По рис. 6 можно определить максимально допустимые пределы измерения информативных компонентов при заданном значении начального расстояния <3$. Заштрихованной областью на графике показана одна из возможных областей измерения значений А*, и Дх2 для рассмотренного примера ИИС МФВ одномерного объекта при заданном значении - 100 .
Если из рис. 6 видно, что диапазоны измерения информативных компонентов при некотором заданном значении с/0 не удовлетворяют требованиям измерительного эксперимента, ТО необходимо изменить значение и повторить построение проекций линий уровня при новом значении d(i.
Заключение
Конфигурация рабочей области, приведённая на рисунке 6, не является единственно возможной. Решение о том, удовлетворяют ли диапазоны измерения информативных компонентов требованиям измерительного эксперимента должно приниматься с учётом физических особенностей объекта контроля и используя при этом априорную информацию о характере его движения.
Все вычислительные операции, предусмотренные приведённой выше методикой, могут выполняться в автоматизированном режиме с использованием специализированных программных средств. Поскольку математические модели многокомпонентных физических величин допускают многовариантность структур ИИС МФВ [3], то актуальна задача автоматизированного синтеза и выбора структур ИИС МФВ для решения поставленной измерительной задачи.
Рассмотренная в данной работе методика ускоряет параметрическую настройку выбранной структуры ИИС МФВ за счёт возможности проведения автоматизированного расчётнографического исследования диапазонов измерения информативных компонентов.
БИБЛИ01РАФИЧКСКИЙ С1 [ИСОК
1. Нестеров В.Н. Теоретические основы намерений составляющих векторных многокомпонентных физических величин // Датчики и л реобразо кате л и информации систем измерения, контроля и управления "ДАТЧИК-2001": Сб. матер. ХШ Н.-т. конф. с участием зарубеж, спец. Под ред. проф. В.Н. Азарова. М.: МГИЭМ. 2001, С.175-177.
2. Нестеров В.Н. Алгоритмический метод повышения информативности измерений Н Метрология. 1995, №1. с, 3-15.
3. Жму ров ДБ. Проблема многовариантности структур информационно-измерительных систем многокомпонентной физической величины перемещений и деформаций механических систем // Вестник Самар, гос. техн. ун-та. Серия ((Технические науки». № 40, 2006. С.74-82
Статья поступила в редакцию 7 сентября 2006 г
УДК 621.3.037.372
М.Б. Золотарев, В.К. Морозов
ОБЗОР НЕТРАДИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ, СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И СТРУКТУРИРОВАНИЯ ЧИСЕЛ
Рассматривается вопрос выбора упорядоченной системы для представления чисел и выполнения операций над нтт, приведены также описания разрабатываемых нетрадиционных СС. Вопрос структурирования чисел затронут в разделе "Комбинированная десятично-единичная система представления чисел".
Введение
В настоящее время для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная система счисления, так как она наиболее помехоустойчивая, требует наименьшего количества аппаратуры по сравнению с другими системами, и считается, что в ней очень просто выполняются арифметические и логические операции над числами. Тем не менее, имеются упоми-
нания о системах счисления (СС), позволяющих выполнять названные операции еще проще. Речь идет, например, о системах счисления с основанием (-2) и некоторых других.
Можно привести примеры, когда при использовании специального математического обеспечения - модулярной арифметики, еще в 60-ые годы прошлого века в Советском Союзе были созданы вычислительные машины с производительностью в десятки и сотни раз превосходящей существовавшие в то время ЭВМ с позиционными СС, за счет того, что в этих машинах применялось распараллеливание элементарных арифметических операций. Помехозащищенность и живучесть этих машин не имеет аналогов ^ сейчас. В них использовалась система счисления остаточных классов.
Стоимость регистра вычислительной системы, в зависимости от значения основания, системы счисления минимальна при основании СС равной числу е, а цена регистра для СС с основанием 2 совсем немного проигрывает регистрам, реализующим СС с основанием 3 [1].
