CC BY
48
УДК 532.12
Нгуен Мань Хунг, П. С. Хабаров*
Астраханский государственный технический университет (Социалистическая Республика Вьетнам)
Астраханский государственный университет
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ ОТЫСКАНИЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ПОСТОЯННОЙ И МЕНЯЮЩЕЙСЯ ФОРМЫ, ДВИЖУЩИХСЯ В БЕЗГРАНИЧНОЙ ЖИДКОСТИ
Современные (однокорпусные) транспортные суда подошли к пределу повышения скорости движения (для числа Фруда Бг = 0,33). Совершенствование формы корпуса для Бг > 0,33 с целью эффективного повышения скорости оказалось безрезультатным, в то время как при высоких скоростях двухкорпусные суда (ДКС) получили успешное развитие. При умеренной волне благодаря высокой скорости, большим площадям палуб, просторным надстройкам, исключительно высокой остойчивости ДКС находят применение как в России, так и за рубежом в качестве промысловых, пассажирских, грузовых, научно-исследовательских судов, паромов, и др. [1]. Однако ДКС имеют недостаток. Так, из-за неблагоприятной интерференции волн в межкорпусном пространстве возникает деформация соединительного моста. Этот недостаток можно ликвидировать смещением корпусов [2, 3], но сдвиг корпусов выдвинул ряд новых проблем гидродинамического и прочностного характера.
Для теоретической оценки гидродинамических характеристик необходимо знать потенциал скорости движения жидкости, вызванного движением тел. Цель настоящей работы - проанализировать, сравнить и дать оценку приближенным методам отыскания потенциала скорости различных типов судов, движущихся в невязкой, несжимаемой безграничной жидкости.
Зеркально отображая смоченный корпус судна относительно плоской свободной поверхности, получим случай движения осесимметричных тел вращения.
Универсальным методом отыскания потенциала скорости судна является метод распределения гидродинамических особенностей на смоченной поверхности тел [4, 5]. Задача отыскания потенциала в этом случае приводится к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма И-го рода. Как правило, для его решения используются приближенные подходы. В настоящее время существуют два способа приближенного решения интегральных уравнений: способ последовательных приближений (способ итерации) и способ Фредгольма. Первый способ сводится к заданию функции, которую можно было бы рассматривать как решение интегрального уравнения в первом приближении к дальнейшему уточнению решения. Во втором способе интеграл, находящийся в интегральном уравне-
нии, представляют приближенно в виде конечной суммы; в итоге задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, число уравнений равно числу участков разбиения смоченной поверхности тел. В судостроении шаг разбиения принят в 1/20 длины периметра рыбины и шпангоута [6]. Таким образом, число участков разбиения для смоченной поверхности одного корпуса судна получается более 400, следовательно, придется решать 400 алгебраических уравнений. Желая избежать трудностей вычислительного характера как при отыскании потенциала скорости, так и при вычислении гидродинамических характеристик, попробуем изыскать более приемлемый путь, принимая обводы судна в виде эллипсоида вращения.
Обзор некоторых приближенных методов отыскания потенциала скорости для системы тел представлен в [7]. По характеру подхода к отысканию потенциала их можно разделить на следующие группы.
В первой группе работ граничные условия со смоченных поверхностей тел сносятся на их диаметральную плоскость - суда типа Мичела [8].
В работах Э. Д. Блоха и А. С. Гиневского дается приближенный метод расчета потенциала скорости для системы тел. Отыскивается скорость, индуцированная движением других тел, в «центре» исходного тела. Затем подбирается восстанавливающий потенциал исходного тела такой, который бы давал скорость в «центре», по величине равную индуцированной, но противоположную по направлению. Таким же образом поступают с другими телами. В качестве «центра» для симметричных тел можно выбрать центр симметрии. Идея этого метода применена в [9] для отыскания потенциала скорости при движении тела вблизи стенки.
В [10] для вытянутых тел используется решение для шаров Ф. Корала [11] путем его модификации.
В работе В. А. Степанова, Б. В. Степанюка [12] используются потенциалы одиночно движущихся эллипсоидов.
Далее особо следует выделить три группы работ, потенциал скорости в которых находится для пары эллипсоидов вращения (сфероидов).
