo'lganligidan:

4 « xk, x « xk+l = xk + Лxk deb olamiz: U holda quyidagini hosil qilamiz:

xk+1

= f (t

, XkXk ) + fX (t, Xk , Xk

)(x

k+1 — Xk ) + fx (t , xk, xk ')( X k+1 —xk ),

yoki

x k+1 —fx (t, xk , xk )x k+1 —fx (t, xk , xk )xk+1 = f (t, xk , xk ) — — fx ' (t, xk , xk ')xk — fx ' (t, xk , xk ' )xk '

(X0, V; k = 0,1,2,....) (6)

(2)-chegaraviy shartlar uchun quyidagini xosil qilamiz:

g [xk (0), x/(0)]+gx\x[xk (0), Xk' (0)]t

t [Xk+l(0) — Xk (0)]+ g lx,[xk (0), x/(0)]* ♦ [x ' k+1 (0) — Xk'(0)] = 0;

g 2 [^k , (l X Xk '(l )] + g ' 2, x [xk (l X Xk '(l )] ^

t [xk+1

(l) — Xk (l)]

+ g'2,X' [xk (l), x'k (l )]t t [x 'k+1 (l) + X \ (l)] = 0

yoki

g *1,x [xk (0), Xk ' (0)]x ' k+1 (0) +

g l,X [Xk (0), Xk '(0)]xk+1 (0) =

gl [xk (0), x 'k (0)] + g ' 1,x [xk+1 (0), x'k (0)]x'k (0) +

+ g ' 1, x ' [xk(0), x 'k(0)]x 'k(0);

gf 1,x' [xk (l), X k (l)]x 'k+1 (l ) +

g 2,X [xk (l), Xk (l)]xk+1(l) =

= g2 [xk (lX X 'k (l)] + g2,x [xk (l), X 'k (l)]xk (l)

+ g2,x [xk (lX X 'k (l)]X 'k (l).

х0 (0), x'0 (0), x0 (l), x'o ; k = 0,1,2,.....

Shunday qilib, har bir k-yaqinlashish uchun (6),(7)-chiziqli chegaraviy masalaga kelamiz: k-ga qiymatlar berib iteratsion jarayonni xosil qilamiz:

l-ning uncha katta bo'lmagan qiymatlari uchun, f, g1, g 2 funktsiyalarga va ularning xosilalariga cheklashlar qo'yib, jarayonning yagonaligi va kvadratik yaqinlashishini ko'rsatish mumkin.

ADABIYOTLAR

1. MATLAB-7. Основы работы и программирования. У чебник-М.: ООО «Бином-Пресс», 2011. -320с.

2. Урунбаев Э. Мультимедийные приложении в учебном процессе: Курс лекций. - Самарканд: 2008. - 111 стр.

3. Вострокнутов И. Е. Теория и технология оценки качества программных средств образовательного назначения.

4.Интернет: http : //ito .edu.ru/2001/ito/II-4-11. html