Но, эффективное представление информации еще не означает оптимизацию процессов вычисления в компьютерах. Именно с целью оптимизации вычислений созданы мнимопозиционные СС.
Сейчас разрабатываются мнимо-позиционные логарифмические СС в основании которых находится ряд последовательных простых чисел. Интересны так же и другие логарифмические СС. Находит свою область применения и так называемая единичная СС. Каждая из этих систем позволяет упростить и расширить возможности машинной арифметики.
Внедрение новых разработок затруднено необходимостью создания иной технической базы, необходимостью выдерживать конкуренцию с уже имеющимися и запущенными в производство компьютерами.
Однако стоит отметить, что существует возможность использовать некоторые улучшенные нетрадиционные системы счисления программным способом в существующих вычислительных машинах.
Остановимся на некоторых разработках.
Единичная система счисления (ЕСС)
В работах А. В. Никитина [2,3] обосновывается повышенное внимание к использованию единичных систем.
В любой традиционной СС основание СС не является элементом множества чисел первого десятка. Общий вид записи числового множества любой СС можно представить следующим образом:
1. Одноразрядные числа. Символическое представление записывается а*> а) а2 аэ ац... ап, где — ап элементы множества символов выбранной системы, причем (п + !) - основание системы счета.
2. Двухразрядные первого десятка. ■ а | нп
Двухразрядные числа второго десятка, ага*
и т.д., где а„- множество цифр первого десятка традиционных систем счисления.
Исходя из этого правила, единственным элементом множества единичной СС должно быть число 0, а запись многозначных чисел представлять сочетаниями этого элемента 0:
0; 00; ООО; ...
Надо понимать, что единичная СС достаточно искусственная структура. Ноль, в каждой строчке, как бы впервые заполняющий очередной разряд, придает сочетанию новое качество. Что бы выделить значащий (левый) разряд среди остальных формально, присвоим ему знак “единица”. Это допущение существенно не изменяет свойств полученного множества. Сопоставим созданное множество со множеством чисел в десятичной системе:
0(])—0(Ш); Ю(1)=1(10); 100(|)=2(10); ...
Вводя индексацию в единичной системе счета, реализуем возможность производить (формально) все арифметические действия без затруднений и однозначно.
Пример:
10(1) + 10(1)—100(1); 10(и " Ю(1)=10(1 )> 100(|) + 100(|)=10000(1); 100(|) ■ 100(] )= 10000(]); и т.д.
Или иначе:
1(Ю)=>10(1) =Ю(0, где 1 - индекс, соответствующий количеству нулей.
2<ю]=>10<1) + 10(1)=ЇОО(і) = Ю(і), где і=2
8(10)=>]оо;7" =ю(8)
и т.д.
Пример формального выполнения арифметических операций:
10(2)- 10(3)= 10(2 ■ 3)=10(6)
10(2)+ 10(3)=10(2 + 3)=10(5) и т.п.
Другой способ вычислений:
Проннвертировав любое число представленное в единичной СС, мы получаем как бы наполненность данного числа единицами.
100000(П =>011111, теперь мы можем выполнять вычисления. Складывать, вычитать по способу складывания и вычитания счетных палочек:
100000,,)- 100,,) =>011111 - 011= 0111-> 3(Ю) =1000(1) или 100(1) + 10,„=>0!1 +01 =0111 => 3(Ю) =1000(1) и т.д., или выполнять действия по правилам уже разработанным ранее [2].
Иначе говоря, проннвертировав каждое число единичной СС, и, после принятия соответствующих условных договоренностей, получаем систему счисления представленную, как Единичная СС в статьях А. В. Никитина, так же применимую для технических нужд.
Если сравнить ЕСС с традиционной двоичной СС, то преимуществ, в плане реализации вычислительных операций, не обнаруживается. Однако, если область применения этой системы не вычисления, а контрольные, регистрирующие, сравнительные и технологические функции, то с задачами - проверить, выбрать, сдвинуть, изменить, передать и принять она справится лучше, с наименьшими потерями. И это тоже показано в работах Никитина.