Самым ранним решением для пары сфероидов является решение Айзэнберга [13], в котором используется метод последовательных приближений. В нулевом приближении потенциал Ф пары а- и ^-сфероидов равен сумме потенциалов одиночно движущихся сфероидов:
Ф=Ар (та )й°(1а)+А р0 (тр )&° (1р),
где А1, А2 - коэффициенты, которые находятся из удовлетворения граничного условия;
Р0(та), Q10(1a), Р20(тр), в2(1р) - присоединенные функции Лежандра 1-го и И-го рода а- и Р-сфероидов соответственно.
Потенциал р-сфероида приводит к нарушению кинематического граничного условия (КГУ) на поверхности а-сфероида. Чтобы избежать трудностей при нахождении производной от р-потенциала по сфероидаль-
ным координатам а-сфероида, автор преобразует выражение Р-потенциала и при этом выделяет выражение, которое принимает неме-няющимся по поверхности а-сфероида. Оставшаяся часть выражения потенциала теперь легко берется по координатам а-сфероида. В результате этого преобразования и допущения легко подсчитывается нарушение КГУ и отыскивается восстанавливающий потенциал. Вид восстанавливающего потенциала первого приближения отличается от потенциала одиночно движущегося сфероида только постоянным поправочным коэффициентом. Аналогично находится восстанавливающий потенциал первого приближения для Р-сфероида. Этот принцип распространяется на второе и последующие приближения. Таким образом, решение Айзенберга использует функции Лежандра 1-го и И-го рода первой степени и нулевого порядка, как и в решении для одиночного сфероида.
Метод Ф. Айзенберга использован В. С. Сабанеевым в [14], где потенциал пары сфероидов отыскивается в сфероидальных координатах, связанных с каждым из сфероидов последовательными приближениями с использованием метода малого параметра. За малый параметр принимается отношение полуфокального расстояния сфероидов к расстоянию между центрами сфероидов. Метод малого параметра позволяет устранить трудности, связанные с нахождением производной от потенциала соседнего сфероида по координатам другого. Далее, разлагая малый параметр в двойной ряд по поверхностно-сфероидальным функциям, автор получает выражение производной от потенциала соседнего сфероида, вид которого позволяет отыскать восстанавливающий потенциал. Симметрия границ позволяет автоматически находить восстанавливающий потенциал другого сфероида.
В работе Г. И. Верникова, М. И. Гуревича [15] предлагается приближенный метод отыскания потенциала скорости жидкости при встречном движении сфероидов. Решение задачи ведется в сфероидальных системах координат, связанных с каждым из сфероидов. Потенциал пары тел принимается в виде суммы потенциалов первого и второго сфероидов, каждый из которых выражен в своей системе координат. Любой из потенциалов представляют в виде набора сфероидальных функций. Потенциал пары удовлетворяет всем условиям, предъявляемым к потенциалу, кроме КГУ на поверхностях сфероидов. Используя малость отношения малой полуоси к полурасстоянию между большими осями сфероидов, авторы упрощают выражение производной от потенциала одного сфероида по координатам другого. Для отыскания неизвестных коэффициентов при сфероидальных функциях предлагается использовать метод поточечного удовлетворения КГУ. В примере для пары вытянутых сфероидов это условие удовлетворяется в двух точках (носовая точка поверхности сфероида и точка поверхности от пересечения миделевой плоскости с плоскостью, проходящей через большие оси сфероидов). Такой подход позволяет определить только два неизвестных коэффициента, т. е. в этом случае мы можем использовать из бесконечного набора сфероидальных функций только две. Авторы предлагают использовать сфероидальные функции,
в состав которых входят присоединенные функции Лежандра первой степени, нулевого и первого порядка.
В работе О. В. Воинова, М. И. Гуревича [16] дается решение потенциала скорости методом плоских сечений.
Общим недостатком всех перечисленных приближенных методов является отсутствие анализа состояния граничного условия, поэтому трудно судить о достоверности приближенных методов.
Применительно к сфероидам этот недостаток приближенных методов отыскания потенциала можно устранить путем исключения принимаемых упрощений и допущений. Такого типа решение впервые получено Г. С. Хабаровым [17] .