Комбинированная десятично-единичная система представления чисел (ДЕСПЧ)
Для записи чисел в ДЕСПЧ используем, так называемый “принцип девятки’’ т.е. свойство 9—ки в десятичной системе счисления, которое не трудно доказать: остаток от деления на 9 равен сумме цифр делимого числа, если суммирование выполнять последовательно до однозначного числа (инвариант данного числа). Приведенное правило применимо для нахождении инварианта в традиционных системах счисления с различными основаниями, В двоичной СС можно получить только условный остаток при делении на единицу. Т.е. применим формально правило - сумма цифр двоичного числа равна остатку от деления на 1, но с учетом того, что в данном случае суммировать поэтапно (до получения однозначного числа) не имеет смысла, то сумму будем брать однократно. Данная идея (получить условный остаток отделения на 1) приводит к необычному представлению чисел в десятично-единичной форме: Возьмем число 4 и представим его в виде суммы условных остатков от деления на 1.
4(10) => Ю0(2) имеем одну значащую цифру “Г- (первый условный остаток). Вычитаем из 100(2):
100(Э) - 1(2) = 011 (2) имеем две “Г’(10(2)- второй остаток). Из 011[2) вычтем 10,2):
01 1(2) - 1 0(2) = 1(2)
Суммируем остатки и запишем результат поразрядно. Назовем эту запись десятичноединичным представлением числа:
5(2) + + 1(2) =>121([0.ї);
Так структурируем все числа натурального ряда:
1(10)“1(10-1)
2(Ю)=11цо-[)
8<ю)=12ІЗ 1іт.і)
!7(,0)=12131342(,0-і)
18(,о)=121313412„о.])
19(ю)= 121313413(10-і)
20(,о)-1213134122(1о-|)
21(10)=1213134123(10.п
Будем называть отдельные разряды в ДЕСПЧ, контрольными разрядами (к,). Из примера видно, что старшие разряды числа остаются фиксированными для данного числа и чисел больше него, а младшие разряды изменяются не когерентно в отношении к младшим разрядам больших чисел. Постоянно повторяющиеся комбинации kj в старших разрядах представления можно заменить константами, которые соответствуют:
1 -ца повторяется во всех числах, (см. пример выше) повторяются в числах больших числа 2 ,
4(|о)=121(,о_1) - во всех числах больше 3-х, и т.д.
Выпишем последовательно в ряд числа, в десятичной СС, соответствующие повторяющимся комбинациям контрольных разрядов:
1,3,4, 7, 8, И, 15, 16, 19,23,26,31, 32,35,39,42,46,49, 53,57, 63,64, 67,71,74, 78,81... и т.д.
Представление числа в ДЕСПЧ примечательно тем, что его структуру составляют, исключительно, контрольные значения числа и его промежуточных частных, а сами же числа записываются, как будет показано дальше, достаточно компактно.
Пример:
4(,о)=121(ю-1)(— 1 + 2 + 1) =k]+k2+k3 => 100[2);
Мы закодировали каждое число контрольными разрядами и можем его восстанавливать при возникновении ошибки, используя специальные таблицы или алгоритмы.
На первый взгляд представление чисел в этой форме не практично, ввиду их не компактности, но, используя то, что все числа содержат неменяющуюся часть в старших разрядах, можно создать таблицу const, и, применяя их при структурировании чисел, резко сократить объем, сохраняя в виде ДЕСПЧ только переменную составляющую.
Вот примеры представления чисел:
32(юр1213134134351(|о.]) => 32.0 - const. №13; 13-номер const, по порядку возрастания const, или количеству разрядов в нем, т.к. номер соответствует длине десятично-единичного представления.
37(Ю)=121313413435123(ю.|) => 32.2,3 => 13.2.3 (2 и 3- контрольные разряды)
50(10)=121313413435134353no-i) => 42.5.3 => 16.5.3 (5 и 3- контрольные разряды)
Такое представление чисел позволяет контролировать их возможное искажение.
Если числа, представленные в ДЕСПЧ при хранении и передаче искажаются, то они поддаются корректировке. Отметим, что кодирование заключается в структурировании традиционного представления при формальном сохранении прежней системы счисления.