Для отыскания потенциала скорости жестко связанной параллельной пары вытянутых сфероидов при движении их вдоль больших осей Г. С. Хабаров использует последовательные приближения и идею Е. В. Гобсона о разложении требуемого восстановления КГУ в ряд Лапласа. Разложение КГУ в ряд Лапласа позволяет легко находить восстанавливающие потенциалы каждого приближения в виде набора сфероидальных функций. Отличительной особенностью такого подхода к решению потенциала пары сфероидов является анализ состояния КГУ по поверхностям в большом числе заранее выбранных точек и возможность получать решение удовлетворительной точности в зависимости от числа приближений и числа привлекаемых сфероидальных функций. Недостатком решения Г. С. Хабарова является предварительное разложение сфероидальных функций на составляющие, состоящие из функции декартовых координат и функции одной сфероидальной координаты. Такое разложение упрощает взятие производной от потенциала одного сфероида по сфероидальным координатам другого. Однако в этом случае требуется наличие явных выражений присоединенных функций Лежандра 1-го и 11-го рода, а затем дальнейшее разложение их на составляющие. Это довольно трудоемкая работа, так как привлекать для решения задачи приходится 30-40 сфероидальных функций.
В работе П. С. Хабарова [18] дается решение отыскания потенциала скорости жестко связанной сдвинутой пары вытянутых сфероидов, где он воспользовался последовательными приближениями и идеей Е. В. Гобсона о разложении в ряд Лапласа требуемого восстановления КГУ в каждом приближении, но производную от потенциала одного сфероида по сфероидальной координате другого находит как производную от сложной функции, используя связь координат. Потенциал Ф имеет вид
где АП - коэффициенты, которые находятся из удовлетворения граничного условия;
V: (Р) ° а: (1р) р: см-р )оо8 тер.
В решениях потенциала скорости в форме сфероидальных функций их можно истолковать как потенциалы гидродинамических особенностей (мультиполей), непрерывно распределенных по фокальным осям сфероидов. Привлечение ряда Лапласа к отысканию коэффициентов сфероидальных функций потенциала позволило П. С. Хабарову получить решение задачи удовлетворительной точности с фиксацией состояния граничного условия и удержанием в потенциале умеренного числа сфероидальных функций. Результаты расчета потенциала позволили выявить влияние числа приближений и числа удерживаемых сфероидальных функций на точность решения задачи и выработать рекомендации по выбору числа приближений и сфероидальных функций в зависимости от геометрии и взаимного расположения сфероидов.
В последнее время ведутся исследования гидродинамических характеристик тел меняющейся формы, движущихся в безграничной идеальной несжимаемой жидкости [19, 20]. Так, в [20] найден потенциал скорости пульсирующего цилиндра Ф, движущегося в безграничной жидкости:
, „ 008 ф „ 8Ш ф ,
Ф = С1---- + Ц----- + С01п р ,
Р Р
где С1, Б1, С0 - коэффициенты, которые определяются по следующим формулам:
С1 = р0М,
А = -р>;
с =Р Г^
С р0I ёт
(здесь п,у - проекции скорости жидких частиц на оси Ох, Оу соответственно; р0 = р0(т) - радиус пульсирующего цилиндра) и гидродинамическая реакция:
. гйи ёМ
Ях = -М------------и-;
ёт ёт
п ёМ
Я = -М--------и----
ёт ёт
(здесь Ях, Яу - проекции гидродинамической реакции на оси Ох, Оу соответственно; М- присоединенная масса цилиндра единичной ширины).
Гидродинамическая реакция при поступательном движении пульсирующего кругового цилиндра оказывается состоящей из двух частей: одна часть (как и при движении твердого цилиндра) равна произведению ускорения движения цилиндра на присоединенную массу (которая теперь за-
висит от времени), другая часть реакции равна произведению скорости движения цилиндра на скорость изменения присоединенной массы.
В [19] впервые найден потенциал скорости движения жидких частиц, вызванного поперечным движением пульсирующего вытянутого эллипсоида вращения:
Ф=вр1 (m)e; (1) cos j+cp0 (m)Qo (1)+DP2 (m)Q (i),
где B, C, D - коэффициенты, которые находятся из удовлетворения граничного условия.
Для отыскания потенциала скорости используется идея П. С. Хабарова о распределении гидродинамических особенностей вдоль фокальной оси эллипсоида вращения и удовлетворении граничных условий по всей поверхности тела.
Нам кажется, что такие исследования внесут вклад в инженерную практику проектирования судов с меняющейся формой.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Алферьев М. Я., Мадорский Г. С. Транспортные катамараны внутреннего плавания. - М.: Транспорт, 1976.