Способ представления числа А в десятично-единичной системе заключается в нахождении ближайшей к числу A const меньшей А (из таблицы, или другим способом), вычитания этой const из А и, затем, последовательного условного деления А на 1-цу (нахождение контрольных разрядов) до тех пор, пока сумма найденных разрядов не станет равна разности А -С,. Если сумма k-разрядов и разность А - С, не совпадут, то в этом случае необходимо взять С,_
I-
Данная запись чисел, ввиду своей компактности и простоге прямого кодирования (структурированием) и обратного преобразования (декодирования сложением разрядов), может быть использована в обычных компьютерах вполне способна конкурировать с иными кодирующими и корректирующими системами представления чисел.
Система счисления с основанием (-2)
Формула целого числа m в этой системе счисления имеет вид:
А = ап.(-2)п + ав_|.(-2)п + ... + а,.(-2) + а^ , где а( = Ov 1 — допустимые цифры в данной системе счета, (*)Цифрами ао, ai, ..., а„ числа m являются остатки, полученные при последовательном делении числа А(ю) на ('2)(ш)(при модульном делении на (-2)).
Чтобы перевести число в десятичную систему счисления, необходимо представить это число в систематической форме (*) и выполнить указанные в этой форме действия в десятичной системе счисления. Полученное число будет являться десятичной записью данного числа. Так же, существует возможность перевода чисел в СС с основанием (-2) непосредственно из двоичной с использованием некоторых привил.
В этой СС выполняются все арифметические операции, несмотря на то, что вычитание как операция в принципе не имеет смысла, т.к. отрицательные числа записываются в этой системе положительным числом. Но, пользуясь определенными искусственными правилами, алгоритмами можно его осуществить. Здесь нужно отметить, что существуют различные варианты правил выполнения не только этой, но и других простейших арифметических операций.
Удалось найти достаточно простой алгоритм для умножения числа на (-1 (ю)), благодаря чему вычитание можно заменять сложением, изменяя знак вычитаемого, а сложение заменить вычитанием: просматривая число, справа налево ищем единицы. Встречая единицу, инвертируем следующую цифру. Таким образом в этой системе можно реализовывать не только аппаратное суммирование, но и вычитание, без использования дополнительного кода.
Не лишена смысла идея создания компьютера с реализацией преимуществ, как двоичной, так и СС с основанием (-2), т.к. перевод из одной системы в другую не представляет особых трудностей.
Информационные СС (ИСС)
В цитируемой литературе не обнаружены правила выполнения математических операций над. числами в рассматриваемой СС, в связи, с чем, эту систему счисления можно отнести, предварительно, к способам кодирования и представления чисел. В рамках данного раздела, важно изложить принцип построения кодов ИСС.
Известна задача нахождения искомого предмета из множества (точки на числовой оси из множества точек) по наименьшему количеству действий или иному критерию. Оптимальный алгоритм решения поставленной задачи и соответствует этому принципу.
Предположим, имеем точку. Необходимо определить (представить) её в числовом виде с помощью информационных СС. Действие первое: делим всю числовую ось другой точкой на два интервала (в дальнейшем на отрезки). Выясняем, в каком интервале находится заданная точка. Левее или правее разделяющей границы. Это важно, так как в зависимости от ответа данному числу присваивается один из числовых или иных символов. Найденный интервал делим ещё раз, вновь выясняем, где находится искомая точка и добавляем к числовой последовательности очередной символ и т.д. до тех пор, пока определяемая точка не совпадет с границей отрезков. Понятно, что граничные точки, должны быть упорядочены какой либо, заранее определенной, монотонной функцией Р(х), например, представлять её итерации для того, что бы мы имели возможность однозначно определять и сравнивать различные точки на данной числовой оси.
Возьмем в качестве примера число 86, в качестве Р(х) берем геометрическую прогрессию со знаменателем 2, а символами, обозначающими положение точки, будут 0, если точка левее разделяющей границы и 1, если точка правее. Первая разделяющая граница равна 1, следовательно, первая цифра получаемого числа будет ] (т.к. 86>0), Следующие шесть разделяющих, границ соответственно равны - 2, 4, 8, 16, 32, 64 - относительно всех этих границ, число 86 находится правее. Значит, первые семь цифр числа будут - единицы. Далее из геометрической прогрессии получаем число 128. Восьмая цифра - ноль, т.к. 86<128. Делим пополам отрезок между 64 и 128, получаем 96. 86<96 => девятая цифра - 0. Делим пополам отрезок между 64 и 96, получаем 80. 86>80 => десятая цифра - 1. Делим пополам отрезок между 80 и 96, получаем 88. 86<88 => одиннадцатая цифра - 0, Делим пополам отрезок между 80 и 88, получаем 84. 86>84 => двенадцатая цифра - 1. Делим пополам отрезок между 84 и 88, получаем 86. После совпадения с числом, необходимо записать в конце единицу. Итак, мы получили: 11ШП001011.
Поняв идею, можно сравнивать конкретные подсистемы информационных СС (вероятностные^], итерационны е[5], башенные [6]), которые отличаются друг от друга тем, какой функцией Р(х) определяются границы вспомогательных интервалов. Значимость этих систем счисления на практике пока не изучена, но существуют оценки, которые предполагают их перспективность. ■
7Я
Системы счисления с иррациональным основанием
Интересно представление (“троичное представление”), предложенное А.П. Стаховым[7], которое является развитием известной системы счисления Бергмана. На его основе разработана полномасштабная система счисления, в которой основанием является не х > а т 2 -
Веса а, данной системы не двоичные ( {0; 1} ), а троичные ( {-1; 0; 1} ):
А=£ а;-т 2\ где А - действительное число, т - золотая пропорция, а, е {1, 0, 1} , \ е (-оо ; оо ),
1 - троичная единица, I - троичная минус единица. '
Примеры записи натуральных чисел в троичной системе:
2(1о)=1Ц11,(=т3-т°+т'2)
3(10) = 11’1(Х2) + 1’^(тг) “ 10Ли;)(= "С2 + т"2)
27()0) = 1111,111(1? ((= т6 + х* - х2 - т° + т'2 + х"4 + х"6)
Правило сложения троичных единиц:
1 + 1 = Ш, примечание: при суммировании единиц произвольного разряда ], данный разряд занимает минус единица, а в соседние разряды 0+1 и I - 1) прибавляются единицы.
Правило сложения троичных минус единиц:
I +1 = Щ, примечание: при суммировании отрицательных единиц произвольного разряда 1, данный разряд занимает плюс единица, а в соседние разряды (1 + 1 и 1 - 1) прибавляются минус единицы.
Остальные правила: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 1+1=0.
Правила умножения двух одноразрядных чисел: 0-0 = 0; 1-0 = 0; 1 - 1 = 1; 1 • 1 = К Для чисел с произвольным количеством разрядов применим способ умножения “столбиком”, с учетом правил сложения и умножения двух одноразрядных чисел в “Тау Системе”.
Деление выполняется в соответствии с правилами деления в классической троичной симметричной системе счисления, с учетом правил сложения и умножения чисел в “Тау Системе”. В качестве примера, разделим 10(ю)На 2(|оу
1) шаг первый 3) шаг третий
1 1 о, \ 1 1 1, 1 I, 1 1 1 1, 1
1 1 I, 0 1 0, 0 =0; 1, 1 1 0 1, 0
0 1 1, 1 1 0, 0 1
1 1 1 1
1 1 0, 1 1 =0, 0, 1 1 1
2) шаг второй 4) шаг четвертый
1 1 0, 1 1 1 I, 1 о, 1 1 1 1 I, 1
1 1 I, 0 1 0, 0 =0, 1 1 1 0, 0 1
0 0 1, 1 1 =Э2 о, 0 0 0
1
где принято условное обозначение: 1 + 1= П1= "
' 1 1
Получим окончательный результат, просуммировав 0„, и учитывая, что СЬ необходимо умножить на 1, т. к. на втором шаге получился отрицательный остаток От:
10,0+10,0+0,1 -1+0,01=Ц 1,11. Данный результат соответствует числу 5(10у Все арифметические операции выполняются без использования обратного кода. Видна так же симметрия относительно нулевого (с номером ноль) разряда натуральных чисел. Это означает, что свойство зеркальной симметрии инвариантно (в смысле повторяемости) относительно сложения и вычитания, умножения и деления натуральных чисел. Указанное свойство может быть использовано в компьютерах для контроля арифметических операций.