2. Eggers K. Uber Viderstandsverhaltnisse von Zweikorperschiffen // Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft. - 1955. - Bd. 49. - S. 124-138.
3. Хабаров П. С. К вопросу о неволновых гидродинамических характеристиках катамарана со сдвинутыми корпусами // Гидромеханика. - Киев, 1981. -№ 44. - С. 29-31.
4. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. - М.: Физматгиз, 1963. Ч. I.
5. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973.
6. Hatano S., Mori K. Boundary layer calculations by integral method // Meddelan-den. - 1981. - N 90. - Р. 201-206.
7. Костюков А. А. Взаимодействие тел, движущихся в жидкости. - Л.: Судостроение, 1972.
8. Костюков А. А. К определению потенциала скорости при движении каравана судов // Судостроение и судоремонт. - 1976. - № 7. - С. 7-16.
9. Фадеев Ю. И. О силах и моментах присоса, действующих на тела при движении вблизи твердой стенки // Тр. НТО судостроительной промышленности. -1963. - № 47. - С. 144-159.
10. Васильева В. В. Влияние твердой стенки на распределение давления на поверхности тела вращения // Тр. НТО судостроительной промышленности. -1966. - № 80. - С. 14-23.
11. Karal F. C. The Motion of a Sphere Moving Parallel to a Piane Boundary // Journal of Applied Physics. - 1953. - Vol. 24, N 2. - P. 147-151.
12. Степанов В. А., Степанюк Б. В. Присоединенные массы полуэллипсоида, движущегося в жидкости ограниченной глубины // Тр. Николаев. корабле -строит. ин-та. - 1974. - № 88. - С. 128-136.
13. Eisenberg Ph. An Approximate Solution for Incompressible Flow About an Ellipsoid Near a plane wall // Journal of Applied Mechanics. - 1950. - Vol. 17, N 2. -P. 154-158.
14. Сабанеев B. C. Продольное движение удлиненного эллипсоида вращения в жидкости, ограниченной плоской стенкой или свободной поверхностью // Г идромеханика и теория упругости. - Днепропетровск, 1976. - № 20. - С. 33-40.
15. Верников Г. И., Гуревич М. И. Встречное движение в идеальной жидкости двух эллипсоидов вращения // Вопросы прикладной математики и механики. Чебоксары, 1974. - № 3. - С. 136-147.
16. Воинов О. В., Гуревич М. И. О силах, действующих на тонкое осесимметричное тело, ориентированное параллельно дну // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1974. - Т. 2. - С. 169-172.
17. Хабаров Г. С. Продольное движение пары эллипсоидов вращения в несжимаемой невязкой жидкости // Асимптотические методы в теории систем (Тематический межвузовский сборник). - Иркутск, 1973. - № 3. - С. 24-28.
18. Хабаров П. С. Метод расчета потенциала скорости смещенной пары вытянутых сфероидов // Асимптотические методы в механике (Сибирский энергетический институт СО АН СССР). - Иркутск, 1979. - С. 216-224.
19. Хабаров П. С., Сорокин В. В. Поперечное движение пульсирующего вытянутого эллипсоида вращения // Естественные науки (Журнал фундаментальных и прикладных исследований). - Астрахань, 1999. - № 1. - С. 73-79.
20. Хабаров П. С. Потенциал скорости и гидродинамические реакции невязкой жидкости при движении в ней пульсирующего цилиндра // Физика в системе подготовки студентов нефизических специальностей университетов в условиях модернизации образования: Сб. тр. совещ.-семинара 21-24 сентября 2004 г. - Астрахань: Изд. дом «Астраханский университет», 2004. - С. 75-77.
Получено 18.02.05
REVIEW OF APPROXIMATE SPEED POTENTIAL TECHNIQUES FOR BODIES WITH CONSTANT AND CHANGING FORMS MOVING IN UNBOUNDED LIQUID MEDIUM
Nguen Man Xoong, P. S. Khabarov
Approximate methods of calculation of speed potential liquid movement were analyzed and their estimation was given for the bodies movement in nonviscous and uncompressed unbounded liquid medium. It is reasonable to arrange hydronamic features on the rotation axis of a body and to seek a solution by the method of a consistent approximation according to E. V. Gopson' s idea concerning decomposition of a required recovery of kinematic limiting conditions by Laplas' s series. This method makes it possible to analyze the state of limiting conditions in all points of wet body surface. It leads to practically exact solution through the method is being approximate.