Работы по созданию вычислительных устройств на базе троично-зеркальной симметрии Стахова, бы.чи прерваны в 1989 г. в связи с прекращением финансирования.
Логарифмическая система счисления с основанием -
«последовательность простых чисел»
Система разработана О.А. Финько (Краснодарское высшее военное училище) и представлена на международном конгрессе в докладе “Введение в новую компьютерную параллельную арифметику, основанную на факторизации операндов" [8].
Числа раскладываются в виде произведения простых сомножителей:
» = р,а.рЛ р3с...р/
Целые числа представляются целыми неотрицательными степенями простых чисел. Если возникают дроби - появляются отрицательные разрядные цифры - степени. Для данной системы счисления все равно — целое число или рациональное.
Количество простых чисел берется ровно столько, чтобы обеспечить требуемый числовой диапазон. Например, все простые числа, начиная с 2—х до простого числа, около 100 ООО. Для представления числа ноль вводится специальный множитель. Единица представляется с помощью всех нулей (0,0,0, 0), то есть возведением всех простых чисел в нулевую степень.
Ряд можно продолжить: 2,3,5,7... Тогда число 2=(1,0,0,0); 3=(0,1,0,0), 4=(2,0,0,0) и т.д. Однозначность представления вытекает из справедливости основной теоремы арифметики; факторизация всегда однозначна. Основная задача здесь — это сделать запись компактной, то есть не записывать 100 000 разрядных цифр. Решение этой задачи изложено в одной из статей О.А, Финько.
Пример представления чисел в рассматриваемой СС:
Число 18 представляется как (1, 2). То есть 18=21 -З2. (1, 2) означает степень 1 множителя
2 и степень 2 множителя 3. Теперь представим число 1/2. Получим (-1,0). То есть число 2 в степени -1.
Далее 18 ■ 1/2 = (I +(-1), 2 + 0) = (0,2) = 9.
Иррациональное число - корень из двух - это целое число 2 в рациональной степени 1/2. Таким образом, иррациональные числа, образованные корнями легко свести к рациональным. Получим представление корня из двух: 42 = (2-1, 0)
В принципе можно остановиться на рациональных разрядных числах. Однако если это не устраивает, то можно применить "каскадную" или двухступенчатую СС. То есть получаемые разрядные рациональные цифры еще раз разложить на простые множители и представить степенями. В итоге - мы работаем только с целыми числами.
Недостаток этого подхода: корень из двух легко представить целочисленными коэффициентами, но при попытке представить, например, число {42 +4Т) возникают серьезные трудности. Таким образом, представление иррациональных чисел целочисленными коэффициентами - это демонстрация некоторых свойств этой СС только для некоторых иррациональных чисел, которых, как известно, бесконечно много. То есть пока речь идет только о представлении целых и рациональных чисел. Но бывают очень длинные рациональные числа (превышающие длину разрядной сетки ЭВМ) и представление их с помощью традиционных СС неизбежно дает ошибки. В этом случае СС разработанная О. А. Финько явно выигрывает.
Логарифмическая СС на основе двоичной системы счисления
Логарифмическая СС описана в работах Гамаюна В.П. как “способ разряднологарифмического (РЛ) представления данных” [9]. Она достойна приложения усилий для дальнейшего развития и применения на практике. Алгоритмы арифметических операций над числами позволяют, используя возможность замены умножения и деления, соответственно суммированием и вычитанием, выполнять эти операции более рационально, чем в традиционных, позиционных СС. Кроме того, перевод вычислений в поле логарифмических операций, дает возможность “распараллелить” арифметические действия над числами и получить дополнительные преимущества при применении этих операций в параллельных компьютерных системах, а так же более полно реализовать потенциал этих систем.
Имеем разрядную сетку двоичной СС. Нумерацию разрядов будем вести с нуля. Сопоставляя каждый двоичный разряд сетки с его номером получим логарифмическое представление двоичного числа:
Номера разрядов п П-1 12 11 10 2 1 1 °
Двоичное представление числа 0у1 0у! 0у1 0у1 0у1 0у1 0у1 0у1
логарифм ическое <-Мп) (-Мп-1) (-М2 (-МI (>10 02 <-М (->о
где (-) <=> отсутствие символа.
Примеры:
5(Ю}= 0101(2) = 0,2(|оВ); 7(Ю) = Н1ш = 0.1.2(|ОЁ); 16(ю) = 10000с2> = 4( 1101000101(2) =
9.8.6.2.0(10^; 101101101а)= 8.6.5.3.2.0([ое) и т.д.
В дополнение к рассмотренному ранее можно предложить алгоритмы, позволяющие более рационально производить математические вычисления.
При сложении действует правило: два одноразрядных числа дают число на единицу большее, а разноименные выписываются последовательно по возрастанию. Т,е. 2+2=3, 0+0=1, 1+1=2.
Сложим числа в двоичном и мнимопозиционном-логарифмическом представлениях:
в двоичном: 0101 + 111=1100; в логарифмическом: 2.0(|(>¥)+2.1.0(|О6)=2(1ОЙ)+3(|ОК)=2.3(1ад)
Предлагается, двузначные и более номера разделять точкой, чтобы отличить, например число 6(10)=1 10(2)=12(1Оё} от 4096^ |0)= 1000000000000(2)= 12(]а^. Т.е. будем записывать 6(К1)= 110(2г 1.2(1ое) и 4096(Ю)= 1000000000000(?)=! 2(|0Ё).
Правило умножения: при умножении, разряды складываются на уровне умножения отдельных разрядов. Иначе говоря, при умножении двух одноразрядных чисел, разряды складываются по правилам десятичной СС. Т.е. 2-2=4 (2+2), 2-0=2 (2+0) и т.д.
При делении многоразрядного на одноразрядное число делитель вычитается из каждого разряда делимого по правилам десятичной арифметики.
Нахождение частного от деления двух многоразрядных чисел, является больше задачей логики. Существует несколько алгоритмов нахождения частного, но оптимально осуществить деление можно по принципу алгебраического деления уголком. При этом надо учитывать то, что к остатку так же необходимо применять указанный алгоритм, такое количество раз, которое задается точностью вычислений.
В рассматриваемой СС получаем упрощенную арифметику чисел, которая выполняется с применением дополнительных правил. Эта арифметика способна упростить и ускорить вычисления в компьютерах.
Заключение
Использование известных решений, обеспечивающих в ЭВМ, улучшение только одной из характеристик обработки информации, например быстродействия, в ряде случаев является недостаточным. Поэтому в настоящее время проводятся разработки новых способов представления данных, внедрение которых позволит, вместе с известными решениями, обеспечить комплексное улучшение характеристик, в которые входит в первую очередь оптимизация процесса вычисления, т.е. улучшенных правил вычислений, при создании средств высокопроизводительной обработки.
Известно, что в области микроминиатюризации интегральных схем (ИС) назрел кризис, обусловленный проявлением свойств структуры вещества. Решение этой проблемы тоже известно - создание наноразмерных ИС (функционирующих на атомах, молекулах).
Однако нельзя создать нано-ИС сразу - будет переходный период. И первые нано-ИС будут неконкурентоспособны, т.к. необходимо время на отработку технологии. Существует проблема совершенствования вычислителей и сегодня. Некоторые решения уже применяются, например, двухъядерные процессоры.
Когда необходимо быстро и значительно повысить некоторые характеристики вычислителя - применяют метод - специализацию. Как правило, специализируют архитектуру вычислителя. Если же специализацию сделать комплексной, то есть одновременно специализировать не только программное обеспечение и архитектуру, но и систему счисления, положенную на ориентированную на нее аппаратуру, то можно получить значительно более высокие результаты.
Вывод: нет совершенных СС. Есть проблемно-ориентированные СС. То есть каждая СС может быть рекомендована (ориентирована) для решения своего круга технических задач (проблем), которая в сочетании с другими направлениями специализации (программное обеспечение, архитектура) даст максимальный результат уже сегодня. Следует предполагать полезность нетрадиционных систем счисления, и для наноразмерных НС.
Вопрос структурирования чисел затронут в разделе “Комбинированная десятичноединичная система представления чисел”. Предполагается разработка иных способов структурирования чисел, которые дадут возможность, в частности, создавать структуры устойчивые к математическим преобразованиям, и позволят, в конечном счете, осуществлять контроль за этими преобразованиями, и, даже, исправлять машинные ошибки в случае их обнаружения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Уоррен Г. Алгоритмические трюки для программистов, Спб: Вильямс, 2003.
2. Никитин А. В. Компьютеры Фибоначчи. Точки над i. // Магия ПК. 2002. №5(50)
3. Сайт в интернете: http://andrejnikitin.narod.ru, Никитин А. В.
4. Баранова Н.В. Вероятностные системы счисления. // Межд. конф по мягким вычислениям и измерениям SCM-2003. СПб, 2003. Тезисы доклада.
5. Баранова Н.В.. Федотов В.П Итерационные системы счисления. // Сб. "Актуальные проблемы современной науки". 4.1. Самара. 2001. с. 21.
6. Федотов В.П. Башенные системы счисления // Сб. "Информационные технологии в образовании". СПб., 1998.
7. Stakhov А. P. "Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman's Number System and Ternary Mirror-Symmetrical Arithmetic". The Computer Journal (British Computer Society). Vol. 45. №2, 2002.
8. Pinko O.A. Introduction to New Parallel Computer Arithmetics Grounded on Factorizations of Operands // International Congress "MATHEMATICS in XXI century. The role of the MMD of NSU in science, education, and business". 25-28 June 2003, Novosibirsk Akademgorodok. The theses of the report.
9. Сайт в интернете: http://www.icfcstkiev,ua/Symposium/Pr Content-fr.html, Гама юн В.П. Обработка данных при разрядно-логарифмическом представлении числа.
Статья поступила в редакцию 8 июня 2006 г
УДК 621.78.68.3
А.В. Иващенко, М.Е. Кременецкая, М.Ю. Лившиц
ФОРМИРОВАНИЕ ЕДИНОГО ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОСНОВЕ ПРОЕКТНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ МОДЕЛИ
Рассмотрен вопрос создания единого информационного пространства (ЕИП) машиностроительного предприятия в рамках проведения его комплексной автоматизации. В качестве платформы • формирования ЕИП предложена проектно-производственная модель. Показана актуальность и эффективность её применена для решения поставленных задач.
Исторически сложилось так, что в машиностроении раньше чем в других отраслях занялись автоматизацией. Современные рыночные механизмы ведения хозяйственной деятельности диктуют жесткие требования машиностроительным предприятиям, такие как: постоянное совершенствование производимой продукции, сокращение сроков проектно-конструкторских работ, применение современных методов оперативного планирования, основанных на актуальной информации и другое.
Выполнить эти требования позволяет комплексная автоматизация управления предприятием. Комплексный подход к автоматизации предполагает создание единого информационного пространства, охватывающего все направления деятельности, такие как: проектирование, технологическая подготовка, производство, обеспечение необходимыми ресурсами, сбыт готовой продукции.
Построение единого информационного пространства предприятия возможно с помощью создания единой автоматизированной системы управления, либо путем интеграции различных автоматизированных информационных систем. Выбор зависит от специфики конкретного предприятия, требований к информационной среде и срокам ее разработки.